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专题09 圆锥曲线
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题型一：圆锥曲线方程
易错点01　忽略圆锥曲线定义中的限制条件
易错点02　忽略圆锥曲线焦点的位置
易错点03 求离心率范围时忽略离心率本身范围
易错点04　求轨迹方程时忽略变量的取值范围
题型二：直线与圆锥曲线的位置关系
易错点05 直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错
易错点06　混淆“焦点弦”和“非焦点弦”
易错点07 恒成立意义不明导致定点问题错误
题型一：圆锥曲线方程
易错点01：忽略圆锥曲线定义中的限制条件
典例4 （24-25高三上·陕西榆林·期中）已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”；
若动点的轨迹是双曲线，则为定值，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”.
因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.
故选：B.
【易错剖析】
在解题时容易双曲线中定义中这一限制条件而错选C.
【避错攻略】
1、椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|．
【解读】在椭圆定义中，必须2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件．
2、双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，焦距的一半称为半焦距．
(2)几何表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|)．
【解读】(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
3.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
【解读】(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．
(2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
易错提醒：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上.
1．（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（ ）
①动点满足，则P的轨迹是椭圆
②动点满足，则P的轨迹是双曲线
③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线
④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2025高三·全国·专题练习）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 .
1．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽池州·二模）已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若圆与圆内切，则圆与圆内切
B．若圆与圆外切，则圆与圆外切
C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆
D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在
4．（24-25高三下·全国·课后作业）动点满足方程，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
5．（24-25高二上·黑龙江·期中）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（ ）
A．若，则点的轨迹为椭圆
B．若，则点的轨迹为双曲线
C．若，则点的轨迹为直线
D．若，则点的轨迹为圆
6．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（ ）
A．，点的轨迹为椭圆 B．，点的轨迹为双曲线
C．，点的轨迹为抛物线 D．，点的轨迹为圆
7．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为，则的方程为 .
8．（24-25高三下·湖北荆州·开学考试）已知动点到定点与定直线的距离的差为1．则动点的轨迹方程为 ．
易错点02：忽略圆锥曲线焦点的位置
典例（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】分析可知，，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程.
【详解】由题意可知，，
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
此时，椭圆的标准方程为；
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
此时，椭圆的标准方程为.
综上所述，椭圆的标准方程为或.
故选：C.
【易错剖析】
本题容易忽略对椭圆焦点位置的讨论而漏解.
【避错攻略】
1.椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c，0)与(c，0) (0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
【解读】(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴．
(2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a＞b＞0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同．
(3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.
2.双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
【解读】　(1)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上，即x2，y2的系数异号．
(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线定形的条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．其中c＞a，c＞b，而a，b无大小要求．
3.抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) F x＝－
y2＝－2px(p>0) F x＝
x2＝2py(p>0) F y＝－
x2＝－2py(p>0) F y＝
【解读】　(1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．
(2)标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．
(3)抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离．
(4)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
易错提醒： 由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求或的值．
1．（24-25高二上·天津和平·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
2．（24-25高三上·四川雅安·诊断测试）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B． C．4或 D．或2
3．（24-25高三上·陕西宝鸡·期末）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是 .
1．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点P（－5，4），Q（0，6），则椭圆的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
2．（24-25高二上·河北衡水·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·安徽·期末）已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（24-25高三上·河南·阶段练习）顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25高三上·山西太原·阶段练习）已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（24-25高三上·上海杨浦·阶段练习）与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为 ．
7．（23-24高二上·江苏南通·期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 .
①实轴长为4；②渐近线方程为
8．（2024·陕西榆林·二模）已知抛物线经过点，写出的一个标准方程： .
9．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点，且与椭圆有相同的焦点．
(2)经过两点，．
易错点03：求离心率范围时忽略离心率本身范围
典例 （24-25高三上·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ．
【答案】
【分析】探求动点的轨迹，找出满足的不等关系，再转化为离心率解之即可.
【详解】因为动点满足，所以在以为直径的圆上.
又因为在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，
所以，
则，即，
同除得，解之得.
故答案为：.
【易错剖析】
本题容易忽略椭圆的离心率满足这一范围而出错.
【避错攻略】
求离心率范围的方法
技巧1：建立关于和的一次或二次方程与不等式．
技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
技巧3：利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
技巧5：涉及的关系式利用基本不等式，建立不等关系．
易错提醒：圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是，而双曲线的离心率范围是，在求范围的时候要时刻注意.
1．（24-25高三上·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·河北邢台·期末）设椭圆与双曲线，若双曲线的一条渐近线的斜率大于，则椭圆的离心率的范围是 .
1．（2021·黑龙江哈尔滨·三模）双曲线：（，）右焦点为，过倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆的右焦点为F，P Q是椭圆上关于原点对称的两点，M N分别是PF QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是 .
4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线的焦点在轴上，则离心率的范围为 ．
5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线的渐近线方程为，则其离心率为 ．
6．（23-24高二上·江西南昌·期中）设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是 .
7．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知是椭圆的内接三角形，其中原点是的重心，若点A的横坐标为，直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为 ．
易错点04：求轨迹方程时忽略变量的取值范围
典例 （24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案.
【详解】如图，设与圆的切点分别为，则有，所以.
根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外），
即，又，所以，所以方程为.
故选：B.
【易错剖析】
本题容易忽略自变量的取值范围而出错而出错.
【避错攻略】
求轨迹方程的方法
1.直接法
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
第一步：建系：建立适当的坐标系
第二步：设点：设轨迹上的任一点
第三步：列式：列出有限制关系的几何等式
第四步：代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
2.定义法
根据动点满足的几何条件判断出轨迹的类型，然后求出轨迹方程．
3.相关点法
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
4.交轨法
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
易错提醒：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．
1．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25高三上·山东滨州·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ．
1．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25高三上·广东·开学考试）（多选）设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（ ）
A．当时，点的轨迹是椭圆的一部分
B．当时，点的轨迹是双曲线的一部分
C．当时，点的轨迹是抛物线的一部分
D．当时，点的轨迹是椭圆的一部分
5．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，曲线上的点到点，的距离之积为定值，且曲线经过坐标原点，若点为曲线上一点，则（ ）
A．曲线的方程为
B．点在曲线上
C．
D．
6．（24-25高三上·全国·课后作业）已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ．
7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ．
8．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ．
9．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ．
题型二：直线与圆锥曲线的位置关系
易错点05： 直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错
典例 (2024·四川南部县模拟)过点P(3,1)作直线l与抛物线y2＝－4x只有一个交点，这样的直线l有________条(　　)
A．1　　 B．2
C．3　　 D．4
【答案】C
【解析】当直线l斜率不存在时，l：x＝3，与抛物线无交点，不合题意；
当直线l斜率为零时，l：y＝1，与抛物线有且仅有一个交点，满足题意；
当直线l斜率不为零时，x－3＝(y－1)，
即x＝(y－1)＋3，
由得ky2＋4y＋12k－4＝0，
则Δ＝16－4k(12k－4)＝0，解得k＝，
∴满足题意的直线l有两条；
综上所述，过点P(3,1)与抛物线y2＝－4x只有一个交点的直线l有3条．
【易错剖析】
本题容易忽略对斜率不存在、二次方程的二次项系数是否为零的讨论.
【避错攻略】
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点．
(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离．
②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|
＝，k为直线斜率且k≠0.
易错提醒：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形．
1．（24-25高三上·北京·阶段练习）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率的所有可能值为 .
2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）（多选）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（ ）
A．当时，直线与双曲线只有一个公共点
B．直线与双曲线只有一个公共点时，或
C．当或时，直线与双曲线没有公共点
D．当时，直线与双曲线有两个公共点
3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（24-25高三上·北京·阶段练习）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（24-25高二上·北京·阶段练习）设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（24-25高二上·广西北海·期中）（多选）若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·北京·期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 .
5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）双曲线与直线的公共点个数 ；
6．（24-25高三上·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)直线交椭圆E于M，N两点，若线段中点的横坐标为，求直线l的方程．
7．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试求当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
8．对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围；
(3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？
易错点06：混淆“焦点弦”和“非焦点弦”
典例 （24-25高三上·山东青岛·阶段练习）顶点在原点，焦点在x轴上且截直线所得弦长为的抛物线方程为
【答案】或
【详解】设所求抛物线方程为①，直线方程变形为②．
设直线与抛物线交于A，B两点，将②代入①整理得
，则．
解得或．故所求抛物线方程为或．
【易错剖析】
本题容易忽略斜率不存在的情况而造成漏解.
【避错攻略】
斜率为直线与抛物线交于两点，若求弦的长.
（1）一般弦长公式：．
（2）焦点弦长：设AB是抛物线的一条过焦点F的弦，，，则弦长．
易错提醒：求抛物线弦长的时候，应该首先确认直线是否通过抛物线的焦点，如果通过焦点就用焦点弦公式，否则只能用一般弦长公式.
1．（24-25高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（ ）
A．10 B．8 C．6 D．
2．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的最小值为16
D．若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为
1．（24-25高二上·甘肃白银·期末）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，两个切点分别为，若，则的值为（ ）
A．2或 B．1或
C．2或 D．1或
3．（2024·河南新乡·一模）（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．点的纵坐标之积与有关 D．若（为坐标原点），则
4．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线准线的垂线，，垂足分别是，，下列说法正确的是( ).
A．直线过抛物线的焦点
B．当时，，两点横坐标的和为5
C．当时，直线截抛物线所得的弦长为8
D．以为直径的圆与直线相切
5．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（ ）
A． B．
C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形
6．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，，，，则直线的斜率k的值为 ．
7．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则的面积为 ．
8．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为4.
(1)求的值；
(2)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程.
易错点07：恒成立意义不明导致定点问题错误
典例 已知抛物线的焦点为，过作两条相互垂直的弦，，设弦，的中点分别为，．求证：直线恒过定点．
【解析】设，，．由题意，知，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，其方程为，代入，
得，
得，
又，故．
设直线的斜率为，因为，所以．同理，可得．
所以直线的方程为，
化简整理，得，该方程对任意恒成立，
故解得故不论为何值，直线恒过定点．
【易错剖析】
本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线的方程时计算错误；二是在得到了直线系的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解．
【避错攻略】
1、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．
2、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
易错提醒：
直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明．
1．（2024·广西·二模）已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点．
3．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴.
(1)求抛物线的方程；
(2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程；
(3)求证：直线经过原点.
1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·天津静海·阶段练习）已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
3．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知椭圆的离心率为，右顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点，直线与椭圆的另一个交点分别为．证明：直线过定点．
4．（24-25高三上·天津·阶段练习）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)动点、为椭圆上异于的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点.
5．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.
(1)直线与圆相切于点Q，求的值；
(2)求曲线C的方程；
(3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.
6．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且
(1)求该抛物线的方程；
(2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题09 圆锥曲线
目 录
题型一：圆锥曲线方程
易错点01　忽略圆锥曲线定义中的限制条件
易错点02　忽略圆锥曲线焦点的位置
易错点03 求离心率范围时忽略离心率本身范围
易错点04　求轨迹方程时忽略变量的取值范围
题型二：直线与圆锥曲线的位置关系
易错点05 直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错
易错点06　混淆“焦点弦”和“非焦点弦”
易错点07 恒成立意义不明导致定点问题错误
题型一：圆锥曲线方程
易错点01：忽略圆锥曲线定义中的限制条件
典例4 （24-25高三上·陕西榆林·期中）已知、是平面内两个不同的定点，则“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用特例法、双曲线的定义以及充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】若，则，此时，点的轨迹是线段的垂直平分线，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”；
若动点的轨迹是双曲线，则为定值，
所以，“为定值”“动点的轨迹是双曲线”.
因此，“为定值”是“动点的轨迹是双曲线”的必要不充分条件.
故选：B.
【易错剖析】
在解题时容易双曲线中定义中这一限制条件而错选C.
【避错攻略】
1、椭圆的定义
(1)定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
(2)几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|．
【解读】在椭圆定义中，必须2a>|F1F2|，这是椭圆定义中非常重要的一个条件；当2a＝|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时，动点轨迹不存在．因此在根据椭圆定义判断动点的轨迹时，务必注意这一隐含的条件．
2、双曲线的定义
（1）定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，焦距的一半称为半焦距．
(2)几何表示：||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|)．
【解读】(1)常数要小于两个定点的距离．
(2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支．
(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)．
(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在．
3.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
【解读】(1)“一动三定”：一动点M；一定点F(即焦点)；一定直线l(即准线)；一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1)．
(2)定义中，要注意强调定点F不在定直线l上．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线．
易错提醒：在应用圆锥曲线的定义判断轨迹类型时，一定要注意三种圆锥曲线定义中的限制条件，如椭圆要满足曲线上动点到两焦点距离之和是大于焦距的常数；双曲线要满足曲线上动点到两焦点距离之差的绝对值是小于焦距的常数；二抛物线则要满足定点不在定直线上.
1．（24-25高二上·北京·阶段练习）下列说法正确的个数是（ ）
①动点满足，则P的轨迹是椭圆
②动点满足，则P的轨迹是双曲线
③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线
④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根据椭圆、双曲线、抛物线、直线和圆的知识对四个说法进行分析，从而确定正确答案.
【详解】①，表示点与点的距离和为，
而两点的距离为，所以点轨迹是两点间的线段，①错误.
②，表示点与点的距离和为，
而两点的距离为，，所以点的轨迹是椭圆，②错误.
③，动点满足到y轴的距离比到的距离小1，
当点在y轴左侧或在y轴上时则动点满足到直线的距离和到的距离相等，则P的轨迹是抛物线；
当点在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线，③不正确.
④，动点满足，
则或，
表示的是直线在圆外和圆上的部分；
表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误.
所以正确的有0个.
故选：A
2．（2025高三·全国·专题练习）已知点，若动点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据中为定值，故先化简再分析满足的距离关系即可.
【详解】设，因为，
故，即.
故点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，
且，故.
所以点的轨迹方程为.
故选：B.
3．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 .
【答案】或
【分析】考虑和两种情况，时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，得到答案.
【详解】动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，
当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线，
设抛物线方程为，则，即，所以；
当时，满足条件.
综上所述：动点M的轨迹方程为：时，；时，.
故答案为：或
1．（24-25高三上·广西·阶段练习）已知圆和，若动圆与圆内切，同时与圆外切，则该动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆与圆的位置关系可知，结合椭圆的定义可得轨迹方程.
【详解】由已知圆和，
可知，，，，且，
又动圆与圆内切，同时与圆外切，
则，，
所以，
所以动点到两个定点，的距离之和为定值，
即满足椭圆的定义，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
且长轴长度，焦距，即，，
所以，
椭圆方程为，
故选：C
2．（2024·安徽池州·二模）已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若圆与圆内切，则圆与圆内切
B．若圆与圆外切，则圆与圆外切
C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆
D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线
【答案】C
【分析】先证明当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；若，则圆与圆外切，圆与圆内切，从而A和B错误；然后当时，将条件变为，从而根据椭圆定义知点的轨迹为椭圆，C正确；当时，将条件变为，从而根据双曲线定义知点的轨迹为双曲线的左支，D错误.
【详解】我们分别记的中点为，显然是的中点，故，.
当时，在圆内，此时，圆和圆不可能与圆外切，而圆与圆内切等价于，
即，即，同理，圆与圆内切也等价于；
当时，在圆外，故“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，
即和，即和.
所以，此时“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，同理，“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和.
下面考虑四个选项（我们没有考虑的情况，因为不需要分析此种情况也可判断所有选项的正确性）：
由于当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；
若，则圆与圆外切，圆与圆内切.
这分别构成A选项和B选项的反例，故A和B错误；
若，则，此时“圆与圆内切”和“圆与圆内切”都等价于，
而根据椭圆定义，对应的轨迹即为，C正确；
若，则，此时“圆与圆外切”等价于，
而根据双曲线定义，对应的轨迹为，
仅仅是双曲线的半支，D错误.
故选：C.
3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在
【答案】D
【分析】根据与的关系判断点的轨迹.
【详解】由题设知，
则动点P的轨迹不存在．
故选：D
4．（24-25高三下·全国·课后作业）动点满足方程，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】D
【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案.
【详解】由得，
等式左边表示点和点的距离，
等式的右边表示点到直线的距离，
整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，
且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线.
故选：D.
5．（24-25高二上·黑龙江·期中）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（ ）
A．若，则点的轨迹为椭圆
B．若，则点的轨迹为双曲线
C．若，则点的轨迹为直线
D．若，则点的轨迹为圆
【答案】AD
【分析】根据椭圆的定义判断A，根据双曲线的定义判断B，可得，即可判断C，设，由距离公式推出轨迹方程，即可判断D.
【详解】对于A：，则点的轨迹为以、为焦点的椭圆，故A正确；
对于B：，则点的轨迹是以、为焦点双曲线的右支，故B错误；
对于：由，可得，
则点的轨迹是以为直径的圆，故C错误；
对于D：设，由，则，
即，所以点的轨迹为圆，故D正确.
故选：AD.
6．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知平面内点，，点为该平面内一动点，则（ ）
A．，点的轨迹为椭圆 B．，点的轨迹为双曲线
C．，点的轨迹为抛物线 D．，点的轨迹为圆
【答案】AD
【分析】利用椭圆的定义判断A；利用双曲线的定义判断B；求得轨迹与轴的交点判断C；求得轨迹方程判断D.
【详解】因为平面内点，，所以，
又，所以由椭圆的定义知点的轨迹为椭圆，故A正确；
线段的长度与线段的长度的差为，则点的轨迹应为双曲线靠近点的一支，故B错误；
设点，由得，
整理得，即，
当时，，得或，
故曲线与轴有三个交点，轨迹不为抛物线，故C错误；
由，得，
整理得
，
即轨迹是以为圆心，为半径的圆，故D正确.
故选：AD.
7．（2025高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为，则的方程为 .
【答案】
【分析】先由双曲线定义得的轨迹和的值，再求出即可求出的方程.
【详解】因为，
所以轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，
则，，可得，，
所以轨迹的方程为.
故答案为：.
8．（24-25高三下·湖北荆州·开学考试）已知动点到定点与定直线的距离的差为1．则动点的轨迹方程为 ．
【答案】，（注：也算对）
【分析】根据题意将问题转化为几何语言，再转化为代数语言后再化简即可.
【详解】由题意，若时，问题等价于，
则，化简得，
若，也满足题意.
所以动点的轨迹方程为，.
或者根据题意有，则，化简整理得：.
所以动点的轨迹方程为.
故答案为：，（注：也算对）
易错点02：忽略圆锥曲线焦点的位置
典例（24-25高三上·江苏无锡·期中）求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【分析】分析可知，，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程.
【详解】由题意可知，，
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
此时，椭圆的标准方程为；
若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，
将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，
此时，椭圆的标准方程为.
综上所述，椭圆的标准方程为或.
故选：C.
【易错剖析】
本题容易忽略对椭圆焦点位置的讨论而漏解.
【避错攻略】
1.椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a＞b＞0)
焦点 (－c，0)与(c，0) (0，－c)与(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2－b2
【解读】(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴．
(2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a＞b＞0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同．
(3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上.
2.双曲线的标准方程
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2
【解读】　(1)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上，即x2，y2的系数异号．
(2)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线定形的条件，注意这里的b2＝c2－a2与椭圆中的b2＝a2－c2相区别．其中c＞a，c＞b，而a，b无大小要求．
3.抛物线的标准方程
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) F x＝－
y2＝－2px(p>0) F x＝
x2＝2py(p>0) F y＝－
x2＝－2py(p>0) F y＝
【解读】　(1)只有抛物线的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上时，抛物线才具有标准形式．
(2)标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．
(3)抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离．
(4)焦点在一次项变量对应的坐标轴上，开口方向由一次项系数的符号确定．当系数为正时，开口向坐标轴的正方向；当系数为负时，开口向坐标轴的负方向．
易错提醒： 由于建系的方案不同，三种圆锥曲线的标准方程是不同的，椭圆、双曲线分为焦点在x,y轴两种情况，二抛物线则有四种方程，故我们在处理圆锥曲线方程相关问题时，一定要先定位，即分析焦点位置，不确定要讨论，在定量，即求或的值．
1．（24-25高二上·天津和平·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为2，则双曲线的标准方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据双曲线的焦点的不同位置和渐近线方程，列出的关系式，求解即得.
【详解】当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ，
依题意，，因，故得，双曲线方程为：；
当双曲线的焦点在轴上时，其方程可设为： ，
依题意，，因，故得，双曲线方程为：，即.
故选：D.
2．（24-25高三上·四川雅安·诊断测试）已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．2 B． C．4或 D．或2
【答案】C
【分析】由椭圆方程可知对和进行分类讨论，再由离心率公式代入计算可得结果.
【详解】根据椭圆方程可知，
当时，可得，所以离心率，
解得；
当时，可得，所以离心率，
解得，所以；
所以或4.
故选：C
3．（24-25高三上·陕西宝鸡·期末）顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是 .
【答案】或
【分析】设出抛物线的标准方程，点的坐标代入计算即可.
【详解】依题意可设抛物线的标准方程为和，
将代入分别解得和，
则抛物线的标准方程为或.
故答案为：或.
1．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，且过点P（－5，4），Q（0，6），则椭圆的方程为（　　）
A．1 B．1
C．1 D．1
【答案】A
【详解】
解析：这里焦点位置不确定，可设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，且A≠B）.把点P（－5，4），Q（0，6）代入，得解得故椭圆的方程为＋＝1.
【考查意图】椭圆的标准方程，能用待定系数法求椭圆方程．
2．（24-25高二上·河北衡水·期末）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据焦点坐标设出标准方程代入点解方程组可得结果.
【详解】由，得，
所以焦点在y轴上，且．
设双曲线的方程为，
所以，解得，
所以双曲线的方程为．
故选：D．
3．（23-24高三下·安徽·期末）已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据双曲线离心率为，可得或，即可由充分不必要条件求解.
【详解】的离心率为时，当焦点在轴时，，解得，
当焦点在轴时，，解得，
故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件，
故选：B
4．（24-25高三上·河南·阶段练习）顶点在原点，关于轴对称，并且经过点的抛物线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用待定系数法求出抛物线方程，从而得解.
【详解】依题意，设抛物线方程为，
将代入得，则，
所以所求抛物线方程为.
故选：C.
5．（24-25高三上·山西太原·阶段练习）已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据椭圆离心率定义，对参数的取值进行分类讨论即可判断出结论.
【详解】由可得椭圆，此时离心率为，
此时充分性成立；
若椭圆的离心率为，当时，可得离心率为，解得，
即必要性不成立；
综上可知，“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件.
故选：B.
6．（24-25高三上·上海杨浦·阶段练习）与椭圆有相等的焦距，且过圆的圆心的椭圆的标准方程为 ．
【答案】或
【分析】根据圆的一般方程得出其圆心坐标，再根据椭圆的定义计算即可.
【详解】由题意可知，
即其圆心为，
因为椭圆的焦距为，
所以与该椭圆等焦距的椭圆的焦点为或，
若焦点为，则圆心到两焦点的距离之和为，
所以相应椭圆方程为；
若焦点为，则圆心到两焦点的距离之和为，
所以相应椭圆方程为.
故答案为：或.
7．（23-24高二上·江苏南通·期末）写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 .
①实轴长为4；②渐近线方程为
【答案】或
【分析】根据题意可求出a，然后在根据渐近线方程求出b，由于题目没有告诉双曲线的焦点在x轴上还是y轴上，所以需要分类讨论.
【详解】当双曲线焦点在x轴上时，由题意可知:，此时双曲线标准方程为.
当双曲线焦点在y轴上时，由题意可知：，此时双曲线标准方程为.
故答案为：或
8．（2024·陕西榆林·二模）已知抛物线经过点，写出的一个标准方程： .
【答案】（答案不唯一）
【分析】利用抛物线的标准方程计算即可.
【详解】依题意可得的标准方程可设为或，
将点的坐标代入得，则的标准方程为或.
故答案为：（答案不唯一）.
9．（24-25高二上·江苏盐城·阶段练习）分别求符合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)过点，且与椭圆有相同的焦点．
(2)经过两点，．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由共焦点求得，再通过点在椭圆上，列出方程即可求解；
（2）通过待定系数法即可求解.
【详解】（1）因为所求的椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在轴上，且．
设所求椭圆的标准方程为．
因为所求椭圆过点，所以有①
又，②
由①②解得．
故所求椭圆的标准方程为．
（2）设椭圆方程为，且，在椭圆上，
所以，则椭圆方程.
易错点03：求离心率范围时忽略离心率本身范围
典例 （24-25高三上·山东滨州·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ．
【答案】
【分析】探求动点的轨迹，找出满足的不等关系，再转化为离心率解之即可.
【详解】因为动点满足，所以在以为直径的圆上.
又因为在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，
所以，
则，即，
同除得，解之得.
故答案为：.
【易错剖析】
本题容易忽略椭圆的离心率满足这一范围而出错.
【避错攻略】
求离心率范围的方法
技巧1：建立关于和的一次或二次方程与不等式．
技巧2：利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
技巧3：利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
技巧4：利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
技巧5：涉及的关系式利用基本不等式，建立不等关系．
易错提醒：圆锥曲线的率的范围是有限定的，椭圆的离心率范围是，而双曲线的离心率范围是，在求范围的时候要时刻注意.
1．（24-25高三上·北京·期中）椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】当点位于短轴的端点时，最大，要使椭圆上存在一点P满足，只要最大时大于等于即可，从而可得出答案.
【详解】解：当点位于短轴的端点时，最大，
要使椭圆上存在一点P满足，
只要最大时大于等于即可，
即当点位于短轴的端点时，，
所以，
又椭圆的离心率，
所以椭圆的离心率的范围是.
故选：D.
2．（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题可得与双曲线有公共点，据此可得答案.
【详解】易知，设，则，所以，
又，所以，即，所以，即直线与双曲线有公共点.联立与双曲线方程，有，
消去得：，则要使方程有根，需使.
故选：D
3．（23-24高三上·河北邢台·期末）设椭圆与双曲线，若双曲线的一条渐近线的斜率大于，则椭圆的离心率的范围是 .
【答案】
【分析】根据双曲线方程确定其渐近线方程，可得不等式，再由椭圆方程的关系确定离心率取值范围即可.
【详解】解：双曲线的渐近线方程为，由题意可得：，则，
设椭圆的半焦距为
又椭圆中，则，整理得，所以离心率，
又椭圆离心率，故椭圆的离心率的范围是.
故答案为：.
1．（2021·黑龙江哈尔滨·三模）双曲线：（，）右焦点为，过倾斜角为的直线与双曲线右支交于，两点，则双曲线离心率的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据过的直线的倾斜角为，且与双曲线右支交于，两点，由求解.
【详解】因为过的直线的倾斜角为，
所以直线斜率，
因为直线与双曲线右支交于，两点，
如图所示：
由图象知：，
所以，
又，
所以.
故选：A.
2．（23-24高二上·湖南郴州·期末）已知是椭圆的两个焦点，点在上，若使为直角三角形的点有8个，则的离心率的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先根据为直角三角形分三类讨论，利用椭圆的对称性可分析出以点、和为直角顶点的点的个数；再利用余弦定理及判断一元二次方程根的个数的方法得出；最后根据离心率的求法及椭圆离心率的范围即可求解.
【详解】
为直角三角形，可分为以下三类讨论：
以点为直角顶点；以点为直角顶点；以点为直角顶点.
由椭圆的对称性可知：以点为直角顶点的点有两个；以点为直角顶点的点有两个，
则要使为直角三角形的点有8个，须使以点为直角顶点的直角三角形有4个.
由椭圆的对称性可得在轴上方有两个点满足以点为直角顶点.
则，
即，
所以，解得即，
所以，
又因为椭圆离心率，
所以.
故选：C.
3．（24-25高三上·浙江嘉兴·期末）已知椭圆的右焦点为F，P Q是椭圆上关于原点对称的两点，M N分别是PF QF的中点，若以MN为直径的圆过原点，则椭圆的离心率e的范围是 .
【答案】
【分析】设点，利用条件可知得到关于的方程，再联立，用含的式子表示出，再利用的取值范围，即得出离心率的范围.
【详解】设点，则，又点，
∴，又以为直径的圆过原点，则有,
所以，即，
∴，又，
所以，得，
∴，整理得：，
解得，又，
所以.
故答案为：.
4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知双曲线的焦点在轴上，则离心率的范围为 ．
【答案】
【分析】利用双曲线标准方程的特征求出m的范围，再利用离心率公式求出的范围.
【详解】双曲线的焦点在轴上，将双曲线方程化为所以，解得，即.
离心率，
因为，所以，所以，从而.
故答案为：
5．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线的渐近线方程为，则其离心率为 ．
【答案】
【分析】根据渐近线方程得到，然后根据的关系和离心率的公式计算即可.
【详解】由题意得，则，解得.
故答案为：.
6．（23-24高二上·江西南昌·期中）设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是 .
【答案】
【分析】利用椭圆与双曲线的定义，结合勾股定理可得与关系，进而得解.
【详解】由椭圆及双曲线定义得：，，
即，，
因为，
所以，
即，
所以，
因为，所以，
即，
故答案为：.
7．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知是椭圆的内接三角形，其中原点是的重心，若点A的横坐标为，直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为 ．
【答案】/
【分析】由题可得，，然后由点差法结合是的重心可得答案.
【详解】点A的横坐标为，点A在椭圆上，∴可知，
由对称性可取，.
直线的倾斜角为，.
设，，BC中点为N，
作差得，
可得，
即，因是的重心，则N，O，A三点共线，
则，，解得．
椭圆的离心率为．
故答案为：
易错点04：求轨迹方程时忽略变量的取值范围
典例 （24-25高二上·河南平顶山·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案.
【详解】如图，设与圆的切点分别为，则有，所以.
根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外），
即，又，所以，所以方程为.
故选：B.
【易错剖析】
本题容易忽略自变量的取值范围而出错而出错.
【避错攻略】
求轨迹方程的方法
1.直接法
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
第一步：建系：建立适当的坐标系
第二步：设点：设轨迹上的任一点
第三步：列式：列出有限制关系的几何等式
第四步：代换：将轨迹所满足的条件用含的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将其转化为的方程式化简
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
2.定义法
根据动点满足的几何条件判断出轨迹的类型，然后求出轨迹方程．
3.相关点法
如果动点的运动是由另外某一点的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出，用表示出相关点的坐标，然后把的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点的轨迹方程．
4.交轨法
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
易错提醒：求轨迹方程时，要注意准确确定范围，应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出方程后要考虑相应的限制条件，避免因考虑不全面致错．
1．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心的轨迹，然后再求方程即可.
【详解】圆与圆外切，如图，
，即，
，
由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，，
．
故所求轨方程为：．
故选：C．
2．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设，根据，整理即可得解.
【详解】设，则，整理得，
所以动点的轨迹方程是.
故选：A.
3．（24-25高三上·山东滨州·阶段练习）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程 ．
【答案】
【分析】应用椭圆定义可判断顶点C的轨迹，应用待定系数法求轨迹方程，要注意排除三点共线情况.
【详解】因为，，所以，
又因为 的周长为16，
所以，并且.
所以顶点在以，为焦点的椭圆上，
设椭圆方程为，
因为，，，所以，，
又因为三点不共线，所以顶点的轨迹方程为.
故答案为：
1．（24-25高二上·福建莆田·期中）已知圆和圆，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出，即得动圆圆心的轨迹和轨迹方程.
【详解】设动圆的半径为，因动圆同时与圆及圆相外切，
则，，
则，
故动圆圆心的轨迹是以为两焦点的双曲线的左支.
又因，解得，故其轨迹方程为.
故选：D.
2．（24-25高三上·山东青岛·阶段练习）已知椭圆，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设，结合中点坐标公式并由代入法即可求解.
【详解】设点，根据中点的坐标公式可得，
代入椭圆方程得，其中.
故选：B
3．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，，动点和分别位于正半轴和负半轴上，若，则和的交点的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】通过设出交点的坐标，利用、、、的坐标关系以及已知条件来建立等式，从而求出的轨迹方程.
【详解】设，，.
因为，所以.
已知，，根据直线的截距式方程（为轴上的截距，为轴上的截距），可得直线的方程：.
已知，，则直线的方程为.
因为是和的交点，所以的坐标满足和的方程.
对于直线的方程，可得.
对于直线的方程，可得.
又因为，所以，即.
故选：D.
4．（24-25高三上·广东·开学考试）（多选）设两点的坐标分别是，直线相交于点，设直线的斜率分别为，下列说法正确的是（ ）
A．当时，点的轨迹是椭圆的一部分
B．当时，点的轨迹是双曲线的一部分
C．当时，点的轨迹是抛物线的一部分
D．当时，点的轨迹是椭圆的一部分
【答案】ABC
【分析】设，求出和，每个选项代入公式判断.
【详解】设，则，
当时，即，
有，故A正确；
当时，有，故B正确；
当时，，
即，故C正确；
当时，，
即显然不是椭圆，故D错误.
故选：ABC
5．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，曲线上的点到点，的距离之积为定值，且曲线经过坐标原点，若点为曲线上一点，则（ ）
A．曲线的方程为
B．点在曲线上
C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用曲线经过坐标原点可得，利用两点距离公式及条件化简整理可判断A；将点代入曲线方程可判断B；利用的面积转化得，通过检验可判定C；根据已知条件利用平面向量基本定理及余弦定理可判断D．
【详解】对于A，因为曲线经过坐标原点，所以．
因为点为曲线上一点，所以，
所以，整理得，
所以曲线的方程为，所以A选项不正确；
对于B，点的坐标满足方程，所以B选项正确；
对于C，的面积，
所以，所以，
当时，易得，存在符合题意的点，
又可以在轴上，所以，所以，所以C选项正确；
对于D，因为，则，
即①，
根据余弦定理可得，
即②，
联立①②可得，即，
即，所以D选项正确.
故选：BCD．
6．（24-25高三上·全国·课后作业）已知，过点且斜率不为零的直线交于，两点，过点作交于，则 ；点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据等腰三角形性质可得，即可得，再根据椭圆定义可得轨迹方程.
【详解】

如图所示，
由的方程得圆心，半径为，
因为，所以，
又，所以，
则，所以，
又，
所以，
又斜率不为，所以点不在轴上，
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，且点不在轴上，
则，，所以，
即点的轨迹方程为，
故答案为：，.
7．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程.
【详解】由椭圆的定义可知，
所以，
因此点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，
故它的轨迹方程为．
故答案为：.
8．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程.
【详解】因为，故的轨迹为双曲线的右支（扣除顶点），
且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为，
的轨迹方程为：.
故答案为：.
9．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）如图，轴，垂足为，点在的延长线上，且，当点在圆上运动时，点的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设点的坐标为，点，可得，根据点在圆上即可求出．
【详解】解：设点的坐标为，点，由题意可知，
则由题可得，即，
点在圆上运动，
，
即点的轨迹方程为．
故答案为：
题型二：直线与圆锥曲线的位置关系
易错点05： 直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错
典例 (2024·四川南部县模拟)过点P(3,1)作直线l与抛物线y2＝－4x只有一个交点，这样的直线l有________条(　　)
A．1　　 B．2
C．3　　 D．4
【答案】C
【解析】当直线l斜率不存在时，l：x＝3，与抛物线无交点，不合题意；
当直线l斜率为零时，l：y＝1，与抛物线有且仅有一个交点，满足题意；
当直线l斜率不为零时，x－3＝(y－1)，
即x＝(y－1)＋3，
由得ky2＋4y＋12k－4＝0，
则Δ＝16－4k(12k－4)＝0，解得k＝，
∴满足题意的直线l有两条；
综上所述，过点P(3,1)与抛物线y2＝－4x只有一个交点的直线l有3条．
【易错剖析】
本题容易忽略对斜率不存在、二次方程的二次项系数是否为零的讨论.
【避错攻略】
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点．
(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离．
②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长公式
设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝或|AB|＝|y1－y2|
＝，k为直线斜率且k≠0.
易错提醒：在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形．
1．（24-25高三上·北京·阶段练习）若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率的所有可能值为 .
【答案】或
【分析】联立直线方程和双曲线方程，然后根据判别式来判断交点个数.
【详解】将代入双曲线方程中得到：，
展开整理得.
当时，即时，方程变为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线恰好有一个交点.
当时方程是二次方程，
若直线与双曲线恰好有一个交点，则判别式，
展开得到：.
进一步化简为，则.
解得.
综上所得，直线的斜率的所有可能值或.
2．（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）（多选）已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（ ）
A．当时，直线与双曲线只有一个公共点
B．直线与双曲线只有一个公共点时，或
C．当或时，直线与双曲线没有公共点
D．当时，直线与双曲线有两个公共点
【答案】AC
【分析】联立直线与双曲线得到关于x的一元二次方程，应用判别式并结合双曲线性质判断不同参数范围对应直线与双曲线的交点个数，即可得答案.
【详解】由直线方程知，直线过，双曲线的渐近线为，所以时一个交点，
联立直线与双曲线，得，则，
当，即时直线与双曲线相切，
当，即或时没有公共点，
当且，即或或时两个公共点.
所以A、C对，B、D错.
故选：AC
3．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用对称关系，求得直线的方程，代入椭圆方程，利用，求得的范围，再根据的关系即可求m的取值范围.
【详解】设设椭圆上存在关于直线对称的两点为,
根据对称性可知线段被直线垂直平分，
且的中点在直线上，且，
故可设直线的方程为，
联立，整理可得: ，
所以，
由，可得，解得，
所以
因为的中点在直线上，
所以，所以，所以，
故选:C.
1．（24-25高三上·北京·阶段练习）过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据抛物线的几何性质，分当直线与轴平行时，直线与轴垂直时，和直线与坐标轴不平行时，三种情况，结合，即可求解.
【详解】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点；
当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点；
当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线，代入抛物线，得：，
因为.
由，因为，所以方程有两根，
故过点可以作两条直线与抛物线相切.
综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点.
故选：D
2．（24-25高二上·北京·阶段练习）设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先通过联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出中点坐标，再根据中点坐标的关系得出中点所在直线方程.
【详解】将直线方程代入椭圆方程中，得到.
展开式子化简为.
根据韦达定理,所以，又因为中点横坐标.
已知，把代入可得.
因为，即.
所以线段的中点所在的直线方程为.
3．（24-25高二上·广西北海·期中）（多选）若直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的方程可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】根据双曲线的渐近线结合双曲线性质得出A，C选项错误；将直线与双曲线两个方程联立，得到的一元二次方程有一正一负根，即可得解．
【详解】双曲线的焦点在轴上，且渐近线方程为，则直线与双曲线的左支只有一个交点，A错误；
因为，所以直线与双曲线无交点，C选项错误；
联立，消y得，
，所以方程有两个根，
，所以方程有一正一负根，
联立，消y得，
，所以方程有两个根，
，所以方程有一正一负根，
直线，均与双曲线的左、右两支各有一个交点，B,D选项正确.
故选：BD.
4．（24-25高三上·北京·期末）直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】直线过定点,作出直线与双曲线的图象,通过图象即可求解.
【详解】直线过定点，直线与双曲线图象如图所示，

又双曲线的两条渐近线为，
因为直线与双曲线的右支只有一个公共点，
所以由图可知，，
故答案为：
5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）双曲线与直线的公共点个数 ；
【答案】0或1
【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得已知直线与之重合或平行，即得结论.
【详解】由，可得双曲线的渐近线方程为：，
对于 直线，当时，直线与渐近线重合，两者无交点；
当时，因此时直线与双曲线渐近线平行，故只有一个公共点.
综上可得，双曲线与直线的公共点个数为0或1.
故答案为：0或1.
6．（24-25高三上·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆E经过点．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)直线交椭圆E于M，N两点，若线段中点的横坐标为，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或.
【分析】（1）根据题意，求出的值，代入椭圆方程即得；
（2）将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用中点的横坐标建立方程，求出的值，即得直线l的方程.
【详解】（1）椭圆E经过点，，
椭圆E的长轴长是短轴长的倍，，
椭圆E的标准方程为；
（2）
如图，设，
由消去得：，
由，可得，
则，
线段中点的横坐标为，
，
解得，则，因两个值都满足，
故直线l的方程为，即或.
7．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试求当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不同的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③
方程③根的判别式
Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144.
(1)当Δ>0，即－3(2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
8．对称轴都在坐标轴上的双曲线过点，，斜率为的直线过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线有两个交点，求斜率的取值范围；
(3)是否存在实数使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点？为什么？
【答案】(1)
(2)或或
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）设双曲线的标准方程为代入，，
得，解得，
∴双曲线的标准方程.
（2）如图：

设直线方程：，联立得
，
直线与双曲线有两个交点，
所以或或.
（或：且）.
（3）设A，B两点坐标分别为，由（2）可得，
若P为AB中点，则，
此时，
所以不存在实数，使得直线与双曲线交于A，B两点，且点P恰好为AB中点.
易错点06：混淆“焦点弦”和“非焦点弦”
典例 （24-25高三上·山东青岛·阶段练习）顶点在原点，焦点在x轴上且截直线所得弦长为的抛物线方程为
【答案】或
【详解】设所求抛物线方程为①，直线方程变形为②．
设直线与抛物线交于A，B两点，将②代入①整理得
，则．
解得或．故所求抛物线方程为或．
【易错剖析】
本题容易忽略斜率不存在的情况而造成漏解.
【避错攻略】
斜率为直线与抛物线交于两点，若求弦的长.
（1）一般弦长公式：．
（2）焦点弦长：设AB是抛物线的一条过焦点F的弦，，，则弦长．
易错提醒：求抛物线弦长的时候，应该首先确认直线是否通过抛物线的焦点，如果通过焦点就用焦点弦公式，否则只能用一般弦长公式.
1．（24-25高二上·吉林·期末）设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（ ）
A．10 B．8 C．6 D．
【答案】B
【分析】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解.
【详解】因为为抛物线：的焦点，则，，
又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为，
联立，消去，得，
显然，所以，
则.
故选：B.
2．（24-25高三上·河北张家口·阶段练习）直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用抛物线焦半径公式求出点、的横坐标，进而求出弦长.
【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，
设、，则，，
由，得，则，
由，得，得，
联立解得，，所以.
故选：C
3．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的最小值为16
D．若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为
【答案】ACD
【分析】把过点的直线方程设为，与联立，用韦达定理即可得到选项A正确，B错误；利用弦长公式即可求出弦长，再利用，即得得到坐标原点即为的外心，再利用不等式即可求得结果.
【详解】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由，得，
所以，，，故A正确，B错误；
，
所以，当且仅当时，取到最小值，故C正确；
因为，所以，所以的外心就是弦的中点，
记为，其中，．由，以及，
得，
即，所以直线的斜率．要求直线的斜率的最大值，所以，
所以，当且仅当，
即时“=”号成立，即直线的斜率的最大值为，故D正确.
故选：ACD．
1．（24-25高二上·甘肃白银·期末）直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设点、，将直线的方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式、韦达定理以及二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】直线与轴的交点为，所以，，
所以，
联立，整理得．
，
设、，则，
因为，所以，
当且仅当，即时等号成立．
因此，的最小值为.
故选：C.
2．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线，过点作抛物线的两条切线，两个切点分别为，若，则的值为（ ）
A．2或 B．1或
C．2或 D．1或
【答案】C
【分析】先由导数几何意义及两点间斜率公式分别得两切线斜率等量关系，进而得出直线AB的方程，从而联立直线AB与抛物线方程结合弦长公式即可求解.
【详解】由题抛物线，则，
设，则，
所以抛物线在、B点处的切线斜率分别为， ，
整理得，，
所以直线的方程为，
与联立并消去得，
所以，，
从而
，
解得，
故选：C.
3．（2024·河南新乡·一模）（多选）已知抛物线的焦点为，过点的直线的斜率为，且与交于两个不同的点（点在轴的上方），下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．点的纵坐标之积与有关 D．若（为坐标原点），则
【答案】ABD
【分析】设，根据弦长公式即可判断A；过点分别作准线的垂线，垂足分别为，设，根据抛物线的定义求出，进而可求出，即可判断B；设，联立方程，利用韦达定理即可判断C；由，得，根据点在轴的上方，得，再结合抛物线的定义即可判断D.
【详解】设，
对于A，若，则直线，
联立，得，则，
所以，故A正确；
对于B，过点分别作准线的垂线，垂足分别为，
不妨设，则，
则，故B正确；
对于C，易得直线的斜率不为零，设，
联立，得，则为定值，
所以点的纵坐标之积与无关，故C错误；
对于D，由，得，
即，即，
由，
得，，
因为点在轴的上方，所以，
则，所以，
所以，故D正确.
故选：ABD.
4．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线准线的垂线，，垂足分别是，，下列说法正确的是( ).
A．直线过抛物线的焦点
B．当时，，两点横坐标的和为5
C．当时，直线截抛物线所得的弦长为8
D．以为直径的圆与直线相切
【答案】ACD
【分析】分别写出抛物线的焦点和直线所过定点，即可得出A选项；当时联立直线和抛物线方程，由韦达定理和抛物线弦长公式分别计算B和C选项；联立方程，利用韦达定理即可判断D选项.
【详解】由题意知抛物线的交点坐标为，准线方程为，直线
过定点，所以直线过抛物线的焦点，故A正确；
当时，直线的方程为，联立，消去得，，
设，，则，所以，两点横坐标的和为6，故B错误；
由抛物线的定义可知，，故C正确；
设直线的方程为，设点、，则、，
联立，可得，，
由韦达定理可得，，
所以线段MN的中点为,,
线段MN的中点到直线的距离为，
所以以为直径的圆与直线相切，故正确.
故选：ACD.
5．（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（ ）
A． B．
C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形
【答案】BC
【分析】先求得焦点坐标，进而求得抛物线方程，根据弦长公式、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】由直线，令，解得，所以抛物线的焦点，
所以，所以A选项错误，抛物线方程为，准线为，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项正确.
由上述分析可知，中点，
其到准线的距离是，所以以为直径的圆与相切，
C选项正确.
，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：BC

6．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，，，，则直线的斜率k的值为 ．
【答案】
【分析】根据抛物线的定义及弦长公式可求得结果.
【详解】设，，
根据抛物线定义，，，得，
由，且，得，
故答案为：．
7．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则的面积为 ．
【答案】
【分析】根据弦长公式求出，再根据点到直线的距离公式及三角形面积公式即可求解.
【详解】设，，
由得，，
所以，，
所以，
因为点到直线的距离，
所以.
故答案为：.
8．（24-25高三上·甘肃白银·期末）已知抛物线上的点到焦点的距离为4.
(1)求的值；
(2)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）根据题意列式，求出的值，即得答案.
（2）由（1）可得抛物线方程，设直线方程，并联立，利用抛物线弦长公式求出参数，即得答案.
【详解】（1）由题知，，所以.
因为点到焦点的距离为4，所以4，所以，即，
所以，所以.
（2）由（1）知，抛物线的方程为，其焦点坐标为.
设，，由题意知l的斜率不为 0，设直线的方程为.
由得，，
所以，所以.
因为，所以，即，解得，
所以直线的方程为，即.
易错点07：恒成立意义不明导致定点问题错误
典例 已知抛物线的焦点为，过作两条相互垂直的弦，，设弦，的中点分别为，．求证：直线恒过定点．
【解析】设，，．由题意，知，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，其方程为，代入，
得，
得，
又，故．
设直线的斜率为，因为，所以．同理，可得．
所以直线的方程为，
化简整理，得，该方程对任意恒成立，
故解得故不论为何值，直线恒过定点．
【易错剖析】
本题容易出错的地方有两个：一是在用参数表示直线的方程时计算错误；二是在得到了直线系的方程后，对直线恒过定点的意义不明，找错方程的常数解．
【避错攻略】
1、求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
常用消参方法：
①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．
②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．
③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．
④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：
，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．
2、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．
一般解题步骤：
①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．
②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．
③参数无关找定点：找到和没有关系的点．
易错提醒：
直线恒过定点是指无论直线如何变动，必有一个定点的坐标适合这条直线的方程，问题就归结为用参数把直线的方程表示出来，无论参数如何变化这个方程必有一组常数解．解决定点与定值问题，不能仅靠研究特殊情况来说明．
1．（2024·广西·二模）已知椭圆的上顶点为为椭圆上异于A的两点，且，则直线过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设直线的方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示可解得或，然后分类讨论可得答案
【详解】设直线的方程为，，则由
整理得，
所以，
，
因为，，，
所以
解得或，
当时，直线的方程为，直线过点而，而不在同一直线上，不合题意；
当时，直线的方程为，直线过，符合题意.
故选：D.
2．（2024·江西九江·二模）已知双曲线的离心率为，点在上．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线与双曲线交于不同的两点，，若直线，的斜率互为倒数，证明：直线过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率及，，的平方关系得出，再由点在上，可求解，，进而可得双曲线的方程；
（2）当斜率不存在时，显然不满足条件．当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，可得根与系数的关系，表示出直线，的斜率，，由，结合根与系数的关系可得与的关系，从而可证得直线过定点．
【详解】（1）由已知得，，所以，
又点在上，故，
解得，，
所以双曲线的方程为：．
（2）当斜率不存在时，显然不满足条件．
当斜率存在时，设其方程为，与方程联立联立，消去得，
由已知得，且，
设，，则，，
直线，的斜率分别为，，
由已知，故，
即，
所以，
化简得，又已知不过点，故，
所以，即，
故直线的方程为，所以直线过定点．
3．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴.
(1)求抛物线的方程；
(2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程；
(3)求证：直线经过原点.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线定义求出得解；
（2）设出直线方程，与抛物线联立，利用根与系数的关系及中点坐标得解；
（3）由根与系数的关系及直线的两点式方程，化简可得出直线在轴截距为0得证.
【详解】（1）由抛物线的定义知：，
所以，解得，
所以抛物线的方程为；
（2）由（1）知，，
因为的斜率不为，设方程为，，
由，化简的，
所以，
又由，得，
所以方程为，即；
（3）由（2）知：，
因为，所以方程为，
即：，
又因为，
所以，，
所以直线经过原点.
1．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于、两点，直恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设的方程为，联立双曲线利用代数式恒成立即可求解PQ恒过定点时b的值，即得定点.
【详解】设的方程为,则由
设
又，
，又
代入整理得：
或
当，直线过，舍去
当b=3时，过定点
故选：C
2．（24-25高二上·天津静海·阶段练习）已知椭圆的方程为，其右顶点，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于不同的两点，（，不与左、右顶点重合），且．求证：直线过定点，并求出定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，．
【分析】（1）由焦点坐标及离心率求出，得出方程；
（2）设M，N的坐标，联立直线和椭圆的方程，消去，化简得关于的一元二次方程，由韦达定理可得，的值，利用得出m与k的关系式，最后检验直线所经过的定点，求出坐标．
【详解】（1）右顶点是，离心率为，
所以，，
，则，
椭圆的标准方程为．
（2）直线方程与椭圆方程联立，
得，
设，，
，，
，
，，
即，
，则，
即，
整理得，
或，
均满足
直线或，
直线过定点或（与题意矛盾，舍去）
综上知直线过定点．
3．（24-25高三上·北京朝阳·期末）已知椭圆的离心率为，右顶点为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点，直线与椭圆的另一个交点分别为．证明：直线过定点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据离心率及椭圆参数关系求参数，即可得方程；
（2）设点，进而可得，联立椭圆方程并应用韦达定理求出坐标，同理得坐标，进而写出直线，即可证结论.
【详解】（1）由题意可得，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设点，则，且．
直线，即．
由，得．
所以，则．
所以．
所以．同理．
依题意，所以．
所以直线的方程为，整理得．
所以直线过定点．
4．（24-25高三上·天津·阶段练习）设椭圆的离心率等于，抛物线的焦点是椭圆的一个顶点，分别是椭圆的左右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)动点、为椭圆上异于的两点，设直线，的斜率分别为，，且，求证：直线经过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
【分析】（1）由抛物线方程可得焦点坐标，由椭圆离心率的值和它的一个顶点，可得的值，即求出椭圆方程；
（2）设直线的方程，与椭圆方程联立，可得点坐标，同理可得点坐标，进而求得直线方程，可证得直线经过定点.
【详解】（1）易知抛物线的焦点，
由可得，由离心率，且，
解得；
所以椭圆的方程为；
（2）证明：由（1）可知，
显然直线的斜率存在，且不为零，设直线的斜率为，
则直线的方程为，如下图所示：
联立，整理可得，
因为直线过点，所以，可得；
代入可得，即；
由可得直线的斜率为，所以直线的方程为；
联立，消去整理可得.
因为直线过点，所以，可得；
代入可得，即；
若，即，可得，
直线的斜率为；
直线的方程为，
令，解得
所以直线过定点，
若，则，此时，直线也过定点.
综上可得，直线过定点
5．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C.
(1)直线与圆相切于点Q，求的值；
(2)求曲线C的方程；
(3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
(2)，；
(3)证明见解析，定点
【分析】（1）利用直线与圆相切的几何性质，结合勾股定理，即可求解；
（2）由圆与圆的位置关系，构造双曲线的定义，即可求解；
（3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，并联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示，即可求解定点.
【详解】（1）由直线与圆的位置关系可知，，
所以点；
（2）由题意可知，设动圆半径为，，，，
即，
所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则，
所以曲线的方程为，；
（3）当直线的斜率不存在时，，，
直线，当，得，即，直线，
此时直线过点，
当直线的斜率存在时，设直线，，，
直线，当时，，
，
联立，得，
，，，
下面证明直线经过点，即证，，
把，代入整理得，
即，
所以直线经过点，
综上可知，直线经过定点，定点坐标为.
6．（24-25高二上·浙江宁波·期中）设抛物线：，F是其焦点，已知抛物线上一点，且
(1)求该抛物线的方程；
(2)过点F作两条互相垂直的直线和，分别交曲线C于点A，B和K，N.设线段AB，KN的中点分别为P，Q，求证:直线恒过一个定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意可得，进而求解即可；
（2）分别建立的方程，再分别与抛物线联立方程组，求出弦中点为的坐标，最后借助斜率的变化确定直线经过定点.
【详解】（1）由题意，得，解得，，
所以该抛物线的方程为.
（2）证明：设两点坐标分别为，则点的坐标为.
由题意可设直线的方程为.
由，得，
则，
，
所以点的坐标为.
同理可得，点的坐标为.
当时，有，此时直线的斜率.
所以，直线的方程为，整理得.
于是，直线恒过定点；
当时，直线的方程为，也过点.
综上所述，直线恒过定点.

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