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2025年甘肃省高三月考试卷（4月）
数学
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是
A. -1-i B. -1+i C. 1-i D. 1+i
2 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 对于数列，“”是“数列为等差数列”的（ ）
A. 充分非必要条件； B. 必要非充分条件；
C. 充要条件； D. 既非充分又非必要条件.
4. 已知，是两个单位向量，与的夹角为，则（ ）
A. B. 1 C. D.
5. 若为坐标原点，，当绕点逆时针旋转至时，的坐标为（ ）
A B. C. D.
6. 在数列的项和之间插入个构成新数列，则（ ）
A. 13 B. C. 14 D.
7. 若函数的图象上存在两个不同点，使得在这两点的切线与直线垂直，则的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
8. 如图，在三棱锥中，平面，且，若在内（包括边界）有一动点，使得与平面所成角的正切值为，则点的轨迹长为（ ）
A. B. C. D. 6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 数据22，18，19，23，24，30，25，24，26，23第35百分位数为22
B. 数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点
C. 若随机变量，则函数为偶函数
D. 在列联表中，若每一个数据均变为原来的3倍，则变为原来的3倍（，其中）
10. 函数，则（ ）
A. 函数最小正周期为
B. 是函数的一条对称轴
C. 函数图象有对称中心
D. 若有四个解，则
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于，两点，则下列命题错误的是（ ）
A. 在直线上取不同于的点，若，则的面积为1
B. 若直线的斜率存在，则斜率范围为
C. 当直线的斜率为时，的面积为
D. 为双曲线右支上任意一点，过作的两条切线，，切点分别为H，K，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在递增等比数列中，已知，，则________．
13. 已知实数，满足，则的最小值为________．
14. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中描述了一种五面体——刍甍（chú méng），其底面为矩形，顶棱和底面矩形的一组对边平行．现有如图所示一刍甍，，侧面和为等边三角形，且与底面所成角相等，则该几何体中异面直线共有________对；若，到底面的距离为，则该刍甍的体积为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 中，，．
（1）角，所对的边为，，若，，求的长；
（2）若，当的面积最大时，求．
16. 如图，在四棱锥中，是一个等边三角形，底面是平行四边形，且平面平面，，．
（1）证明：；
（2）求平面与平面所成角的正切值．
17. 2022年，商汤科技（Sense Time）软件公司研制的第一款AI下棋机器人——象棋专业版“元萝卜Sense Robot”问世．2024年，商汤将大模型植入机器人推出行业首款家用四合一下棋机器人，为推介这款机器人，该公司与某市青少年活动中心联合举办了“挑战AI下棋机器人”的象棋对弈活动，由于活动中心机器人的数量有限，每人每天最多获得一次对弈资格，活动中心每天只抽签6次，每人在第次被抽中的概率为（取1，2，…，6）．
（1）求张明同学在第3次抽签时获得对弈资格概率；
（2）在活动中心参与测试的有A-1型和A-2型两款机器人，活动规定：每位参赛者与机器人对弈三局，每局均可从这两款中任选一款，假设选手选择A-1型与A-2型的可能性相同，且每局比赛结果相互独立．若选择A-1型进行对弈，选手获胜概率为，获胜后可得1分，若选择A-2型进行对弈，选手获胜概率为，获胜后得2分，平局或失败均不得分，记参赛者得分为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
18. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于，两个动点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过作直线与曲线相交于，两点．
（i），直线，与曲线的另一个交点分别为，，证明直线过定点，并求出该定点；
（ii）为点列，直线，与曲线的另一个交点分别为，，若数列的前项和为，证明．
19. 对于任意两个正数，记区间上曲线下的曲边梯形面积为，并规定，，记，其中．
（1）若时，求证：；
（2）若时，求证：；
（3）若，直线与曲线交于，两点，求证：（其中为自然常数）．
答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. A
2. D
3. C
4. B
5. B
6. A
7. A
8 .C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. BCD
10. AB
11. BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 9
#
14. ①. 12 ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）因为，，所以，．
因为，根据正弦定理，可知，
由二倍角公式得：，
所以，或，即，或，
①时，因为，所以，
在中，根据余弦定理可得：
，
故；
②时，因为，所以是边长为6的等边三角形，
因为，
故，
解得．
所以，或；
（2）因为，
所以的轨迹是以为圆心，2为半径的且除去及中点的圆，
显然当时，的面积最大．
此时，，，
所以
．
16. （1）
取的中点，连接，，
因为是一个边长为2的等边三角形，
所以，
又因为平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，，解得，
中，根据余弦定理得，
所以，在中，由余弦定理得，
所以，即，
又因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，平面，得到；
（2）如图，以，所在直线为轴，轴，
过作的平行线为轴建立平面直角坐标系．
，，，，
，，．
设平面的法向量为，
则，令得，，
所以平面的一个法向量，
设平面的法向量为，
则，令得，
所以平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，为锐角．
则，
，．
17.（1）
设“张明同学在第3次抽签时获得对弈资格”为事件，
第（取次被抽中为事件，则，
又因为每个报名者在第次被抽中的概率为（取）．
所以；
（2）设：表示选手在某一局得到了分，
则，，，
因为每局比赛结果相互独立，
则可以取0，1，2，3，4，5，6，
且：“三局比赛均得0分”，
：“三局比赛中1局得1分，2局各得0分”，
：“三局中1局得0分，2局各得1分”或“三局中1局得2分，2局各得0分”，
：“三局中1局得0分，1局得1分，1局得2分”或“三局均得得1分”，
：“三局中1局得0分，2局各得2分”或“三局中1局得2分，2局各得1分”，
：“三局中1局得1分，2局各得2分”，
：“三局比赛均得2分”．
所以，
，
，
，
，
，
．
所以参赛者得分分布列为
0 1 2 3 4 5 6
所以．
18. （1）因为圆的圆心在轴上移动，
所以与的中点为该圆的圆心，故圆心为．
又因为在圆上，所以，
即，
化简得：，
所以点的轨迹的方程为；
（2）因为弦的斜率必不为0，故设弦所在直线方程为，
联立方程，得，
因为交于两点，故，解得，或，
设，，故，．
（i）证明：因为，直线，与曲线的另一个交点分别为，，
设直线．
联立方程，得，
所以，，同理可得：．
所以，解得．
由上述解答可知：过轴上一定点的直线与抛物线交于两点时，
这两点的横坐标之积为定值，故猜想若为定值时，直线过的定点在轴上，
下面进行证明．
因为，可得直线的方程为：，
令，解得，
又因为，
根据题目可知，，同号，故，所以，
故直线恒过定点，定点；
（ii）由（i）可知：若抛物线的弦与轴交于点，
若，，则有，．
由证明出的结论可知，，，
因为为点列，
直线，与曲线的另一个交点分别为，，
故，，，．
所以，解得．
因为，可得直线的方程为：，
由（i）同理可得：时，解得，
又因为，
根据题目可知，同号，故，所以，
故直线过定点，
所以，
，
于是．
故，显然，
当时，，
故，
所以，得证．
19. （1）因为，且，
当时可知，
所以，
，所以成立；
（2）解法一：要证，即证，
如图可知，为与，以及轴所围成的曲边梯形的面积．
若直线与曲线交于点，
过做切线，分别交，于，，
过做轴的平行线分别交，于，，则，
易知曲面梯形的面积大于，
所以，
所以，，得证．
解法二：因为时，，所以要证，
即证：，
即证：，即证：，
设，，则不等式可化为，
要证，作差得，
即证：在恒成立，
构造函数：，
则，再设，则，
因为，所以恒成立，
所以在为增函数，所以，
所以在恒成立，可得在为增函数，
所以，所以在恒成立，
所以不等式成立，得证；
（3）因为，所以，
令，故，
所以在为减函数，在为增函数，，
故直线与曲线交于，，所以，
且，，即有：①，②，
①＋②得：
①－②得：
由第（2）问知：，
所以，
所以，即，
所以成立．

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