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【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题36 正方形存在性问题
模型解读 1
常见类型讲解 1
一、关于正方形的基础知识 1
二、正方形存在性问题解决策略 2
三、经典例题 3
真题演练 5
（2024·江苏无锡·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形 5
（2023·湖南岳阳·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形 6
（2020·辽宁锦州·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形 6
（2018·四川南充·中考真题）二次函数 判断是否能构成正方形并求正方形边长 7
（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形 7
巩固练习 8
作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：1.有一个角为直角的菱形；2.有一组邻边相等的矩形；3.对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．
一、关于正方形的基础知识
1. 正方形的定义
四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形；
2. 正方形的性质（正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质）
边：四边相等，邻边垂直，对边平行；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
正方形是中心对称图形，两条对角线的交点就是对称中心.
3. 正方形的判定
四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
有一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形.
4. 特殊四边形之间的关系如图所示：
二、正方形存在性问题解决策略
1. 从未知量的角度来看，正方形可以有4个未知量，所以它的坐标应满足4个等量关系，互相平分2个，垂直（1个）且相等（1个）.
已知平面内2个定点，可以在平面内确定2个点使得它们构成正方形，但是，如果要在某条直线上确定点，很有可能会出现不存在的情况（未知量小于方程个数，无解）.
解决正方形存在性问题一般不用代数法，因为要列四元一次方程组，比较麻烦！
2. 解决正方形存在性问题常用方法
（1）从正方形判定入手
若已知菱形，则证明一个角是直角或者对角线相等；
若已知矩形，则证明一组邻边相等或对角线互相垂直；
若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件即可.
（2）构造三垂直全等
若条件并未给出关于四边形对角线的特殊性，一般任取3个顶点必然是等腰直角三角形，如果已经知道了两个定点，则可以通过构造三垂直全等来求出第3个点，然后再进一步求出第4个点.
若题目中给了4个动点，则先要判断此时的四边形是否为特殊的四边形，在特殊四边形基础上，再添加某些条件，使得其构成一个正方形.
三、经典例题
例1：如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动，问：
（1）P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？
（2）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm；（2）不存在
【解析】（1）过点P作PH⊥CD于点H，如图所示：
∴HQ＝16﹣5t，
∴PQ2＝PH2+HQ2，
即102＝（16﹣5t）2+62，
解得，
答：P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm；
（2）∵四边形PBCQ是正方形，
∴BP＝CQ，即16﹣3t＝2t，
解得，
∵，
∴不成立．
例2：如图，已知抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A（6，0），点C（0，4），AB＝5OB，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
（4）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）y＝ax2+bx+c，顶点坐标为；（2）S=﹣4x2+28x﹣24（1＜x＜6）；（3）不是菱形；（4）不存在
【解析】（1）∵点A（6，0），AB＝5OB，
∴点B（1，0），
设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
则由题意可得：，解得，
∴所求抛物线的解析式为，
∵，
∴所求抛物线的顶点坐标为；
（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．
∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S＝2S△OAE＝2××OA |y|＝﹣6y＝﹣6（x2﹣x+4）＝﹣4x2+28x﹣24，
自变量x的取值范围为：1＜x＜6；
（3）根据题意得：﹣4x2+28x﹣24＝24，
解之，得x1＝3，x2＝4，
∴所求的点E有两个，分别为E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），
∵点E1（3，﹣4），
∴OE＝5，，
∴OE＝AE，
∴平行四边形OEAF是菱形，
∵点E2（4，﹣4），
∴OE＝，，
∴不满足OE＝AE，
∴平行四边形OEAF不是菱形；
（4）∵当OA⊥EF，且OA＝EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E坐标只能（3，﹣3），而坐标为（3，﹣3）点不在抛物线上，
∴不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．
（2024·江苏无锡·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形
已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2023·湖南岳阳·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形
已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．

(1)请求出抛物线的表达式．
(2)如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2020·辽宁锦州·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形
在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，直线与抛物线交于A,D两点，与直线于点E．若是线段上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线于点G，交直线于点H．
①当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值；
②在平面内是否在点P，使四边形为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2018·四川南充·中考真题）二次函数 判断是否能构成正方形并求正方形边长
如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形
如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；
（2）直线交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线于点C．若C是的中点，，反比例函数图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，点M在直线上，点N在直线上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
1、综合与探究
如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式．
(2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值．
(3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由．
2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标；
(3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3、如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
4、如图，抛物线与x轴交于，D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点，点E，P为抛物线的对称轴上的动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当最小时，求此时点E的坐标；
(3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5、平面直角坐标系内如图放矩形已知点，．将矩形沿折叠，使点与点重合．折痕交于点，交于点．
(1)求点的坐标；
(2)若动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度的速度向点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，当点运动到点时停止运动，点也同时停止运动．设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是射线上的一点，点为平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
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第2页（共11页）中小学教育资源及组卷应用平台
【重难点突破】中考数学压轴题解题模型精讲与真题演练
专题36 正方形存在性问题
模型解读 1
常见类型讲解 1
一、关于正方形的基础知识 1
二、正方形存在性问题解决策略 2
三、经典例题 3
真题演练 5
（2024·江苏无锡·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形 5
（2023·湖南岳阳·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形 11
（2020·辽宁锦州·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形 14
（2018·四川南充·中考真题）二次函数 判断是否能构成正方形并求正方形边长 18
（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形 21
巩固练习 23
作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：1.有一个角为直角的菱形；2.有一组邻边相等的矩形；3.对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．
一、关于正方形的基础知识
1. 正方形的定义
四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形；
2. 正方形的性质（正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质）
边：四边相等，邻边垂直，对边平行；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
正方形是中心对称图形，两条对角线的交点就是对称中心.
3. 正方形的判定
四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
有一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形.
4. 特殊四边形之间的关系如图所示：
二、正方形存在性问题解决策略
1. 从未知量的角度来看，正方形可以有4个未知量，所以它的坐标应满足4个等量关系，互相平分2个，垂直（1个）且相等（1个）.
已知平面内2个定点，可以在平面内确定2个点使得它们构成正方形，但是，如果要在某条直线上确定点，很有可能会出现不存在的情况（未知量小于方程个数，无解）.
解决正方形存在性问题一般不用代数法，因为要列四元一次方程组，比较麻烦！
2. 解决正方形存在性问题常用方法
（1）从正方形判定入手
若已知菱形，则证明一个角是直角或者对角线相等；
若已知矩形，则证明一组邻边相等或对角线互相垂直；
若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件即可.
（2）构造三垂直全等
若条件并未给出关于四边形对角线的特殊性，一般任取3个顶点必然是等腰直角三角形，如果已经知道了两个定点，则可以通过构造三垂直全等来求出第3个点，然后再进一步求出第4个点.
若题目中给了4个动点，则先要判断此时的四边形是否为特殊的四边形，在特殊四边形基础上，再添加某些条件，使得其构成一个正方形.
三、经典例题
例1：如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动，问：
（1）P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？
（2）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm；（2）不存在
【解析】（1）过点P作PH⊥CD于点H，如图所示：
∴HQ＝16﹣5t，
∴PQ2＝PH2+HQ2，
即102＝（16﹣5t）2+62，
解得，
答：P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm；
（2）∵四边形PBCQ是正方形，
∴BP＝CQ，即16﹣3t＝2t，
解得，
∵，
∴不成立．
例2：如图，已知抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A（6，0），点C（0，4），AB＝5OB，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
（4）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）y＝ax2+bx+c，顶点坐标为；（2）S=﹣4x2+28x﹣24（1＜x＜6）；（3）不是菱形；（4）不存在
【解析】（1）∵点A（6，0），AB＝5OB，
∴点B（1，0），
设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
则由题意可得：，解得，
∴所求抛物线的解析式为，
∵，
∴所求抛物线的顶点坐标为；
（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．
∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S＝2S△OAE＝2××OA |y|＝﹣6y＝﹣6（x2﹣x+4）＝﹣4x2+28x﹣24，
自变量x的取值范围为：1＜x＜6；
（3）根据题意得：﹣4x2+28x﹣24＝24，
解之，得x1＝3，x2＝4，
∴所求的点E有两个，分别为E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），
∵点E1（3，﹣4），
∴OE＝5，，
∴OE＝AE，
∴平行四边形OEAF是菱形，
∵点E2（4，﹣4），
∴OE＝，，
∴不满足OE＝AE，
∴平行四边形OEAF不是菱形；
（4）∵当OA⊥EF，且OA＝EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E坐标只能（3，﹣3），而坐标为（3，﹣3）点不在抛物线上，
∴不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．
（2024·江苏无锡·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形
已知二次函数的图象经过点和点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)若点，都在该二次函数的图象上，试比较和的大小，并说明理由；
(3)点在直线上，点在该二次函数图象上．问：在轴上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)时，；时，；时，
(3)存在，或或或或或
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴这个二次函数的表达式为；
（2）解：∵，都在该二次函数的图象上，
∴，，
∴，
当时，即时，；
当时，即时，；
当时，即时，；
（3）解：设直线的函数解析式为，
把，代入得：，
解得：，
∴直线的函数解析式为，
当为正方形的边时，
①∵，
∴，
过点M作y轴的垂线，垂足为点G，过点P作的垂线，垂足为点H，
∵轴，
∴，
∴，则，
设，则，
∴，
∴点N的纵坐标为，
即，
∵以，，，为顶点的四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
②如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
③如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
④如图：构造，
和①同理可得：，，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：，（舍去），
∴；
当为正方形对角线时，
⑤如图：构造矩形，过点P作于点K，
易得，
∴，
设，则，
和①同理可得：，
∴，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，则，
∴，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
⑥如图：构造，
同理可得：，
设，则，
∴，，，
把代入得：，
解得：（舍去），
∴；
综上：或或或或或
．
（2023·湖南岳阳·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形
已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．

(1)请求出抛物线的表达式．
(2)如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；
(3)点的坐标为或
【详解】（1）∵抛物线与轴交于两点，交轴于点，
∴把代入，得，
解得，
∴解析式为：；
（2）假设存在这样的正方形，如图，过点E作于点R，过点F作轴于点I，

∴
∵四边形是正方形，
∴
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
同理可证明：
∴
∴
∴；
（3）解：抛物线上存在点，使得．
，
抛物线的顶点坐标为，
将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，
，，
设直线的解析式为，把，代入得，
解得：，
直线的解析式为，
过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图2，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，
则，，，

，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
即点与点重合时，，
；
，，
，
，
点与点关于直线对称，
；
综上所述，抛物线上存在点，使得，点的坐标为或．
（2020·辽宁锦州·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形
在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，直线与抛物线交于A,D两点，与直线于点E．若是线段上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线于点G，交直线于点H．
①当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值；
②在平面内是否在点P，使四边形为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）①或 ； ②存在；或
【详解】解：（1）抛物线经过两点，
，解得，
抛物线的表达式为．
（2）①方法1：
如图1，过点O作于点R，过点F作于点Q，
设直线与y轴交点为N．
，直线轴，
，，
，
由一次函数可以求出点N坐标为，
在中，，，
，
，
．
，，
，
．
，MH平行于y轴，
，
，
，
，
，
解得，．
联立抛物线和一次函数，得：，
解得，，
则可知此时求出的点F都在直线AD上方的抛物线上，
的值为或．
方法2：
如图1，过点O作于点R，过点F作于点Q，设直线与y轴交点为N．
则，，
，直线轴，
，，
，
，，
，
，
，，
，
由题意可得，轴，则，
，
，
，
，
解得，
联立抛物线和一次函数，得：，
解得，，
则可知此时求出的点F都在直线AD上方的抛物线上，
的值为或．
②存在．点P的坐标为或．
（写对一个得2分）
如图2，
B（4，0），C（0，4），
直线BC的解析式为：，
联立直线AD与直线BC的方程得：，
解得，
E（1，3）．
若四边形EFHP是正方形，
则，
，解得，
，，
，
，
．
，
同理可得：，
，
．
点P的坐标为或．
（2018·四川南充·中考真题）二次函数 判断是否能构成正方形并求正方形边长
如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）①Q(2，3)；②Q2(， )，Q3(，)；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，MN=9或．理由见解析.
【详解】（1）设y=a(x﹣1)2+4(a≠0)，
把C(0，3)代入抛物线解析式得：a+4=3，即a=﹣1，
则抛物线解析式为y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3；
（2）由B(3，0)，C(0，3)，得到直线BC解析式为y=﹣x+3，
∵S△OBC=S△QBC，
∴PQ∥BC，
①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，
∵P(1，4)，
∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，
联立得：，
解得：或，
∴Q(2，3)；
②设G(1，2)，
∴PG=GH=2，
过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，
联立得：，
解得：或，
∴Q2(，)，Q3(，)；
（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，
如图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN解析式为y=﹣x+b，
联立得：，
消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，
∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b，
∵△MNF为等腰直角三角形，
∴MN2=2NF2=42﹣8b，
∵NH2=( b﹣3)2，
∴，
若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，
∴，
整理得：b2+10b﹣75=0，
解得：b=﹣15或b=5，
∵正方形边长为，
∴MN=或．
（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）二次函数 是否存在某点，使得四边形为正方形
如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，线段的长是方程的一个根，．请解答下列问题：
（1）求点A，B的坐标；
（2）直线交x轴负半轴于点E，交y轴正半轴于点F，交直线于点C．若C是的中点，，反比例函数图象的一支经过点C，求k的值；
（3）在（2）的条件下，过点C作，垂足为D，点M在直线上，点N在直线上．坐标平面内是否存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形？若存在，请写出点P的个数，并直接写出其中两个点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）A（9，0），B（0，）；（2）-18；（3）存在5个，（9，12）或（9，-12）或（1，0）或（-7，4）或（-15，0）.
【详解】解：（1）∵线段的长是方程的一个根，
解得：x=9或-2（舍），而点A在x轴正半轴，
∴A（9，0），
∵，
∴B（0，）；
（2）∵，
∴E（-6，0），
设直线AB的表达式为y=kx+b，将A和B代入，
得：，解得：，
∴AB的表达式为：，
∵点C是EF的中点，
∴点C的横坐标为-3，代入AB中，y=6，
则C（-3，6），
∵反比例函数经过点C，
则k=-3×6=-18；
（3）存在点P，使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
如图，共有5种情况，
在四边形DM1P1N1中，
M1和点A重合，
∴M1（9，0），
此时P1（9，12）；
在四边形DP3BN3中，点B和M重合，
可知M在直线y=x+3上，
联立：，
解得：，
∴M（1，4），
∴P3（1，0），
同理可得：P2（9，-12），P4（-7，4），P5（-15，0）.
故存在点P使以D，M，N，P为顶点的四边形是正方形，
点P的坐标为P1（9，12），P2（9，-12），P3（1，0），P4（-7，4），P5（-15，0）.
1、综合与探究
如图，抛物线经过点和点，点是线段上一动点（不与重合），直线是抛物线的对称轴，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的函数表达式及直线的函数表达式．
(2)当点在直线右侧的线段部分上运动时，过点作轴的垂线交抛物线于点，分别过点作直线的垂线，垂足分别为，求四边形周长的最大值．
(3)若点是抛物线上一点，平面内是否存在点，使得以点为顶点的四边形是正方形时，若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标．若不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为，直线的函数表达式为；
(2)最大值为；
(3)点的坐标为或或．
【详解】（1）解：将点和点代入得
，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
设直线的函数表达式为，
∴，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点的横坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∴四边形周长为，
∵，
∴当时，四边形周长有最大值，
最大值为；
（3）解：当为正方形时，如图，
∵点和点，
∴，
∴点与点关于对称轴对称，
∴点，
∴点，
∴点的坐标为；
当为正方形时，如图，设正方形的中心为点，
∵，，
∴，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，，
∵，
∴，即，解得，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴点的坐标为；
当为正方形时，如图，设正方形的中心为点，
显然点与点关于对称轴对称，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或．
2、如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，顶点坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)直线与相交于点，当为抛物线上第四象限内一点且时，求点D的坐标；
(3)为平面内一点，试判断坐标轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或
(3)存在，或或．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2）如图，过点作轴，垂足为，交于点，
当时，
解得，
∴，
当时，得，
∴，
设直线解析式为，
代入，，
得，
解得，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴或；
（3）∵，，
∴，
∵，
∴，
根据题意分三种情况：
①如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，
此时四边形是矩形，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴；
②如图，过点作交轴于点，过点作交轴于点，
同①可得四边形是正方形，，
∴；
③如图，∵是等腰直角三角形，
∴点与点重合，
∴作点关于直线的对称点，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
综上，存在，或或．
3、如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在点，点的坐标为或
【详解】（1）将，代入中，
得，
解得：
抛物线的函数表达式为．
（2）由题意和可得，
，
可设直线的函数表达式为：，
将代入得：，
，
直线的函数表达式为.
设（），分两种情况：
①当为边时，如图1，四边形是正方形（点、可互换位置）.
则，
故的纵坐标与的纵坐标相等为，
将代入中，可得的横坐标为，
则点E的坐标为，
，即，
解得（，要舍）或，
点的坐标为．
②当为对角线时，如图2，连接，过点作轴于点H，
，，
易得，
则，
则的纵坐标为，
点的坐标为．
点在直线上，
，
解得或2（，要舍），
点的坐标为．
综上可得：存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形，点的坐标为或．
4、如图，抛物线与x轴交于，D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点，点E，P为抛物线的对称轴上的动点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当最小时，求此时点E的坐标；
(3)若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或或
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴与x轴交于点，
∴，
∴，
∴，
将代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
解得或，
∴，
令，则，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接交对称轴于点E，连接，
∵A、D关于直线对称，
∴，
∴，
当A、B、E三点共线时，的值最小，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形，理由如下：
设，
当AM为正方形的对角线时，如图2，，过M点作交于G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得或，
∵M点在x轴上方，
∴，
∴M（2，3）；
当时，，如图3，过A点作轴，过M点作交于点H，
同理可证，
∴，，
∴，
∴，
解得或，
∴或（舍去）；
当时，，如图4，
过点M作轴交对称轴于点T，过点A作交于点S，
同理可得，
∴，，
∴，
∴，
解得或，
∴；
综上所述：M点坐标为或或．
5、平面直角坐标系内如图放矩形已知点，．将矩形沿折叠，使点与点重合．折痕交于点，交于点．
(1)求点的坐标；
(2)若动点，同时从点出发，点以每秒个单位长度的速度向点运动，点以每秒个单位长度的速度沿射线方向运动，当点运动到点时停止运动，点也同时停止运动．设的面积为，点，的运动时间为秒，求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围；
(3)在（2）的条件下，是射线上的一点，点为平面内一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)存在或或时，，，，，为顶点的四边形是正方形．
【详解】（1）解：由折叠可得，
∵点，点，四边形为矩形，
∴，，，，
设，则，
∴在中，由勾股定理可得，
即，解得，
∴，
∴点的坐标为；
（2）①如下图，当点在点右侧时，

根据题意，，，
∴，
∴；
②如下图，当点在点左侧时，

根据题意，，，
∴，
∴．
综上所述，；
（3）解：若以，，，为顶点的四边形是正方形时，则点三点围成的三角形为等腰直角三角形，
可分情况讨论：
①如下图，

∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，即
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴即；
②如下图，过点作于点，则四边形、均为矩形，

∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴即，，
∴即，
∵四边形是正方形，
∴即；
③如下图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，，
∴
∵四边形是正方形，
∴即．
综上所述，存在或或时，，，，为顶点的四边形是正方形．
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