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《4.1.3认识三角形-三角形的高、中线、角平分线》自主学习单
—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
预备性知识：
三角形按边可以分成几类？三角形的三边关系是什么？
按边可以分成：等腰三角形（等边三角形），不等腰三角形.
三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边.
活动1：基础性知识
如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点 D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置.说说你的想法并与同伴进行交流.
在点D的运动过程中，特殊位置有：
点D运动到线段AD与BC垂直，
运动到BC的中点，
或运动到AD平分∠BAC.
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.
也可叙述如下：
①AF是△ABC的BC边上的高；
②AF⊥BC,垂足为F；
③点F在BC上，且∠AFB =∠AFC =90°.
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫作这个三角形的中线.
在△ABC中，∵AE是△ABC的BC边上的中线，
∴BE=EC=1/2BC或BC=2BE=2EC或E为边BC中点.
在△ABC，∵BE=EC=1/2BC或BC=2BE=2EC或E为边BC中点，
∴AE是△ABC的BC边上的中线.
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.
在△ABC中,∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠1=∠2=1/2∠BAC或∠BAC=2∠1=2∠2.
在△ABC中,∵∠1=∠2=1/2∠BAC
或∠BAC=2∠1=2∠2，
∴AD是△ABC的一条角平分线.
【基础性练习】
1.如图所示,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有(　D　)
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
2.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(　A　)
A.DE是△ABC的中线 B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC D.DE是△BCD的中线
3.如图所示，在△ABC中，D,E,F是BC边上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,则AE是哪个三角形的角平分线(　D　)
A.△ABE B.△ADF
C.△ABC D.△ABC,△ADF
活动2：拓展性知识
请你探究三角形的三条高线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
三角形高的性质：三角形的三条高所在的直线交于一点.
请你探究三角形的三条中线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
三角形中线的性质：
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心．
请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
三角形角平分线的性质：三角形的三条角平分线交于一点．
【拓展性练习1，2】
4.若一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的顶点,则这个三角形是(　B　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
5.如图所示，AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为25 cm, AB比AC长6 cm,则△ACD的周长为(　A　)
A.19 cm B.22 cm
C.25 cm D.31 cm
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.若∠1=30°,∠2=20°，则∠B=　　50°　　°.
7.如图所示，在△ABC中，CE是△ABC的中线，BD是△ABC的角平分线，若AB=3 cm，∠A=70°，∠ACB=60°,则∠ABD=　25　　°, AE=　1.5　　cm.
活动4：挑战性知识
你能尝试用折纸或者尺规作出三角形的高线，中线，角平分线吗？
【挑战性练习】
8.如图，在△ABC 中，AD为边BC上的高，E为边BC上的一点，
连接AE .
（1）当AE为边BC上的中线时，若AD=6，△ABC 的面积为24，求CE 的长.
解：∵AD为边BC上的高，AD=6，S△ABC=24 ，
∴BC×6=24.
∴BC=8 .
∵AE为边BC 上的中线，
∴CE=BC=×8=4 .
（2）当AE为∠BAC的平分线时，若∠C=66°，∠DAE=15°，求
∠B 的度数.
解：∵AD为边BC 上的高，
∴∠ADC=90°.
∵∠C=66° ，
∴∠CAD=90° ∠C=90° 66°=24° .
∵∠DAE=15°，
∴∠CAE=∠DAE+∠CAD=15°+24°=39° .
∵AE为∠BAC 的平分线，
∴∠BAC=2∠CAE=2×39°=78° .
∴∠B=180° ∠BAC ∠C=180° 78° 66°=36°.
课堂小结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
当堂检测
（必做题）
1.如图所示，∠CBD=∠E=∠F=90°，则线段　　AE　　是△ABC中BC边上的高.
2.如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是( A )
A. B. C. D.
3.有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们玩抢凳子游戏，三角形区域内放一张木凳，谁先抢到凳子则获胜，为使游戏公平，最适当放凳子的位置是三角形( C )
A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条中线的交点
4.如图，的面积为，点，，分别为，，的中点，则阴影部分的面积为( B )
A. B. C. D.
5.已知是的高，，，则 或 ．
（综合拓展题）
6.如图，在△ABC 中，AB=16 cm，AC=20 cm，D是BC的中点，
点E 在边AC 上.
（1）若△CDE的周长与四边形ABDE 的周长相等，
求线段AE 的长.
（2）连接BE，若△ABE的面积与△CDE 的面积之间存在2倍关系，求
线段AE 的长.
解：（1）∵C_△CDE=C_四边形ABDE ，
C△CDE=CE+CD+DE ，
C四边形ABDE=AE+AB+BD+DE ，
∴CE+CD+DE=AE+AB+BD+DE .
∵D为BC 的中点，
∴BD=CD .
∴CE=AE+AB .
又∵CE=AC AE ，
∴AC AE=AE+AB .
∵AB=16 cm，AC=20 cm ，
∴20 AE=AE+16 .
∴AE=2 cm .
（2）∵D是BC 的中点，
∴S△BDE=S△CDE .
若△ABE的面积与△CDE 的面积之间存在2倍关系，可分两种情况讨论：
①当S△ABE=2S△CDE 时，
S△ABE=S△BCE，
∴AE=CE=AC=10 cm ；
②当2S△ABE=S△CDE 时，
S△ABE=S△BCE，
∴AE=AC=4 cm .
综上所述，线段AE的长为10 cm或4 cm .
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业（必做题）
1.已知三角形的三条中线交于一点,下列结论：①这一点在三角形的内部；②这一点有可能在三角形的外部；③这一点是三角形的重心.其中正确的是___①③___.
如图,在△ABC中,AD为边BC上的中线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F,AB=3,AC=4,DF=1.5,则DE= __2_.
3.如图,已知AD是△ABC的中线,且△ABD的周长比△ACD 的周长多4 cm.若AB
=16 cm,则AC=__12__cm .
拓展性作业（必做题）
4.如图,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD 平分∠ABC交AC于点D,DE//AB,交BC于点E ,求∠BDE 的度数.
解：在△ABC中,∠A=70°,∠C=30° ,
∴∠ABC=180° ∠A ∠C=80°.
∵BD平分∠ABC ,
∴∠ABD=∠ABC=40°.
∵DE//AB,
∴∠BDE=∠ABD=40°.
挑战性作业（选做题）
5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90^ ,边BC上有E,D,F 三点,BD=CD,∠BAE=∠DAE,AF⊥BC,垂足为F .
（1）以AD为中线的三角形是___△ABC_____，以AE 为角平分线
的三角形是____△ABD____，以AF 为高线的钝角三角形有__3_个.
（2）若∠B=35°,求∠CAF 的度数.
解：在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=35°,
∴∠C=90° 35°=55°.
∵AF⊥BC ,
∴∠CAF=90° 55°=35°.
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—— 郑州外国语教育集团朗悦校区 李亚男
预备性知识：
三角形按边可以分成几类？三角形的三边关系是什么？
活动1：基础性知识
如图，在△ABC中，点D是BC边上的一个动点，连接AD，在点 D的运动过程中，观察点D或线段AD有哪些特殊的位置.说说你的想法并与同伴进行交流.
从 叫做三角形的高线，简称三角形的高.
也可叙述如下：
.
在 ，叫作这个三角形的中线.
.
在三角形中， 叫三角形的角平分线.
.
【基础性练习】
1.如图所示,AD⊥BC于点D,那么图中以AD为高的三角形有(　　)
A.3个 B.4个
C.5个 D.6个
2.如图所示,D,E分别是△ABC的边AC,BC的中点,则下列说法不正确的是(　　)
A.DE是△ABC的中线 B.BD是△ABC的中线
C.AD=DC,BE=EC D.DE是△BCD的中线
3.如图所示，在△ABC中，D,E,F是BC边上的三点,且∠1=∠2=∠3=∠4,则AE是哪个三角形的角平分线(　　)
A.△ABE B.△ADF
C.△ABC D.△ABC,△ADF
活动2：拓展性知识
请你探究三角形的三条高线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
三角形高的性质： .
请你探究三角形的三条中线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
三角形中线的性质： .
请你探究三角形的三条角平分线是否交于一点.你是怎么做的？与同伴进行交流．
三角形角平分线的性质： .
【拓展性练习1，2】
4.若一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的顶点,则这个三角形是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
5.如图所示，AD是△ABC的中线,已知△ABD的周长为25 cm, AB比AC长6 cm,则△ACD的周长为(　　)
A.19 cm B.22 cm
C.25 cm D.31 cm
如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC.若∠1=30°,∠2=20°，则∠B=　　　　°.
7.如图所示，在△ABC中，CE是△ABC的中线，BD是△ABC的角平分线，若AB=3 cm，∠A=70°，∠ACB=60°,则∠ABD=　　°, AE=　　　cm.
活动4：挑战性知识
你能尝试用折纸或者尺规作出三角形的高线，中线，角平分线吗？
【挑战性练习】
8.如图，在△ABC 中，AD为边BC上的高，E为边BC上的一点，
连接AE .
（1）当AE为边BC上的中线时，若AD=6，△ABC 的面积为24，求CE 的长.
（2）当AE为∠BAC的平分线时，若∠C=66°，∠DAE=15°，求
∠B 的度数.
课堂小结
对照本节课的学习目标，说说本节课你的收获
当堂检测
（必做题）
1.如图所示，∠CBD=∠E=∠F=90°，则线段　　　　是△ABC中BC边上的高.
2.如图，是的高，是的角平分线，若，，则的度数是( )
A. B. C. D.
3.有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们玩抢凳子游戏，三角形区域内放一张木凳，谁先抢到凳子则获胜，为使游戏公平，最适当放凳子的位置是三角形( )
A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三边的垂直平分线的交点 D. 三条中线的交点
4.如图，的面积为，点，，分别为，，的中点，则阴影部分的面积为( )
A. B. C. D.
5.已知是的高，，，则 ．
（综合拓展题）
6.如图，在△ABC 中，AB=16 cm，AC=20 cm，D是BC的中点，
点E 在边AC 上.
（1）若△CDE的周长与四边形ABDE 的周长相等，
求线段AE 的长.
（2）连接BE，若△ABE的面积与△CDE 的面积之间存在2倍关系，求
线段AE 的长.
课后作业（可根据自身情况选做）
基础性作业（必做题）
1.已知三角形的三条中线交于一点,下列结论：①这一点在三角形的内部；②这一点有可能在三角形的外部；③这一点是三角形的重心.其中正确的是_____.
如图,在△ABC中,AD为边BC上的中线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC 于点F,AB=3,AC=4,DF=1.5,则DE= ___.
3.如图,已知AD是△ABC的中线,且△ABD的周长比△ACD 的周长多4 cm.若AB
=16 cm,则AC=____cm .
拓展性作业（必做题）
4.如图,在△ABC中,∠A=70°,∠C=30°,BD 平分∠ABC交AC于点D,DE//AB,交BC于点E ,求∠BDE 的度数.
挑战性作业（选做题）
5.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90^ ,边BC上有E,D,F 三点,BD=CD,∠BAE=∠DAE,AF⊥BC,垂足为F .
（1）以AD为中线的三角形是_______，以AE 为角平分线
的三角形是______，以AF 为高线的钝角三角形有_个.
（2）若∠B=35°,求∠CAF 的度数.
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