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二次函数中的存在性问题—深圳市中考数学地方特色专题
一、线段定值存在
1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴分别相交于两点，与轴相交于点．
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点在点上方），求的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由
【答案】（1）解：∵抛物线过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）．
（2）解：如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C'（0，2），连接BC'交抛物线对称轴x＝1于点Q'，
过点C作CP'∥BC'，交对称轴于点P'，连接AQ'，
∵A、B关于直线x＝1对称，
∴AQ'＝BQ'，
∵CP'∥BC'，P'Q'∥CC'，
∴四边形CC'Q'P'是平行四边形，
∴CP'＝C'Q'，Q'P'＝CC'＝1，
在Rt△BOC'中，BC
此时，三点共线，的值最小，
的最小值为
（3）解：线段EF的长为定值1．
如图2，连接BE，
设，且，
∵EF⊥x轴，
∵F（t，0），
∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠DAF+∠BED＝180°，
∵∠BEF+∠BED＝180°，
∴∠DAF＝∠BEF，
∵∠AFD＝∠EFB＝90°，
∴△AFD∽△EFB，
∴线段EF的长为定值1．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；相似三角形的性质-对应边；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），根据待定系数法将点C坐标代入解析式可得抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，再转换为顶点式，即可求出顶点坐标.
（2）将点C沿y轴向下平移1个单位得C'（0，2），连接BC'交抛物线对称轴x＝1于点Q'，过点C作CP'∥BC'，交对称轴于点P'，连接AQ'，根据对称性可得AQ'＝BQ'，再根据平行四边判定定理可得四边形CC'Q'P'是平行四边形，则CP'＝C'Q'，Q'P'＝CC'＝1，再根据勾股定理可得，再根据边之间的关系可得，此时，三点共线，的值最小，即可求出答案.
（3）连接BE，设，且，根据两点间距离可得，BF＝t﹣3，AF＝t+1，再根据圆内接四边形性质可得∠DAF+∠BED＝180°，再根据角之间的关系可得∠DAF＝∠BEF，根据相似三角形判定定理可得△AFD∽△EFB，则，代值计算即可求出答案.
二、角度存在
2．（2024九下·兴宁开学考）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0，5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5，0）
∴
解得
∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5
∴A（1，0），B（5，0）
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5，0）， B的坐标为（5，0）
∴OB=CO=5，即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5)，A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵
解得
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）分别令直线y=-x+5中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，即可确定B、C的坐标，然后用待定系数法解答即可；
（2）令抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，求出A、B的坐标，结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得M1A=M1C，由等边对等角及三角形外角性质得∠AM1B=2∠ACB，根据等腰直角三角形性质得AH=BH=NH=2，进而确定N的坐标；再利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据中点坐标公式确定点E的坐标，进而根据互相垂直直线斜率乘积为-1，可确定M1E的解析式，然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标.
3．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（8，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点N，使∠MNB＝90°？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），分别与抛物线、直线BC以及x轴交于点P，E，F，过点P作PQ⊥BC于点Q，求面积△PQE的最大值．
【答案】（1）解：将A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）代入y＝ax2+bx+c得：
解得
∴抛物线解析式为：
（2）解：不存在，理由如下：
假设存在y轴上的点N，使∠MNB＝90°，设点N的坐标为（0，m），如图：
由可得抛物线顶点，而，
若，则，
化简整理得：，
关于的一元二方程无实数解，
∴不存在y轴上的点N（0，m），使∠MNB＝90°；
（3）解：如图：
∵∠PEQ＝∠BEF＝90°﹣∠EBF＝∠BCO，∠BOC＝∠PQE＝90°，
∴△BOC∽△PQE，
∵B（8，0），C（0，4），
∴OB＝8，OC＝4，
要使S△PQE最大，只需PE2最大，
设直线BC解析式为y＝kx+t，将B（8，0），C（0，4）代入得：
，解得
直线BC解析式为，
设，则，
当时，PE最大为最大为16，
最大为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B，C坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
（2）假设存在y轴上的点N，使∠MNB＝90°，设点N的坐标为（0，m），根据二次函数性质可得顶点，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据两点间距离可得，，，根据勾股定理建立方程可得，根据判别式，可得方程无实数解，即可求出daan.
（3）根据相似三角形判定定理可得△BOC∽△PQE，则，再根据三角形面积可得，根据两点间距离可得，则，要使S△PQE最大，只需PE2最大，设直线BC解析式为y＝kx+t，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC解析式为，设，则，根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
4．如图所示：二次函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）如图1，若点M为抛物线上线段BC右侧的一动点，连接CM，BM．求△BMC面积的最大值及相应点M的坐标；
（3）如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACO＝∠BCP？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：对于（1），
令，
解得或-2，
令，则，
故点A，B，C的坐标分别为，
设直线BC的表达式为，
则，解得，
故直线BC的表达式为
（2）解：过点作轴的平行线交BC于点，
设点M的坐标为（x，x2﹣x﹣6），则点H（x，2x﹣6），
则面积，
，故面积存在最大值，
当时，面积的最大值为，
此时点M的坐标为
（3）解：存在，理由：
在Rt中，，由B、C的坐标得，，
①当点P在BC的右侧时，
延长CP交x轴于点H，过点H作NH⊥BC交CB的延长线于点N，
在Rt△BNH中，tan∠NBH＝tan∠OBC＝2，设BN＝x，则NH＝2x，
在Rt中，，解得，
则，故点的坐标为，
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝x﹣6②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（2，﹣4）；
②当点P在BC的左侧时，
设直线CH'交抛物线于点P'，
同理可得，点H'的坐标为（，0），则直线CH'的表达式为y＝7x﹣6③，
联立①③并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（8，50）；
综上，点P的坐标为（2，﹣4）或（8，50）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得点A，B，C的坐标分别为，设直线BC的表达式为，再根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点作轴的平行线交BC于点，设点M的坐标为（x，x2﹣x﹣6），则点H（x，2x﹣6），根据三角形面积可得面积，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据正切定义可得，由B、C的坐标得，，分情况讨论：①当点P在BC的右侧时，延长CP交x轴于点H，过点H作NH⊥BC交CB的延长线于点N，在Rt△BNH中，根据正切定义可得tan∠NBH＝tan∠OBC＝2，设BN＝x，则NH＝2x，在Rt中，根据正切定义建立方程，解方程可得，根据勾股定理可得，故点的坐标为，由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝x﹣6，联立方程组，解方程组即可求出答案；②当点P在BC的左侧时，设直线CH'交抛物线于点P'，同理可得，点H'的坐标为（，0），则直线CH'的表达式为y＝7x﹣6，联立方程组，解方程组即可求出答案.
5．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，抛物线与轴交于A，~B两点（在点左边），与轴负半轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是轴上方，抛物线上一点，若，求点纵坐标；
（3）如图2，是线段AC上一个动点，点在线段AB上，且，若点总存在两个不同的位置使，求满足的条件．
【答案】（1）解：令y＝0，得ax2﹣ax﹣6a＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
∵A在B点左边，
∴A（﹣2，0），B（3，0），
令x＝0，得：y＝﹣6a，
∴C（0，﹣6a），
∵OC＝2OA，
∴6a＝2×2
解得：，
抛物线的解析式为
（2）解：如图1，设，
过点E作EG⊥x轴于G，连接EB，作∠AEB的平分线交x轴于M，过点M作MN⊥x轴交AE于N，
则∠AEM＝∠BEM＝∠AEB，
∵∠AEB+∠BAE＝45°，
∴∠AEM+∠BAE＝45°，
∴∠EMG＝45°，
∵∠EGM＝90°，
∴△EMG是等腰直角三角形，
∴∠MEG＝45°，
∵MN⊥x轴，EG⊥x轴，
∴MN∥EG，
∴∠EMN＝∠MEG＝45°，
∴∠EMN＝∠EMB，
，
∵BG＝t﹣3，
在△EMN和△EMB中，
，
∴△EMN≌△EMB（ASA），
∴MN＝BM＝，
∵MN∥EG，
∴△AMN∽△AGE，
，
即MN AG＝AM EG，
，
∴3（t﹣3）（2t+1）（t+2）＝﹣2（t+2）（2t﹣9）（t﹣3）（t+2），
∵E是x轴上方，抛物线上一点，∠BAE为锐角，
∴点E在第一象限的抛物线上，
∴t＞3，
∴3（2t+1）＝﹣2（t+2）（2t﹣9），
解得：，
，不符合题意，舍去，
当时，
点纵坐标为；
（3）解：如图2，过点P作PT⊥x轴于T，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（﹣2，0），C（0，﹣4）代入，
得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣4，
∵P是线段AC上一个动点，
∴设P（n，﹣2n﹣4），且﹣2≤n≤0，
则T（n，0），
∴OT＝﹣n，PT＝2n+4，BT＝3﹣n，
在Rt中，，
∵∠BPF＝∠BAC，∠PBF＝∠ABP，
∴△BPF∽△BAP，
，
∴BP2＝BF AB＝（AB﹣AF） AB，
∵AF＝m，AB＝OA+OB＝2+3＝5，
∴5n2+10n+25＝5（5﹣m），
∴n2+2n+m＝0，
∵P点总存在两个不同的位置使∠BPF＝∠BAC，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1 m＞0，
解得：m＜1，
∴m满足的条件为：0＜m＜1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣6a），根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设，过点E作EG⊥x轴于G，连接EB，作∠AEB的平分线交x轴于M，过点M作MN⊥x轴交AE于N，根据等腰直角三角形判定定理可得△EMG是等腰直角三角形，则∠MEG＝45°，根据直线平行判定定理可得MN∥EG，则∠EMN＝∠MEG＝45°，即∠EMN＝∠EMB，再根据等角对等边可得 ，再根据边之间的关系可得，，再根据全等三角形判定定理可得△EMN≌△EMB（ASA），则MN＝BM＝，根据相似三角形判定定理可得△AMN∽△AGE，则，即即MN AG＝AM EG，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点P作PT⊥x轴于T，设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣4，设P（n，﹣2n﹣4），且﹣2≤n≤0，则T（n，0），根据两点间距离可得OT＝﹣n，PT＝2n+4，BT＝3﹣n，根据勾股定理可得，再根据相似三角形判定定理可得△BPF∽△BAP，则，根据题意建立方程，根据方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
三、等腰三角形存在
6．（2024九上·黄石港开学考）如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）因为抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），所以，解得：，
即此抛物线的解析式是；
（2）因为一次函数可化为=，
所以此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；
（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，
设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论：
①当PA=PD时=，
解得，y=，即点P的坐标为（1，）；
②当DA=DP时，=，
解得，y=，即点P的坐标为（1，）或（1，）；
③当AD=AP时，=，
解得，y=±4，即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），
当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意．
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），代入点的坐标，列出方程组，求得a，b，c的值，即可得求得抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；
（3）减少存在点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况讨论，结合勾股定理，分别列出方程，求得y的值，进而得到答案.
7．如图，抛物线与轴交于（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；
（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．
【答案】（1）解：是抛物线与轴的两个交点，且二次项系数，
根据抛物线的两点式知，
（2）解：根据抛物线表达式可求，即．
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，
∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，
设P（m，n），且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，
∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①，
又∵P在抛物线上，
②
联立①②两式，解得m＝6（﹣1舍去），此时n＝﹣7，
∴点P的坐标是（6，﹣7）．
（3）解：设PH与x轴的交点为Q，P
则，
若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，
∴tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，
∴AQ＝2PQ，
即，
解得（-1舍去），此时．
若，过点作轴于点，
∴∠PFH＝∠PHF，
∵∠CFA＝∠PFH，∠QHB＝∠PHF，
∴∠CFA＝∠QHB，
又∵∠ACF＝∠BQH＝90°，
∴△ACF∽△BQH，
在Rt中，，
将上式和抛物线解析式联立并解得（－1舍去），
此时．
若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E（见上图），
∵∠CAF+∠CFA＝90°，
∠PAQ+∠HPF＝90°，
∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，
∴∠CAF＝∠PAQ，
即AP平分∠CAB，
∴CE＝CA＝，
联立抛物线解析式，解得（-1舍去）．
此时．
当时，；
当时，；
当时，；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得，即，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得△AOC∽△COB，则∠ACO＝∠CBO，再根据角之间的关系可得∠QAB=135°，再根据补角可得∠BAP＝45°，设P（m，n），且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（3）设PH与x轴的交点为Q，P，则，分情况讨论：若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，根据正切定义可得tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；若，过点作轴于点，根据角之间的关系可得∠CFA＝∠QHB，再根据相似三角形判定定理可得△ACF∽△BQH，则根据直角三角形性质可得，联立抛物线解析式可得，此时；若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E，根据角之间的关系可得∠CAF＝∠PAQ，再根据角平分线判定定理可得可得AP平分∠CAB，则CE＝CA＝，根据边之间的关系可得，联立抛物线解析式可得，此时，即可求出答案.
四、直角三角形存在
8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
（3）设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标
【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
故点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
将点C坐标代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
由题意得B（﹣3，0），
把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：，解得
∴直线的解析式为y＝x+3
（2）解：设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）
（3）解：设P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），
则，
若点为直角顶点时，则，
即，
解得；
若点为直角顶点时，则，
即，
解得，
若为直角顶点时，则，则，
解得，
综上，点的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线对称性可得点B的坐标为（﹣3，0），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），根据待定系数法将点C坐标代入解析式可得抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，再根据待定系数法将点B，C坐标代入直线方程即可求出答案.
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，将x=-1代入直线方程即可求出答案.
（3）设P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），根据两点间距离可得，分情况讨论：若点为直角顶点时，若点为直角顶点时，若为直角顶点时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在该抛物线的对称轴上，求使△PBC的周长最小的点P的坐标，并写出△PBC周长的最小值．
（3）在抛物线上是否存在点M，使得△ACM是以点A为直角顶点的直角三角形？若存
在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）．
则：解得：
（2）解：抛物线与轴交于两点，
∴其对称轴是直线x＝2．
∵A，B两点关于直线x＝2对称，
连接AC与直线x＝2交于点P，连接BP，
此时CP+BP＝CP+PA＝AC，其值最小，即△PBC的周长最小．
∵直线x＝2∥y轴，
∴△PDA∽△COA．
解得：．
又∵B、A关于直线x＝2对称，
∴BP＝AP．
∴BP+CP＝CP+AP＝AC，
在Rt△BOC中，
∵OB＝1，OC＝，
∴BC＝
∴△PBC的周长的最小值为
∴当P点坐标为（2，）时，△PBC的周长最小．最小值为．
（3）解：如图：
存在，理由：
当点A为直角顶点时，过A作AM⊥AC交抛物线于点M，交y轴于点H，
∵AC⊥AM，OC⊥OA，
∴△OAC∽△OHA，
∴OA2＝OC OH．
∵OA＝5，OC＝，
∴OH＝10，
∴H（0，﹣10），A（5，0）．
∴直线AM的解析式为y＝2x﹣10
解方程组
得：或.
又∵A点坐标为（5，0），
∴点M的坐标为（﹣5，﹣20）．
∴在抛物线上存在点M（﹣5，﹣20），使得△ACM是以点A为直角顶点的直角三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）。根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据二次函数性质可得其对称轴是直线x＝2，连接AC与直线x＝2交于点P，连接BP，此时CP+BP＝CP+PA＝AC，其值最小，即△PBC的周长最小，根据相似三角形判定定理可得△PDA∽△COA，则，代值计算可得，根据边之间的关系，勾股定理可得，BC＝，即可求出答案.
（3）当点A为直角顶点时，过A作AM⊥AC交抛物线于点M，交y轴于点H，根据相似三角形判定定理可得△OAC∽△OHA，则，代值计算可得OH＝10，则H（0，﹣10），A（5，0）根据待定系数法求出直线AM的解析式为y＝2x﹣10，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
10．（2025·潮阳模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标；
（3）以点为圆心，画半径为的圆，为上一个动点，请求出的最小值．
【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，．
∴将代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，理由如下：
直线的解析式为，将代入得
解得：
∴直线的解析式为：
∵抛物线对称轴与轴交于点，
∴当时，，
∴，
①当时，设直线交对称轴于点，
∵，，二次函数对称轴为，
∴，，轴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点的坐标为；
②∵，，
∴
∴
∴是直角三角形，
当时，根据点关于抛物线对称轴对称，
则直线经过点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，
如图，在上取点，使，连接，
，
∴，
，
，
又，
，
，即，
当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，
的最小值为．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线对称性可得，，再根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点A坐标代入直线解析式可得直线的解析式为：，将x=3代入直线解析式可得，分情况讨论：①当时，设直线交对称轴于点，根据等腰直角三角形性质可得是等腰直角三角形，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即点坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，M坐标代入解析式可得直线的解析式为，联立抛物线解析式即可求出答案；根据两点间距离可得，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，当时，根据点关于抛物线对称轴对称，则直线经过点坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点D，B坐标代入解析式可得直线的解析式为，联立抛物线解析式即可求出答案.
（3）在上取点，使，连接，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据边之间的关系当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，根据勾股定理可得CF，即可求出答案.
（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，．
∴将代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，理由如下：
直线的解析式为，将代入得
解得：
∴直线的解析式为：
∵抛物线对称轴与轴交于点，
∴当时，，
∴，
①当时，设直线交对称轴于点，
∵，，二次函数对称轴为，
∴，，轴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点的坐标为；
②∵，，
∴
∴
∴是直角三角形，
当时，根据点关于抛物线对称轴对称，
则直线经过点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，
如图，在上取点，使，连接，
，
∴，
，
，
又，
，
，即，
当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，
的最小值为．
五、等腰直角三角形存在
11．（2024九上·广东期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点．
（1）求，两点的坐标．
（2）求该二次函数的解析式．
（3）若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：对直线，当时，，时，，
，．
（2）解：设二次函数为，
二次函数图象经过，，
，
把点代入得：
，
解得：，
．
（3）解：存在，，，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；两圆一中垂模型；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）二次函数图象经过，，
对称轴为，
，
，
，
如图，当时，
，
，，
如图，当时，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点结合题意即可求解；
（2）设交点式，进而代入点C的坐标即可求出二次函数关系式；
（3）根据“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，进而根据勾股定理结合等腰三角形的性质即可求解。
（1）解：对直线，当时，，时，，
，．
（2）解：设二次函数为，
二次函数图象经过，，
，
把点代入得：
，
解得：，
．
（3）解：二次函数图象经过，，
对称轴为，
，
，
，
如图，当时，
，
，，
如图，当时，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形．
六、平行四边形
12．如图，抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．过抛物线上一个动点D作x轴的平行线，交抛物线于点E，过点D、E分别作DG⊥x轴于G，EF⊥x轴于F．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设点D的横坐标为m，四边形DEFG的周长为l，当1＜m＜3时，求l关于m的函数关系式，并求出当l取最大值时点D的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点C（0，3），
∴设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+3，
把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3中，
解得
抛物线的解析式为
（2）解：由题意得四边形DEFG为矩形，
点的横坐标为，
，
抛物线的对称轴为轴，且，
，
即当时，取最大值，
当时，，此时点的坐标为．
（3）解：P点坐标为P1（﹣2，﹣5），P2（4，﹣5），P3（0，3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）如图，若以AD为对角线，四边形APDQ为平行四边形，
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴AD的中点M的横坐标为x=
∵点Q的横坐标为1，
∴点P的横坐标为0，此时P点坐标为（0，3），
如图，若以AD为边，四边形ADQP为平行四边形，
∵A（﹣1，0），D（2，3），Q点的横坐标为1，
设P点的横坐标为n，
由平移规律可得2﹣（﹣1）＝1﹣n
∴n＝﹣2，
把n＝﹣2代入抛物线的解析式得y＝﹣5，点P的坐标为（﹣2，﹣5），
若以AD为边，四边形ADPQ为平行四边形
∵A（﹣1，0），D（2，3），Q点的横坐标为1，
设P点的横坐标为n，
由平移规律可得2﹣（﹣1）＝n﹣1
∴n＝4，
把n＝4代入抛物线的解析式得y＝﹣5，点P的坐标为（4，﹣5），
综合以上可得P点坐标为P1（﹣2，﹣5），P2（4，﹣5），P3（0，3）．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+3，根据待定系数将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）由题意得四边形DEFG为矩形，将x=m代入抛物线解析式可得，根据抛物线性质可得抛物线的对称轴为轴，且，则，即结合二次函数性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：若以AD为对角线，四边形APDQ为平行四边形，若以AD为边，四边形ADQP为平行四边形，作出图形，根据点的位置关系，平移的性质即可求出答案.
13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线BC于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）如图2，若抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点A（1，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2+bx+c得，
，解得：，
函数的对称轴为直线，
，即，
∴﹣a+3＝2a，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3
（2）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x＝1或x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
过点C作直线PM的垂线，垂足为点H，
∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴△CHN是等腰直角三角形，
∴CN＝CH，
∴PN+CN＝PN+2CH，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，
设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），
的最大值为此时点P的坐标为
（3）解：点的坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）∵点A（1，0），点C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
∴AC＝，
抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线，
抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，
抛物线的解析式为，
设点，点，
①以FE为对角线时，
，解得：，
点的坐标为；
②以FP为对角线时，
，解得：，
点的坐标为；
③以FB为对角线时，
，解得：
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得，再根据二次函数对称轴建立方程，解方程可得，联立等式，解方程即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得B（﹣3，0），过点C作直线PM的垂线，垂足为点H，根据等腰直角三角形判定定理可得△CHN是等腰直角三角形，则CN＝CH，再根据边之间的关系可得PN+CN＝PN+2CH，设直线BC的解析式为y＝kx+b，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），再根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AC＝，根据函数图象平移性质可得抛物线的解析式为，设点，点，分情况讨论：①以FE为对角线时，②以FP为对角线时，③以FB为对角线时，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
七、矩形存在
14．（2023·衡南模拟）已知，二次函数y＝-x2＋x＋2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）如图1，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，D为线段AB上一动点，作DP∥AC交抛物线于点P，过P作PE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F，过F作FG⊥PE，交DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标；
（3）如图3，将抛物线沿射线AC方向移动个单位得到新的抛物线y′＝ax2＋bx＋c（a≠0），是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：令 ，则 ，
，
令 ，则 ，
解得： ，
，
，
在 中， ，
同理， ，
又 ，
，
，
即 为直角三角形；
（2）解：设直线 为 ，
代入点 ， 得， ，
直线 为 ，
同理，直线 为 ，
轴，
轴，
设 ，
，
，
， 轴，
轴， ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
当 最大时， 取得最大值，
，
又 ，
当 时， 最大值为 ， 最大值为3，
，
，
可设直线 为 ，
代入点 ，得 ，
直线 为： ，
令 ，解得 ，
，
此时 最大值为3；
（3）存在， 或
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理的逆定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）存在这样的点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形为矩形，
，
当抛物线沿射线 方向平移 个单位，可以分解为水平向右平移 个单位，竖直向上平移3个单位，
，
平移后得抛物线为： ，
对称轴为直线 ，
①当 ， 为对角线，构成矩形 时，如图1，
过 作 轴于 点，
，
又 ，
，
，
，
又 ，
，
，
由坐标与平移关系可得，
，
②当 ， 为对角线，构成矩形 时，如图2，
，
，
，
，
，
，
，
，
由坐标与平移关系可得，
，
综上所述， 为 或 ．
【分析】（1）先分别求出A，B，C的坐标，再求出三角形三边的长度，再根据勾股定理的逆定理即可求出答案；
（2）先根据待定系数法求出直线AC，BC的解析式，根据全等三角形的判定定理得出 ，根据全等三角形的性质及三角形面积得出当 最大时， 取得最大值，即可求出答案；
（3）先求出平移后的抛物线的解析式，再根据矩形性质，三角函数值，一次函数的解析式与平移的性质分情况讨论即可求出答案。
八、菱形存在
15．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把代入中，得，
解得，
（2）解：①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b'．得
解得
点是轴上的一动点，且轴．
此函数有最大值．
又点在线段OA上运动，且，
当时，MN有最大值．
②满足条件的点的坐标为或或。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（2）②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．
解得或0（舍弃）
如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．
如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，
则有，，
解得或0（舍弃），
当点在轴的右侧时，显然，此时满足条件的菱形不存在．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或。
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得，根据题意可得，再根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
②分情况讨论：当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
16．（2023·化州模拟）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：对于，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣3，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，4），
∵对称轴是直线：x＝﹣1，
∴有：，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：对于，当y＝0时，，解得：x1＝3，x2＝1，
∴点B的坐标为（0，1），
又∵点A（﹣3，0），点C（0，4），
∴OA＝3，OB＝1，OC＝4
作DE⊥x轴于E，
∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m
∴点D的坐标为（m，n），则，
∴OE＝﹣m，DE＝n，
∴AE＝OA﹣OE＝3﹣（﹣m）＝m+3，
∵DE⊥x轴，则四边形OCDE为直角梯形，
∴，
又，，
∴S＝S四边形OCDE+S△ADE+S△BOC，
即，
又，
，
当m＝﹣1.5时，S为最大，
此时
∴点D的坐标为（﹣1.5，5）．
（3）解：存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，理由如下：
∵点P在抛物线的对称轴x＝﹣1上，
∴可设点P的坐标为：（﹣1，t），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC＝QA＝QC，AC与PQ互相垂直平分，
设直线x＝﹣1与x轴交于点F，过点P作PT⊥y轴，AC与PQ交于点K，
∵点A（﹣3，0），C（0，4），
∴OA＝3，CO＝4，OF＝PT＝1，OT＝PF＝t，
∴AF＝OA﹣OF＝3﹣1＝2，CT＝OC﹣OT＝4﹣t，
在Rt△APF中，由勾股定理得：PA2＝PF2+AF2＝t2+4，
在Rt△CPT中，由勾股定理得：PC2＝PT2+CT2＝1+（4﹣t）2
∴t2+4＝1+（4﹣t）2，解得：，
∴点P的坐标为，
设点K的坐标为（xK，yK），
∵点K为AC的中点，
∴，，
设点Q的坐标为（xQ，yQ），
∵点K为PQ的中点，
∴，，
解得：xQ＝﹣2，，
∴点Q的坐标为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）首先根据函数与坐标轴交点求出点A、点C坐标，然后利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）先根据函数与坐标轴交点求出点B坐标，再作DE⊥x轴于E，连接BC，依题意设点D的坐标为（m，n），则可用含m、n的式子表示OE、DE、AE，分别求出四边形OCDE和、的面积，然后根据S=S四边形OCDE+S△ADE+S△BOC列出S与m的函数关系式，根据S有最大值求出m，进而可得点D的坐标；
（3）设点P（-1，t），直线x=-1与x轴交于点F，过点P作PT⊥y轴，AC与PQ交于点K，先由勾股定理求出PA、PC，再根据PA=PC可求出t，进而可得点P的坐标，然后根据点K为AC的中点求出k的坐标，进而根据K为PQ的中点可求出点Q的坐标．
九、正方形存在
17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的面积；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可设抛物线的函数表达式为y＝a（x+1）（x+3），
将C（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0+3），
解得a＝1．
∴抛物线的函数表达式为y＝（x+1）（x+3），即y＝x2+4x+3
（2）解：如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．
∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），C（0，3）．
.
∵点A、B关于对称轴x＝﹣2对称，
∴PA＝PB．
∴PA+PC＝PB+PC．此时，PB+PC＝BC．
∴点P在对称轴上运动时，PA+PB的最小值等于BC．
∴△APC的周长的最小值＝AC+AP+PC＝AC+BC＝3
（3）解：存在点M，N使四边形MNED为正方形，
如图2所示，过M作MF∥y轴，交x轴于点F，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，
设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y＝x+b，
联立得：
消去得：，
为等腰直角三角形，
若四边形MNED为正方形，则有，
整理得：，
解得：b＝21或b＝1，
∵正方形面积为MN2＝8b﹣6，
∴正方形面积为162或2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的函数表达式为y＝a（x+1）（x+3），根据待定系数法将点C坐标代入表达式即可求出答案.
（2）连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA，根据勾股定理可得，根据对称性质可得PA＝PB，则PA+PC＝PB+PC．此时，PB+PC＝BC，即点P在对称轴上运动时，PA+PB的最小值等于BC，再根据三角形周长即可求出答案.
（3）过M作MF∥y轴，交x轴于点F，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y＝x+b，联立抛物线方程可得，则再根据等腰三角形性质可得，则，再根据正方形性质建立方程，解方程即可求出答案.
十、相似存在
18．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴的交点C（0，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
【答案】（1）解：抛物线与轴的交点坐标为．
抛物线为．
将．代入，得
解得，
抛物线的解析式为
（2）解：过点作轴，交BC于点，如图1所示．
当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
将代入，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
当时，面积取最大值，最大值为．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
综上所述，S关于m的函数表达式为＝﹣3m2+9m（0＜m＜3），S的最大值
（3）解：存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当时，△COB∽△CDM∽△CMN，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时ND＝DM＝，
当时，
解得
此时．
如图3，当点位于点的下方，
过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：或与相似，
解得或，
或，
此时点坐标为或．
综合以上得，存在或或，或，使得，且与相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点作轴，交BC于点，根据y轴上点的坐标特征可得点C的坐标为（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+c，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，由题意可得点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），根据两点间距离可得PF＝﹣2m2+6m，再根据三角形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，根据相似三角形判定定理可得△MCD∽△NCM，若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），根据两点间距离可得DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，当时，△COB∽△CDM∽△CMN，即，解方程可得M（1，8），，当时，，即，解方程可得，；当点位于点的下方，过点M作ME⊥y轴于点E，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），根据两点间距离可得EC＝2a2﹣4a，EM＝a，同理可得：或与相似，解方程即可求出答案.
十一、新定义存在
19．（2021九上·诸暨月考）定义：如果两个函数y1，y2存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2互为“等值函数”，对应的x值为y1，y2的“等值根”．
（1）函数y1＝ x+b与 是否互为“等值函数”？如果是，求出当b＝1时，两函数的“等值根”；如果不是，请说明理由．
（2）如图所示的是y＝﹣|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝﹣x2﹣2x的图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝ x+b与y2＝﹣|x2+2x|互为“等值函数”，且有两个“等值根”，求b的取值范围．
【答案】（1）解： x+b= ，
∴x2-2bx-8=0，
△=(2b)2+32=4b2+32>0，
∴方程总有两个不相等的实数根，
∴ 函数y1＝ x+b与 是互为“等值函数” ；
当b=1时，则有x2-2x-8=0，
（x-4）（x+2）=0，
∴x=4或-2；
（2）解：如图，当直线在点A与点O之间运动时，与y＝﹣|x2+2x|的图象有两个等值根，
当 ﹣|x2+2x| =0时，
解得x=-2或0，
∴点A（-2，0），点O（0，0），
当y1＝ x+b 过点A时，×（-2）+b=0，
解得b=1，
当y1＝ x+b 过点O时，×0+b=0，
解得b=0，
∴0当-2整理得：△=x2+x-b=0，
△=b2-4ac=+4b=0，
解得b=-，
∴当b<-， y1＝ x+b与y2＝﹣|x2+2x|互为“等值函数”， 且有两个“等值根”，
∴当0【知识点】定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)联立两个函数关系式，将其化成整式方程，然后利用一元二次方程的判别式求出△>0，即可判断；将b=1代入方程求解即可；
(2)利用数形结合分析，当直线在点A与点O之间运动时与绝对值函数有两个等值根，令 ﹣|x2+2x| =0时，求出A、O点坐标，分别求出直线经过A点和B点b的值，则可得出0十二、综合存在
20．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）若点E在x轴上，点Q在抛物线上．是否存在以B、C、E、Q为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若
存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线与轴交于两点，
解得
抛物线的解析式为．
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）解：△BCD是直角三角形．
理由如下：如图1，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
∵在Rt△BOC中，OB＝3，OC＝3，
∴BC2＝OB2+OC2＝18
在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4﹣3＝1，
∴CD2＝DF2+CF2＝2
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝OB﹣OE＝3﹣1＝2，
∴BD2＝DE2+BE2＝20
∴BC2+CD2＝BD2
∴△BCD为直角三角形．
（3）解：点的坐标为或或
（4）解：的坐标为：或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）①当Q点的纵坐标为3时，
∴把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3求得x＝0或﹣2，
∴Q1（﹣2，3）；
②当Q点的纵坐标为﹣3时，
把代入求得或，
，
综上，点的坐标为或或．
（4）由（2）知，
①，故当是原点时，；
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设的坐标是，则，即，解得：，则的坐标是，三角形ACP不是直角三角形，则不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设的坐标是，则，则，即，解得：，故是时，则CBD一定成立；
④当在轴上时，AC是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．则，当AC与CD是对应边时，，即，解得：，
此时，两个三角形不相似；
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）
则，当AC与DC是对应边时，，即，解得：，符合条件．
总之，符合条件的点的坐标为：或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式可得抛物线的解析式为，再将解析式转换为顶点四即可得顶点坐标.
（2）过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，根据勾股定理，勾股定理逆定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当Q点的纵坐标为3时，②当Q点的纵坐标为﹣3时，将y值分别代入抛物线表达式即可求出答案.
（4）由（2）知，根据相似三角形判定定理即可求出答案.
1 / 1二次函数中的存在性问题—深圳市中考数学地方特色专题
一、线段定值存在
1．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与轴分别相交于两点，与轴相交于点．
（1）求出这条抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点在点上方），求的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由
二、角度存在
2．（2024九下·兴宁开学考）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（8，0），与y轴交于点C（0，4）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点N，使∠MNB＝90°？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图2，位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），分别与抛物线、直线BC以及x轴交于点P，E，F，过点P作PQ⊥BC于点Q，求面积△PQE的最大值．
4．如图所示：二次函数y＝x2﹣x﹣6的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）如图1，若点M为抛物线上线段BC右侧的一动点，连接CM，BM．求△BMC面积的最大值及相应点M的坐标；
（3）如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACO＝∠BCP？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，抛物线与轴交于A，~B两点（在点左边），与轴负半轴交于点，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是轴上方，抛物线上一点，若，求点纵坐标；
（3）如图2，是线段AC上一个动点，点在线段AB上，且，若点总存在两个不同的位置使，求满足的条件．
三、等腰三角形存在
6．（2024九上·黄石港开学考）如图，抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）求此抛物线顶点D的坐标和对称轴．
（3）探究对称轴上是否存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图，抛物线与轴交于（4，0），与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA+45°时，求点P的坐标；
（3）如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．
四、直角三角形存在
8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．
（1）若直线y＝mx+n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x＝﹣1上找一点M，使MA+MC的值最小，求点M的坐标；
（3）设P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标
9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在该抛物线的对称轴上，求使△PBC的周长最小的点P的坐标，并写出△PBC周长的最小值．
（3）在抛物线上是否存在点M，使得△ACM是以点A为直角顶点的直角三角形？若存
在，求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2025·潮阳模拟）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标；
（3）以点为圆心，画半径为的圆，为上一个动点，请求出的最小值．
五、等腰直角三角形存在
11．（2024九上·广东期末）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点．
（1）求，两点的坐标．
（2）求该二次函数的解析式．
（3）若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
六、平行四边形
12．如图，抛物线经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．过抛物线上一个动点D作x轴的平行线，交抛物线于点E，过点D、E分别作DG⊥x轴于G，EF⊥x轴于F．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设点D的横坐标为m，四边形DEFG的周长为l，当1＜m＜3时，求l关于m的函数关系式，并求出当l取最大值时点D的坐标．
（3）在（2）的条件下，若点P在抛物线上，点Q在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线BC于点，求的最大值，并求出此时点的坐标；
（3）如图2，若抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
七、矩形存在
14．（2023·衡南模拟）已知，二次函数y＝-x2＋x＋2图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接AC、BC．
（1）如图1，请判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如图2，D为线段AB上一动点，作DP∥AC交抛物线于点P，过P作PE⊥x轴，垂足为E，交BC于点F，过F作FG⊥PE，交DP于G，连接CG，OG，求阴影部分面积S的最大值和D点坐标；
（3）如图3，将抛物线沿射线AC方向移动个单位得到新的抛物线y′＝ax2＋bx＋c（a≠0），是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C、B、M、N为顶点的四边形是以CB为边的矩形？若存在，请直接写出N点坐标；若不存在，请说明理由．
八、菱形存在
15．如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2023·化州模拟）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+4经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．
（1）求抛物线的表达式；
（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
九、正方形存在
17．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；
（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的面积；如果不存在，请说明理由．
十、相似存在
18．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴的交点C（0，6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
十一、新定义存在
19．（2021九上·诸暨月考）定义：如果两个函数y1，y2存在x取同一个值，使得y1＝y2，那么称y1，y2互为“等值函数”，对应的x值为y1，y2的“等值根”．
（1）函数y1＝ x+b与 是否互为“等值函数”？如果是，求出当b＝1时，两函数的“等值根”；如果不是，请说明理由．
（2）如图所示的是y＝﹣|x2+2x|的图象，它是由二次函数y＝﹣x2﹣2x的图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分保持不变得到的．若y1＝ x+b与y2＝﹣|x2+2x|互为“等值函数”，且有两个“等值根”，求b的取值范围．
十二、综合存在
20．（【深圳市中考数学备考指南】专题13二次函数综合运用(易2)）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（1，0）、B（﹣3，0）两点，与y轴交于点C，设抛物线的顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式与顶点D的坐标．
（2）试判断△BCD的形状，并说明理由．
（3）若点E在x轴上，点Q在抛物线上．是否存在以B、C、E、Q为顶点且以BC为一边的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似？若
存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵抛物线过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），
∴设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C（0，3）代入，得：3＝a（0+1）（0﹣3），
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴该抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，顶点坐标为M（1，4）．
（2）解：如图1，将点C沿y轴向下平移1个单位得C'（0，2），连接BC'交抛物线对称轴x＝1于点Q'，
过点C作CP'∥BC'，交对称轴于点P'，连接AQ'，
∵A、B关于直线x＝1对称，
∴AQ'＝BQ'，
∵CP'∥BC'，P'Q'∥CC'，
∴四边形CC'Q'P'是平行四边形，
∴CP'＝C'Q'，Q'P'＝CC'＝1，
在Rt△BOC'中，BC
此时，三点共线，的值最小，
的最小值为
（3）解：线段EF的长为定值1．
如图2，连接BE，
设，且，
∵EF⊥x轴，
∵F（t，0），
∴BF＝OF﹣OB＝t﹣3，AF＝t﹣（﹣1）＝t+1，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠DAF+∠BED＝180°，
∵∠BEF+∠BED＝180°，
∴∠DAF＝∠BEF，
∵∠AFD＝∠EFB＝90°，
∴△AFD∽△EFB，
∴线段EF的长为定值1．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；相似三角形的性质-对应边；二次函数图象的平移变换；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），根据待定系数法将点C坐标代入解析式可得抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3，再转换为顶点式，即可求出顶点坐标.
（2）将点C沿y轴向下平移1个单位得C'（0，2），连接BC'交抛物线对称轴x＝1于点Q'，过点C作CP'∥BC'，交对称轴于点P'，连接AQ'，根据对称性可得AQ'＝BQ'，再根据平行四边判定定理可得四边形CC'Q'P'是平行四边形，则CP'＝C'Q'，Q'P'＝CC'＝1，再根据勾股定理可得，再根据边之间的关系可得，此时，三点共线，的值最小，即可求出答案.
（3）连接BE，设，且，根据两点间距离可得，BF＝t﹣3，AF＝t+1，再根据圆内接四边形性质可得∠DAF+∠BED＝180°，再根据角之间的关系可得∠DAF＝∠BEF，根据相似三角形判定定理可得△AFD∽△EFB，则，代值计算即可求出答案.
2．【答案】解：（1）∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0，5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5，0）
∴
解得
∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5
∴A（1，0），B（5，0）
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5，0）， B的坐标为（5，0）
∴OB=CO=5，即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5)，A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵
解得
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；等腰直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）分别令直线y=-x+5中的x=0与y=0算出对应的y与x的值，即可确定B、C的坐标，然后用待定系数法解答即可；
（2）令抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值，求出A、B的坐标，结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得M1A=M1C，由等边对等角及三角形外角性质得∠AM1B=2∠ACB，根据等腰直角三角形性质得AH=BH=NH=2，进而确定N的坐标；再利用待定系数法求出直线AC的解析式，根据中点坐标公式确定点E的坐标，进而根据互相垂直直线斜率乘积为-1，可确定M1E的解析式，然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标.
3．【答案】（1）解：将A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）代入y＝ax2+bx+c得：
解得
∴抛物线解析式为：
（2）解：不存在，理由如下：
假设存在y轴上的点N，使∠MNB＝90°，设点N的坐标为（0，m），如图：
由可得抛物线顶点，而，
若，则，
化简整理得：，
关于的一元二方程无实数解，
∴不存在y轴上的点N（0，m），使∠MNB＝90°；
（3）解：如图：
∵∠PEQ＝∠BEF＝90°﹣∠EBF＝∠BCO，∠BOC＝∠PQE＝90°，
∴△BOC∽△PQE，
∵B（8，0），C（0，4），
∴OB＝8，OC＝4，
要使S△PQE最大，只需PE2最大，
设直线BC解析式为y＝kx+t，将B（8，0），C（0，4）代入得：
，解得
直线BC解析式为，
设，则，
当时，PE最大为最大为16，
最大为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B，C坐标代入抛物线表达式即可求出答案.
（2）假设存在y轴上的点N，使∠MNB＝90°，设点N的坐标为（0，m），根据二次函数性质可得顶点，根据x轴上点的坐标特征可得，再根据两点间距离可得，，，根据勾股定理建立方程可得，根据判别式，可得方程无实数解，即可求出daan.
（3）根据相似三角形判定定理可得△BOC∽△PQE，则，再根据三角形面积可得，根据两点间距离可得，则，要使S△PQE最大，只需PE2最大，设直线BC解析式为y＝kx+t，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC解析式为，设，则，根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
4．【答案】（1）解：对于（1），
令，
解得或-2，
令，则，
故点A，B，C的坐标分别为，
设直线BC的表达式为，
则，解得，
故直线BC的表达式为
（2）解：过点作轴的平行线交BC于点，
设点M的坐标为（x，x2﹣x﹣6），则点H（x，2x﹣6），
则面积，
，故面积存在最大值，
当时，面积的最大值为，
此时点M的坐标为
（3）解：存在，理由：
在Rt中，，由B、C的坐标得，，
①当点P在BC的右侧时，
延长CP交x轴于点H，过点H作NH⊥BC交CB的延长线于点N，
在Rt△BNH中，tan∠NBH＝tan∠OBC＝2，设BN＝x，则NH＝2x，
在Rt中，，解得，
则，故点的坐标为，
由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝x﹣6②，
联立①②并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（2，﹣4）；
②当点P在BC的左侧时，
设直线CH'交抛物线于点P'，
同理可得，点H'的坐标为（，0），则直线CH'的表达式为y＝7x﹣6③，
联立①③并解得（不合题意的值已舍去），
故点P的坐标为（8，50）；
综上，点P的坐标为（2，﹣4）或（8，50）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得点A，B，C的坐标分别为，设直线BC的表达式为，再根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点作轴的平行线交BC于点，设点M的坐标为（x，x2﹣x﹣6），则点H（x，2x﹣6），根据三角形面积可得面积，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据正切定义可得，由B、C的坐标得，，分情况讨论：①当点P在BC的右侧时，延长CP交x轴于点H，过点H作NH⊥BC交CB的延长线于点N，在Rt△BNH中，根据正切定义可得tan∠NBH＝tan∠OBC＝2，设BN＝x，则NH＝2x，在Rt中，根据正切定义建立方程，解方程可得，根据勾股定理可得，故点的坐标为，由点C、H的坐标得，直线CH的表达式为y＝x﹣6，联立方程组，解方程组即可求出答案；②当点P在BC的左侧时，设直线CH'交抛物线于点P'，同理可得，点H'的坐标为（，0），则直线CH'的表达式为y＝7x﹣6，联立方程组，解方程组即可求出答案.
5．【答案】（1）解：令y＝0，得ax2﹣ax﹣6a＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
∵A在B点左边，
∴A（﹣2，0），B（3，0），
令x＝0，得：y＝﹣6a，
∴C（0，﹣6a），
∵OC＝2OA，
∴6a＝2×2
解得：，
抛物线的解析式为
（2）解：如图1，设，
过点E作EG⊥x轴于G，连接EB，作∠AEB的平分线交x轴于M，过点M作MN⊥x轴交AE于N，
则∠AEM＝∠BEM＝∠AEB，
∵∠AEB+∠BAE＝45°，
∴∠AEM+∠BAE＝45°，
∴∠EMG＝45°，
∵∠EGM＝90°，
∴△EMG是等腰直角三角形，
∴∠MEG＝45°，
∵MN⊥x轴，EG⊥x轴，
∴MN∥EG，
∴∠EMN＝∠MEG＝45°，
∴∠EMN＝∠EMB，
，
∵BG＝t﹣3，
在△EMN和△EMB中，
，
∴△EMN≌△EMB（ASA），
∴MN＝BM＝，
∵MN∥EG，
∴△AMN∽△AGE，
，
即MN AG＝AM EG，
，
∴3（t﹣3）（2t+1）（t+2）＝﹣2（t+2）（2t﹣9）（t﹣3）（t+2），
∵E是x轴上方，抛物线上一点，∠BAE为锐角，
∴点E在第一象限的抛物线上，
∴t＞3，
∴3（2t+1）＝﹣2（t+2）（2t﹣9），
解得：，
，不符合题意，舍去，
当时，
点纵坐标为；
（3）解：如图2，过点P作PT⊥x轴于T，
设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（﹣2，0），C（0，﹣4）代入，
得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣4，
∵P是线段AC上一个动点，
∴设P（n，﹣2n﹣4），且﹣2≤n≤0，
则T（n，0），
∴OT＝﹣n，PT＝2n+4，BT＝3﹣n，
在Rt中，，
∵∠BPF＝∠BAC，∠PBF＝∠ABP，
∴△BPF∽△BAP，
，
∴BP2＝BF AB＝（AB﹣AF） AB，
∵AF＝m，AB＝OA+OB＝2+3＝5，
∴5n2+10n+25＝5（5﹣m），
∴n2+2n+m＝0，
∵P点总存在两个不同的位置使∠BPF＝∠BAC，
∴此方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝22﹣4×1 m＞0，
解得：m＜1，
∴m满足的条件为：0＜m＜1．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据坐标轴上点的坐标特征可得A（﹣2，0），B（3，0），C（0，﹣6a），根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设，过点E作EG⊥x轴于G，连接EB，作∠AEB的平分线交x轴于M，过点M作MN⊥x轴交AE于N，根据等腰直角三角形判定定理可得△EMG是等腰直角三角形，则∠MEG＝45°，根据直线平行判定定理可得MN∥EG，则∠EMN＝∠MEG＝45°，即∠EMN＝∠EMB，再根据等角对等边可得 ，再根据边之间的关系可得，，再根据全等三角形判定定理可得△EMN≌△EMB（ASA），则MN＝BM＝，根据相似三角形判定定理可得△AMN∽△AGE，则，即即MN AG＝AM EG，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）过点P作PT⊥x轴于T，设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣4，设P（n，﹣2n﹣4），且﹣2≤n≤0，则T（n，0），根据两点间距离可得OT＝﹣n，PT＝2n+4，BT＝3﹣n，根据勾股定理可得，再根据相似三角形判定定理可得△BPF∽△BAP，则，根据题意建立方程，根据方程有两个不相等的实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
6．【答案】解：（1）因为抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），所以，解得：，
即此抛物线的解析式是；
（2）因为一次函数可化为=，
所以此抛物线顶点D的坐标是（1，﹣4），对称轴是直线x=1；
（3）存在一点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，
设点P的坐标为（1，y），分三种情况讨论：
①当PA=PD时=，
解得，y=，即点P的坐标为（1，）；
②当DA=DP时，=，
解得，y=，即点P的坐标为（1，）或（1，）；
③当AD=AP时，=，
解得，y=±4，即点P的坐标是（1，4）或（1，﹣4），
当点P为（1，﹣4）时与点D重合，故不符合题意．
由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，4）．
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²的图象；二次函数的对称性及应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线的图象与x轴交于A（﹣1.0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），代入点的坐标，列出方程组，求得a，b，c的值，即可得求得抛物线的解析式；
（2）根据（1）中的解析式化为顶点式，得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；
（3）减少存在点P，使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况讨论，结合勾股定理，分别列出方程，求得y的值，进而得到答案.
7．【答案】（1）解：是抛物线与轴的两个交点，且二次项系数，
根据抛物线的两点式知，
（2）解：根据抛物线表达式可求，即．
∵∠AOC＝∠COB＝90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO＝∠CBO，
∴∠QAB＝∠QAC+∠CAO＝∠CBA+45°+∠CAO＝∠ACO+∠CAO+45°＝135°，
∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，
设P（m，n），且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，
∴AD＝PD，即m+1＝﹣n①，
又∵P在抛物线上，
②
联立①②两式，解得m＝6（﹣1舍去），此时n＝﹣7，
∴点P的坐标是（6，﹣7）．
（3）解：设PH与x轴的交点为Q，P
则，
若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，
∴tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，
∴AQ＝2PQ，
即，
解得（-1舍去），此时．
若，过点作轴于点，
∴∠PFH＝∠PHF，
∵∠CFA＝∠PFH，∠QHB＝∠PHF，
∴∠CFA＝∠QHB，
又∵∠ACF＝∠BQH＝90°，
∴△ACF∽△BQH，
在Rt中，，
将上式和抛物线解析式联立并解得（－1舍去），
此时．
若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E（见上图），
∵∠CAF+∠CFA＝90°，
∠PAQ+∠HPF＝90°，
∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，
∴∠CAF＝∠PAQ，
即AP平分∠CAB，
∴CE＝CA＝，
联立抛物线解析式，解得（-1舍去）．
此时．
当时，；
当时，；
当时，；
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得，即，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得△AOC∽△COB，则∠ACO＝∠CBO，再根据角之间的关系可得∠QAB=135°，再根据补角可得∠BAP＝45°，设P（m，n），且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰直角三角形，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（3）设PH与x轴的交点为Q，P，则，分情况讨论：若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，根据正切定义可得tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，再根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案；若，过点作轴于点，根据角之间的关系可得∠CFA＝∠QHB，再根据相似三角形判定定理可得△ACF∽△BQH，则根据直角三角形性质可得，联立抛物线解析式可得，此时；若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E，根据角之间的关系可得∠CAF＝∠PAQ，再根据角平分线判定定理可得可得AP平分∠CAB，则CE＝CA＝，根据边之间的关系可得，联立抛物线解析式可得，此时，即可求出答案.
8．【答案】（1）解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且抛物线经过A（1，0），
故点B的坐标为（﹣3，0），
设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2+2x﹣3），
将点C坐标代入上式得：3＝a（﹣3），解得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
由题意得B（﹣3，0），
把B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝mx+n得：，解得
∴直线的解析式为y＝x+3
（2）解：设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．
把x＝﹣1代入直线y＝x+3得y＝2，故M（﹣1，2），
即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）
（3）解：设P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），
则，
若点为直角顶点时，则，
即，
解得；
若点为直角顶点时，则，
即，
解得，
若为直角顶点时，则，则，
解得，
综上，点的坐标为或或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线对称性可得点B的坐标为（﹣3，0），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），根据待定系数法将点C坐标代入解析式可得抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3，再根据待定系数法将点B，C坐标代入直线方程即可求出答案.
（2）设直线BC与对称轴x＝﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小，将x=-1代入直线方程即可求出答案.
（3）设P（﹣1，t），B（﹣3，0），C（0，3），根据两点间距离可得，分情况讨论：若点为直角顶点时，若点为直角顶点时，若为直角顶点时，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
9．【答案】（1）解：抛物线与轴交于两点，与轴交于点，
∴可设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）．
则：解得：
（2）解：抛物线与轴交于两点，
∴其对称轴是直线x＝2．
∵A，B两点关于直线x＝2对称，
连接AC与直线x＝2交于点P，连接BP，
此时CP+BP＝CP+PA＝AC，其值最小，即△PBC的周长最小．
∵直线x＝2∥y轴，
∴△PDA∽△COA．
解得：．
又∵B、A关于直线x＝2对称，
∴BP＝AP．
∴BP+CP＝CP+AP＝AC，
在Rt△BOC中，
∵OB＝1，OC＝，
∴BC＝
∴△PBC的周长的最小值为
∴当P点坐标为（2，）时，△PBC的周长最小．最小值为．
（3）解：如图：
存在，理由：
当点A为直角顶点时，过A作AM⊥AC交抛物线于点M，交y轴于点H，
∵AC⊥AM，OC⊥OA，
∴△OAC∽△OHA，
∴OA2＝OC OH．
∵OA＝5，OC＝，
∴OH＝10，
∴H（0，﹣10），A（5，0）．
∴直线AM的解析式为y＝2x﹣10
解方程组
得：或.
又∵A点坐标为（5，0），
∴点M的坐标为（﹣5，﹣20）．
∴在抛物线上存在点M（﹣5，﹣20），使得△ACM是以点A为直角顶点的直角三角形．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣5）。根据待定系数法将点C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据二次函数性质可得其对称轴是直线x＝2，连接AC与直线x＝2交于点P，连接BP，此时CP+BP＝CP+PA＝AC，其值最小，即△PBC的周长最小，根据相似三角形判定定理可得△PDA∽△COA，则，代值计算可得，根据边之间的关系，勾股定理可得，BC＝，即可求出答案.
（3）当点A为直角顶点时，过A作AM⊥AC交抛物线于点M，交y轴于点H，根据相似三角形判定定理可得△OAC∽△OHA，则，代值计算可得OH＝10，则H（0，﹣10），A（5，0）根据待定系数法求出直线AM的解析式为y＝2x﹣10，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案.
10．【答案】（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，．
∴将代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，理由如下：
直线的解析式为，将代入得
解得：
∴直线的解析式为：
∵抛物线对称轴与轴交于点，
∴当时，，
∴，
①当时，设直线交对称轴于点，
∵，，二次函数对称轴为，
∴，，轴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点的坐标为；
②∵，，
∴
∴
∴是直角三角形，
当时，根据点关于抛物线对称轴对称，
则直线经过点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，
如图，在上取点，使，连接，
，
∴，
，
，
又，
，
，即，
当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，
的最小值为．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质-对应边；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）根据抛物线对称性可得，，再根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）根据待定系数法将点A坐标代入直线解析式可得直线的解析式为：，将x=3代入直线解析式可得，分情况讨论：①当时，设直线交对称轴于点，根据等腰直角三角形性质可得是等腰直角三角形，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即点坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点A，M坐标代入解析式可得直线的解析式为，联立抛物线解析式即可求出答案；根据两点间距离可得，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，当时，根据点关于抛物线对称轴对称，则直线经过点坐标为，设直线的解析式为，根据待定系数法将点D，B坐标代入解析式可得直线的解析式为，联立抛物线解析式即可求出答案.
（3）在上取点，使，连接，根据边之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，即，根据边之间的关系当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，根据勾股定理可得CF，即可求出答案.
（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴，．
∴将代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，理由如下：
直线的解析式为，将代入得
解得：
∴直线的解析式为：
∵抛物线对称轴与轴交于点，
∴当时，，
∴，
①当时，设直线交对称轴于点，
∵，，二次函数对称轴为，
∴，，轴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点的坐标为；
②∵，，
∴
∴
∴是直角三角形，
当时，根据点关于抛物线对称轴对称，
则直线经过点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，
如图，在上取点，使，连接，
，
∴，
，
，
又，
，
，即，
当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，
的最小值为．
11．【答案】（1）解：对直线，当时，，时，，
，．
（2）解：设二次函数为，
二次函数图象经过，，
，
把点代入得：
，
解得：，
．
（3）解：存在，，，
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；两圆一中垂模型；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）二次函数图象经过，，
对称轴为，
，
，
，
如图，当时，
，
，，
如图，当时，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点结合题意即可求解；
（2）设交点式，进而代入点C的坐标即可求出二次函数关系式；
（3）根据“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，进而根据勾股定理结合等腰三角形的性质即可求解。
（1）解：对直线，当时，，时，，
，．
（2）解：设二次函数为，
二次函数图象经过，，
，
把点代入得：
，
解得：，
．
（3）解：二次函数图象经过，，
对称轴为，
，
，
，
如图，当时，
，
，，
如图，当时，过点作于点，
，，
，
，
，
，
，
，
综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形．
12．【答案】（1）解：∵抛物线经过点C（0，3），
∴设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+3，
把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3中，
解得
抛物线的解析式为
（2）解：由题意得四边形DEFG为矩形，
点的横坐标为，
，
抛物线的对称轴为轴，且，
，
即当时，取最大值，
当时，，此时点的坐标为．
（3）解：P点坐标为P1（﹣2，﹣5），P2（4，﹣5），P3（0，3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）如图，若以AD为对角线，四边形APDQ为平行四边形，
∵A（﹣1，0），D（2，3），
∴AD的中点M的横坐标为x=
∵点Q的横坐标为1，
∴点P的横坐标为0，此时P点坐标为（0，3），
如图，若以AD为边，四边形ADQP为平行四边形，
∵A（﹣1，0），D（2，3），Q点的横坐标为1，
设P点的横坐标为n，
由平移规律可得2﹣（﹣1）＝1﹣n
∴n＝﹣2，
把n＝﹣2代入抛物线的解析式得y＝﹣5，点P的坐标为（﹣2，﹣5），
若以AD为边，四边形ADPQ为平行四边形
∵A（﹣1，0），D（2，3），Q点的横坐标为1，
设P点的横坐标为n，
由平移规律可得2﹣（﹣1）＝n﹣1
∴n＝4，
把n＝4代入抛物线的解析式得y＝﹣5，点P的坐标为（4，﹣5），
综合以上可得P点坐标为P1（﹣2，﹣5），P2（4，﹣5），P3（0，3）．
【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+3，根据待定系数将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）由题意得四边形DEFG为矩形，将x=m代入抛物线解析式可得，根据抛物线性质可得抛物线的对称轴为轴，且，则，即结合二次函数性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：若以AD为对角线，四边形APDQ为平行四边形，若以AD为边，四边形ADQP为平行四边形，作出图形，根据点的位置关系，平移的性质即可求出答案.
13．【答案】（1）解：将点A（1，0），C（0，﹣3）分别代入y＝ax2+bx+c得，
，解得：，
函数的对称轴为直线，
，即，
∴﹣a+3＝2a，
∴a＝1，b＝2，c＝﹣3，
∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3
（2）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x＝1或x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
过点C作直线PM的垂线，垂足为点H，
∵点B（﹣3，0），点C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴△CHN是等腰直角三角形，
∴CN＝CH，
∴PN+CN＝PN+2CH，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，
设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），
的最大值为此时点P的坐标为
（3）解：点的坐标为或或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）∵点A（1，0），点C（0，﹣3），
∴OA＝1，OC＝3，
∴AC＝，
抛物线沿射线AC方向平移个单位长度得到抛物线，
抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，
抛物线的解析式为，
设点，点，
①以FE为对角线时，
，解得：，
点的坐标为；
②以FP为对角线时，
，解得：，
点的坐标为；
③以FB为对角线时，
，解得：
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得，再根据二次函数对称轴建立方程，解方程可得，联立等式，解方程即可求出答案.
（2）根据x轴上点的坐标特征可得B（﹣3，0），过点C作直线PM的垂线，垂足为点H，根据等腰直角三角形判定定理可得△CHN是等腰直角三角形，则CN＝CH，再根据边之间的关系可得PN+CN＝PN+2CH，设直线BC的解析式为y＝kx+b，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），再根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）根据勾股定理可得AC＝，根据函数图象平移性质可得抛物线的解析式为，设点，点，分情况讨论：①以FE为对角线时，②以FP为对角线时，③以FB为对角线时，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
14．【答案】（1）解：令 ，则 ，
，
令 ，则 ，
解得： ，
，
，
在 中， ，
同理， ，
又 ，
，
，
即 为直角三角形；
（2）解：设直线 为 ，
代入点 ， 得， ，
直线 为 ，
同理，直线 为 ，
轴，
轴，
设 ，
，
，
， 轴，
轴， ，
，
，
又 ，
，
，
，
，
，
当 最大时， 取得最大值，
，
又 ，
当 时， 最大值为 ， 最大值为3，
，
，
可设直线 为 ，
代入点 ，得 ，
直线 为： ，
令 ，解得 ，
，
此时 最大值为3；
（3）存在， 或
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；勾股定理的逆定理；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（3）存在这样的点 ，使以 、 、 、 为顶点的四边形为矩形，
，
当抛物线沿射线 方向平移 个单位，可以分解为水平向右平移 个单位，竖直向上平移3个单位，
，
平移后得抛物线为： ，
对称轴为直线 ，
①当 ， 为对角线，构成矩形 时，如图1，
过 作 轴于 点，
，
又 ，
，
，
，
又 ，
，
，
由坐标与平移关系可得，
，
②当 ， 为对角线，构成矩形 时，如图2，
，
，
，
，
，
，
，
，
由坐标与平移关系可得，
，
综上所述， 为 或 ．
【分析】（1）先分别求出A，B，C的坐标，再求出三角形三边的长度，再根据勾股定理的逆定理即可求出答案；
（2）先根据待定系数法求出直线AC，BC的解析式，根据全等三角形的判定定理得出 ，根据全等三角形的性质及三角形面积得出当 最大时， 取得最大值，即可求出答案；
（3）先求出平移后的抛物线的解析式，再根据矩形性质，三角函数值，一次函数的解析式与平移的性质分情况讨论即可求出答案。
15．【答案】（1）解：把代入中，得，
解得，
（2）解：①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b'．得
解得
点是轴上的一动点，且轴．
此函数有最大值．
又点在线段OA上运动，且，
当时，MN有最大值．
②满足条件的点的坐标为或或。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（2）②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．
解得或0（舍弃）
如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．
如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，
则有，，
解得或0（舍弃），
当点在轴的右侧时，显然，此时满足条件的菱形不存在．
综上所述，满足条件的点的坐标为或或。
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入解析式即可求出答案.
（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，根据待定系数法将点A，C坐标代入解析式可得，根据题意可得，再根据两点间距离可得，结合二次函数性质即可求出答案.
②分情况讨论：当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，根据边之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】（1）解：对于，当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝﹣3，
∴点A的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，4），
∵对称轴是直线：x＝﹣1，
∴有：，解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：对于，当y＝0时，，解得：x1＝3，x2＝1，
∴点B的坐标为（0，1），
又∵点A（﹣3，0），点C（0，4），
∴OA＝3，OB＝1，OC＝4
作DE⊥x轴于E，
∵点D在第二象限内的抛物线上，且横坐标为m
∴点D的坐标为（m，n），则，
∴OE＝﹣m，DE＝n，
∴AE＝OA﹣OE＝3﹣（﹣m）＝m+3，
∵DE⊥x轴，则四边形OCDE为直角梯形，
∴，
又，，
∴S＝S四边形OCDE+S△ADE+S△BOC，
即，
又，
，
当m＝﹣1.5时，S为最大，
此时
∴点D的坐标为（﹣1.5，5）．
（3）解：存在点P和点Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，理由如下：
∵点P在抛物线的对称轴x＝﹣1上，
∴可设点P的坐标为：（﹣1，t），
∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，
∴PA＝PC＝QA＝QC，AC与PQ互相垂直平分，
设直线x＝﹣1与x轴交于点F，过点P作PT⊥y轴，AC与PQ交于点K，
∵点A（﹣3，0），C（0，4），
∴OA＝3，CO＝4，OF＝PT＝1，OT＝PF＝t，
∴AF＝OA﹣OF＝3﹣1＝2，CT＝OC﹣OT＝4﹣t，
在Rt△APF中，由勾股定理得：PA2＝PF2+AF2＝t2+4，
在Rt△CPT中，由勾股定理得：PC2＝PT2+CT2＝1+（4﹣t）2
∴t2+4＝1+（4﹣t）2，解得：，
∴点P的坐标为，
设点K的坐标为（xK，yK），
∵点K为AC的中点，
∴，，
设点Q的坐标为（xQ，yQ），
∵点K为PQ的中点，
∴，，
解得：xQ＝﹣2，，
∴点Q的坐标为．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）首先根据函数与坐标轴交点求出点A、点C坐标，然后利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）先根据函数与坐标轴交点求出点B坐标，再作DE⊥x轴于E，连接BC，依题意设点D的坐标为（m，n），则可用含m、n的式子表示OE、DE、AE，分别求出四边形OCDE和、的面积，然后根据S=S四边形OCDE+S△ADE+S△BOC列出S与m的函数关系式，根据S有最大值求出m，进而可得点D的坐标；
（3）设点P（-1，t），直线x=-1与x轴交于点F，过点P作PT⊥y轴，AC与PQ交于点K，先由勾股定理求出PA、PC，再根据PA=PC可求出t，进而可得点P的坐标，然后根据点K为AC的中点求出k的坐标，进而根据K为PQ的中点可求出点Q的坐标．
17．【答案】（1）解：由题意可设抛物线的函数表达式为y＝a（x+1）（x+3），
将C（0，3）代入得：3＝a（0+1）（0+3），
解得a＝1．
∴抛物线的函数表达式为y＝（x+1）（x+3），即y＝x2+4x+3
（2）解：如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．
∵A（﹣1，0），B（﹣3，0），C（0，3）．
.
∵点A、B关于对称轴x＝﹣2对称，
∴PA＝PB．
∴PA+PC＝PB+PC．此时，PB+PC＝BC．
∴点P在对称轴上运动时，PA+PB的最小值等于BC．
∴△APC的周长的最小值＝AC+AP+PC＝AC+BC＝3
（3）解：存在点M，N使四边形MNED为正方形，
如图2所示，过M作MF∥y轴，交x轴于点F，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，
设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y＝x+b，
联立得：
消去得：，
为等腰直角三角形，
若四边形MNED为正方形，则有，
整理得：，
解得：b＝21或b＝1，
∵正方形面积为MN2＝8b﹣6，
∴正方形面积为162或2．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的函数表达式为y＝a（x+1）（x+3），根据待定系数法将点C坐标代入表达式即可求出答案.
（2）连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA，根据勾股定理可得，根据对称性质可得PA＝PB，则PA+PC＝PB+PC．此时，PB+PC＝BC，即点P在对称轴上运动时，PA+PB的最小值等于BC，再根据三角形周长即可求出答案.
（3）过M作MF∥y轴，交x轴于点F，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M（x1，y1），N（x2，y2），设直线MN解析式为y＝x+b，联立抛物线方程可得，则再根据等腰三角形性质可得，则，再根据正方形性质建立方程，解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：抛物线与轴的交点坐标为．
抛物线为．
将．代入，得
解得，
抛物线的解析式为
（2）解：过点作轴，交BC于点，如图1所示．
当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
将代入，得，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
当时，面积取最大值，最大值为．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
综上所述，S关于m的函数表达式为＝﹣3m2+9m（0＜m＜3），S的最大值
（3）解：存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当时，△COB∽△CDM∽△CMN，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时ND＝DM＝，
当时，
解得
此时．
如图3，当点位于点的下方，
过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：或与相似，
解得或，
或，
此时点坐标为或．
综合以上得，存在或或，或，使得，且与相似．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A，B，C坐标代入解析式即可求出答案.
（2）过点作轴，交BC于点，根据y轴上点的坐标特征可得点C的坐标为（0，6），设直线BC的解析式为y＝kx+c，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线BC的解析式为y＝﹣2x+6，由题意可得点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），根据两点间距离可得PF＝﹣2m2+6m，再根据三角形面积可得，结合二次函数性质即可求出答案.
（3）分情况讨论：当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，根据相似三角形判定定理可得△MCD∽△NCM，若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），根据两点间距离可得DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，当时，△COB∽△CDM∽△CMN，即，解方程可得M（1，8），，当时，，即，解方程可得，；当点位于点的下方，过点M作ME⊥y轴于点E，设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），根据两点间距离可得EC＝2a2﹣4a，EM＝a，同理可得：或与相似，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）解： x+b= ，
∴x2-2bx-8=0，
△=(2b)2+32=4b2+32>0，
∴方程总有两个不相等的实数根，
∴ 函数y1＝ x+b与 是互为“等值函数” ；
当b=1时，则有x2-2x-8=0，
（x-4）（x+2）=0，
∴x=4或-2；
（2）解：如图，当直线在点A与点O之间运动时，与y＝﹣|x2+2x|的图象有两个等值根，
当 ﹣|x2+2x| =0时，
解得x=-2或0，
∴点A（-2，0），点O（0，0），
当y1＝ x+b 过点A时，×（-2）+b=0，
解得b=1，
当y1＝ x+b 过点O时，×0+b=0，
解得b=0，
∴0当-2整理得：△=x2+x-b=0，
△=b2-4ac=+4b=0，
解得b=-，
∴当b<-， y1＝ x+b与y2＝﹣|x2+2x|互为“等值函数”， 且有两个“等值根”，
∴当0【知识点】定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)联立两个函数关系式，将其化成整式方程，然后利用一元二次方程的判别式求出△>0，即可判断；将b=1代入方程求解即可；
(2)利用数形结合分析，当直线在点A与点O之间运动时与绝对值函数有两个等值根，令 ﹣|x2+2x| =0时，求出A、O点坐标，分别求出直线经过A点和B点b的值，则可得出020．【答案】（1）解：抛物线与轴交于两点，
解得
抛物线的解析式为．
∴顶点D的坐标为（﹣1，4）；
（2）解：△BCD是直角三角形．
理由如下：如图1，过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F．
∵在Rt△BOC中，OB＝3，OC＝3，
∴BC2＝OB2+OC2＝18
在Rt△CDF中，DF＝1，CF＝OF﹣OC＝4﹣3＝1，
∴CD2＝DF2+CF2＝2
在Rt△BDE中，DE＝4，BE＝OB﹣OE＝3﹣1＝2，
∴BD2＝DE2+BE2＝20
∴BC2+CD2＝BD2
∴△BCD为直角三角形．
（3）解：点的坐标为或或
（4）解：的坐标为：或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数-特殊四边形存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【解答】解：（3）①当Q点的纵坐标为3时，
∴把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3求得x＝0或﹣2，
∴Q1（﹣2，3）；
②当Q点的纵坐标为﹣3时，
把代入求得或，
，
综上，点的坐标为或或．
（4）由（2）知，
①，故当是原点时，；
②当AC是直角边时，若AC与CD是对应边，设的坐标是，则，即，解得：，则的坐标是，三角形ACP不是直角三角形，则不成立；
③当AC是直角边，若AC与BC是对应边时，设的坐标是，则，则，即，解得：，故是时，则CBD一定成立；
④当在轴上时，AC是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．则，当AC与CD是对应边时，，即，解得：，
此时，两个三角形不相似；
⑤当P在x轴上时，AC是直角边，P一定在B的左侧，设P的坐标是（e，0）
则，当AC与DC是对应边时，，即，解得：，符合条件．
总之，符合条件的点的坐标为：或或．
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式可得抛物线的解析式为，再将解析式转换为顶点四即可得顶点坐标.
（2）过点D分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，根据勾股定理，勾股定理逆定理即可求出答案.
（3）分情况讨论：①当Q点的纵坐标为3时，②当Q点的纵坐标为﹣3时，将y值分别代入抛物线表达式即可求出答案.
（4）由（2）知，根据相似三角形判定定理即可求出答案.
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