资源简介

(共18张PPT)
专题三　解决问题
第6课时　简单实际问题和复合实际问题
第一部分　数与代数
01
考点演练
02
真题训练
目
录
考点一　简单的实际问题
1　（2023·十堰竹溪）把长2m的绳子剪成同样长的4段，每段长多少米？
解析：根据“把长2m的绳子剪成同样长的4段”可知，2m是总量，4是份数。求每段长多少米，就是求每份数，用“总量÷份数”即可求解。
答案：2÷4＝0.5（m）
答：每段长0.5m。
2　（2023·南通如皋）张叔叔骑摩托车 分钟行驶了 千米，他平均行驶1千米需要（）分钟。
解析：列分数除法算式时，要弄清楚数量关系，本题中的数量关系式为“行驶的时间÷行驶的路程＝平均行驶1千米需要的时间”。
答案：
【小试身手】
1. 每千克油菜籽可榨0.36千克油，要榨360千克油，需要多少千克油菜籽？
360÷0.36＝1000（千克）
2. 妈妈买了5千克鲤鱼，付给收银员100元，每千克鲤鱼9.5元，妈妈花了多少元？
9.5×5＝47.5（元）
考点二　一般复合实际问题
3　（2023·娄底双峰）六年级同学参加植树活动，原计划40人去栽，每人要栽15棵；实际25人去栽，实际每人要栽多少棵？
解析：从问题出发，画图来分析：
答案：40×15÷25＝24（棵）
答：实际每人要栽24棵。
4　（2023·湘潭）在六年级组织的爱心义卖活动中，（1）班共收到义卖款759元，（2）班比（1）班少收到69元。两个班共收到义卖款多少元？
解析：从条件出发，画图来分析：
答案：759＋（759－69）＝1449（元）
答：两个班共收到义卖款1449元。
解决复合实际问题
　　1. 解题方法有分析法（问题→条件）和综合法（条件→问题）。
　　2. 解法步骤分为找准条件和问题；分析题中数量关系；列式求结果；检验、写答句。
　　3. 解答可以分步列算式；也可以列综合算式。
【小试身手】
3. （2023·佛山南海区）如图所示为某区在某路段的停车收费标准，陈阿姨离开停车场时显示已停车1小时55分钟，则她应缴停车费（　C　）。
1小时以内（含1小时）：免费停车
超过1小时至3小时（含）：3元/时，不足1小时的按1小时算
超过3小时：后续每小时增加2元，不足1小时的按1小时算
24小时最高限价：20元
A. 2元 B. 3元 C. 6元 D. 9元
C
4. （2024·绍兴柯桥区）张老师带了500元去体育用品商店买了6个篮球，找回20元，每个篮球多少元？
（500－20）÷6＝80（元）
5. （2023·无锡锡山区）一种新能源车既可以用电驱动行驶，也可以用汽油驱动行驶，它有34千瓦时的电池容量和48升的油箱容量。已知这辆新能源车用电驱动行驶时，每千米需要用电0.17千瓦时，用汽油驱动行驶时，每千米需要用汽油0.06升。这辆新能源车充满电、加满汽油后最多可以行驶多少千米？
34÷0.17＋48÷0.06＝1000（千米）
6. （2023·北海）乐乐家的公寓在一幢22层的大楼里，他家住在第18层，乐乐觉得可高啦！妈妈问乐乐：“大楼第1层是商铺，高3.5米，其余每层高2.8米，你知道这幢大楼高多少米吗？”请你帮乐乐算一算。
（22－1）×2.8＋3.5＝62.3（米）
一、填空题。
1. （2023·无锡锡山区）学校有一个面积为56平方米的小农场，平均分给四年级的7个班级，每个班级分到（　8　）平方米；其中3个班级在分到的地里种了番茄，种番茄的面积占小农场总面积的（　 　）。
8

2. （2024·杭州萧山区）小满过后是芒种，小明爸爸承包的小麦地将迎来丰收。预计能收小麦2.43吨，若每50千克装一袋，则至少需要（　49　）个袋子才能装完；若每80千克装一袋，则能装满（　30　）袋。
49
30
一
二
二、解决问题。
1. （2023·岳阳华容）一种牛奶零售价每袋1.5元，小华家五月份每天预订1袋这种牛奶，按批发价共付了40.3元。每袋牛奶的批发价比零售价便宜多少元？
1.5－40.3÷31＝0.2（元）
2. （2024·莆田秀屿区）有一根长100米的绳子，先制作10根长为3.2米的长跳绳，剩下的全部制作成长为1.7米的短跳绳。短跳绳制作了多少根？
（100－3.2×10）÷1.7＝40（根）
一
二
3. （2024·汕尾海丰）小丽看一本150页的故事书，已经看了6天，平均每天看15页，剩下的准备3天看完，剩下的平均每天看多少页？
（150－6×15）÷3＝20（页）
4. （2024·常州溧阳）水果店的山东樱桃每千克32元，王阿姨买了12千克，如果再买3千克山东樱桃，那么王阿姨所付的钱刚好够买6千克车厘子。车厘子的单价是多少？
32×（12＋3）÷6＝80（元/千克）
一
二
5. （2023·北京朝阳区）李阿姨带了100元去超市购物。她先买了1袋价格为25.8元的面粉，又买了2条毛巾，每条毛巾的价格为9.9元。李阿姨剩下的钱够买1箱价格为46.9元的牛奶吗？
100－25.8－2×9.9＝54.4（元）
54.4＞46.9　够
一
二
6. （2023·南宁西乡塘区）下面是一张超市购物小票，分别列式算出“应收金额”和“交易找零”是多少元。
应收金额：7.50＋4.80＋2.50＝14.80（元）　交易找零：20.00－14.80＝5.20（元）
一
二
7. （2024·金华兰溪）棉纺厂要织一批布料，已经织了350米，剩下的比已经织的3倍少40米，这批布料一共多少米？
350×3－40＋350＝1360（米）
一
二
8. （2023·衡水高新区）一辆汽车上午10：00从甲地出发开往乙地，一直匀速前进，至中午12：30距乙地390千米，至下午2：30距乙地270千米。甲、乙两地相距多少千米？（中途休息时间忽略不计）
上午10：00是10时，中午12：30是12时30分，下午2：30是14时30分　
14时30分－12时30分＝2时
（390－270）÷2＝60（千米/时）
14时30分－10时＝4时30分＝4.5时
60×4.5＋270＝540（千米）
一
二(共19张PPT)
专题三　解决问题
第8课时　归一、归总问题
第一部分　数与代数
01
考点演练
02
真题训练
目
录
考点一　归一问题
1　（2024·吉安遂川）某仓库要运一批货物，用6辆同样的货车每天一共可运货84吨。现在计划增加4辆同样的货车，那么现在每天一共可运货多少吨？
解析：可以先用6辆货车一共运货的总吨数除以对应的车辆数，得到每辆货车的运货吨数；再用每辆货车的运货吨数乘增加的4辆货车，得到增加的4辆货车运货的总吨数；最后加上6辆货车运货的总吨数，得到现在每天运货的总吨数。也可以在求出每辆货车的运货吨数的基础上，直接用原有的车辆数加上增加的车辆数，得到总车辆数，最后用每辆货车的运货吨数乘总车辆数，得到现在每天运货的总吨数。
答案：84÷6×4＋84＝140（吨）
或84÷6×（6＋4）＝140（吨）
答：现在每天一共可运货140吨。
2　（2024·重庆大渡口区）将一根水管锯成2段需要5分钟，照这样计算，锯成5段需要（）分钟。
A. 25 B. 20 C. 12.5 D. 15
解析：锯成2段只需要锯1次，5分钟就是每锯一次所需要的时间，锯成5段需要锯4次，所以锯成5段需要5×4＝20（分）。
答案：B
【小试身手】
1. （2024·南通海门区）李阿姨参加2024年南通半程马拉松比赛， 小时跑了 千米。若李阿姨全程用同样的速度，则她跑21千米需要几小时？
21÷ ＝3.5（时）
考点二　归总问题
3　（2024·营口盖州）某村修一段路，原计划每天修2.4千米，15天完成。实际每天修3千米，实际修了多少天？
解析：本题可以先根据原计划每天修的长度和对应的天数求出这段路的总长度，再用这段路的总长度除以实际每天修的长度，得到实际修的天数。
答案：2.4×15÷3＝12（天）
答：实际修了12天。
归一、归总问题
解决归一问题的关键是先求出单一量，再根据题中“同样的”“照这样计算”“用同样的速度”等句子的含义，找准题中数量的对应关系，列出算式，求出结果。有的问题一次归一不能解决，需要二次归一或与倍比相结合才能解决。
归总问题与归一问题类似，归一问题是先求出单一量，而归总问题是先求出总量，再根据其他条件求出结果。
【小试身手】
2. （2024·南通）如图所示为一种感冒药的部分说明书，请认真阅读，并解答下面的问题。
感冒药说明书
[规格] 0.26克/片，12片/盒
[用法用量] 口服；儿童：每日 3次，每次3片；
成人：每日3次，每次4片
[生产日期] 2023年6月30日
[有效期至] 2024年12月31日
（1）这种感冒药的保质期是（　18　）个月。
（2）小明今年10岁，医生嘱咐他需要连续吃5天这种感冒药，则至少要准备（　4　）盒这种感冒药。
18
4
3. （2024·北京东城区）3月12日植树节，春光小学组织同学们到实践基地种植一些树苗。如果每行种18棵，恰好可以种40行。如果每行种15棵，那么这些树苗可以种多少行？
18×40÷15＝48（行）
4. （2024·北京密云区）小明读一本故事书，计划每天读12页，8天可以读完。实际每天多读4页，实际几天读完？
12×8÷（12＋4）＝6（天）
一、填空题。
1. （2023·淮南凤台）王叔叔用收割机收小麦。如果每小时收割0.4公顷，那么30小时能完成任务；如果每小时多收割0.2公顷，那么（　20　）小时能完成任务。
2. （2024·日照经开区）时钟3时敲3下，6秒敲完，那么8时敲8下，（　21　）秒敲完。
3. （2023·厦门翔安区）小明从一楼走到三楼要走26个台阶，照这样计算，他从二楼走到七楼要走（　65　）个台阶。
20
21
65
一
二
4. （2023·苏州工业园区）一台拖拉机 小时耕地 公顷，照这样计算，耕地 公顷需要（　 　）小时。
5. （2023·无锡梁溪区） 千克黄豆可以榨油 千克，照这样计算，榨1千克油需要（　4　）千克黄豆，用2千克黄豆可以榨（　 　）千克油。

4

一
二
二、解决问题。
1. （2023·苏州工业园区）“六一”儿童节，实验小学进行韵律操演出，参加演出的同学计划站18行，每行正好站25人。实际站了15行，平均每行站多少人？
18×25÷15＝30（人）
2. （2024·广州越秀区）一艘轮船往返于甲、乙两港。从甲港开往乙港，顺水每小时行驶25千米，用2.4小时到达乙港。轮船沿原路返回，逆水每小时行驶20千米，这艘轮船要用几小时到达甲港？
25×2.4÷20＝3（时）
一
二
3. （2024·商洛洛南）某地用无人驾驶汽车运送物资。已知一辆“无人车”一趟可以运送0.5吨物资，一辆“无人小巴”一趟可以运送1.2吨物资。如果一批物资用“无人车”运送正好需要运送60次，那么改用“无人小巴”运送，需要运送多少次？
0.5×60÷1.2＝25（次）
4. （2024·莆田涵江区）办公室4月买进一包白纸，计划每天用30张，这个月刚好用完。为节约用纸，实际每天只用20张，这包白纸实际能用多少天？
30×30÷20＝45（天）
一
二
5. （2024·铜陵枞阳）琳琳一家开车回距离为650千米的老家。所开的汽车每100千米耗油8升，按照这个耗油量，出发时加满60 升油，能回到老家吗？
100÷8×60＝750（千米）
750＞650　能
6. （2023·合肥包河区）洋洋看一本216页的科普书，他看了11天后还剩下84页没有看。照这样计算，看完剩下的还要多少天？
（216－84）÷11＝12（页）
84÷12＝7（天）
一
二
7. （2023·六安霍邱）如图，张叔叔从家骑车经过购物中心到植物园，全程需要2小时。如果他以同样的速度从家骑车直接去植物园，那么可以少用几小时？
（10＋14）÷2＝12（千米/时）
21÷12＝1.75（时）
2－1.75＝0.25（时）
一
二
8. （2023·安庆宜秀区）一款燃油车行驶100千米需消耗汽油8升，一款新能源车行驶1千米的电费为0.25元。按照每升汽油7.5元计算，行驶180千米，新能源车可比燃油车节省费用多少元？
8÷100×180×7.5＝108（元）
180×0.25＝45（元）
108－45＝63（元）
一
二
9. （2023·宁德寿宁）小华借了一本120页的故事书，他4天看了48页。照这样计算，小华多少天能看完这本故事书？如果这本故事书只能借阅1周（1周按7天计算），那么从第5天起，小华平均每天至少看多少页？
120÷（48÷4）＝10（天）
（120－48）÷（7－4）＝24（页）
一
二(共27张PPT)
专题三　解决问题
第9课时　和差、和（差）倍问题
第一部分　数与代数
01
考点演练
02
真题训练
目
录
考点一　和差问题
1　（2023·赣州赣县区）如果□＋○＝21，□－○＝7，根据等式的性质可以推算出○代表的数是（）。
A. 14 B. 7 C. 28
解析：本题主要考查了和差公式的运用，题目中给出了□＋○＝21，□－○＝7，若将21加上7，则可得到□的2倍；若将21减去7，则可得到○的2倍。由此求出○代表的数。
答案：B
利用和差公式解题
这道题主要考查了和差公式的运用，即（和＋差）÷2＝大数，（和－差）÷2＝小数，本题还可以先根据一个和差公式算出其中的一个数，再根据相差关系（或相加关系）求出另一个数。在具体解题时只有找准和与差的值，才可以直接套用和差公式解题。
【小试身手】
1. （2024·鞍山铁东区）地球的表面积约为5.1亿平方千米，包括海洋面积和陆地面积。其中海洋面积比陆地面积约多2.1亿平方千米，地球上陆地面积和海洋面积各约是多少亿平方千米？
陆地面积：（5.1－2.1）÷2＝1.5（亿平方千米）
海洋面积：5.1－1.5＝3.6（亿平方千米）
2. （2023·保定满城区）光明小学共有学生500人，其中男生比女生多32人。男、女生各有多少人？
男生：（500＋32）÷2＝266（人）
女生：500－266＝234（人）
考点二　和倍问题
2　（2024·南平）为庆祝“六一”儿童节，某饮品店推出“第二杯半价”的优惠活动，淘气花22.5元买了两杯“杨枝甘露”，一杯“杨枝甘露”的原价是（）元。
解析：本题可以运用和倍公式进行解题，“第二杯半价”说明第一杯的价钱是第二杯的2倍，所以用22.5÷（2＋1）就可以求得第二杯的价钱，再乘2就可以求出第一杯的价钱，即一杯“杨枝甘露”的原价。
答案：15
3　在一道减法算式中，被减数、减数与差的和是300，差是减数的 。差是（），减数是（）。
解析：可以先根据“被减数＝差＋减数”的关系式，用300÷2得到减数与差的和是150；再根据两者之间的倍数关系：差是减数的 ，也就是说减数是差的4倍，套用和倍公式即可求出差和减数的值。
答案：30　120
利用和倍公式解题
这道题主要考查了和倍公式的运用，即和÷（倍数＋1）＝较小数，较小数×倍数＝较大数。先算出较小数，再根据倍数关系求出较大数。在具体解题时只有找准和与倍数的值，才可以直接套用和倍公式解题。
4　（2023·南通如东）果园里有桃树和梨树一共180棵，已知桃树比梨树的1.5倍多20棵。果园里有梨树和桃树各多少棵？
解析：本题可以用方程解答，也可以转化成和倍问题。从题中不难看出桃树的棵数并不刚好是梨树的1.5倍，因此需要把多的20棵减去，这样桃树和梨树的总棵数也会减少20，这时就转化为桃树的棵数是梨树的1.5倍，按和倍问题的解题方法来解答。
答案：180－20＝160（棵）
梨树：160÷（1.5＋1）＝64（棵）
桃树：64×1.5＋20＝116（棵）
答：果园里有梨树64棵，桃树116棵。
【小试身手】
3. （2024·阜阳太和）商店一共购进苹果和梨120箱，苹果的箱数是梨的4倍。商店购进苹果和梨各多少箱？
梨：120÷（4＋1）＝24（箱）
苹果：24×4＝96（箱）
4. （2023·铜仁）在《水浒传》中，梁山共有一百零八将，其中女将人数是男将人数的 。男将和女将各有多少人？
女将：108÷（35＋1）＝3（人）
男将：3×35＝105（人）
考点三　差倍问题
5　（2024·青岛市北区）爸爸比小磊大28岁，今年爸爸的年龄是小磊的3倍。今年小磊多少岁？
解析：本题可以用方程解答，也可以运用差倍公式进行解答。根据“爸爸比小磊大28岁，今年爸爸的年龄是小磊的3倍”可知，28岁相当于小磊年龄的（3－1）倍，所以今年小磊28÷（3－1）＝14（岁）。
答案：28÷（3－1）＝14（岁）
答：今年小磊14岁。
利用差倍公式解题
这道题主要考查了差倍公式的运用，即差÷（倍数－1）＝较小数。若要求较大数，则一般可用较小数×倍数＝较大数。在具体解题时只有找准差与倍数的值，才可以直接套用差倍公式解题。
6　（2024·深圳宝安区）小趣通过测量来研究圆柱和圆锥体积之间的关系。她发现一个圆柱与和它等底等高的一个圆锥的体积相差3.6立方分米。这个圆锥的体积是（）立方分米，这个圆柱的体积是（）立方分米。
解析：等底等高的圆柱的体积是圆锥的3倍，也就是说两者存在着倍数关系，3.6立方分米就相当于两者之间的差，所以可以套用差倍公式进行计算。
答案：1.8　5.4
【小试身手】
5. （2024·丹东凤城）一个圆柱与和它等底等高的圆锥的体积相差40立方厘米，圆锥的体积是（　20　）立方厘米。
6. 我国具有悠久的青铜器铸造史，早在《考工记》中就有关于青铜器中铜与锡质量比的记载，不同用途的青铜器中铜与锡的质量比也各不相同。一把戟（一种古代兵器）中铜与锡的质量比是4∶1，其中铜的质量比锡的质量多48千克。这把戟的质量是多少千克？（其他含量忽略不计）
20
48÷（4－1）＝16（千克）　
16＋48＋16＝80（千克）
一、填空题。
1. （2024·珠海香洲区）已知◎＋△＝30，△＝◎＋◎＋◎＋◎，则◎＝（　6　）。
2. （2024·深圳福田区）一个长方形的周长是34厘米，宽比长少6厘米。这个长方形的长是（　11.5　）厘米，面积是（　63.25　）平方厘米。
6
11.5
63.25
一
二
三
3. （2023·南通如东）已知☆＋☆＋☆＝△＋☆，则☆∶△＝（　1　）∶（　2　）。若☆＋△＝120，则☆＝（　40　）；若△－☆＝18，则△＝（　36　）。
4. （2023·连云港灌云）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是3.6立方分米，则圆锥的体积是（　0.9　）立方分米。
1
2
40
36
0.9
5. （2024·合肥庐江）一个圆柱和一个圆锥等底等高，圆锥的体积比圆柱的体积少1.6立方厘米，那么圆锥的体积是（　0.8　）立方厘米，圆柱的体积是（　2.4　）立方厘米。
0.8
2.4
一
二
三
6. （2023·淮安淮安区）如图，有两种底面和高都相同的杯子，将一瓶600毫升的果汁全部倒完，正好装满这3个杯子。一个圆柱形杯子能装（　360　）毫升果汁，一个圆锥形杯子能装（　120　）毫升果汁。
360
120
7. （2024·太原晋源区）学校在星星家具商场买了2张桌子和5把椅子，共付了330元。已知桌子的单价是椅子的3倍，则每张桌子（　90　）元。
90
一
二
三
二、选择题。
1. （2024·泰州兴化）参加此次活动的48名学生中，男生比女生多12人，男生有（　D　）人。
A. 12 B. 18 C. 24 D. 30
2. （2024·吉安井冈山）如图，用8个完全相同的小长方形可以拼成一个大长方形，每个小长方形的面积是（　B　）cm2。
A. 96 B. 75 C. 50 D. 64
D
B
一
二
三
三、解决问题。
1. （2023·昭通水富）已知a＋b＝60，a＝b＋b＋b，根据等量代换，可推理得出a是多少？
60÷（3＋1）×3＝45
2. （2024·朝阳北票）淘气和笑笑一共编了150个中国结，淘气编中国结的个数是笑笑的5倍。淘气和笑笑各编了多少个中国结？
笑笑：150÷（5＋1）＝25（个）
淘气：25×5＝125（个）
一
二
三
3. （2024·安庆宜秀区）一本故事书的价钱是一本漫画书的3倍，一本故事书的价钱比一本漫画书贵17元，一本漫画书的价钱是多少元？
17÷（3－1）＝8.5（元）
4. （2024·沈阳和平区）爸爸用330元买了一套衣服，裤子的价钱是上衣的 ，爸爸买裤子和上衣各用了多少钱？
裤子：330÷（6＋5）×5＝150（元）
上衣：150÷ ＝180（元）
一
二
三
5. （2024·重庆高新区）北斗系统是我国自主建设、独立运行的全球卫星导航系统。截至2023年4月，在轨卫星有北斗二号卫星和北斗三号卫星共45颗，其中北斗二号卫星的颗数是北斗三号卫星颗数的 ，则北斗三号卫星有多少颗？
45÷（1＋2）×2＝30（颗）
一
二
三
6. （2024·合肥庐阳区）把一根长100米的绳子分成三段，使第一段比第二段长3米，第二段比第三段长5米。三段绳子各长多少米？
第三段：（100－5－5－3）÷3＝29（米）　
第二段：29＋5＝34（米）　
第一段：34＋3＝37（米）
一
二
三
7. （2024·廊坊三河）学校准备购买一些羽毛球和羽毛球拍作为运动会奖品。体育老师到体育用品商店购物，发现带的钱如果都买羽毛球，可以买100筒，如果都买羽毛球拍，可以买25副。学校准备将一副羽毛球拍和一筒羽毛球作为一套奖品。体育老师带的钱可以购买多少套这样的奖品？
100÷（100÷25＋1）＝20（套）
一
二
三
8. （2023·扬州仪征）扬州剪纸是一种传统工艺品，出生于扬州张氏剪纸世家的第六代传承人张秀芳的作品更是融入了自己的创新，多用镂空技法，内容多以花鸟鱼虫为主。在她的195张剪纸中，花鸟图样比鱼虫图样的80％多6张。鱼虫图样剪纸有多少张？
80％＝
（195－6）÷（4＋5）×5＝105（张）
一
二
三
9. （2024·扬州宝应）学校体育室购买了4个大筒装的羽毛球和6个小筒装的羽毛球，共120只，每个小筒装的羽毛球比每个大筒装的少5只。小筒和大筒每筒各装多少只羽毛球？
小筒：（120－5×4）÷（6＋4）＝10（只）　
大筒：10＋5＝15（只）
一
二
三(共37张PPT)
专题三　解决问题
第10课时　行程问题和工程问题
第一部分　数与代数
01
考点演练
02
真题训练
目
录
考点一　一般的行程问题
1　（2023·蚌埠固镇）小芳上午从家步行去学校，平均每分钟走40米。放学后她原路返回，但速度比上学时提高了25％，这样放学所用时间比上学所用时间少了4分钟。小芳家距离学校多少米？
解析：行程问题是根据速度、时间和路程之间的关系研究物体运动的问题。本题中上学时的速度为40米/分，放学时的速度为40×（1＋25％）＝50（米/分），速度提高了50－40＝10（米/分），这样就节省了4分钟，而上学时4分钟能走40×4＝160（米），这样就可以算出对应时间为160÷10＝16（分），即回家所用的时间，所以总路程就是16×50＝800（米）。
答案：40×（1＋25％）＝50（米/分）
40×4＝160（米）
160÷（50－40）＝16（分）
16×50＝800（米）
答：小芳家距离学校800米。
【小试身手】
1. （2024·安庆宜秀区）笑笑家距离博物馆2.7千米，爸爸从家先出发，每分钟步行90米，18分钟后笑笑骑车从家出发，刚好和爸爸同时到达博物馆。笑笑骑车的速度是多少？
2.7千米＝2700米
2700÷（2700÷90－18）＝225（米/分）
考点二　相遇问题和追及问题
2　（2024·安庆大观区）淘气和笑笑家相距 1200米，他们两人同时从家出发，相向而行，经过12分钟后两人相遇。已知两人的速度比是3∶2，相遇时两人各走了多少米？
解析：相遇问题与一般的行程问题的区别在于不是一个物体的运动，所以它研究的速度包含两个物体的速度，也就是速度和。本题解题可以有两种思路：一是先用1200米除以相遇时间，得到两人的速度和，再根据两人的速度比求出两人各自的速度，最后求
出两人各走的路程；二是先根据“两人的速度比是3∶2”，得到两人的路程比也是3∶2，再分别求出两人各走的路程。
答案：方法一：1200÷12＝100（米/分）
100× ＝60（米/分）
60×12＝720（米）
100× ＝40（米/分）
40×12＝480（米）
方法二：1200× ＝720（米）
1200× ＝480（米）
答：淘气走了720米，笑笑走了480米。
3　（2023·淮安淮安区）淮安马拉松于2023年4月9日上午开赛，来自国内外上万名参赛选手用脚步谱写了“运河三千里，醉美是淮安”的春日赞歌。
（1）黄阿姨参加健康跑（全程7.5千米）项目比赛，跑完全程用时30分钟，黄阿姨平均每分钟跑多少米？
（2）小宏与小明都是全程马拉松的参赛选手。比赛开始后，小宏一直以180米/分的速度匀速前进，小明开始以220米/分的速度跑了1小时，然后减速以160米/分的速度前进。两人在距离起点多少千米处相遇？
解析：（1）要求平均速度，直接用路程除以时间即可。（2）本题是一道追及问题。两人同时出发，一开始小明的速度比较快，开跑1小时，小明领先小宏（220－180）×60＝2400（米）；1小时后，小明的速度降为160米/分，这时他的速度低于小宏的速度，用路程差除以现在的速度差就会得到小宏追上小明的时间，再用小宏的速度乘他的总时间，得到相遇点距离起点的路程，注意单位换算。
答案：（1）7.5千米＝7500米
7500÷30＝250（米）
答：黄阿姨平均每分钟跑250米。
（2）1时＝60分
（220－180）×60＝2400（米）
2400÷（180－160）＝120（分）
180×（60＋120）＝32400（米）
32400米＝32.4千米
答：两人在距离起点32.4千米处相遇。
【小试身手】
2. （2024·临汾大宁）一列高铁从甲地出发，每小时行驶290千米，同时一列动车从乙地出发，两车相向而行，5小时后两车在距两地中点125千米处相遇。已知动车的速度比高铁慢，动车平均每小时行驶多少千米？
（290×5－125×2）÷5＝240（千米）
3. （2024·吉安遂川）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过4小时相遇，乙车再行驶3小时就能到达A地。已知甲车每小时比乙车少行驶25千米，A、B两地相距多少千米？
25×4÷（3＋4－3×2）＝100（千米/时）　100×（4＋3）＝700（千米）
考点三　火车过桥问题
4　一列火车通过一个长530米的隧道需要40秒，以同样的速度通过一座长380米的大桥需要30秒。求这列火车的速度及长度。
解析：火车40秒行驶的路程包含隧道长和车长，30秒行驶的路程包含桥长和车长。对比可知，时间相差10秒，对应的路程相差150米，由此求出火车的速度，从而可以求出火车的长度。
答案：（530－380）÷（40－30）＝15（米/秒）　15×40－530＝70（米）
答：这列火车的速度为15米/秒，长度为70米。
【小试身手】
4. 某列火车通过长342米的隧道需要23秒，以同样的速度通过长234米的隧道需要17秒。这列火车与另一列长88米、速度为22米/秒的列车错车而过，需要几秒？
（342－234）÷（23－17）＝18（米/秒）
23×18－342＝72（米）
（88＋72）÷（22＋18）＝4（秒）
考点四　简单的工程问题
5　（2023·北京密云区）工程队铺设一段铁路，第一队平均每天铺200米，第二队平均每天铺180米，两队合铺30天完成任务。这段铁路长多少米？
解析：本题属于合作工程问题，要求工作总量，用工作效率的和乘合作的工作时间即可。
答案：（200＋180）×30＝11400（米）
答：这段铁路长11400米。
6　（2024·福州仓山区）修一段50千米的路，甲队单独修10天完成，乙队单独修8天完成。两队合修几天完成？列式正确的为（）。
A. 50÷（10＋8） B. 50÷
C. 1÷ D. 1÷（10＋8）
解析：本题要求合作的工作时间，应该用工作总量除以工作效率的和。10天和8天是表示工作时间的量，不是工作效率，所以选项A和D错误。可以把工作总量看作单位“1”，这样甲队的工作效率就是1÷10＝ ，乙队的工作效率就是1÷8＝ ，两队合作，需要的天数为1÷ 。
答案：C
简单工程问题的基本关系
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间关系的问题。有时题中的工作总量不给出具体数量，解题时可以将工作总量看作单位“1”，工作效率用“ ”表示。
（1）单人工程问题的基本数量关系式：
工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率
（2）合作工程问题的基本数量关系式：
工作效率的和×合作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率的和＝合作时间
工作总量÷合作时间＝工作效率的和
【小试身手】
5. （2023·温州）工程队修一条水渠。如果每天工作6小时，那么12天可以完成。如果工作效率不变，每天工作8小时，那么完成任务需要（　B　）天。
A. 6 B. 9 C. 14 D. 16
B
6. （2024·湛江麻章区）学校游泳池装有甲、乙两根进水管。单开甲进水管需要4小时注满全池，单开乙进水管需要6小时注满全池，如果两根进水管同时打开，那么需要（　2.4　）小时注满全池。
考点五　稍复杂的工程问题
7　（2023·杭州萧山区）一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成，若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，完成这项工程共用了多少小时？
2.4
解析：本题中，将工作总量看作单位“1”，则甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，若两人合作，则需要1÷ ＝7.2（时），而实际上两人是交替工作的，两人各单独完成7小时后，还剩下1－ ×7＝ ，剩下的由甲单独完成，需要 ÷ ＝ （时），所以完成这项工程共用了7×2＋ ＝14 （时）。
答案：1÷ ＝7.2（时）
1－ ×7＝
÷ ＝ （时）
7×2＋ ＝14 （时）
答：完成这项工程共用了14 小时。
【小试身手】
7. （2024·重庆江北区）小冰和小华负责完成学校以毕业为主题的黑板报，两人合作6天可以完成，小冰做了2天后小华接着做了1天，这时共完成了黑板报的 。如果小华一个人完成这期黑板报，需要多少天？
－ ＝
1÷ ＝12（天）
8. （2024·吉安遂川）为了确保快速路主线高架2024年春节前正式通车，工程队日夜奋战。这项工程若由甲队单独做，则需要8天完成，若由乙队单独做，则需要12天完成。现在甲、乙两队合作4天后，剩下的工程由乙队单独做，还需要多少天才能完成？
1－ ×4＝
÷ ＝2（天）
一、选择题。
1. （2023·莆田涵江区）加工一批零件，原计划30天完成，实际15天就完成了，实际的工作效率比原计划（　D　）。
A. 降低了50％ B. 提高了50％
C. 降低了100％ D. 提高了100％
D
一
二
2. （2024·吉安井冈山）如果两辆车同时送，那么（　D　）小时能将这些快递送完。
A. B. 1 C. 5 D.
D
一
二
3. （2024·龙岩新罗区）明明和爸爸绕着环形跑道跑步，明明跑一圈要3分钟，爸爸跑一圈要6分钟，如果两人从点N同时出发按顺时针方向跑步，跑步速度不变，那么可以表示9分钟后两人位置的是（　B　）。
A B C D
B
一
二
二、解决问题。
1. （2024·宿迁宿豫区）师徒两人合作加工455个零件，需要3.5小时完成。师傅平均每小时加工75个，徒弟平均每小时加工多少个？
455÷3.5－75＝55（个）
2. （2024·重庆璧山区）某工程队完成一项工程，原计划25名工人12天完成。因为有其他任务，调走了10名工人，这样完成这项工程会延期多少天？
25×12÷（25－10）－12＝8（天）
一
二
3. （2023·绍兴越城区）甲、乙两地相距1920千米，上午8时一辆客车从甲地驶往乙地，下午2时一辆货车从乙地驶往甲地，第二天上午8时两车相遇。已知客车每小时行驶50千米，则货车每小时行驶多少千米？（途中换人驾驶，但速度不变）
下午2时是14时
14－8＝6（时）
（24－14）＋8＝18（时）
（1920－50×6）÷18－50＝40（千米）
一
二
4. （2024·宁波鄞州区）三支工程队共同修完了一条公路，下面是三位队长的一段对话。甲队长说：“我们完成了全长的一半。”乙队长说：“我们承担了全长的20％。”丙队长说：“我们修了150米。”这条公路长多少米？
20％＝
150÷ ＝500（米）
一
二
5. （2023·莆田涵江区）从甲地到乙地，快车需要2小时，慢车需要3小时。快、慢两车分别从甲、乙两地同时相向而行，几小时后两车相遇？
（1）下面是三名同学解决这个问题的算式，对的在括号里画“√”，错的画“ ”。
强强：1÷（2＋3）（　 　）
晶晶：180÷（180÷2＋180÷3）（　√　）
丽丽：a÷（a÷2＋a÷3）（　√　）
（2）请你再用一种不同的方法解决这个问题。
1÷（1÷2＋1÷3）＝ （时）

√
√
一
二
6. （2023·六盘水）学校组织社会实践活动，两个小组的同学帮助社区修剪一块面积为200平方米的草坪。如果甲组单独修剪需要2小时完成，乙组单独修剪需要3小时完成。
（1）两个小组合作，修剪完这块草坪需要几小时？
1÷ ＝ （时）
（2）两个小组合作修剪完后，乙组实际修剪了多少平方米草坪？
200÷3× ＝80（平方米）
一
二
7. （2024·重庆万州区）一段公路，甲队单独修需要15天完成，乙队单独修需要10天完成。两队合修5天后，剩下的由甲队独修，还需要几天才能完成？
÷ ＝ （天）
一
二
8. （2024·淮安淮安区）哥哥和弟弟两人以同样的速度从家出发去学校，哥哥先走180米后，弟弟才出发，哥哥到达学校后，发现忘带数学书立即返回，与途中的弟弟相遇，相遇地点离家的距离恰好是全程的 ，相遇时弟弟走了多少米？
1－ ＝
1＋ － ＝
180÷ × ＝315（米）
一
二
9. （2024·泰州泰兴）小红骑车从甲地去乙地，小明步行从乙地去甲地，两人同时出发。当两人相遇时，小明走了全程的 。相遇后两人继续前行，当小红到达乙地后，小明离甲地还有12千米。甲、乙两地相距多少千米？
1－ ＝
÷ × ＝
12÷ ＝18（千米）
一
二(共33张PPT)
专题三　解决问题
第7课时　分数、百分数实际问题
第一部分　数与代数
01
考点演练
02
真题训练
目
录
考点一　分数、百分数实际问题的基本题型
1　（2024·沈阳皇姑区）文学书有1800本，占图书总数量的 ，科普书的数量占图书总数量的25％，科普书有多少本？
解析：本题中包含了两种分数（百分数）实际问题的基本题型，分别是“已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数”和“求一个数的几分之几（百分之几）是多少”。可以先根据“文学书有1800本，占图书总数量的 ”，求出图书总数量为
1800÷ ＝6900（本），再用“图书总数量×25％”求出科普书的数量。
答案：1800÷ ＝6900（本）
6900×25％＝1725（本）
答：科普书有1725本。
2　（2024·南京江北新区）把一根长3分米的铁丝对折3次，每段占全长的几分之几？每段长多少分米？
解析：要求每段占全长的几分之几，要看把这根铁丝平均分成了多少段，对折3次，这根铁丝被平均分成了8段，可以用1除以分成的段数，也可以用每段的长度除以这根铁丝的总长度；要求每段长多少分米，要用这根铁丝的总长度除以分成的段数。
答案：2×2×2＝8（段）
1÷8＝ 3÷8＝ （分米）
或3÷8＝ （分米） ÷3＝
答：每段占全长的 ，每段长 分米。
分数、百分数实际问题的常见类型与解法
分数、百分数实际问题一般有三种类型：一是求一个数是另一个数的几分之几（百分之几）；二是求一个数的几分之几（百分之几）是多少；三是已知一个数的几分之几（百分之几）是多少，求这个数。这三种类型分别对应以下三个基本关系式：比较量÷单位“1”的量＝对应分率；单位“1”的量×对应分率＝比较量；比较量÷对应分率＝单位“1”的量。解答的关键是通过分析数量关系，弄清把什么看作单位“1”，找出数量关系式，再列式解答。对于逆向思维的题目，也就是单位“1”未知的题目，可以用两种方法来解决：一是根据比较量除以对应分率求出单位“1”的量；二是设合适的量为x，再用方程解答。
【小试身手】
1. （2024·亳州谯城区）判断：徐师傅加工了101个零件，经检查全部合格，合格率是101％。 （　 　）
2. （2024·滨州沾化区）牛郎星的运行速度是26千米/秒，织女星的运行速度比牛郎星慢 ，织女星的运行速度比牛郎星慢多少千米/秒？下面列式正确的是（　A　）。
A. 26× B. 26÷
C. 26× D. 26÷

A
3. （2023·广州增城区）学校有一块菜地，其中茄子的种植面积占整块菜地的40％，番茄的种植面积比茄子少 ，番茄的种植面积是36m2。
（1）茄子的种植面积是多少平方米？
36÷ ＝48（m2）
（2）这块菜地的面积是多少平方米？
48÷40％＝120（m2）
4. （2024·常州溧阳）为进一步发挥生态优势、建设美丽乡村，溧阳某村庄要修缮一条廊桥，全长360米，第一天修了这条廊桥的25％，再修多少米可以修完这条廊桥的 ？
360× ＝126（米）
5. （2024·安庆大观区）明明看一本书，已经看的页数与总页数的比是1∶3，若再看15页，则正好看完全书的50％。这本书一共有多少页？
15÷ ＝90（页）
6. （2023·信阳固始）甲、乙两个鱼缸共有金鱼若干尾，其中甲鱼缸的金鱼数量占总数量的60％，从乙鱼缸取出12尾放入甲鱼缸，这时乙鱼缸的金鱼数量占总数量的 。甲、乙两个鱼缸原来共有金鱼多少尾？
12÷ ＝80（尾）
考点二　百分数在生活中的应用问题
3　（2024·杭州滨江区）某银行的利率表如下：
类　型 活期 整存整取
存　期 三个月 六个月 一年 二年 三年 五年
年利率/％ 0.2 1.15 1.35 1.45 1.65 1.95 2.0
　　丽丽的爸爸有一笔20万元的收入，他将这笔钱存入该银行，定期两年。两年后，他可以取回多少钱？（只列式不计算）
解析：本题为储蓄问题，先利用“本金×利率×时间”求得两年所得到的利息，再用本金加上利息得到一共取回的钱数。
答案：20万＝200000
200000＋200000×1.65％×2
4　A、B两家商场对同一种品牌的衬衣采用了不同的促销方式，A商场采用了打五折的方式进行销售，B商场按每满100元减50元的方式进行销售。张叔叔想买一件标价为420元的衬衣，去A商场购买需要付（）元，去B商场购买需要付（）元。
解析：去A商场购买为折扣问题，根据“标价×折扣＝售价”即可求解；去B商场购买可以先求出标价里面有几个100元，再减去对应的钱数，求出实际需要付多少元。
答案：210　220
5　“4800×10％”这道算式不适用于（）。
A. 小维的爸爸花4800元购买摩托车，需要缴纳10％的车辆购置税，为此要缴纳车辆购置税多少元
B. 某县前年粮食产量为4800吨，去年比前年增长一成，去年粮食产量比前年增长多少吨
C. 2022年果园里收获了4800千克苹果，2023年比2022年多收获10％，2023年收获了多少千克苹果
D. 一件有油污的大衣，将它打一折出售，原价4800元，现价多少元
解析：本题综合考查了折扣、税率、成数的问题。选项A中缴纳的车辆购置税的钱数应该等于售价的10％，即4800元的10％；选项B中增长的吨数相当于前年吨数的10％，即4800吨的10％；选项C中将2022年收获的苹果质量看作单位“1”，先求出2023年比2022年多收获的苹果质量，再加上2022年收获的苹果质量，列式为4800×10％＋4800；选项D中“一折”是指原价的10％，即4800元的10％。
答案：C
6　（2023·衡水高新区）某商场将运动衣按进价的50％加价后，写上“大酬宾，打八折销售”，结果每件运动衣仍获利20元。每件运动衣的进价是（）元。
解析：这道题属于生活中常见的获利问题，获利金额＝实际售价－成本价（进价）。本题中实际售价相当于进价的（1＋50％）×80％＝120％，所以进价是20÷（120％－1）＝100（元）。
答案：100
7　（2023·洛阳涧西区）现有浓度为20％的糖水10千克，再加多少千克水，可以得到浓度为10％的糖水？
解析：本题中水和糖水的质量最后都发生了变化，而糖的质量并没有发生变化，解题时可以抓住“糖的质量”这个不变量进行思考。先求出10千克糖水中有多少千克糖，再求出浓度为10％时有多少千克糖水，最后求出再加多少千克水。
答案：10×20％＝2（千克）　
2÷10％＝20（千克）　20－10＝10（千克）　
答：再加10千克水。
【小试身手】
7. （2024·杭州滨江区）下面四杯盐水中，最咸的是（　A　）。
A. 含盐率为20％
B. 盐与水的质量比是1∶5
C. 100克水中放入了20克盐
D. 含盐率为20％的盐水中又倒入20克水
A
8. （2023·沧州盐山）一种商品，先打八折，再打九折后是7.2元。这种商品的原价是（　D　）元。
A. 360 B. 90 C. 60 D. 10
9. （2024·苏州太仓）阳光小区的绿化覆盖率是20％，红星小区的绿化覆盖率也是20％。两个小区的绿化覆盖面积相比，（　D　）。
A. 阳光小区大 B. 红星小区大
C. 一样大 D. 无法比较
D
D
10. 涛涛的爸爸经营了一家“开心农场”，今年“五一”期间共收入8万元，按照规定需要缴纳3％的增值税，涛涛的爸爸共需缴纳增值税（　0.24　）万元。缴完增值税后，爸爸给老家的奶奶2万元，奶奶把这笔钱全部存入银行，定期三年，年利率为2.75％，到期后奶奶可以取出本金和利息共（　2.165　）万元。
11. （2023·焦作沁阳）某市今年五月份二手房的成交量是3500套，六月份二手房的成交量比五月份减少了二成五。该市六月份二手房的成交量是（　2625　）套。
0.24
2.165
2625
12. （2024·安庆大观区）某服装城卖一款衬衫，如果每件售价250元，那么售价的60％是进价，售价的40％就是利润。现在进行促销活动，为保证每件衬衫的利润不少于50元，折扣不能低于多少？
250×60％＝150（元）
150＋50＝200（元）
200÷250＝80％
折扣不能低于八折
一、填空题。
1. （2023·扬州江都区）杨树的棵数是柳树的 ，杨树的棵数是杨树和柳树总棵数的（　 　），杨树比柳树少（　37.5　）％。
2. （2024·厦门集美区）把一根长9米的绳子对折再对折，每段长（　 　）米，每段占全长的（　 　）。

37.5


一
二
三
3. （2024·苏州昆山）学校机器人社团有男生 20名，女生 10名。男生的人数比女生多（　100　）％；如果再增加2名女生，那么现在女生的人数占总人数的（　37.5　）％。
4. （2024·合肥庐江）（　48　）米比40米多20％，40米比（　50　）米少20％。
100
37.5
48
50
一
二
三
5. （2023·酒泉玉门）一列普通列车的运行速度是120千米/时，而快速列车的运行速度是普通列车的 ，“复兴号”的运行速度是快速列车的 。“复兴号”的运行速度是（　350　）千米/时。
6. （2024·泰州海陵区）王叔叔在银行存了5万元，定期两年，年利率是2.4％。到期他可以获得利息（　2400　）元。
350
2400
一
二
三
7. （2023·衡水高新区）一种杂志，批发商按定价打七折卖给书摊，书摊摊主将原定价降低10％后以每本7.2元卖给读者。每卖出一本杂志，摊主从中获利（　1.6　）元。
8. （2024·滨州沾化区）甲、乙两筐中的西瓜共重 360kg，从甲筐取出 放入乙筐，两筐中的西瓜就一样重，原来甲筐中的西瓜重（　220　）kg，乙筐中的西瓜重（　140　）kg。
1.6
220
140
一
二
三
二、选择题。
1. （2023·梅州）一个数的 是24，这个数的50％是（　B　）。
A. 64 B. 32 C. 9 D. 12
2. （2024·阜阳太和）小明的身高是160厘米， 　　　　　　。小亮的身高是多少厘米？如果求小亮的身高所列的算式为160÷（1＋5％），那么横线上应填的条件是（　A　）。
A. 小明比小亮高5％ B. 小明比小亮矮5％
C. 小亮比小明高 5％ D. 小亮比小明矮5％
B
A
一
二
三
3. （2024·泰州泰兴）超市将一件商品分两次先后降价，方案有两种。方案一：第一次降价1％，第二次降价5％；方案二：第一次降价3％，第二次降价3％。两种方案两次降价后的价格相比，（　A　）。
A. 方案一更低 B. 方案二更低
C. 相同 D. 无法比较
4. （2023·唐山开平区）修一条路，甲工程队要5天修完，乙工程队要4天修完，甲工程队比乙工程队每天（　D　）。
A. 多修 B. 少修 C. 多修 D. 少修
A
D
一
二
三
5. （2024·北京密云区）一本书的定价是25元，先降价20％，后来又提价20％，现在的售价（　C　）。
A. 不变 B. 比定价高
C. 比定价低 D. 无法确定
6. （2024·南通海安）在一瓶含盐率20％的盐水中加入100克水和20克盐，这时瓶中盐水的含盐率（　A　）。
A. 低于20％ B. 等于20％
C. 高于20％ D. 无法确定
C
A
一
二
三
三、解决问题。
1. （2024·北京昌平区）2024年6月2日嫦娥六号成功在月球背面着陆，返回地球时携带了大约2000克月球样品，对进一步认识月球意义重大。据报道，嫦娥五号也曾携带月球样品回到地球，大约是嫦娥六号携带月球样品质量的85％。嫦娥五号曾大约带回多少克月球样品？
2000×85％＝1700（克）
一
二
三
2. （2024·淮安淮安区）一件衣服原价450 元，“五一”期间服装一律打八折出售，“五一”期间买这件衣服可以便宜多少元？
450×（1－80％）＝90（元）
3. （2023·南昌）依法纳税是每个公民的基本义务。李阿姨得到了一笔6500元的劳务费，其中20％是免税的，其余部分要按20％的税率缴税。这笔劳务费一共要缴税多少元？李阿姨税后实际获得了多少元？
6500×（1－20％）×20％＝1040（元）
6500－1040＝5460（元）
一
二
三
4. （2024·杭州滨江区）原来甲仓库的粮食储量是乙仓库的 ，后来甲仓库增加了90t，这时甲仓库的粮食比乙仓库少10％。乙仓库有粮食多少吨？
90÷ ＝600（t）
5. （2023·邢台任泽区）一件商品降价出售，如果降价20％，那么仍可获利200元；如果降价30％，那么会亏损360元。这件商品的原价是多少元？
（200＋360）÷（30％－20％）＝5600（元）
一
二
三
6. （2024·营口盖州）笑笑和爸爸、妈妈一起去看电影，电影票原价45元/张（成人和儿童的票价相同），他们选择了有优惠的场次，三张票共节省了27元。他们看的是哪一场？
优惠方式
上午场（9：00～11：00） 六折
下午场（13：00～15：00） 八折
其他时段 原价
（45－27÷3）÷45＝80％　
他们看的是下午场
一
二
三

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