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从实验区高考试题窥探高中新课程立体几何教学的方向
山西省教育科学研究院 薛红霞
立体几何是课标中变化较大的内容之一，在教学中如何应对这种变化呢？本文从2009年实验区高考试题的特点分析立体几何教学的方向。
一、课标与大纲的区别
1. 编排方式的变化。
在大纲中，立体几何是作为一个整体安排在必修中，而在课标中将立体几何的内容分为3部分，分阶段学习不同的内容。具体编排见下表。
大纲
课 标
位置
与
内容
必修
（直线、平面、简单几何体）
数学2
（立体几何初步）
选修1—2
选修2—2
（推理与证明
——反证法）
选修2-3
（空间向量与立体几何）
课时
36
18
2
12
2. 立体几何的学习作为向量的应用。
在大纲中立体几何是在综合几何的观点下进行学习的，在课标中，学生在必修部分学习立体几何初步的知识，立体几何中与位置关系相关的问题是作为向量的应用学习的。
3. 文理学习的内容差别加大。
从上表可以看出，侧重文科的学生只在数学2中学习立体几何初步，之后只在选修1-2“推理与证明”部分学习反证法，就不再学习立体几何。而侧重理科的学生则要在向量的背景下继续学习立体几何，学习直线的方向向量与平面的法向量，运用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系，用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理），用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
可见与大纲相比，课标加强了向量在解决立体几何中的作用。
4. 教学要求的改变。
立体几何初步并不是截取了立体几何中的一部分，而是改变了整个编排体系——从空间中的几何体开始学习，即从对整体的认知逐步进入局部的深入研究，让学生感受学习的必要性。在数学2立体几何初步的教学中，要求对有关线面平行、垂直关系的性质定理进行证明；对相应的判定定理只要求直观感知、操作确认。并以长方体为载体进行学习，能解决一些简单的推理论证及应用问题。但是要求恰当地使用现代信息技术，提高学生的几何直观能力。
二、实际教学现象
我省采用的教学顺序是12345，所以第一学期的学习非常紧张，造成课时紧的原因是多方面的，但其中有一个原因是由教师对课标的而理解不到位导致的，即教师在教学中盲目地拓广加深、一步到位。比如补充三垂线定理，系统地讲解线面位置关系中的距离、角的计算问题，将几何研究的载体扩充为各种几何体。在我省某市数学2模块测试题中出现下列现象：
整张试卷中考查线面关系的题目及几何关系的载体是：题2（空间4点）、题6（一般的直线与面）、题7（三棱锥）、题11（三棱锥）、题19（四棱锥）、题20（直三棱柱）、题21（折叠、四棱锥）。可以看出没有一道题目是以长方体为载体，完全是按照大纲的思路命制。
甚至有的模块测试卷中考查二面角计算问题。等等。
这是当前课改的实际状况，是课改推进中的阻力。导致这种现象的原因之一是认为要应付高考，所以要一步到位。但正是这堂而皇之的理由扰乱了教学，制造了学困生，导致了过早的两极分化。这就好比早恋往往结出苦果，不顾学生的心智发展水平，不顾课标的要求，揠苗助长，最终导致的也是学生对数学的厌恶。
三、 实验区高考试题分析
1. 对基本关系的考查体现了直观感知和操作确认。
例1 （2009广东文6理5）给定下列四个命题：
　①若一个平面内的两条直线与另外一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直。
其中，为真命题的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④
这个题目考查了线面基本位置关系的判定，但是其考查的切入点不是知识的再现，而是基于基本知识的分析判断，学生可以根据题目给出的条件用手头的工具进行操作判断，也可以通过想象进行判断。
例2 （2009年海南文9） 如图1，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（ ）
A．
B．
C．三棱锥的体积为定值
D．
这个题目以正方形为载体，考查在变化过程中不变的量，在对选项C和D判断过程中学生不需要计算其准确值，只要分析其中的关键量是否会发生变化即可。而选项A和B的判断也是线面关系性质定理与判定性质定理的直接应用。
这些题目的共同特点都是，既考查了基本知识，又考查了学生直观感知、操作确认的能力。
2. 文科试题中没有出现考查二面角的试题，但是考查的载体也没有长方体。
文科试题中，考查了基本位置关系的判定和证明，表面积、体积的计算（通常与三视图结合），角的计算中没有出现二面角问题，这是严格执行了课标的要求。但是文科试题命制的载体多以非长方体为载体（8套文科试题中22道立体几何题，只有2道是直接用正方体为载体的），这一点与课标的要求不符合，需要进一步探讨这样做是否合适。
3. 理科试题主题不变，在解答题中向量方法与综合几何法并重。
理科试题中的解答题除个别题目之外都可以用向量方法和综合几何法两类方法求解，而且向量方法不但有坐标法，还有几何法。运用向量方法不但可以证明确定的结论，还可以探索未知的结论。
例3 （2009年海南理19）如图2，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点。
（1）求证：AC⊥SD；
（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小；
（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC。若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由。
本题中三个小题都可以用综合几何法求解，也可以建立坐标系用向量法求解，或者用向量几何法求解。对于前两种方法此处不做分析，下面用向量几何法解决第（3）题。这是一个探索性问题，利用向量可以将待求结论转化为已知条件，将所求问题转化为求未知数问题。利用向量的数乘运算，可以确定线上每一个点的位置，于是可以用已知向量表示出点E的位置，设，接着将已有位置关系的几何特征代数化，建立代数关系，求出t的值即可：
设，则。
∵，∴。
∴。
接着利用与中的边角关系即可求解。
这种方法数形结合，对于很多学生来说是比较容易接受的。类似的题目还有福建理科17题。
4. 注重对新增加内容的考查，规避删减的内容。
实验区的试题都注重考查新增内容，如对三视图的考查，对向量方法的考查。
例4 （2009山东文理4） 一空间几何体的三视图如图3所示,则该几何体的体积为( ).
A. B. C. D.
该题考查了学生的空间想象力，学生首先要根据三视图想象他们对应的几何体的形状，之后再根据所给数据计算几何体的体积。这样的试题在2009年实验区的高考试题中有很多，在2007年和2008年的高考试题中也有类似的题目，虽然命题的视角不同，题目的难易不同，但是他们共同的特点都是比较注重三视图的考查，尤其是借助于视图给出数据，在此基础上求原几何体的体积、表面积或判断位置关系（如广东2009年文科17题），等等。
同时实验省市的试题规避了对删减内容的考查，尤其是在文科试题中不考查三垂线定理。三垂线定理是很多中学教师割舍不下的内容，但是从例1可见，这个题目中的选项A虽然可以用三垂线定理判断，但用线面垂直的定理求解也很便捷，三垂线定理并没有显示出其优势。文科试题考查空间角的计算不涉及二面角，考查空间距离、面积、体积的计算问题也避开了三垂线定理，如海南2009年文科18题，或者即使可以用三垂线定理，但是并没有任何优势，看到这些题目后教师并没有感到有必要补充三垂线定理，如福建2009年文科20题、浙江2009年文科19题等。
四、对教学的启示
通过上述分析可见，2009年实验区立体几何的试题较好的反应了课标的要求，因此在教学中要做到：
1. 注重学生空间观念的培养；
2. 不但要培养学生的逻辑推理能力，还要注重培养学生的直观感知、合情推理能力；
3. 要确定合理的阶段性教学目标，不要搞一步到位；
4. 重视新增加的知识，和提高要求的内容的教学，规避删减内容，把握好降低要求的内容的教学；
5. 重视课标的指导作用，有效教学。
综合上述分析，教师在教学中应该在课标的指导下落实教材的编写意图，避免固守成规地按照已有教学经验补充填塞，那样做是对学生的不负责任，退一步即使是为了考试取得高分也应该关注课改动向，理解并落实课标要求，只有这样做才能避免给学生增加不必要的负担，才能使课改之路走的更健康。

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