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2025年四川省德阳市中考数学试卷1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，有且仅有一项是符合题目要求的.）
1．下列各数中最小的是（ ）
A．2 B．0 C． D．
2．下列运算中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，内接于，，，是直径，交于点E，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．将分式方程转化为整式方程时，方程两边都应乘以（　　）
A． B． C． D．
6．在“十·一”文艺晚会节目评选中，某班选送的节目得分如下：81，86，85，82，84，85，85，分析这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．中位数是85 B．众数是85 C．平均数是84 D．方差是3
7．下列选项中，左边的平面图形能够折叠成右边封闭的立体图形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在等边三角形中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
9．占希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性．若把第一个三角形数记为，第二个三角形数记为，…，第n个三角形数记为，则的值为（ ）
A．99 B．100 C．199 D．200
10．为测量大楼的高度，小明测得斜坡（A，B，C，D在同一平面内），坡度，坡底C到大楼底部A的水平距离，在D处测得大楼顶部B的仰角为，则大楼的高度为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，的两个外角的平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则k的值是（　　）
A．36 B．48 C．49 D．64
12．如图，正方形中，点E是边上的动点，作于点F，交于点H，交于点G，设，有下列结论：①；②③当时，；④当时，．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，将答案填在答题卡对应的题号后的横线上）
13．计算： ．
14．已知两个整式的差是，其中一个整式是，则另一个整式是 ．
15．某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为 ．
16．如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交的延长线于点．若，，，则的长为 ．
17．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的的值为，结果输出的是，返回进行第二次运算则输出的是，则
（1）第次输出的结果是 ；
（2）第次输出的结果是 ．
18．定义：若实数，满足，，且（为常数），则称点为“友好点”，若有一个函数满足，其上存在“友好点”，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共7小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（1）计算：；
（2）解不等式组：．
20．整理错题是一种优秀的学习习惯和学习方法，为此某校教务处就这项优秀的学习习惯对部分九年级学生进行了问卷调查．设计的调查问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正的情况．选项：A．很少，B．有时，C．常常，D．总是．将调查结果进行整理，并绘制成如下不完整的统计图．
请根据图中信息，解答下列问题．
(1)求a，b的值及“常常”所对应扇形的圆心角度数；
(2)请你补全条形统计图；
(3)为了共同进步，王老师从被调查的A类和D类学生中各选出两人，再从四人中选取两名学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图法求出所选两名学生恰好组合成功（即“很少”和“总是”的两人为一组）的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式．
(2)求的面积．
22．如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求菱形的面积．
23．第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进，两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．种礼盒每个进价160元，售价220元；种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中种礼盒不少于60个．设购进种礼盒个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求该专卖店获得的最大利润为多少元？
24．如图1，已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点E，过P作轴于点F，交于点G，若，求点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．
25．如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为原点，AB=8，BC=10，E为AB上一点，把△CBE沿CE折叠，使点B恰好落在边上的点D处，
（1）求AE的长；
（2）如图2，将∠CDE绕着点D逆时针旋转一定的角度，使角的一边DE刚好经过点B，另一边与y轴交于点F，求点F的坐标；
（3）在（2）的条件下，在平面内是否存在一点P，使以点C、D、F、P为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请通过计算说明理由．
参考答案
1．【考点】有理数大小比较
【分析】本题考查了有理数的大小比较方法．根据“正数大于零，负数小于零，正数大于负数，两个负数相比较，绝对值大的数反而小”即可判断．
解：根据正数大于零，负数小于零，正数大于负数：，
则最小的数是，
故选：C．
2．【考点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，积的乘方，熟练掌握幂的乘方、同底数幂的乘法和除法、积的乘方运算法则是解题的关键．根据幂的乘方计算并判定A；根据同底数幂乘法计算并判定B；根据同底数幂除法计算并判定C；根据积的乘方计算并判定D．
解：A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．，故C错误；
D．，故D正确；
故选：D．
3．【考点】正比例函数的性质
【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，然后在此范围内进行判断即可．
解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限，
∴，
∴选项A符合题意．
故选：A．
4．【考点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、同弧或等弧所对的圆周角相等、半圆（直径）所对的圆周角是直角
【分析】此题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键是掌握以上考点．
首先由三角形内角和定理求出，然后得到，由直径得到，求出，然后利用三角形外角的性质求解即可．
∵，，
∴
∵
∴
∵是直径
∴
∴
∴．
故选：D．
5．【考点】解分式方程
【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．找出分式方程的最简公分母即可．
解：将分式方程化为整式方程，方程两边可以同时乘以最简公分母为．
故选：C．
6．【考点】求一组数据的平均数、求中位数、求众数、求方差
【分析】本题考查了方差、众数、平均数、中位数，解答本题的关键是掌握相关统计量的定义．根据平均数、中位数、众数及方差的定义逐一计算即可判断．
解：把这组数据从小到大排列为81，82，84，85，85，85，86，故中位数是85，故选项A不符合题意；
众数是85，故选项B不符合题意；
平均数为，故选项C不符合题意；
方差为，故选项D符合题意；
故选：D．
7．【考点】几何体展开图的认识
【分析】本题注意考查立体几何图形的展开图，解题的关键是要熟悉一些常见立体几何的展开图．利用空间想象能力，对立体几何图形的展开图做一个判断，首先要确定，展开后的面的个数是否准确，再去确定面的位置是否合理．
解：A．方体展开图错误，故本选项不符合题意；
B．展开图多一个底面，错误，故本选项不符合题意；
C．展开图少一个底面，故本选项不符合题意；
D．圆柱的展开图正确，故本选项符合题意．
故选：D．
8．【考点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、等边三角形的性质
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三线合一定理和垂直的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理求出，则．
解：∵在等边三角形中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
9．【考点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类规律探索，理解题意，确定“三角形数”的变化规律是解题关键．根据题意，可知第个三角形数为，据此即可获得答案．
解：根据题意，，
，
，
，
，
，
……
∴，
∴
．
故选：B．
10．【考点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）
【分析】过点作交的延长线于点，在中，利用坡度和勾股定理，可求出和的长，过点作于点，利用矩形对边相等，求出和的从，再在中，利用特殊角的三角函数值，求出的长，从而利用求出的长．
解：过点作交的延长线于点，
斜坡的坡度，
设，则，
在中，米，
由勾股定理得：，
，
解得：，（舍）
米，米，
过点作于点，则四边形是矩形，
米，米，
在中，，
，
米，
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角，解直角三角形的应用—坡度坡角，勾股定理，矩形的性质，三角函数，构造直角三角形和熟练运用三角函数定义是解题关键．
11．【考点】求一次函数自变量或函数值、求反比例函数解析式、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要考查角平分线的性质，一次函数的性质，求反比例函数解析式，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，过P分别作、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，求出，，勾股定理，根据角平分线的性质得出，设，则，根据等积法得出求出t的值，即可得出答案．
解：过P分别作、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图所示：
把代入得：，
把代入得：，
解得：，
∴，，
∴，，
∴，
∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴，，
∴，
设，则，
∵
∴
解得，
∴，
把代入得．
故选：A．
12．【考点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质．先证明，推出，，证明，推出，据此可判断①正确；设，则，求得，证明，分别求得，，据此可判断②正确；利用等积法求得，由，再用分别表示和的长，据此可判断③错误；当时，同理可判断④正确．
解：在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
由正方形中知，即，
∴，
∴，
∴，①正确；
设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
∴，
∴，②正确；
在中，，
∴，
∵，
∴，
由得，
∴，，
∴，
∴，
∴，③错误；
当时，，，
∴，，
又，
∴，④正确；
综上，①②④正确，
故选：B．
13．【考点】有理数的乘方运算、利用二次根式的性质化简
【分析】先计算有理数的乘方，再进行二次根式的化简，
本题考查了，有理数的乘方，二次根式的化简，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
解：，
故答案为：4．
14．【考点】整式的加减运算
【分析】本题考查了整式的加减，根据题意可得出要求的整式可能有两种情况：①，②．
解：①
，
②
，
所以另一个整式是或，
故答案为：或．
15．【考点】求加权平均数
【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题．
解：依题意，该学生的课堂评价成绩为
故答案为：．
16．【考点】作角平分线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查作角平分线、平行四边形的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行四边形的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，可得．由平行四边形的性质可得，，则，进而可得，再根据可得答案．
解：由作图过程可知，为的平分线，
．
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
17．【考点】程序流程图与代数式求值、数字类规律探索
【分析】本题考查数字的变化类、求代数式的值，根据题意和运算程序可以计算出前几次的输出结果，从而可以发现结果的变化特点，从而可以得到第次输出的结果，本题得以解决．解题的关键是明确题意，发现输出结果的变化特点，写出所求次数的输出结果．
解：由题意可得，
第一次输出的结果为，
第二次输出的结果为，
第三次输出的结果为，
第四次输出的结果为，
第五次输出的结果为，
第六次输出的结果为，
第七次输出的结果为，
第八次输出的结果为，
第九次输出的结果为，
第十次输出的结果为，
…，
由上可得，从第二次输出结果开始，以，，，，，依次循环出现，
∵，
∴第次输出的结果是．
故答案为：；．
18．【考点】y=ax +bx+c的图象与性质、y=ax +bx+c的最值、用反比例函数描述数量关系
【分析】本题考查了新定义，二次函数求最值，与反比例函数的综合，熟练掌握考点，正确转化是解题的关键．
根据题意得到，整理得到，由，且，转化为二次函数求最值即可．
解：有一个函数满足，其上存在“友好点”，
反比例函数的图象上存在“友好点”，
，
①②得，
，
，
，
，
，
整理得，
当时，，
∵，
∴，
，且，
，
故答案为：．
19．【考点】零指数幂、负整数指数幂、求不等式组的解集、特殊三角形的三角函数
【分析】本题主要考查了绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，解一元一次不等式组．
（1）根据绝对值的性质，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值解答即可；
（2）分别解出两个不等式，再写出不等式组的解集即可．
解：（1）
；
（2）解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为．
20．【考点】条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图综合运用，画树状图或列表法求概率，求圆周角的度数等，准确理解题意，熟练掌握考点是解题的关键．
（1）用选择B选项的人数除以其所占的百分比即可得出总人数，再用选择A，D的人数除以总人数即可求出的值，用“常常”对应的百分比乘以即可求出其对应扇形的圆心角度数；（2）先求出“常常”的人数，再补画条形统计图即可；
（3）根据题意，画树状图可得共有12种等可能的情况数，其中所选两位同学恰好组合成功的有8种，再根据概率的公式计算即可．
（1）解：（人），
∴参与调查的人数为200人，
∴，
∵，
∴“常常”所对应扇形的圆心角度数为；
（2）解：人，
∴“常常”所对应的人数为60人，
补全统计图如下：
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能的情况数，其中所选两位同学恰好组合成功的有8种，
∴所选两位同学恰好组合成功（即“很少”和“总是”的两人为一组）的概率是．
21．【考点】用勾股定理解三角形、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理及三角形的面积，用待定系数法求函数关系式是解本题的关键．
（1）过点A作轴，根据勾股定理求出，得，将点坐标代入得到反比例函数关系式，再由待定系数法求得一次函数关系式；
（2）由题意得点A与 C关于原点对称，可得，再得，根据三角形面积公式计算即可．
（1）解：如图，过点A作轴，
，
，
中，，
，
将代入反比例函数，得，解得：，
反比例函数关系式为，
将，代入一次函数，得
，解得：，
一次函数关系式为；
（2）解：由题意得点A与 C关于原点对称，，
，
．
22．【考点】用勾股定理解三角形、证明四边形是矩形、利用菱形的性质求面积、利用菱形的性质证明
【分析】（1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形；
（2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则．
（1）证明：∵的中点为E，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，对角线与相交于点O，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）解：∵，，
∴，，
∴，
∴6，
∴，
∴，
∴菱形的面积为96．
【点评】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键．
23．【考点】一元一次不等式组的其他应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用．
（1）根据利润等于单件利润乘以数量建立函数关系式即可；
（2）先求出自变量的取值范围，再根据一次函数增减性求最值．
（1）解：由题知，
与的函数表达式为．
（2）解：由题知
由（1）知
，
随的增大而增大，
当时，有最大值，（元）．
24．【考点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax +bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）待定系数法求解析式，先求得抛物线解析式，即可求解；
（2）先得出点，然后待定系数法求一次函数解析式，设 ，则，，得出，是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，建立方程，解方程，即可求解；
（3）先求得折叠部分的抛物线解析式为，观察函数图象，可得当经过点时，当与只有一个交点，直线与新的图形有三个不同交点，进而求得的值，根据函数图象，即可求解．
（1）解：依题可得：，
解得：，
∴，
（2）解：∵
令，得，即
设直线的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为，
设 ，则，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，解得，舍，
；
（3）解：依题意，，
新的图形的顶点坐标为，
则新的抛物线解析式为，
设平移后的直线解析式为，
当经过点时，有3个交点，即，
解得：，
当与只有一个交点，
则，
消去得，，
即，
∴，
解得：，
结合函数图象可得：；
【点评】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，判别式的应用，轴对称的性质，一次函数的平移，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．【考点】相似三角形的判定与性质综合、矩形与折叠问题、利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形
【分析】（1）设AE=x，利用折叠的性质和矩形的性质，在△ADE中，利用勾股定理求解即可；
（2）根据题意证明△ODF∽△ABD，得到，从而求出OF即可得到结果；
（3）根据平行四边形的性质分CF和DF为邻边时，DF和CP为对角线时，CF和DP为对角线时三种情况，分别求解即可.
解：（1）由折叠的性质可知CD=CB=10，
∵矩形OABC中，CO=AB=8 ∠AOC=90° ，AO=BC=10，
∴OD=6，
∴AD=10-6=4，
设AE=x，则DE=BE=8-x
∴
∴x=3
∴AE=3
（2）∵∠FDB=90°，
∴∠1+∠2=90°
∵∠OAB=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠FOD=∠DAB=90°
∵△ODF∽△ABD
∴
∴
∴OF=3
∴F（0，3）；
（3）由题意可得：F（0，3），D（6，0），C（0，8），
如图3，若CF和DF为邻边时，
∵CF∥PD，CF=PD，
∴P（6，5）；
如图4，若DF和CP为对角线，
则CF∥PD，CF=PD，
∴P（6，-5）；
如图5，若CF和DP为对角线，
则DF∥CP，DF=CP，
∴P（-6，11）
综上：点P的坐标为：，，.
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠问题，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，难度一般，解题时要注意分类讨论.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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