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中小学教育资源及组卷应用平台
8.3 列联表与独立性检验
考点一 等高条形图
【例1】（23-24高二下·重庆·期末）如图是学校高二1 2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（ ）
A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等
B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班
C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的
D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确
【一隅三反】
1（2024·四川）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）
A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多
D．样本中男生人数少于女生人数
2．（24-25江西新余）如图为对某高中学生是否对父母说过“我爱你”这样的话的统计结果，则下列统计分析中不正确的是：（ ）.
A．男性被调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话的人数比例高于女性
B．无论男女对母亲说“我爱你”这类话的比例都高于对父亲所说
C．大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话
D．经常对父母说“我爱你”这样的话的人数总计比例较女生比例有所下降，说明这张统计图的结果可能存在错误
3．（2024高三·北京）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通
B．样本中多数女性是岁及以上
C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多
D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高
考点二 完善列联表
【例2】（24-25上海）某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示：
每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人）
老年人 7
年轻人 6
合计 50
已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025海南）下面是列联表：
合计
21 73
22 25 47
合计 46 120
则表中，的值分别为（ ）
A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52
2．（23-24高二下·天津河北·期末）下面是一个2×2列联表，其中a、b处的值分别为 、 ．
总计
a 21 73
2 25 27
总计 b 46 100
3．（23-24高二下·广东深圳·期中）下面是一个2×2列联表：
合计
合计
则表中a，b处的值分别为 ； ．
考点三 独立性检验的概念及辨析
【例3】（2024·江西）根据分类变量x与y的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（ ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．有95%的把握认为变量x与y独立
B．有95%的把握认为变量x与y不独立
C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
【一隅三反】
1．（23-24高二下·山东青岛·期中）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.已知，依据小概率值的独立性检验，则（ ）
A．与不独立
B．与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．与独立
D．与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
2．（2024·江苏）设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（ ）
A．有99.5%的把握认为不成立 B．有5%的把握认为的反面正确
C．有95%的把握判断正确 D．有95%的把握能反驳
3．（23-24高二下·河南信阳·期末）某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（ ）
A．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关”
B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌
C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌
D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关”
4．（2025·上海·模拟预测）在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（ ）
A．的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
B．的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
C．的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小
D．的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大
考点四 独立性检验解决实际问题
【例4】（2025·四川德阳·二模）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，足球作为其中的一项团队运动项目，风 世界，深受大众喜欢，为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性观众各100名进行调查，得到如下列联表．
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男性 60 40 100
女性 30 70 100
合计 90 110 200
(1)判断是否有的把握认为喜爱足球运动与性别有关；
(2)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在从喜爱足球运动的观众中随机抽取3名，记男性的人数为，求事件的分布列和数学期望；
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
附：．
【一隅三反】
1（2025·浙江温州）为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，抽取了200名高三年级的学生，统计数据，整理得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：
性别 身高 合计
低于 不低于
女 m 20
男 50 n
合计 200
(1)根据身高的频率分布直方图，求列联表中m，n的值；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为高三年级学生的性别与身高是否低于有关联？
(3)用样本频率估计总体的概率，在全市不低于的学生中随机抽取2人，其中不低于的人数记为，求的期望．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
附：，
2．（24-25 江苏扬州 ）社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 24 30
喜欢阅读纸质书 12
总计 60
(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；
(2)若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望．
附：，其中
单选题
1．（2024·四川）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）
A．样本中多数男生喜欢手机支付
B．样本中的女生数量少于男生数量
C．样本中多数女生喜欢现金支付
D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量
2．（2024广西南宁 ）为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）
A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果
D．药物A，B对该疾病均没有预防效果
3．（24-25 湖北襄阳 ）某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（ ）
男生 女生
篮球迷 90 20
非篮球迷 60 30
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.789
附：
A．有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
4．（2024高三·全国·专题练习）某品牌公司在海外设立了多个分支机构，现需要国内公司外派大量中、青年员工该企业为了解这两个年龄层的员工是否愿意被外派，采用分层抽样的方法从中、青年员工中随机抽取了100位进行调查，得到数据如下表：
愿意被外派 不愿意被外派 总计
中年员工 20 30 50
青年员工 40 10 50
总计 60 40 100
得到的正确结论是（ ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．有90%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”
B．有90%的把握认为“是否愿意被外派与年龄无关”
C．有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”
D．有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄无关”
5．（2024云南）为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③在犯错误的概率不超过的前提下，不可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（ ）
男性运动员（人） 女性运动员（人）
对主办方表示满意 200 220
对主办方表示不满意 50 30
注：
0.600 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024高三·全国·专题练习）为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了50人，得到如下结果（单位：人）
不患肺癌 患肺癌 合计
不吸烟 24 6 30
吸烟 6 14 20
合计 30 20 50
根据表中数据，以下叙述正确的是：（ ）
A．可以通过计算，结合统计决断，判断：有的把握认为吸烟与患肺癌有关
B．可以通过计算，结合统计决断，判断：不能否定吸烟与肺癌无关
C．可以通过计算，结合统计决断，判断：有的把握认为吸烟与患肺癌有关
D．可以通过计算，结合统计决断，判断：不能否定吸烟与肺癌无关
7．（24-25高二下·全国·课后作业）我国力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和，是党中央经过深思熟虑作出的重大战略决策，事关中华民族永续发展和构建人类命运共同体．新经济形势下，二氧化碳排放是影响企业效益的重要因素，为了研究节能专利技术对企业效益的影响，现随机抽取100家科技企业进行调查，得到如下数据：
经济效益较好 经济效益较差 合计
节能专利技术 52 29 81
非节能专利技术 8 11 19
合计 60 40 100
则认为节能专利技术有利于企业经济效益的把握为（ ）
附：，其中．
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
A． B． C． D．
多选题
8．（2024福建泉州·期中）如图是调查某地区男、女中学生喜欢数学的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢数学的百分比，从图可以看出（ ）

A．性别与喜欢数学无关 B．女生中喜欢数学的百分比为
C．男生比女生喜欢数学的可能性大些 D．男生不喜欢数学的百分比为
9．（24-25高二上·江苏常州·期末）为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制了下侧所示的列联表（个别数据暂用字母表示）：
数学成绩 性别 合计
男 女
优秀 27 70
非优秀 58 110
合计 180
经计算得：，参照下表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
则下列选项正确的为（ ）
A．
B．
C．可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关”
D．没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关”
10．（24-25高二下·全国·单元测试）下列关于的说法正确的是（ ）
A．根据列联表中的数据计算得出，则有的把握认为两个分类变量有关系
B．越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大
C．是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量
D．，其中为样本容量
11．（24-25高二下·全国·单元测试）有关独立性检验的四个说法，其中正确的是（ ）
A．两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系的可能性就越大
B．对分类变量X与Y的统计量来说，越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病
D．从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为吸烟与患肺癌有关
12．（24-25 山东青岛·期末）已知某地区成年男士的身高（单位：）服从正态分布，体重（单位：）服从正态分布．若从该地区随机选取成年男士100人，得到数据如下表，则
身高 体重 合计
大于 小于等于
大于 a b
小于等于 d
总计
附：若，则．
，其中．
A．根据正态分布估计
B．根据正态分布估计
C．若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相关联
D．若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相互独立
13．（24-25 云南昆明 ）下列说法正确的是（ ）
A．线性相关系数越小，两个变量的线性相关性越弱
B．在线性回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
C．独立性检验方法不适用于普查数据
D．已知随机变量，若，则
填空题
14．（23-24高二下·广东深圳·期中）观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量、相关关系最强的是 .
15．（24-25高二下·全国·课后作业）在饮酒与患肝脏病是否有关的研究中，关于饮酒与患肝脏病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的序号是 ．
①若的临界值是2.706，我们有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系，那么在1000个饮酒的人中，必有900人患肝脏病；
②从独立性的检验可知有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系时，则若某人饮酒，那么他有的可能患有肝脏病；
③若从统计量中求出有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系，是指有的可能性使得推断错误．
解答题
16．（2024·内蒙古）为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取100名学生，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并估计这100名学生成绩的中位数（精确到0.01）；
(2)在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于80分为“优秀”，竞赛成绩低于80分为“非优秀”．
①请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？
②求出等高条形图需要的数据，并画出等高条形图（按图中“优秀”和“非优秀”所对应阴影线画），利用条形图判断竞赛成绩优秀与性别是否有关系？
列联表
优秀 非优秀 合计
男生 10
女生 50
合计 100
参考公式及数据：，，
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17．（2025·云南大理 ）为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查.数据显示，200人中中老年人共有75人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍.
年龄段 购车意向 合计
愿意购买新能源车 愿意购买燃油车
青年
中老年
合计
(1)完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关；
(2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望.
附：，.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
18．（24-25 吉林长春·开学考试）为了解2024年长春市居民网购消费情况，在全市随机抽取了100人，对其2024年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值，并估计居民网购消费金额的中位数.
(2)若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的列联表，并判断能否依据小概率值的独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关.
男 女 合计
网购迷 20
非网购迷 45
合计
附：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
19．（2025·江西 ）一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格：
倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计
女性居民 150 250 400
男性居民 350 250 600
合计 500 500 1000
(1)能否有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异？
(2)从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率．
(3)从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：，其中．
在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断：
当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；
当时，有90%的把握判断变量，有关联；
当时，有95%的把握判断变量，有关联；
当时，有99%的把握判断变量，有关联．
20．（24-25 广西 ）据统计，某地一特色饭店年月份共有个网上点餐订单，好评率为.为了提高服务质量，饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店月份共有个网上点餐订单，其中好评订单有个.
(1)根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为该饭店月份订单的好评与服务改进有关；
好评订单个数 非好评订单个数 合计
服务改进前
服务改进后
合计
(2)若从月、月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽取个订单分析顾客的意见，再从这个订单中随机抽取个订单进行电话访谈，求其中恰好有个订单为好评订单的概率.
附：.
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8.3 列联表与独立性检验
考点一 等高条形图
【例1】（23-24高二下·重庆·期末）如图是学校高二1 2班本期中考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，如果再从两个班中各随机抽6名学生的期中考试数学成绩统计，那么（ ）
A．两个班6名学生的数学成绩优秀率可能相等
B．1班6名学生的数学成绩优秀率一定高于2班
C．2班6名学生中数学成绩不优秀的一定多于优秀的
D．“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”判断一定正确
【答案】A
【解析】原图是学校高二1 2班本期中期考试数学成绩优秀率的等高堆积条形图，
从两个班随机抽取的6名学生的期中考试数学成绩优秀率无法确定哪个班的比较高，2班6名学生数学成绩不优秀的和优秀的人数也不能确定，故A正确，BC错误；
两个班期中考试数学成绩的优秀率均在0.5左右，并不能直接确定“两班学生的数学成绩优秀率存在差异”，故D错误；
故选：A.
【一隅三反】
1（2024·四川）四川省将从2022年秋季入学的高一年级学生开始实行高考综合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”为首选科目，即物理与历史二选一.某校为了解学生的首选意愿，对部分高一学生进行了抽样调查，制作出如下两个等高条形图，根据条形图信息，下列结论正确的是（ ）
A．样本中选择物理意愿的男生人数少于选择历史意愿的女生人数
B．样本中女生选择历史意愿的人数多于男生选择历史意愿的人数
C．样本中选择物理学科的人数较多
D．样本中男生人数少于女生人数
【答案】C
【解析】根据等高条形图图1可知样本中选择物理学科的人数较多，故C正确；
根据等高条形图图2可知样本中男生人数多于女生人数，故D错误；
样本中选择物理学科的人数多于选择历史意愿的人数，而选择物理意愿的男生比例高，选择历史意愿的女生比例低，
所以样本中选择物理意愿的男生人数多于选择历史意愿的女生人数，故A错误；
样本中女生选择历史意愿的人数不一定多于男生选择历史意愿的人数，故B错误.
故选：C.
2．（24-25江西新余）如图为对某高中学生是否对父母说过“我爱你”这样的话的统计结果，则下列统计分析中不正确的是：（ ）.
A．男性被调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话的人数比例高于女性
B．无论男女对母亲说“我爱你”这类话的比例都高于对父亲所说
C．大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话
D．经常对父母说“我爱你”这样的话的人数总计比例较女生比例有所下降，说明这张统计图的结果可能存在错误
【答案】D
【解析】对于A选项，观察统计图，比较男性和女性未对父母说过“我爱你”的比例，
发现男性未说的比例高于女性，所以A选项正确.
对于B选项，分别对比男女对母亲和对父亲说“我爱你”的比例，
能看出无论男女对母亲说的比例都高于对父亲说的比例，所以B选项正确.
对于C选项，从统计图整体来看，未说过“我爱你”的人数比例较大，
所以大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话，C选项正确.
对于D选项，经常对父母说“我爱你”的人数总计比例较女生比例有所下降，
并不能直接说明统计图结果存在错误，有可能是实际调查结果就是如此，所以D选项错误.
故选：D
3．（2024高三·北京）年月日太原地铁号线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况，为了了解市民对地铁号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构．并制作出如下等高堆积条形图：
根据图中信息，下列结论不一定正确的是（ ）
A．样本中男性比女性更关注地铁号线开通
B．样本中多数女性是岁及以上
C．样本中岁以下的男性人数比岁及以上的女性人数多
D．样本中岁及以上的人对地铁号线的开通关注度更高
【答案】C
【解析】设等高条形图对应列联表如下：
岁及以上 岁以下 总计
男性
女性
总计
根据第个等高条形图可知，岁及以上男性比岁及以上女性多，即；
岁以下男性比岁以下女性多，即．
根据第个等高条形图可知，男性中岁及以上的比岁以下的多，即；
女性中岁及以上的比岁以下的多，即，
对于A，男性人数为，女性人数为，
因为，所以，所以A正确；
对于B，岁及以上女性人数为，岁以下女性人数为，
因为，所以B正确；
对于C，岁以下男性人数为，岁及以上女性人数为，
无法从图中直接判断与的大小关系，所以C不一定正确；
对于D，岁及以上的人数为，岁以下的人数为，
因为，所以，所以D正确．
故选：C.
考点二 完善列联表
【例2】（24-25上海）某村庄对该村内50名村民每年是否体检的情况进行了调查，统计数据如下表所示：
每年体检（人） 每年未体检（人） 合计（人）
老年人 7
年轻人 6
合计 50
已知抽取的村民中老年人、年轻人各25名，则对列联表数据的分析错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为抽取的村民中，老年人有25名，年轻人有25名，所以，
所以，A、B对；
所以，则对；
则错.
故选：.
【一隅三反】
1．（2025海南）下面是列联表：
合计
21 73
22 25 47
合计 46 120
则表中，的值分别为（ ）
A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52
【答案】C
【解析】因为．所以．又，所以．
故选：C.
2．（23-24高二下·天津河北·期末）下面是一个2×2列联表，其中a、b处的值分别为 、 ．
总计
a 21 73
2 25 27
总计 b 46 100
【答案】 52 54
【解析】根据2×2列联表的定义可知，，解得，
故答案为：52，54.
3．（23-24高二下·广东深圳·期中）下面是一个2×2列联表：
合计
合计
则表中a，b处的值分别为 ； ．
【答案】 52 60
【解析】根据已知条件，结合列联表之间的数据关系，由表中数据可知，
，所以；
.
故答案为：
考点三 独立性检验的概念及辨析
【例3】（2024·江西）根据分类变量x与y的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（ ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．有95%的把握认为变量x与y独立
B．有95%的把握认为变量x与y不独立
C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
【答案】D
【解析】因为，所以变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%.
故选：D.
【一隅三反】
1．（23-24高二下·山东青岛·期中）根据分类变量与的成对样本数据，计算得到.已知，依据小概率值的独立性检验，则（ ）
A．与不独立
B．与不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
C．与独立
D．与独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05
【答案】C
【解析】因为
根据，根据小概率值的独立性检验知：与独立，C正确.
故选：C.
1．（2024·江苏）设研究某两个属性变量时，作出零假设并得到2×2列联表，计算得，则下列说法正确的是（ ）
A．有99.5%的把握认为不成立 B．有5%的把握认为的反面正确
C．有95%的把握判断正确 D．有95%的把握能反驳
【答案】D
【解析】依题意，，因此有95%的把握反驳，
故选：D.
3．（23-24高二下·河南信阳·期末）某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关.计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（ ）
A．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关”
B．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌
C．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌
D．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关”
【答案】D
【解析】依已知数据，得有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”，
则选项D正确，其余都是错误的.
故选：D.
4．（2025·上海·模拟预测）在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性检验，计算得实验数据的统计量的值为.已知，则（ ）
A．的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
B．的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
C．的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小
D．的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大
【答案】B
【解析】因为，则的值大于3.841，
就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”，A选项错误，B选项正确；
的值的大小不能说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差，C，D选项错误.
故选：B.
考点四 独立性检验解决实际问题
【例4】（2025·四川德阳·二模）2024年7月26日，第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎开幕，足球作为其中的一项团队运动项目，风 世界，深受大众喜欢，为了解喜爱足球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性观众各100名进行调查，得到如下列联表．
喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计
男性 60 40 100
女性 30 70 100
合计 90 110 200
(1)判断是否有的把握认为喜爱足球运动与性别有关；
(2)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在从喜爱足球运动的观众中随机抽取3名，记男性的人数为，求事件的分布列和数学期望；
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
附：．
【答案】(1)有的把握认为喜爱足球运动与性别有关
(2)分布列见解析，2
【解析】（1）零假设：喜爱足球运动与性别无关．
由题，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立．
即有的把握认为喜爱足球运动与性别有关．
（2）由题童可得从喜爱足球运动的观众中随机抽取一人．其为男性的概率为，
故，
0 1 2 3
【一隅三反】
1（2025·浙江温州）为了研究某市高三年级学生的性别和身高的关联性，抽取了200名高三年级的学生，统计数据，整理得到如下列联表，并画出身高的频率分布直方图：
性别 身高 合计
低于 不低于
女 m 20
男 50 n
合计 200
(1)根据身高的频率分布直方图，求列联表中m，n的值；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为高三年级学生的性别与身高是否低于有关联？
(3)用样本频率估计总体的概率，在全市不低于的学生中随机抽取2人，其中不低于的人数记为，求的期望．
0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
附：，
【答案】(1)
(2)认为高三年级学生的性别与身高是否低于有关联.
(3)
【解析】（1）由图可知：低于170cm的学生有名，
则不低于170cm的学生有90名，从而，
（2）由题意可得
性别 身高 合计
低于 不低于
女 60 20 80
男 50 70 120
合计 110 90 200
故，
故认为高三年级学生的性别与身高是否低于有关联.
（3）可以取0，1，2，抽中不低于175cm的概率为，
故,故
2．（24-25 江苏扬州 ）社会生活日新月异，看纸质书的人越来越少，更多的年轻人（35岁以下）喜欢阅读电子书籍，他们认为电子书不仅携带方便，而且可以随时随地阅读，而年长者（35岁以上）更喜欢阅读纸质书．现在某书店随机抽取60名顾客进行调查，得到了如下列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 24 30
喜欢阅读纸质书 12
总计 60
(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关；
(2)若在年轻人中按照分层抽样的方法抽取了7人，为进一步了解情况，再从抽取的7人中随机抽取3人，求抽到喜欢阅读电子书的年轻人人数X的分布列及数学期望．
附：，其中
【答案】(1)答案见解析，有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关
(2)分布列见解析，
【解析】（1）根据题意，可得如下的的列联表：
年长者 年轻人 总计
喜欢阅读电子书 6 24 30
喜欢阅读纸质书 12 18 30
总计 18 42 60
则，
所以有的把握认为喜欢阅读电子书与年龄有关.
（2）由题意可得抽到喜欢阅读电子书的年轻人数为4名，喜欢阅读纸质书的年轻人数为3名，
所以随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；
由超几何分布的分布列可得，,
，；
所以X的分布列为：
0 1 2 3
则期望为.
单选题
1．（2024·四川）为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图：
根据图中的信息，下列结论中不正确的是（ ）
A．样本中多数男生喜欢手机支付
B．样本中的女生数量少于男生数量
C．样本中多数女生喜欢现金支付
D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量
【答案】C
【解析】对于A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对；
对于B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对；
对于C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错；
对于D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对.
故选：C.
2．（2024广西南宁 ）为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（ ）
A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果
B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果
C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果
D．药物A，B对该疾病均没有预防效果
【答案】B
【解析】根据两个表中的等高条形图知，
药物A实验显示不服药与服药时患病差异较药物B实验显示明显大，
所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果，
故选：B．
3．（24-25 湖北襄阳 ）某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（ ）
男生 女生
篮球迷 90 20
非篮球迷 60 30
0.10 0.05 0.01 0.005
2.706 3.841 6.635 7.789
附：
A．有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
B．有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关
C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关
【答案】D
【解析】依题意可得列联表如下：
男生 女生 合计
篮球迷 90 20 110
非篮球迷 60 30 90
合计 150 50 200
所以，
所以没有99%的把握认为是否是篮球迷与性别有关，进而没有99.5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关，A,B选项错误；
又，最准确的是在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关，D选项正确.
故选：D.
4．（2024高三·全国·专题练习）某品牌公司在海外设立了多个分支机构，现需要国内公司外派大量中、青年员工该企业为了解这两个年龄层的员工是否愿意被外派，采用分层抽样的方法从中、青年员工中随机抽取了100位进行调查，得到数据如下表：
愿意被外派 不愿意被外派 总计
中年员工 20 30 50
青年员工 40 10 50
总计 60 40 100
得到的正确结论是（ ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．有90%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”
B．有90%的把握认为“是否愿意被外派与年龄无关”
C．有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”
D．有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄无关”
【答案】C
【解析】由列联表，可得，
所以有99%的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关”，
故选：C．
5．（2024云南）为了调查各参赛人员对主办方的满意程度，研究人员随机抽取了500名参赛运动员进行调查，所得数据如下表所示，现有如下说法：①在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为；②在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；③在犯错误的概率不超过的前提下，不可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；则正确命题的个数为（ ）
男性运动员（人） 女性运动员（人）
对主办方表示满意 200 220
对主办方表示不满意 50 30
注：
0.600 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为对主办方表示满意的男性运动员的人数为，
所以在参与调查的500名运动员中任取1人，抽到对主办方表示满意的男性运动员的概率为，所以命题①错误，
又因为，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，不可以认为“是否对主办方表示满意与运动员的性别有关”；所以命题②错误，命题③正确.
故选：B.
6．（2024高三·全国·专题练习）为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了50人，得到如下结果（单位：人）
不患肺癌 患肺癌 合计
不吸烟 24 6 30
吸烟 6 14 20
合计 30 20 50
根据表中数据，以下叙述正确的是：（ ）
A．可以通过计算，结合统计决断，判断：有的把握认为吸烟与患肺癌有关
B．可以通过计算，结合统计决断，判断：不能否定吸烟与肺癌无关
C．可以通过计算，结合统计决断，判断：有的把握认为吸烟与患肺癌有关
D．可以通过计算，结合统计决断，判断：不能否定吸烟与肺癌无关
【答案】C
【解析】由题意，得12.5，
则，所以有的把握认为“吸烟与患肺癌有关有关”.
故选：C.
7．（24-25高二下·全国·课后作业）我国力争2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和，是党中央经过深思熟虑作出的重大战略决策，事关中华民族永续发展和构建人类命运共同体．新经济形势下，二氧化碳排放是影响企业效益的重要因素，为了研究节能专利技术对企业效益的影响，现随机抽取100家科技企业进行调查，得到如下数据：
经济效益较好 经济效益较差 合计
节能专利技术 52 29 81
非节能专利技术 8 11 19
合计 60 40 100
则认为节能专利技术有利于企业经济效益的把握为（ ）
附：，其中．
0.10 0.05 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
故有的把握认为节能专利技术有利于企业经济效益．
故选：A.
多选题
8．（2024福建泉州·期中）如图是调查某地区男、女中学生喜欢数学的等高堆积条形图，阴影部分表示喜欢数学的百分比，从图可以看出（ ）

A．性别与喜欢数学无关 B．女生中喜欢数学的百分比为
C．男生比女生喜欢数学的可能性大些 D．男生不喜欢数学的百分比为
【答案】CD
【解析】由图可知，女生喜欢数学的占，男生喜欢数学的占，男生不喜欢数学的百分比为，故B错误，D正确；
显然性别与喜欢数学有关，故A错误；男生比女生喜欢数学的可能性大些，故C正确.
故选：CD.
9．（24-25高二上·江苏常州·期末）为了探究某次数学测试中成绩达到优秀等级是否与性别存在关联，小华进行了深入的调查，并绘制了下侧所示的列联表（个别数据暂用字母表示）：
数学成绩 性别 合计
男 女
优秀 27 70
非优秀 58 110
合计 180
经计算得：，参照下表：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
则下列选项正确的为（ ）
A．
B．
C．可以在犯错误的概率不超过5%的前提下认为“数学达到优秀等级与性别有关”
D．没有充分的证据显示“数学达到优秀等级与性别有关”
【答案】ABD
【解析】对于AB，由列联表知，，AB正确；
对于CD，由知，C错误，D正确.
故选：ABD.
10．（24-25高二下·全国·单元测试）下列关于的说法正确的是（ ）
A．根据列联表中的数据计算得出，则有的把握认为两个分类变量有关系
B．越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大
C．是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量
D．，其中为样本容量
【答案】ABC
【解析】根据列联表中的数据计算得出，则有的把握认为两个分类变量有关系，A选项正确；
越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大，B选项正确；
是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量，C选项正确；
公式中分子应该是，D选项错误.
故选：ABC.
11．（24-25高二下·全国·单元测试）有关独立性检验的四个说法，其中正确的是（ ）
A．两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系的可能性就越大
B．对分类变量X与Y的统计量来说，越小，“X与Y有关系”的可信程度越小
C．从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病
D．从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为吸烟与患肺癌有关
【答案】ABD
【解析】两个变量的列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，则越大，两个变量有关系的可能性越大，所以选项A正确；
越小，则“X与Y有关系”的可信度越小，所以选项B正确；
从独立性检验可知，有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，不表示某人秃顶他就有95%的可能患有心脏病，所以选项C不正确；
从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为吸烟与患肺癌有关，是独立性检验的解释，所以选项D正确.
故选：ABD.
12．（24-25 山东青岛·期末）已知某地区成年男士的身高（单位：）服从正态分布，体重（单位：）服从正态分布．若从该地区随机选取成年男士100人，得到数据如下表，则
身高 体重 合计
大于 小于等于
大于 a b
小于等于 d
总计
附：若，则．
，其中．
A．根据正态分布估计
B．根据正态分布估计
C．若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相关联
D．若，根据正态分布估计b，c，d的值，基于上述数值，根据小概率值的独立性检验，分析该地区成年男士身高超过与体重超过相互独立
【答案】ABC
【解析】因为该地区成年男士的身高（单位：）服从正态分布，
由正态分布可得，
若从该地区随机选取成年男士100人，则身高大于177的人数约为16人，
所以，故A正确；
因为体重（单位：）服从正态分布．
因为体重大于，
所以可得从该地区随机选取成年男士100人，体重大于73的数约为16人，
所以体重小于等于73的数约为84人，故，故B正确；
若，则，
零假设：该地区成年男士身高超过与体重超过无关，
计算可得，
由小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
所以该地区成年男士身高超过与体重超过相关联，故C正确；D错误.
故选：ABC.
13．（24-25 云南昆明 ）下列说法正确的是（ ）
A．线性相关系数越小，两个变量的线性相关性越弱
B．在线性回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
C．独立性检验方法不适用于普查数据
D．已知随机变量，若，则
【答案】BCD
【解析】对于A，线性相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，A错误；
对于B，在线性回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，B正确；
对于C，普查数据可以准确地判断两个变量之间是否有关联，不需要进行独立性检验，C正确；
对于D，由随机变量，得，D正确.
故选：BCD
填空题
14．（23-24高二下·广东深圳·期中）观察下面各等高堆积条形图，其中两个分类变量、相关关系最强的是 .
【答案】乙
【解析】等高条形图中有两个高度相同的矩形，每个矩形都有两个颜色，观察下方颜色区域的高度，如果高度差越大，则两个分类变量关系越强，观察四个选项可知，B选项中带颜色区域的高度差最大，两个分类变量、相关关系最强;
故答案为：乙
15．（24-25高二下·全国·课后作业）在饮酒与患肝脏病是否有关的研究中，关于饮酒与患肝脏病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的序号是 ．
①若的临界值是2.706，我们有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系，那么在1000个饮酒的人中，必有900人患肝脏病；
②从独立性的检验可知有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系时，则若某人饮酒，那么他有的可能患有肝脏病；
③若从统计量中求出有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系，是指有的可能性使得推断错误．
【答案】③
【解析】①若的临界值，我们有的把握认为饮酒与患肝脏病有关系，
但在1000个饮酒的人中未必有900人患有肝脏病，所以①错误；
②从独立性检验可以知道99%的把握认为饮酒与患肝脏病有关系时，
是指饮酒与患肝脏病有关系的概率，而不是饮酒的人有99%的可能性有肝脏病，所以②错误：
③若从统计量中求出有99.5%的把握认为饮酒与患肝脏病有关系，
则有0.5%的可能性使得推断错误，所以③正确．
故答案为：③.
解答题
16．（2024·内蒙古）为迎接2022年北京冬季奥运会，普及冬奥知识，某校开展了“冰雪答题王”冬奥知识竞赛活动．现从参加冬奥知识竞赛活动的学生中随机抽取100名学生，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），并估计这100名学生成绩的中位数（精确到0.01）；
(2)在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于80分为“优秀”，竞赛成绩低于80分为“非优秀”．
①请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？
②求出等高条形图需要的数据，并画出等高条形图（按图中“优秀”和“非优秀”所对应阴影线画），利用条形图判断竞赛成绩优秀与性别是否有关系？
列联表
优秀 非优秀 合计
男生 10
女生 50
合计 100
参考公式及数据：，，
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)平均成绩73，中位数73.33；
(2)①表格见解析，没有；②答案见解析，有.
【解析】（1）这100名学生的平均成绩：
，
设成绩的中位数为，则根据频率分布直方图可知，有，
解得；
（2）①根据表中已知数据和频率分布直方图得下表
优秀 非优秀 合计
男生 10 40 50
女生 20 30 50
合计 30 70 100
根据表中数据可得，
因为4.762＜6.635，所以没有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．
②根据列联表中数据可知，样本中男生优秀的频率为，男生非优秀的频率为；女生优秀的频率，女生非优秀的频率为．
所画等高条形图如图所示：
根据等高条形图，比较图中两个用斜纹实线所画条的高可以发现，女生样本中成绩优秀的频率明显高于男生样本中成绩优秀的频率，因此可以认为竞赛成绩优秀与性别有关．
17．（2025·云南大理 ）为了解消费者购买新能源汽车意向与年龄是否具有相关性，某汽车公司通过问卷调查对200名消费者进行调查.数据显示，200人中中老年人共有75人，且中老年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍；青年中愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的4倍.
年龄段 购车意向 合计
愿意购买新能源车 愿意购买燃油车
青年
中老年
合计
(1)完善列联表，请根据小概率值的独立性检验，分析消费者对新能源车和燃油车的意向购买与年龄是否有关；
(2)采用分层随机抽样从愿意购买新能源车的消费者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中青年人数的分布列和期望.
附：，.
0.05 0.01 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】(1)列联表见解析，有关
(2)分布列见解析，.
【解析】（1）中老年共有75人，且愿意购买新能源车的人数是愿意购买燃油车的2倍，
所以愿意购买新能源车的中老年人数为50人，愿意购买燃油车的中老年人数为25人，青年共有125人，
愿意购买新能源车是愿意购买燃油车的4倍，所以青年中愿意购买新能源车为100人，愿意购买燃油车为25人.
故列联表如下：
年龄段 购车意向 合计
愿意购买新能源车 愿意购买燃油车
青年 100 25 125
中老年 50 25 75
合计 150 50 200
零假设：消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为消费者购买新能源车和燃油车的意向与年龄有关；
（2）愿意购买新能源车的共有150人，青年人与中老年人的比例为，
所以分层随机抽样抽取的6人中4人是青年人，2人是中老年人，
则的可能取值为0，1，2，
则，，.
所以的分布列如下：
0 1 2
则，
所以这5人中青年人数的期望为.
18．（24-25 吉林长春·开学考试）为了解2024年长春市居民网购消费情况，在全市随机抽取了100人，对其2024年全年网购消费金额（单位：千元）进行了统计，所统计的金额均在区间内，并按，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中的值，并估计居民网购消费金额的中位数.
(2)若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的列联表，并判断能否依据小概率值的独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关.
男 女 合计
网购迷 20
非网购迷 45
合计
附：，其中.
0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)，中位数为；
(2)列联表见解析，有关；
【解析】（1）由题意得：，
解得；
设中位数为x，前3组的频率为：，
前4组的频率为：，
所以中位数在第四组，则，解得；
（2）由（1）知：网购迷人数为：人，非网购迷人数为65人，
则列联表如下：
男 女 合计
网购迷 15 20 35
非网购迷 45 20 65
合计 60 40 100
因为，
所以依据小概率值的独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关.
19．（2025·江西 ）一家调查机构在某地随机抽查1000名成年居民对新能源车与燃油车的购买倾向，得到如下表格：
倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车 合计
女性居民 150 250 400
男性居民 350 250 600
合计 500 500 1000
(1)能否有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异？
(2)从倾向于购买燃油车的居民中按性别采用分层随机抽样的方法抽取10人，再从中抽取4人进行座谈，求在有女性居民参加座谈的条件下，恰有2名男性居民也参加座谈的概率．
(3)从所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出12人，再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：，其中．
在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断：
当时，没有充分的证据判断变量，有关联，可以认为变量，是没有关联的；
当时，有90%的把握判断变量，有关联；
当时，有95%的把握判断变量，有关联；
当时，有99%的把握判断变量，有关联．
【答案】(1)有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异
(2)
(3)分布列见解析，
【解析】（1）因为，
所以有99%的把握认为对新能源车与燃油车的购买倾向存在性别差异．
（2）由表格可得倾向于购买燃油车的居民中男、女性别比为7:3，
所以抽取男性7人，女性3人，
再从中抽取4人进行座谈，有女性居民记为事件，则，
恰有2名男性居民记为事件，则，
所以在有女性居民参加座谈的条件下，
恰有2名男性居民也参加座谈的概率为．
（3）在所有参加调查的男性居民中按购买这两种车的倾向性，采用分层随机抽样的方法抽出
12人，可得抽取结果如下表：
倾向于购买燃油车 倾向于购买新能源车
男性居民 7 5
再从中随机抽取3人进行座谈，记这3人中倾向于购买新能源车的居民人数为，
可取0，1，2，3，9分
可求出，，
，，
的分布列如下：
0 1 2 3
数学期望．
20．（24-25 广西 ）据统计，某地一特色饭店年月份共有个网上点餐订单，好评率为.为了提高服务质量，饭店进行了服务改进，已知服务改进后该饭店月份共有个网上点餐订单，其中好评订单有个.
(1)根据所给数据填写下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为该饭店月份订单的好评与服务改进有关；
好评订单个数 非好评订单个数 合计
服务改进前
服务改进后
合计
(2)若从月、月这两个月网上点餐的订单中按照是否好评对总体进行分层，用分层随机抽样的方法抽取个订单分析顾客的意见，再从这个订单中随机抽取个订单进行电话访谈，求其中恰好有个订单为好评订单的概率.
附：.
【答案】(1)答案见解析，有关
(2)
【解析】（1）月份的订单中，好评订单有个，
非好评订单有个.
月份的订单中，非好评订单有个.
故补全的列联表如下表所示：
好评订单个数 非好评订单个数 合计
服务改进前
服务改进后
合计
零假设：该饭店月份订单的好评与服务改进无关.
，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即该饭店9月份订单的好评与服务改进有关，该推断犯错误的概率不超过.
（2）利用分层随机抽样的方法抽取个订单，则好评订单应抽取个，
非好评订单应抽取个.
设“从这个订单中随机抽取个订单进行电话访谈，其中恰好有个订单为好评订单”为事件，
则.
所以事件恰好有个订单为好评订单的概率为.
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