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专题28 图形的相似
一．选择题
1．（2024 重庆）若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
2．（2024 钱塘区三模）如图，已知AB∥CD∥EF，若，EF＝4，CD＝6，则线段AB的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2025 拱墅区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，若点C（4，1）的对应点F（12，3），则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（　　）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
4．（2024 金华三模）如图，某零件的外径为12cm，用一个交叉卡钳（AC＝BD）可测量零件的内孔直径AB．若OA：OC＝OB：OD＝2，且量得CD＝5cm，则零件的厚度x为（　　）
A．2cm B．1.5cm C．1cm D．0.5cm
5．（2024 拱墅区校级二模）如图，在 ABCD中，点E在AD上，BE交AC于点F．若AE＝3ED，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024 益阳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E，F分别在AD，BC上，且EF∥AB，矩形ABCD与矩形BFEA相似，则矩形BFEA的面积为（　　）
A．16 B． C． D．
7．（2024 泸州）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则sin∠DAE的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024 浙江一模）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，的值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024 钱塘区一模）如图，已知正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形MNPQ，连结MF并延长交NP于点O，设正方形EFGH的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
10．（2025 乐清市校级模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，BC＝8，D是BC上一点，BD＜CD，连结接AD，作DE⊥AD，交BC的垂线CE于点E．连接AE，交BC于F，若设CF＝x，CE＝y，在D的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．xy C．x2+y2 D．
二．填空题
11．（2024 钱塘区二模）已知，则代数式的值为 　 　 ．
12．（2025 兴宁市一模）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝4cm，则PA＝　 　 cm．
13．（2025 余姚市一模）如果两个相似三角形的面积之比是9：16，其中小三角形一边上的角平分线的长为3cm，那么大三角形对应边上的角平分线的长为　 　 cm．
14．（2024 青海）如图，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件 　 　 ，使得△AOB∽△COD．
15．（2024 西湖区一模）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连接BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2．
（1）若DE是△ABC的中位线，则S1：S2＝　 　 ；
（2）若S1＝S2，CE＝4，则线段AE的长为 　 　 ．
16．（2024 金华模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，连结BD，点E，F分别为AD，BD边上一点，AF⊥BE于点H．
（1）若AE＝2，则DF＝　 　 ．
（2）若DF：AE＝k，则k可取的最大整数值为 　 　 ．
三．解答题
17．（2024 柯桥区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．
（1）在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC．
（2）在图2中找一点F，使∠AFC＝2∠ABC．
18．（2025 连云港一模）李老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树AB根部8m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2m，观测者目高CD＝1.75m，则树高AB约是多少米？
19．（2025 盐城一模）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
20．（2024 浙江校级模拟）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，点D在线段BC上，DE，AC交于点O，连结CE．
（1）求证：AC平分∠BCE．
（2）若AO AC＝8，求AD的值．
21．（2024 柯桥区模拟）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
22．（2024 绍兴一模）【探究发现】如图1，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，M为DE中点，连结AM并延长交BC于点N，求证：BN＝CN．
【拓展应用】如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于N点，E，F分别是边AB，AD上的点，EF∥BD交AC于点M，若AD＝2，BC＝3，求的值．
【综合提升】如图3，平行四边形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，动点E在边AB上，过E作EF∥BD交AC于点F，过F作FG⊥EF交BC于点G，连结EG，求EG的最小值．
答案与解析
一．选择题
1．（2024 重庆）若两个相似三角形的相似比为1：4，则这两个三角形面积的比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【点拨】根据相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．
【解析】解：若两个相似三角形的相似比为1：4，
则这两个三角形面积的比是1：16，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．
2．（2024 钱塘区三模）如图，已知AB∥CD∥EF，若，EF＝4，CD＝6，则线段AB的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【点拨】连接BE交CD于G，根据平行线分线段成比例先求出，再求出DG＝，则CG＝，根据平行线分线段成比例即可求解．
【解析】解：连接BE交CD于G，
∵AB∥CD∥EF，，
∴，，
∴，
∵CD∥EF，
∴，
∴
∴DG＝，
∴CG＝CD﹣DG＝6﹣＝，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴AB＝9，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
3．（2025 拱墅区模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，若点C（4，1）的对应点F（12，3），则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（　　）
A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1
【点拨】根据题意求出△ABC与△DEF的相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为点O，点C（4，1）的对应点F（12，3），
∴△ABC∽△DEF，且相似比为1：3，
∴△ABC的面积与△DEF的面积之比1：9，
故选：C．
【点睛】本题考查的是位似变换、坐标与图形性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
4．（2024 金华三模）如图，某零件的外径为12cm，用一个交叉卡钳（AC＝BD）可测量零件的内孔直径AB．若OA：OC＝OB：OD＝2，且量得CD＝5cm，则零件的厚度x为（　　）
A．2cm B．1.5cm C．1cm D．0.5cm
【点拨】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答．
【解析】解：∵OA：OC＝OB：OD＝2，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD＝2，
∴AB：5＝2，
∴AB＝10（cm），
∵外径为12cm，
∴10+2x＝12，
∴x＝1（cm）．
故选：C．
【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出x的长．
5．（2024 拱墅区校级二模）如图，在 ABCD中，点E在AD上，BE交AC于点F．若AE＝3ED，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】通过证明△AEF∽△CBF，可得＝．
【解析】解：∵AE＝3ED，
∴AD＝4DE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4DE，AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
6．（2024 益阳模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E，F分别在AD，BC上，且EF∥AB，矩形ABCD与矩形BFEA相似，则矩形BFEA的面积为（　　）
A．16 B． C． D．
【点拨】由相似多边形面积的比等于相似比的平方，即可求解．
【解析】解：∵矩形ABCD与矩形BFEA相似，
∴＝＝，
∵矩形ABCD的面积＝6×4＝24，
∴矩形BFEA的面积＝．
故选：C．
【点睛】本题考查相似多边形的性质，关键是掌握相似多边形面积的比等于相似比的平方．
7．（2024 泸州）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点B′处，AB′交CD于点E，则sin∠DAE的值为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】设AD＝BC＝（）a，AB＝CD＝2a，再根据翻折的性质及等角对等边得出EC＝EA，最后利用勾股定理表示出DE及AE即可．
【解析】解：由题知，
令AD＝BC＝（）a，AB＝CD＝2a，
由翻折可知，
∠EAC＝∠BAC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠EAC，
∴AE＝EC．
令DE＝x，
则AE＝EC＝2a﹣x，
在Rt△ADE中，
[（）a]2+x2＝（2a﹣x）2，
解得x＝，
∴DE＝，AE＝2a﹣＝．
在Rt△DAE中，
sin∠DAE＝．
故选：A．
【点睛】本题考查黄金分割、矩形的性质及翻折变换，熟知黄金分割的定义、矩形的性质及正弦的定义是解题的关键．
8．（2024 浙江一模）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，，DE∥BC，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，的值是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】过点F作FG∥CN交AB于点G，证明MN是△DGF的中位线，得GF＝2MN，由GF∥CN，EF∥AB，得四边形GFHN是平行四边形，证明MH＝MN，设MH＝MN＝a，则GF＝2a，然后证明CN＝4GF＝8a，所以CH＝CN﹣NH＝8a﹣2a＝6a，得CM＝CH+MH＝6a+a＝7a，进而可以解决问题．
【解析】解：过点F作FG∥CN交AB于点G，
∵点M是DF的中点，
∴N是DG的中点，
∴MN是△DGF的中位线，
∴GF＝2MN，
∵GF∥CN，EF∥AB，
∴四边形GFHN是平行四边形，
∴NH＝GF＝2MN，
∴MH＝MN，
设MH＝MN＝a，则GF＝2a，
∵DE∥BC，
△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴BC＝4DE，
∵EF∥AB，DE∥BC，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE＝BF，
∵FG∥CN，
∴△BFG∽△BCN，
∴＝，
∵＝＝，
∴＝，
∴CN＝4GF＝8a，
∴CH＝CN﹣NH＝8a﹣2a＝6a，
∴CM＝CH+MH＝6a+a＝7a，
∴＝＝，
故选：D．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键．
9．（2024 钱塘区一模）如图，已知正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，把四个直角三角形分别沿斜边向外翻折，得到正方形MNPQ，连结MF并延长交NP于点O，设正方形EFGH的面积为S1，正方形MNPQ的面积为S2，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．2
【点拨】根据，设S1＝4k2，S2＝49k2，则正方形EFGH边长为2k，正方形MNPQ的边长为7k，即FG＝2k，NP＝7k，设NC＝a，PC＝b，依题意得BF＝CG＝NC＝BM＝a，BG＝BN＝CP＝b，则，解得，则NC＝BM＝2.5k，CP＝4.5k，证BC∥MO，得△BNC∽△MNO，则BN：MN＝NC：NO，即4.5k：7k＝2.5k：NO，由此得NO＝，则OC＝NO﹣NC＝，进而得OP＝CP﹣OC＝，据此可得的值．
【解析】解：，
∴设S1＝4k2，S2＝49k2，
∴正方形EFGH边长为2k，正方形MNPQ的边长为7k，
即FG＝2k，MN＝NP＝7k，
设NC＝a，PC＝b，
依题意得：△AMB，△AFB，△BNC，△BGC，△CPD，△XHD，△DQA，△DEA都全等，
∴BF＝CG＝NC＝BM＝a，BG＝BN＝CP＝b，
∴BG﹣BF＝FG，NC+CP＝NP，
∴，解得，
∴NC＝BM＝2.5k，CP＝4.5k，
∵AM＝AF，
∴点A在线段AF的垂直平分线上，
∴BF＝BM，
∴点B在线段AF的垂直平分线上，
∴AB是线段AF的垂直平分线，
即AB⊥MO，
又∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴BC∥MO，
∴△BNC∽△MNO，
∴BN：MN＝NC：NO，
即4.5k：7k＝2.5k：NO，
∴NO＝，
∴OC＝NO﹣NC＝﹣2.5k＝，
∴OP＝CP﹣OC＝4.5k﹣＝，
∴＝．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
10．（2025 乐清市校级模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，BC＝8，D是BC上一点，BD＜CD，连结接AD，作DE⊥AD，交BC的垂线CE于点E．连接AE，交BC于F，若设CF＝x，CE＝y，在D的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A．x+y B．xy C．x2+y2 D．
【点拨】过点A作AG⊥BC于点G，证明△AGF∽△ECF得出，进而逐项分析判断，即可求解．
【解析】解：如图所示，过点A作AG⊥BC于点G，
∵等腰直角三角形ABC中，BC＝8，
∴，
∵CE⊥BC，
∴AG∥EC，
∴△AGF∽△ECF，
∴即，
解得：，
∴x+y＝+y＝，，都不是定值，
∴＝是定值，
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
二．填空题
11．（2024 钱塘区二模）已知，则代数式的值为 　﹣5　 ．
【点拨】利用设k法进行计算，即可解答．
【解析】解：∵，
∴设a＝2k，则b＝3k，
∴＝＝＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法是解题的关键．
12．（2025 兴宁市一模）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝4cm，则PA＝　（2﹣2）　 cm．
【点拨】根据黄金分割的定义得到PA＝AB，然后把AB＝4cm代入计算即可．
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，
∴PA＝AB＝×4＝（2﹣2）cm．
故答案为（2﹣2）．
【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
13．（2025 余姚市一模）如果两个相似三角形的面积之比是9：16，其中小三角形一边上的角平分线的长为3cm，那么大三角形对应边上的角平分线的长为　4　 cm．
【点拨】因为两个三角形的面积之比9：16，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求出三角形的相似比，又因为对应角平分线的比等于相似比即可求出大三角形的角平分线．
【解析】解：∵两个相似三角形的面积之比是9：16，
∴小三角形与大三角形的相似比是3：4，
∵小三角形一边上的角平分线的长为3cm，
∴大三角形对应边上的角平分线的长为3÷＝4（cm）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形面积的比等于相似比的平方；（2）相似三角形对应角平分线的比等于相似比．
14．（2024 青海）如图，AC和BD相交于点O，请你添加一个条件 　∠A＝∠C　 ，使得△AOB∽△COD．
【点拨】由∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD（或∠B＝∠D，∠AOB＝∠COD），根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△AOB∽△COD，也可以由AB∥CD，根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△AOB∽△COD，于是得到问题的答案．
【解析】解：∵∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
故答案为：∠A＝∠C．
注：答案不唯一，如：∠B＝∠D、AB∥CD．
【点睛】此题重点考查相似三角形的判定，适当选择相似三角形的判定定理证明△AOB∽△COD是解题的关键．
15．（2024 西湖区一模）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连接BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2．
（1）若DE是△ABC的中位线，则S1：S2＝　1：2　 ；
（2）若S1＝S2，CE＝4，则线段AE的长为 　　 ．
【点拨】（1）根据中位线定理得出DE＝BC，DE∥BC，于是证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可得出△ADE与△ABC面积之间的关系，再根据三角形中线的性质得出△BCE与△ABC面积之间的关系，从而得出△ADE与△BCE面积之间的关系；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，交DE于点F，过点E作EH⊥BC于点H，由DE∥BC证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出，设，由S1＝S2可以求出m的值，再由相似三角形的性质得出，从而求出AE的长．
【解析】解：（1）∵DE是△ABC的中位线，
∵DE＝BC，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
即，
∵点E是AC的中点，
∴，
∴S1：S2＝1：2，
故答案为：1：2；
（2）过点A作AG⊥BC于点G，交DE于点F，过点E作EH⊥BC于点H，
∵DE∥BC，
∴AF⊥DE，
∴FG＝EH，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
设，即DE＝mBC，
∴，
∴，即AF＝，
∵S1＝S2，
∴，
∴mBC ＝BC EH，
∴，
整理得m2+m﹣1＝0，
解得，（舍去），
∴，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∵CE＝4，
∴AE＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
16．（2024 金华模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，连结BD，点E，F分别为AD，BD边上一点，AF⊥BE于点H．
（1）若AE＝2，则DF＝　　 ．
（2）若DF：AE＝k，则k可取的最大整数值为 　2　 ．
【点拨】（1）先证明△ABE∽△DAG，得到DG的长，再根据平行得到，从而得出DF的长；
（2）设AE＝x，则DF＝kx，根据（1），得出k和x的关系式，根据x＞0，得出k的取值范围，从而求得k的最大整数值．
【解析】解：（1）延长AF交CD于点G，
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∵AF⊥BE，
∴△ABE∽△DAG，
∴，
∴，
∴DG＝，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴DF＝，
故答案为：；
（2）设AE＝x，则DF＝kx，
∵△ABE∽△DAG，
∴，
∴，
∴DG＝，
∵，
∴，
∴x＝，
∵x＞0，
∴＞0，
∴0＜k＜，
∴k可取的最大整数值为2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握性质与判定方法是解题的关键．
三．解答题
17．（2024 柯桥区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．
（1）在图1中画一个格点△ADE，使△ADE∽△ABC．
（2）在图2中找一点F，使∠AFC＝2∠ABC．
【点拨】（1）根据相似三角形的判定，并结合网格求解即可；
（2）取格点M以及AB的中点N，连接MN，并延长交BC于点F，点F即为所求．
【解析】解：（1）如图1所示，△ADE即为所求；
（2）如图2所示，点F即为所求．
由作图可知，MN为线段AB的垂直平分线，
∴∠FBA＝∠FAB，
∴∠AFC＝∠FBA+∠FAB，
∴∠AFC＝2∠ABC．
【点睛】本题主要考查作图﹣相似变换和基本作图，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
18．（2025 连云港一模）李老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度，他利用了反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图所示的测量方案：把镜子放在离银杏树AB根部8m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2m，观测者目高CD＝1.75m，则树高AB约是多少米？
【点拨】根据镜面反射的性质求出△ABE∽△CDE，再根据其相似比解答．
【解析】解：根据题意得，∠CDE＝∠ABE＝90°，∠CED＝∠AEB，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，
即＝，
解得：AB＝7（m），
答：树高AB约是7m．
【点睛】此题考查相似三角形的应用，应用反射的基本性质，得出三角形相似，运用相似比即可解答．
19．（2025 盐城一模）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD．
【点拨】根据等腰三角形的性质得出∠PCD＝∠PDC，根据三角形的外角性质得出∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，求出∠B＝∠APC，再根据相似三角形的判定推出即可．
【解析】证明：∵PC＝PD，
∴∠PCD＝∠PDC，
∵∠A+∠APC＝∠PCD，∠B+∠BPD＝∠PDC，
又∵∠A＝∠BPD，
∴∠B＝∠APC，
∴△APC∽△PBD．
【点睛】本题考查了三角形的外角性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定等知识点，注意：如果两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似．
20．（2024 浙江校级模拟）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，点D在线段BC上，DE，AC交于点O，连结CE．
（1）求证：AC平分∠BCE．
（2）若AO AC＝8，求AD的值．
【点拨】（1）根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠ACB，利用SAS证明△ABD≌∠ACE，根据全等三角形的性质求出∠B＝∠ACE，则∠ACB＝∠ACE，根据角平分线的定义即可得证；
（2）根据等腰三角形的性质求出∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，结合∠DAO＝∠CAD，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出△DAO∽△CAD，根据“相似三角形的对应边成比例”求解即可．
【解析】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌∠ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴AC平分∠BCE；
（2）解：∵∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠ACB＝∠ADE＝∠AED，
又∵∠DAO＝∠CAD，
∴△DAO∽△CAD，
∴＝，
∴AD2＝AO AC＝8，
∴AD＝2（负值已舍）．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，证明△ABD≌∠ACE、△DAO∽△CAD是解题的关键．
21．（2024 柯桥区模拟）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA．
（1）求证：AC2＝BC CD；
（2）若AD是△ABC的中线，求的值．
【点拨】（1）首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE进而求出△ABC∽△DAC，再利用相似三角形的性质得出答案即可；
（2）由三角形的外角性质可得：∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CED＝∠CAE+∠ECA，可证得∠ADC＝∠CED，则有CE＝CD，再结合（1）的结论，以及AD是△ABC的中线，即可求解．
【解析】证明：（1）∵，∠BAD＝∠ECA，
∴△BAD∽△ACE，
∴∠B＝∠EAC，
∵∠ACB＝∠DCA，
∴△ABC∽△DAC，
∴，
∴AC2＝BC CD；
（2）∵∠ADC是△ABD的外角，∠CED是△ACE的外角，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD，∠CED＝∠CAE+∠ECA，
由（1）可知，∠B＝∠EAC，∠BAD＝∠ECA，
∴∠ADC＝∠CED，
∴CE＝CD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BC＝2CD，
∴BC＝2CE，
由（1）得：AC2＝BC CD，
∴AC2＝2CE CE，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，根据已知得出△BAD∽△ACE是解题关键．
22．（2024 绍兴一模）【探究发现】如图1，△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，M为DE中点，连结AM并延长交BC于点N，求证：BN＝CN．
【拓展应用】如图2，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于N点，E，F分别是边AB，AD上的点，EF∥BD交AC于点M，若AD＝2，BC＝3，求的值．
【综合提升】如图3，平行四边形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，动点E在边AB上，过E作EF∥BD交AC于点F，过F作FG⊥EF交BC于点G，连结EG，求EG的最小值．
【点拨】【探究发现】由DE∥BC可得出两组三角形相似，从而得出线段之间的比例关系，，等量代换后得，结合DM＝ME可得结论．
【拓展应用】仿照（1）可证，再由AD∥BC可得，于是．
【综合提升】延长EF交AD于P，连结PG．由平行四边形性质知O为BD中点，再由EP∥BD结合（1）的结论可得EF＝FP，再结合FG⊥EF得EG＝PG，当PG⊥BC时PG取到最小值，即EG取得最小值，作AH⊥BC，AH在直角三角形ABH中可解得，于是可得结果．
【解析】【探究发现】证明：∵DE∥BC，则∠ADM＝∠ABN，∠AEM＝∠ACN，
∵∠DAM＝∠BAN，∠EAM＝CAN，
∴△ADM∽△ABN，△AME∽△ANC，
∴，，
∴．
∵M为DE中点，即DM＝ME，
∴BN＝NC．
【拓展应用】解：∵EF∥BD，
∴△AEM∽△ABN，△AMF∽△AND，
∴，
∴．
∵AD∥BC，AD＝2，BC＝3，
∴△ADN∽△CBN，
∴，
∴．
【综合提升】解：延长EF交AD于P，连结PG．如图3，
在ABCD中，AC，BD交于点O，则O为BD中点，
∵EP∥BD，由（1）可得EF＝FP，
∵FG⊥EF，
∴EG＝PG（线段垂直平分线上的任一点到线段两端点的距离相等），
∴当PG⊥BC时，PG取到最小值，即此时EG取得最小值．如图4，
过A作AH⊥BC，H为垂足，则AH＝PG（平行线之间的距离处处相等），
∵AB＝4，∠ABC＝60°，，
∴PG的最小值为．
即EG的最小值是．
【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、线段垂直平分线的性质、垂线段最短、三角函数的有关计算等，解题的关键是熟知相关知识点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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