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专题10 数列
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易错点01　忽略数列的定义域出错
易错点02　由Sn求an忽略n=1的讨论
易错点03　等比数列问题忽略公比q的讨论
易错点04　裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错
易错点05　错位相减求和错判项数、公比或符号出错
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易错点01：忽略数列的定义域出错
典例 （2025高三·全国·专题练习）数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由数列的通项公式为，且为递增数列，所以对于都成立，即对于都成立，从而求得参数的取值范围.
【详解】因为数列的通项公式为，且为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，即，
所以对于都成立，所以对于都成立，
所以，即的取值范围是，
故选：D．
【易错剖析】
本题容易混淆数列的定义域与函数定义域的差异而得出出错.
【避错攻略】
1.数列的概念及一般形式
数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数。
（2）数列的一般形式可以写成，，，……，，……，其中表示数列的第项（也称为的序号，其中为正整数，即），称为数列的通项。此时一般将整个数列简记为.
【解读】与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；
②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．
2.数列的通项公式
一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式．
【解读】①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．
②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．
易错提醒：(1)从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})
解析式 数列的通项公式
值域 由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法
(2)在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的，故不能对数列的通项公式求导．
1．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）函数，若数列满足，，且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·河南·期中）已知函数，若，则“”是“是递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
3．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
1．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（ ）
A．此数列不能用图象表示
B．此数列的图象仅在第一象限
C．此数列的图象为直线
D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点
2．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（ ）
A．5 B．5或6 C．10 D．9或10
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
4．（24-25高三上·天津·阶段练习）在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
5．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）已知数列{an}的通项公式为前n项的和为Sn，则Sn取得最小值时n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
易错点02：由Sn求an忽略n=1的讨论
典例 （24-25高三·江苏淮安·期中）数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用退位相减法可得数列从第2项起，是以为首项，4为公比的等比数列，故可求，或者利用结论可求.
【详解】 已知，则当时，，
两式作差，得，
即，也即数列从第2项起，是以为首项，4为公比的等比数列，
从而．
由于，则于是．
【易错剖析】
本题求解时容易忽略的讨论，而错误的得出数列的通项公式为 出错.
【避错攻略】
1.已知Sn=f(n)求an
已知求通项，步骤可分为三步：（1）当时；（2）当时，；（3）检验能否合写，即和两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式．
2.已知Sn与an的关系求an
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.
（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
易错提醒：利用Sn与an的关系求an，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式.
1．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 .
3．（24-25高三上·全国·课后作业）已知数列的前项和满足，则的通项公式为 ．
1．（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）设为数列的前项和，若，则的值为（ ）
A．8 B．4 C． D．
3．（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）设数列的前项和为，，，，则 .
4．（24-25高三上·湖南益阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是 .
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 .
6．（24-25高三上·河南·阶段练习）使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设数列的前项和是，如果它的前项和，那么
8．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，，则 .
9．（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）在数列中，，且，则
易错点03：等比数列问题忽略公比q的讨论
典例 （2024·新疆乌鲁木齐·二模）设等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若也是等比数列，则（ ）
A．或2 B．或2 C．1 D．2
【易错剖析】
本题容易忽略等比数列的求和公式成立的前提条件，没有对或的讨论而出错.
【避错攻略】
1.等比数列的概念及公式
（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。
数学语言表达式： (，为非零常数)．
（2）等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.
注意：同号的两个数才有等比中项。
（3）通项公式及前n项和公式
①通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；
通项公式的推广：.
②等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
2 .等比数列的性质
已知是等比数列，是数列的前项和．
（1）等比数列的基本性质（了解即可）
①相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.
②若，(项数相同)是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
③若，则有，推广：
（2）等比数列前项和的性质
（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；
易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
1.（24-25高二·全国·课后作业）已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．或 C． D．且
2.（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知等比数列，首项为，公比为，前项和为，若数列是等比数列，则（ ）
A． B．
C． D．
3.（2025高三·全国·专题练习）已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
1．（24-25高二下·浙江湖州·期末）设为等比数列的前项和，已知，，则公比（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（2024高三·全国·专题练习）已知正项等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高三上·安徽·期中）记为正项等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
4．（24-25高三上·山东淄博·阶段练习）（多选）已知等比数列中，其公比为，前项和为，则下列选项正确的是（ ）
A．若数列为递增数列，则一定有
B．若，则数列为递增数列
C．若，数列的前项和恒成立
D．，，一定成等比数列
5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）是等比数列的前项和，已知，则 ．
6．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则 .
7．（24-25高三上·江苏泰州·期中）记为等比数列的前项的和，若，，则 ．
易错点04：裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错
典例 （2024·湖南长沙·模拟预测）数列为等差数列，为正整数，其前n项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，．
(1)求；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析．
【分析】（1）利用基本量代换，列方程组求出d、q，即可得到；
（2）利用裂项相消法求和即可证明．
【详解】（1）设的公差为d，的公比为q，则d为正整数，
依题意有①．
由知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，
解①得
故
（2），∴
∴
即证．
【易错剖析】
利用裂项相消法求数列的和时要注意两点，一是裂项是否需要凑系数，二是相消后前后各剩几项，这是在解题过程中最容易出错的地方.
【避错攻略】
裂项相消法就是把数列的每一项分解（常见分解为两式之差），使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.
裂项常见形式：
(1)分母两项的差等于常数
；；
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
＝－；
；
（3）分母是三项的积
(4)分母含无理式
＝－；
易错提醒：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。
1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知在数列中，，且当时，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
3．（23-24高三下·山东德州·开学考试）已知数列前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前100项和.
1．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）等比数列中，，则数列的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高二·全国·专题练习）设，则数列的前项和 .
4．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的前项和，的值为 .
5．（24-25高三上·河北·期中）已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和.
6．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，求证：.
7．（24-25高三上·天津河东·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，、、成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，，的前项和，求．
易错点05：错位相减求和错判项数、公比或符号出错
典例 （24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为.
(1)求的和公比;
(2)求;
(3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)4
(2)
(3).
【分析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值；
（2）由（1）得，用错位相减法求和；
（3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围．
【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则，
所以，
因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立，
所以，解得，
所以的和公比为4；
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
相减得，
所以；
（3）设，
，
，是递增数列，
不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立，
当为奇数时，，则，
当为偶数时，，则，
综上，的取值范围是．
【易错剖析】
本题在求解过程容易将等比误认为而出错。
【避错攻略】
错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解．
错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式.
易错提醒：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=1代入检验结果是否成立.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且．若恒成立，则k的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
2.（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
3．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
1．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知是递增的等比数列 ，且，等差数列满足，，．设m为正整数，且对任意的，，则m的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．4
2．（2024·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
3．（2024·云南·模拟预测）当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源 交通 信息通信等领域有关技术加速融合，电动化 网联化 智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（ ）参考数据：，结果精确到0.1）
A．320.5亿元 B．353.8亿元 C．363.2亿元 D．283.8亿元
4．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列的首项为，且满足
(1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
(3)若数列的通项公式为，且对任意的恒成立，求实数的最小值．
5．（2024·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，且分别满足：，.
(1)求通项公式；
(2)求数列的前项和.
6．（2024·吉林·三模）已知数列满足，.
(1)证明：数列为等差数列，并求通项；
(2)求数列的前n项和.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题10 数列
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易错点01　忽略数列的定义域出错
易错点02　由Sn求an忽略n=1的讨论
易错点03　等比数列问题忽略公比q的讨论
易错点04　裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错
易错点05　错位相减求和错判项数、公比或符号出错
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易错点01：忽略数列的定义域出错
典例 （2025高三·全国·专题练习）数列的通项公式为．若为递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由数列的通项公式为，且为递增数列，所以对于都成立，即对于都成立，从而求得参数的取值范围.
【详解】因为数列的通项公式为，且为递增数列，
所以对于都成立，
所以对于都成立，即，
所以对于都成立，所以对于都成立，
所以，即的取值范围是，
故选：D．
【易错剖析】
本题容易混淆数列的定义域与函数定义域的差异而得出出错.
【避错攻略】
1.数列的概念及一般形式
数列的定义：按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项，各项依次成为这个数列的第1项（或首项），第2项……，组成数列的数的个数称为数列的项数。
（2）数列的一般形式可以写成，，，……，，……，其中表示数列的第项（也称为的序号，其中为正整数，即），称为数列的通项。此时一般将整个数列简记为.
【解读】与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点：
①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性；
②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)；
③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
④数列中的每一项都是数，而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物．
2.数列的通项公式
一般地，如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式．
【解读】①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式．
②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．
③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的．
易错提醒：(1)从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
定义域 正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})
解析式 数列的通项公式
值域 由自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值构成
表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图像法
(2)在处理数列的求值、分析数列的性质时一定要注意数列的定义域是离散的，不是连续的，故不能对数列的通项公式求导．
1．（24-25高三上·江苏徐州·阶段练习）函数，若数列满足，，且是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知分段函数在每段上为增函数，且，列出不等式组，解不等式组即可求解．
【详解】由题意可知分段函数在每一段上为增函数，且，
即，解得，
故实数a的取值范围是．
故选：D.
2．（24-25高三上·河南·期中）已知函数，若，则“”是“是递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】由对恒成立求得的范围，再与比较即可得．
【详解】为递增数列
，
而“”是“”的充分不必要条件
3．（24-25高三上·广东汕头·开学考试）已知数列，则数列的前100项中的最小项和最大项分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】先化简，再借助函数的单调性分析得解.
【详解】，
因为，
所以时，数列单调递增，且；时，数列单调递增，且.
∴在数列的前100项中最小项和最大项分别是.
故选：B.
1．（24-25高二上·全国·课后作业）若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（ ）
A．此数列不能用图象表示
B．此数列的图象仅在第一象限
C．此数列的图象为直线
D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点
【答案】D
【分析】根据数列的图象是直角坐标系里一个个散点，一一判定选项即可.
【详解】数列的通项公式为，
它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误，
当时，，该点在第四象限，
当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误.
故选：D.
2．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知数列的通项公式，记为数列的前项和，若使取得最小值，则（ ）
A．5 B．5或6 C．10 D．9或10
【答案】D
【分析】因式分解得到，故当时，；当时，，当时，，从而得到答案
【详解】，
当时，；当时，，当时，，
故当或10时，取得最小值.
故选：D
3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知为数列的前项和，且，若对任意正整数恒成立，则实数的最小值为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】根据的关系，利用相减法结合等比数列的定义求解数列的通项公式，从而将不等式转化为，利用数列的单调性求最值即可得实数的范围，从而得最小值.
【详解】由，令，解得，
当时，由得，即，
所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，
由，即恒成立，令，则，
而，所以，即数列单调递减，故，
所以，所以的最小值
4．（24-25高三上·天津·阶段练习）在无穷数列中，，，数列的前n项和为，则的最大值与最小值的差为（ ）
A． B．
C． D．无法确定
【答案】C
【分析】求出数列的前n项和，按奇偶探讨的单调性求出最大与最小值即可得解.
【详解】由，，得，而，则数列是等比数列，
于是，当为奇数时，，，
当为偶数时，，，因此的最大值与最小值分别为，
所以的最大值与最小值的差为.
故选：C
5．（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知数列满足，若对于任意都有，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组求解即可.
【详解】由对于任意都有知，数列为递减数列，
所以只需满足，解得，
故选：C
6．（24-25高三上·云南玉溪·阶段练习）已知数列{an}的通项公式为前n项的和为Sn，则Sn取得最小值时n的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】利用作差法判断数列的单调性，继而判断出数列的项的正负情况，即可确定答案.
【详解】由题意可知，
可得
，
令，则，
故当时，；
令，即，则或，
即当或时，；
令，则，
令，则，
令，则或，
则当时，，当时，；
当时，；当时，；
故，，
故当时，Sn取得最小值，
故选：B
易错点02：由Sn求an忽略n=1的讨论
典例 （24-25高三·江苏淮安·期中）数列的前项和为，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用退位相减法可得数列从第2项起，是以为首项，4为公比的等比数列，故可求，或者利用结论可求.
【详解】 已知，则当时，，
两式作差，得，
即，也即数列从第2项起，是以为首项，4为公比的等比数列，
从而．
由于，则于是．
【易错剖析】
本题求解时容易忽略的讨论，而错误的得出数列的通项公式为 出错.
【避错攻略】
1.已知Sn=f(n)求an
已知求通项，步骤可分为三步：（1）当时；（2）当时，；（3）检验能否合写，即和两种情况能否合写成一个公式，否则就写为分段的形式．
2.已知Sn与an的关系求an
根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化.
（1）利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；
（2）利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.
易错提醒：利用Sn与an的关系求an，作差后往往会得到一个项或和的递推关系式，这是一定要检验递推关系是否对所有的正整数都成立，然后再根据递推关系求通项公式.
1．（23-24高二下·北京大兴·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】当时，求得；当时，根据化简得，再检验得出通项公式即可.
【详解】当时，；
当时，，
经验证，不符合上式，所以
故选：.
2．（24-25高二上·天津红桥·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 .
【答案】
【分析】利用前项和与第项的关系，分段求解即可.
【详解】当时，，而不满足上式，所以数列的通项公式为.
故答案为：
3．（24-25高三上·全国·课后作业）已知数列的前项和满足，则的通项公式为 ．
【答案】
【分析】利用来求得正确答案.
【详解】由题设得，所以，化简得，
所以数列是首项，公比为的等比数列，所以，
当时，依然成立，所以．
故答案为：
1．（24-25高三上·辽宁·期中）数列中，已知对任意自然数，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用与，求得，进而得到，再利用等比数列的前和公式，即可求解.
【详解】因为①，
当时，②，由①②得，
又，满足，所以，
由，得到，
所以，
故选：C.
2．（24-25高二上·甘肃酒泉·期中）设为数列的前项和，若，则的值为（ ）
A．8 B．4 C． D．
【答案】D
【分析】易知数列前和求出通项公式，再由等比数列的性质化简求得结果.
【详解】当时，，∴，
当时，，则，
∴，即数列是首项，公比的等比数列，
即，
∴
故选：D.
3．（23-24高二下·广东汕头·阶段练习）设数列的前项和为，，，，则 .
【答案】
【分析】根据题意，由与的关系可得，从而求出即可.
【详解】因为，当时，，
两式相减可得，即，
所以，又，所以，
所以，
所以，且也符合上式，
所以，
故答案为：
4．（24-25高三上·湖南益阳·阶段练习）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式是 .
【答案】
【分析】利用和的关系可得，进而得到数列为等比数列，首项为3，公比为，进而求解即可.
【详解】由，
当时，，则；
当时，，
则，即，
所以，
则数列为等比数列，首项为3，公比为，
所以，则.
故答案为：.
5．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前项和为，若，则数列的通项公式 .
【答案】
【分析】根据与的关系可得当时，是公比为3的等比数列，求解答案.
【详解】由得，时，，两式相减得，
所以当时，是公比为3的等比数列，而，则，
由不满足上式得.
故答案为：.
6．（24-25高三上·河南·阶段练习）使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用分式不等式化简可得或，即可根据真子集关系求解.
【详解】由可得，解得或，
设不等式成立的一个必要不充分条件构成的集合是,
则是的一个真子集，结合选项可知可以为，
故选：D
7．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）设数列的前项和是，如果它的前项和，那么
【答案】
【分析】利用与的关系式求通项即可.
【详解】当时，，
当时，，
所以，
所以，
所以.
故答案为：.
8．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且满足，，则 .
【答案】
【分析】由公式且)化简可证明为等差数列，求出首项和公差即可知道的通项，进而可求.
【详解】因为，所以，
所以，所以是等差数列，公差为3，又，
所以，即.
故答案为：.
9．（24-25高二上·天津东丽·阶段练习）在数列中，，且，则
【答案】
【分析】由化简可证数列为等差数列，即可得，再利用退一相减法可得.
【详解】由，
则，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
即，
所以，
当时，，
，
当时，满足上式，
综上所述，
故答案为：.
易错点03：等比数列问题忽略公比q的讨论
典例 （2024·新疆乌鲁木齐·二模）设等比数列的首项为1，公比为，前项和为，若也是等比数列，则（ ）
A．或2 B．或2 C．1 D．2
【答案】D
【分析】由是等比数列，得，故可求.
【详解】由题意可知，，，，
若为常数列，则，不为等比数列，与题意不合；
若，则，
若也是等比数列，则 ，.
即
，
解得或（舍去）.
故选：．
【易错剖析】
本题容易忽略等比数列的求和公式成立的前提条件，没有对或的讨论而出错.
【避错攻略】
1.等比数列的概念及公式
（1）等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示。
数学语言表达式： (，为非零常数)．
（2）等比中项性质：如果三个数，，成等比数列，那么叫做与的等比中项，其中.
注意：同号的两个数才有等比中项。
（3）通项公式及前n项和公式
①通项公式：若等比数列的首项为，公比是，则其通项公式为；
通项公式的推广：.
②等比数列的前项和公式：当时，；当时，.
2 .等比数列的性质
已知是等比数列，是数列的前项和．
（1）等比数列的基本性质（了解即可）
①相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为.
②若，(项数相同)是等比数列，则，，，，仍是等比数列．
③若，则有，推广：
（2）等比数列前项和的性质
（1）在公比或且为奇数时，，，，……仍成等比数列，其公比为；
易错提醒：注意等比数列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比数列求和公式求和时要先判断公比是否可能为1，，若公比未知，则要注意分两种情况q＝1和q≠1讨论.
1.（24-25高二·全国·课后作业）已知数列a，，，…是等比数列，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．或 C． D．且
【答案】D
【分析】由等比数列的定义即可求出a的取值范围.
【详解】由等比数列的定义知，数列中不能出现为0的项，且公比不为0，所以且,
所以且.
故选：D.
2.（24-25高三上·浙江绍兴·期中）已知等比数列，首项为，公比为，前项和为，若数列是等比数列，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设等比数列的公比为，则，分、两种情况讨论，求出的表达式，结合已知条件可得出等式组，即可得解.
【详解】设等比数列的公比为，则.
若，则，由题意可得，即，
所以，，解得，不合乎题意；
若，则，则，
由题意可得，即，
所以，，可得.
故选：B.
3.（2025高三·全国·专题练习）已知在等比数列中，，前三项之和，则公比的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【答案】C
【分析】按照和分类讨论，利用等比数列通项公式和求和公式列方程组求解即可.
【详解】当时，，符合题意；
当时，，解得.
综上，的值是1或.
故选：C
1．（24-25高二下·浙江湖州·期末）设为等比数列的前项和，已知，，则公比（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据题干所给条件列式并联立计算即可.
【详解】设等比数列的第一项为，则，，
因为，则，得①
因为，则，得②
式子①-②，得，显然，，则.
故选：B.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知正项等比数列的首项为1，前项和为，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由题设求得公比，再用等比数列的求和公式求解即可.
【详解】设数列的公比为，
若，，，不满足，
所以，则，整理得，解得,
.
故选：C.
3．（24-25高三上·安徽·期中）记为正项等比数列的前项和，若，，则（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15
【答案】B
【分析】运用等比数列前项和的性质，即：等比数列依次项的和仍为等比数列求解即可.
【详解】设正项等比数列的公比为，
由题意知，，
所以，，成等比数列，
所以，即，
解得（舍负）.
故选：B.
4．（24-25高三上·山东淄博·阶段练习）（多选）已知等比数列中，其公比为，前项和为，则下列选项正确的是（ ）
A．若数列为递增数列，则一定有
B．若，则数列为递增数列
C．若，数列的前项和恒成立
D．，，一定成等比数列
【答案】AC
【分析】利用反证法可判断A的正误，利用反例可判断BD的正误，利用裂项相消法求后可判断C的正误.
【详解】对于A，若，则中各项正负交错出现，该数列不是增数列，故必成立，故A正确；
对于B，取等比数列通项公式为，而，但不是增数列，故B错误；
对于D，取等比数列为，则，
故，此时不为等比数列，故D错误；
对于C，，
故，故C成立；
故选：AC.
5．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）是等比数列的前项和，已知，则 ．
【答案】或
【分析】由题意得，即，求出的值，由题意再结合等比数列的定义即可求解.
【详解】，
，即，
因为，所以，
解得或，又，所以，即，所以或-3.
故答案为：或.
6．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）设等比数列的前项和为，若，则 .
【答案】
【分析】根据已知条件，通过等比数列的前项和公式求出公比，进而求出，的值就是公比.
【详解】当时，.
当时，对于等比数列（因为）.
当时，.
已知，将，，的值代入可得：
.
因为（等比数列首项不为），等式两边同时除以得.
展开式子得，即，解得或.
因为等比数列公比，所以. 所以.
故答案为：.
7．（24-25高三上·江苏泰州·期中）记为等比数列的前项的和，若，，则 ．
【答案】
【分析】根据题意结合等比数列的求和公式运算求解，注意讨论公比是否为1.
【详解】设等比数列的公比为，
若，则，这与已知，是矛盾的，
所以，从而，，
将上面两个等式的两边分别相除，得，解得，
由此可得，因此．
故答案为：.
易错点04：裂项相消法求和时漏项、添项或忽视系数而致错
典例 （2024·湖南长沙·模拟预测）数列为等差数列，为正整数，其前n项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，．
(1)求；
(2)求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析．
【分析】（1）利用基本量代换，列方程组求出d、q，即可得到；
（2）利用裂项相消法求和即可证明．
【详解】（1）设的公差为d，的公比为q，则d为正整数，
依题意有①．
由知q为正有理数，故d为6的因子1，2，3，6之一，
解①得
故
（2），∴
∴
即证．
【易错剖析】
利用裂项相消法求数列的和时要注意两点，一是裂项是否需要凑系数，二是相消后前后各剩几项，这是在解题过程中最容易出错的地方.
【避错攻略】
裂项相消法就是把数列的每一项分解（常见分解为两式之差），使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.
裂项常见形式：
(1)分母两项的差等于常数
；；
(2)分母两项的差与分子存在一定关系
＝－；
；
（3）分母是三项的积
(4)分母含无理式
＝－；
易错提醒：用裂项相消法求和时，裂项后可以产生连续相互抵消的项，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，一般来说前面剩余几项后面也剩余几项，若前面剩余的正数项，则后面剩余的是负数项。
1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足对任意正整数恒有，且，，则的前30项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知条件，令，可得，结合求得，可得是等比数列，求出，再利用裂项相消法求和.
【详解】由，得，
令，，得，可得，
所以，得，
所以是首项为2，公比为2的等比数列，
故，，所以，
所以的前30项的和为.
故选：D.
2．（24-25高三上·陕西·阶段练习）已知在数列中，，且当时，.
(1)求的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用，变形得到，证明出数列是等比数列，即可求出数列的通项公式；
（2）利用裂项相消求出数列的前项和为，再利用不等式的性质即可得到.
【详解】（1）当时，，
又，可得，
当时，，则，即，
又，
故数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，故；
（2）由（1）知，
则，
则数列的前项和
，
又，则，
故.
3．（23-24高三下·山东德州·开学考试）已知数列前项和为，满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前100项和.
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由已知写出时，，与已知式相减得递推式，再求得后可得通项公式；
（2）用裂项相消法求和．
【详解】（1）∵，∴时，，
两式相减得，即，
，
又，即，
所以，∴，也适用．
∴；
（2）由（1），
∴
．
1．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）等比数列中，，则数列的前2022项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出等比数列的通项公式，然后根据裂项法求和.
【详解】设等比数列的公比是，则，即，解得，
于是，，
于是的前项和为.
故选：C
2．（23-24高二下·重庆九龙坡·阶段练习）数列的前n项和为，且，，则数列的前n项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用的关系求出，再利用裂项相消法求和即得.
【详解】数列的前n项和，
当时，，而满足上式，
因此，，
所以.
故选：D
3．（2024高二·全国·专题练习）设，则数列的前项和 .
【答案】
【分析】由裂项相消法求数列的前项和即可.
【详解】，
所以
，
故答案为：
4．（2024高二·全国·专题练习）已知数列的前项和，的值为 .
【答案】99
【分析】由裂项求和法求和，列方程即可求解.
【详解】∵，
∴．
由，解得．
故答案为：99
5．（24-25高三上·河北·期中）已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组即可求解，，即可得；
（2）由可得，由裂项相消法即可求和.
【详解】（1）设等差数列的公差为，
所以，解得，
所以；
（2）因为，
所以，
所以
.
6．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知数列的前项和为，且满足，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，设数列的前项和，求证：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）令，可求得的值，令，由可得，两式作差可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公比，即可求得该数列的通项公式；
（2）求出，求得，利用裂项相消法求出，即可证得结论成立.
【详解】（1）数列的前项和为，对任意的，，
当时，则有，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，可得，
所以数列为等比数列，且其首项和公比都为，所以.
（2）由（1）可得，则，则，
所以，
所以
.
7．（24-25高三上·天津河东·阶段练习）已知等比数列的各项均为正数，、、成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和，，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)设，，的前项和，求．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差数列，等比数列的基本量运算列式求解；
（2）由（1）可得，利用裂项相消法求和可求得．
【详解】（1）由题，设数列的公比为，的公差为，
由，即，
解得，所以，，
又，即，解得，所以，．
所以数列的通项公式为，数列的通项公式为．
（2）由（1）得，
所以
.
易错点05：错位相减求和错判项数、公比或符号出错
典例 （24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）设数列的前项和为，若对任意的，都有（为非零常数），则称数列为“和等比数列”，其中为和公比.若是首项为1，公差不为0的等差数列，且是“和等比数列”，令，数列的前项和为.
(1)求的和公比;
(2)求;
(3)若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)4
(2)
(3).
【分析】（1）设等差数列的公差为，前项和为，由题意，化简可得值；
（2）由（1）得，用错位相减法求和；
（3）设，，按的奇偶性分类求解可得参数范围．
【详解】（1）设等差数列的公差为，前项和为，则，
所以，
因为是“和等比数列”，所以，即，对任意恒成立，
所以，解得，
所以的和公比为4；
（2）由（1）知，，
所以，
所以，
相减得，
所以；
（3）设，
，
，是递增数列，
不等式对任意的恒成立，即不等式对任意的恒成立，
当为奇数时，，则，
当为偶数时，，则，
综上，的取值范围是．
【易错剖析】
本题在求解过程容易将等比误认为而出错。
【避错攻略】
错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前项和可用错位相减法求解．
错位相减法求和时，应注意：①在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“”的表达式．
②应用等比数列求和公式必须注意公比是否等于1，如果，应用公式.
易错提醒：利用错位相减法求和时，首先要判断两边需要乘的公比是多少；二是相减后最后一项要变号；三是利用等比数列求和公式求和时要判断项数，四是要注意对结果化简，另外可以用n=1代入检验结果是否成立.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知数列的前n项和为，且．若恒成立，则k的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．5
【答案】B
【分析】根据数列的通项公式，利用错位相减法求出数列的前项和，结合得到，即可求解.
【详解】因为，
所以①，②，
①减②可得：
，
所以．
因为，所以，即恒成立，故．
故选：B
2.（23-24高二下·四川成都·阶段练习）设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系计算可得，结合累乘法运算即可求解；
（2）由（1）知，利用错位相减法求和即可求解.
【详解】（1）当时，，
得，
所以，
各式相乘得，又，所以；
（2）由（1）知，
所以，
，
两式相减，得，
所以.
3．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据与的关系可将已知化为，再根据等比数列的定义可求出数列的通项，再根据与的关系即可得解；
（2）利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）由，得，
所以，
又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
当时，，
当时，上式不成立，
所以；
（2）由（1）得，
则，
即，
，
两式相减得，
所以.
1．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知是递增的等比数列 ，且，等差数列满足，，．设m为正整数，且对任意的，，则m的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．5 D．4
【答案】D
【分析】根据已知条件求出，设，利用错位相减求出可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，
由得，①
因为是等差数列，所以，
即，可得，②
由①②解得，或，
因为是递增的等比数列，所以，即，
设数列的公差为，
由，，得
，，解得，，
所以，
设，
则，
两式相减可得
，所以，
因为，所以，
若，则，
可得，
所以最小值为4.
故选：D.
2．（2024·黑龙江佳木斯·三模）复数的虚部是（ ）
A．1012 B．1011 C． D．
【答案】D
【分析】由错位相减法化简复数后再由复数的运算和复数的几何意义求出结果即可.
【详解】因为，
，
所以，①
因为，所以，，
所以化简①可得，
所以虚部为，
故选：D.
3．（2024·云南·模拟预测）当前，全球新一轮科技革命和产业变革蓬勃发展，汽车与能源 交通 信息通信等领域有关技术加速融合，电动化 网联化 智能化成为汽车产业的发展潮流和趋势.某车企为转型升级，从2024年起大力发展新能源汽车，2024年全年预计生产新能源汽车10万辆，每辆车的利润为2万元.假设后续的几年中，经过车企关键核心技术的不断突破和受众购买力的提升，每年新能源汽车的产量都比前一年增加（假设每年生产的新能源汽车都能销售出去），每辆车的利润都比前一年增加2000元，则至2030年年底，该汽车集团销售新能源汽车的总利润约为（ ）参考数据：，结果精确到0.1）
A．320.5亿元 B．353.8亿元 C．363.2亿元 D．283.8亿元
【答案】B
【分析】先求得每辆车的利润和该汽车的销量的表达式，故可得，再结合错位相减法可求得答案
【详解】设第年每辆车的利润为万元，则每辆车的利润是以2为首项，0.2为公差的等差数列，
所以，设第年新能源汽车的销量为辆，
则该汽车的销量是以100000为首项，1.2为公比的等比数列，所以，
设该车企销售新能源汽车的总利润为，
①，
，②
①-②得：
，
所以万元，即亿元，
故选：B.
4．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）已知数列的首项为，且满足
(1)求证为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求．
(3)若数列的通项公式为，且对任意的恒成立，求实数的最小值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意结合等差数列的定义可得答案；
（2）由（1）可知，利用裂项相消法运算求解；
（3）整理可得，列式求的最大值，结合恒成立问题分析求解即可.
【详解】（1）因为，故，
所以，即，
所以数列是以首项为，公差为4的等差数列，
可得，所以；
（2）由（1）可知：
，
所以
；
（3）因为，
即，可得，
令，解得，
且，可得，即，
可得，所以实数的最小值．
5．（2024·重庆·模拟预测）已知数列的前项和为，且分别满足：，.
(1)求通项公式；
(2)求数列的前项和.
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）利用的关系先求得的递推公式，根据构造法求出，再由的关系求，然后可得；
（2）利用错位相减法求和即可.
【详解】（1）令得，
当时，由得：
，两式相减得：
，
整理得，即，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，得，
当时，，
时，上式也成立，所以，
所以，即.
（2）记，其前项和为，
则，
，
两式相减得
所以
6．（2024·吉林·三模）已知数列满足，.
(1)证明：数列为等差数列，并求通项；
(2)求数列的前n项和.
【答案】(1)证明见详解，
(2)
【分析】（1）将， 变形为，再利用等差数列的定义求解；
（2）求出，再利用错位相减法求解.
【详解】（1）因为，所以，
又，即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，
，即.
（2）由（1），
，
则，
两式相减得，
，
.
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