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2024-2025 学年河南省开封市高二下学期阶段性测试（三）
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点 (2,1, 3)是空间直角坐标系 中的一点，则点 关于 平面对称的点的坐标为( )
A. (2, 1, 3) B. ( 2, 1, 3) C. ( 2,1,3) D. (2,1,3)
2.函数 = sin 的导数是( )
A. = cos +sin B. = cos sin ′ 2 ′ 2
C. cos +sin ′ = D. =
cos sin
′
3.若直线 的方向向量为(3, 3)，且经过点(3, 3)，则直线 的方程为( )
A. + 3 = 0 B. + 3 6 = 0 C. 3 = 0 D. 3 6 = 0
4.与圆 : 2 + 2 4 + 2 = 0 关于直线 + 1 = 0 对称的圆的方程是( )
A. ( 2)2 + ( + 3)2 = 5 B. ( + 2)2 + ( 3)2 = 25
C. ( 2)2 + ( + 3)2 = 25 D. ( + 2)2 + ( 3)2 = 5
5 1.已知等差数列{ }的首项为22，若{ }从第 11 项起比 1 大，则其公差 的取值范围是( )
A. ( 21 7220 , + ∞) B. ( ∞, 66 ) C. (
21 7 21 21
220 , 66 ] D. ( 242 , 220 ]
6.已知 ， ， 是从点 出发的三条射线，若 ⊥ ，∠ = ∠ = 60 ，则直线 与平面 所
成角的正弦值是( )
A. 1 2 3 62 B. 2 C. 3 D. 3
7.已知 > > 0，则( )
A. 1 <
1
B. + ln < + ln
C. + e < + ln D. cos < cos
8.已知偶函数 ( )( ∈ )的图象是一条连续不断的曲线，其导函数为 ′( )， ( 3) = 13，且当 > 0 时，
′( ) + 2 ( ) > 0 3，则不等式 (2 1) > (2 1)2的解集为( )
A. ( 1, 12 ) B. ( ∞,
1
2 ) ∪ (2, + ∞)
C. ( 1, 1 ) ∪ ( 12 2 , 2) D. ( ∞, 1) ∪ (2, + ∞)
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2 29.已知双曲线 : 2 = 1( > 0)的实轴长是虚轴长的 3 倍，则( )
A. = 18 B. 1的渐近线方程是 =± 3
C. 的焦距为 2 5 D. 10的离心率为 3
10.设等差数列 的公差为 , 为其前 项和，若 7 < 8 = 9 > 10，则( )
A. < 0 B. 10 > 7
C. 8与 9是 的最大值 D.使 < 0 成立的 的最小值为 17
11.已知函数 ( ) = 2ln ，则下列说法正确的是( )
A. ( ) 1在区间(0, 2 )上单调递减
B. 1当 0 < < 时， ( 2 ) < ( )
C.当 0 < ≤ 1 时， 12 ≤ ( ) ≤ 0
D.若 0 < < 1 ，则过点( , ( ))可作 ( )图象的两条切线
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.曲线 = e + 在点(0,1)处的切线与坐标轴围成的封闭图形的面积为
13.已知抛物线 2 = 2 ( > 0)的准线为直线 = 3， 为抛物线上一动点，点 到 轴的距离为 1， 为圆
: ( + 3)2 + ( 3)2 = 4 上一动点，点 到 的距离为 2，则 1 + 2的最小值为 ．
14.已知{ }是递增的整数数列，若 1 = 9， 1 + 2 + + = 2025，则正整数 的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = + + 1 的图象经过点(1, )，且 ( )在 = 0 处取得极值．
(Ⅰ)求 ， 的值;
(Ⅱ)证明： ( ) > ．
16.(本小题 15 分)
已知公比大于 1 的等比数列{ }满足 1 + 4 = 28， 2 3 = 27．
(Ⅰ)求{ }的通项公式;
(Ⅱ)设 为{ }的前

项和， = +1 2 ，求{ }的前 项和 ． +1
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17.(本小题 15 分)
如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1， 为棱 1 1上一点．
(Ⅰ)证明： ⊥ 1 ;
(Ⅱ) 2 38若直线 1 与平面 所成角的正弦值为 19 ，求点 1到平面 的距离．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ， ( ) = + ln + ．
(Ⅰ)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程;
(Ⅱ)讨论 ( )的单调性;
(Ⅲ)若 = 1，且当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) ≤ ( )恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知 21( 1, 2)是抛物线 : = 2 ( > 0)上一点，以点 1为圆心，2 为半径的圆过 的焦点 .按如下方式依
次构造点 ( , )( = 2,3, ):过点 1作斜率为 ( < 0)的直线与 交于另一点 1，点 为 1关于
轴的对称点．
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ)令 1 = 2，证明{ }是等差数列，并求其通项公式;
(Ⅲ)设 是△ +1 +2的面积，求证： = +1．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.14/0.25
13.3 5 5
14.55
15.解：(Ⅰ) ∵函数 ( ) = + + 1 的图象经过点(1, )，
∴ (1) = + + 1 = ，
∵ ′( ) = + ，
∵函数 ( ) = + + 1 在 = 0 处有极值，
∴ ′(0) = + = 0，
解得 = 1， = 1．
经检验， = 1， = 1 符合题意．
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可知， ( ) = + 1，
要证 ( ) > ，
只需证： + 1 > ，
即 + 1 > 0，
令 ( ) = + 1，则 ′( ) = ，
令 ′( ) = 0，解得 = 1，
列表如下：
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( ∞,1) 1 (1, + ∞)
′( ) 0 +
( ) 单调递减 1 单调递增
可得： = 1 时， ( )有最小值 (1) = + 1 = 1 > 0，
故 ( ) > 成立．
16.解：(Ⅰ)由题意可知： 1 4 = 2 3 = 27，
1 + 4 = 28
结合公比大于 1，得 1 4 = 27 ，
1 < 4
1 = 1解得 4 = 27
,
设{ }

的公比为 ，则 3 = 4 = 27，得 = 3，1
∴ = 1 = 3 1 1 ;

(Ⅱ) 1 3 3 1由(Ⅰ)可知 = 1 3 = 2 ，

∴ +1 = 2 +1
2·3
=
(3 1)(3 +1 1)
= 1 13 1 3 +1 1，
1 1 1 1 1 1
∴ = ( ) + ( 31 1 32 1 32 1 33
) + + (
1 3 1

3 +1
)
1
1 1
= 1 3 1 3 +1 1
= 1 12 3 +1 1．
17.解：(Ⅰ)连接 1， 1 ⊥ 1 ，
∵正方体中 1 1 ⊥平面 1 1，
1 平面 1 1，∴ 1 1 ⊥ 1 ，
又 1 1 1 = 1， 1 1， 1 平面 1，
所以 1 ⊥平面 1，又 平面 1，
则 ⊥ 1 ;
(Ⅱ)以 为原点，如图建立空间直角坐标系．
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(0,0,0)， (1,0,0)， 1(1,0,1)， (0,1,0)， (0, , 1)， 1(0,0,1)，
1 = (1,0,1)， = ( 1,1,0)， = ( 1, , 1)0 < < 1，
1 = ( 1,0,1)，
设平面 法向量为 = ( , , )，
· = + = 0
则 ,
· = + + = 0
令 = = 1，则 = 1 ， = (1,1,1 )，
· 1cos , = 1+1 2 381 · 1
= = ，
2· 2+ 1 2 19
2
解得： = 3或 = 14(舍去)
又平面 1法向量为 = (1,1, 3 )，
则点 1到平面 的距离
2
= 1
·
= 3 =
2 19
1 19 ．1+1+9
18.解：(Ⅰ) ′( ) = ( + 1) ， ′(1) = 2 ， (1) = ，
故曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 = 2 ( 1)，即 = 2 ．
(Ⅱ)函数 ( ) 的定义域为(0, + ∞)， ′( ) = 1 + ，
1 , 0 时， ′( ) > 0, ( )在(0, + ∞)上单调递增；
2 ， < 0，当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0，故 ( )在(0, )上单调递减；
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0，故 ( )在( ,∞)上单调递增．
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(Ⅲ)由题意知， ≤ ，在(0, + ∞)上恒成立，
令 ( ) = ，则
( ) = ( + 1) 1 1 = +1′ (
1)，
记 = 1，则 ′( ) = ( + 1) > 0，
所以 在(0, + ∞)上单调递增，
又 (1) > 0, (0) = 1 < 0，
所以 0，使 ( 0) = 0，且 0 ∈ (0,1)，
当 0 < < 0时, ( ) < 0,当 > 0时, ( ) > 0，
∴ ( )min = ( 0) = 0 0 0 ln 0，
又 ( ) = 0，即 0 0 0 1 = 0，
所以 0 0 = 1， 0 + ln 0 = 0，
所以 ( )min = ( 0) = 1 0 ln 0 = 1，
所以 ≤ 1.
19.解：(Ⅰ) ∵ 1( 1, 2)为 上一点，∴ 22 = 2
2
1，∴ 1 = ．
2
由抛物线的定义知| 1 | = 1 + 2 = + 2 = 2，
解得 = 2，
∴ 的方程为 2 = 4 ．
(Ⅱ) ∵ ( , )关于 轴的对称点为 1( , )，

直线 1 1 1的斜率为 ，∴ ≠ 1， = ， 1
∴ + 1 = ( 1)，
2 = 4 , ①
∵ 1， 1都在 上，∴ ，
2 1 = 4 1, ②
① ②，得 2 2 1 = 4 4 1，
即( 1)( + 1) = ( 1)( 1) = 4( 1)，
∴ = 4 1 ，
∴ { }
4
是首项为 2，公差为 的等差数列，
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∴ = 2
4
( 1)．
(Ⅲ)要证 = +1.即证 △ +1 +2 = △ +1 +2 +3，
而△ +1 +2与△ +1 +2 +3有一条公共边 +1 +2，
所以需证 , +3到边 +1 +2距离相等，
也就是要证 +3// +1 +2，
4
而 +3 +3 +3 = = 2 2 = ， +3 +3 +3+ 4 4
4
同理， +1 +2 = +1+
，
+2
由(Ⅱ){ }是等差数列，所以 +3 + = +1 + +2，
从而有 +3 = +1 +2，
则 +3// +1 +2，
所以 = +1．
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