资源简介

§5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质（学习任务单）
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的意义，培养数学抽象的核心素养；
2.会求常见三角函数的的周期，提升数学运算的核心素养；
3.通过图象直观理解奇偶性，并能正确确定相应的对称轴和对称中心，提升直观想象的核心素养。
【重点难点】
重点：正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性；深化研究函数性质的思想方法．
难点：正弦函数和余弦函数的周期性，以及周期函数、(最小正)周期的意义．
【学法提示】
需要提前回顾诱导公式，关键理解如何推理出正弦函数的周期性和奇偶性；基于理解前两个性质后，还需要模仿，自主练习，进而初步认识并理解单调性以及最值性质。
【学习材料】
复习——
正弦函数的图象：
余弦函数的图象：
预习——
周期函数的定义：
正弦、余弦函数的周期：
正弦函数、余弦函数的奇偶性：
3.课本阅读资料+课外资料： .
【学习过程】
（一）情境引入
1.通过前期对指数函数、对数函数的学习，你知道对函数性质的研究的一般思路吗？
【问题1】类比以往对函数性质的研究，思考本节课可研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？
【追问1】：通过上一节，利用单位圆构建正余弦函数图象过程中，观察单位圆上点的纵坐标和横坐标的变化规律，思考正、余弦函数除了这些性质之外，还有其他特别之处吗？
【阅读资料】如果现在是早上9点钟,问你:24小时以后是几点钟 你会毫不犹豫地回答:还是早上9点钟.因为你很清楚,0点、1点、2点、3点……23点,每隔24小时就重复出现一次,如果今天是星期一,问你:7天以后是星期几 你也会回答:还是星期一.因为你很清楚,星期一、星期二……星期天,每隔7天就重复出现一次.相同的间隔重复出现的现象称为周期现象,如“24小时1天”“7天1星期”“365天1年”就是我们所熟悉的周期现象.自然界中有很多周期现象,如日出日落、月圆月缺、四季交替等.
【追问2】正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢 根据正（余）弦函数图像或者单位圆的坐标特点，推测一下周期是多少？
（二）三角函数的性质
1．函数的周期性
【探究1】观察f(x)的部分图象,函数图象每相隔多少个单位重复出现 小组讨论，并归纳得出对于f(x)始终有什么规律，能否写出f(x)的一个规律式子呢？
【问题1】由诱导公式一:sin(x＋2kπ)＝sin x，cos(x＋2kπ)＝cos x. 结合正(余)弦函数图像以及表达式f(x)=sin x，g(x)=cos x能否写出类似的规律式子？
【阅读课本P201页有关周期性的概念】
【说一说】你对一般函数周期的定义的理解，并根据定义阐述一下正（余）弦函数的周期的推理。
(1)一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且______________，那么函数f(x)就叫做周期函数．______________叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_______的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期．
【问题2】正余弦函数周期的推理：______________________________________________________________
________________________________________________________________________________________.
2．正弦、余弦函数的周期性
由上可得，正弦函数y＝sin x(x∈R)和余弦函数y＝cos x(x∈R)都是________函数，_______(k∈Z，且k≠0)都是它们的周期．最小正周期为_______.在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期.最小正周期是最具有代表性的一个周期，但不是每个周期函数都存在最小正周期.
【注意】对周期函数的三点说明
(1)并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
(2)如果T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z且n≠0)也是f(x)的周期．
(3)并非所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝C(C为常数，x∈R)，所有的非零实数T都是它的周期，不存在最小正周期．
【问题3】我们知道，sin（+）=sin（），sin（+）=sin，sin（+）=sin，…，那么是正弦函数y=sin x的一个周期吗？为什么？从函数值变化的角度解释：为什么可以说2kπ（k∈Z）是正弦函数的周期？
【做一做】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)由于sin＝sin，则是函数y＝sin x的一个周期．(　　)
(2)因为sin＝sin，所以函数y＝sin的周期为4π.(　　)
(3)对任意实数x，若有f(x＋1)＝f(x)，则f(x)是周期函数，T＝1是f(x)的一个周期．(　　)
3.正弦、余弦函数的奇偶性
【问题4】观察正弦曲线和余弦曲线，它们关于原点或y轴对称吗？具有奇偶性吗？
【追问】你可以通过代数思想加以推理么？
【思考】判断函数的奇偶性的步骤？判断函数的奇偶性还有什么方法？
【问题5】知道一个函数具有周期性和奇偶性, 对研究它的图象与性质有什么帮助
（三）典型例题
课本例题：
例2：求下列三角函数的最小正周期:
(1)y=3sin x,x∈R; (2)y=cos 2x,x∈R; (3)y=2sin(),x∈R;
【探究2】：回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中的哪些量有关吗？通过小组讨论，并加以小结。
　
补充练习：
1.正、余弦函数的周期性
例1：（1）函数y=2sin (3x+),x∈R的最小正周期是(　　)
(A) (B) (C) (D)π
(2)函数y=|cos x|,x∈R的最小正周期为　　　；y=|sin 2x|(x∈R)的最小正周期为　　　　.
2.奇偶性
例2： 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=sin 2x;(2)f(x)=sin(+);(3)f(x)=sin |x|;(4)f(x)=+.
【巩固练习2】1.下列函数中,最小正周期为π的奇函数是(　　)
(A)y=sin(2x+) (B)y=cos(2x+) (C)y=sin(2x+) (D)y=sin(x+)
3.三角函数的奇偶性与周期性的综合应用
例3.　定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sin x，则f 等于(　　)
A．－ B. C．－ D.
变式1．若本例中“偶”变“奇”，其他条件不变，求f 的值．
变式2．若本例中函数的最小正周期变为，其他条件不变，求f 的值．
【巩固练习3】已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时f(x)的解析式．
【课堂小结】
通过这节课，你学到了什么知识？
在解决问题时，用到了哪些数学思想？
【学习评价】
【自我学习评价】 你完成本节导学案的情况为（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【使用评价】 本节导学案难度如何（ ）
A.很好 B.较好 C.一般 D.较差
【建议】 你对本节导学案的建议：
【作业布置】
完成教材：第203页 练习 第1，2，3,4题； 第213页 习题5.4 第2,3题
【达标检测】
5．下列函数中，周期为的是(　　)
A．y＝sin x B．y＝sin 2x C．y＝cos D．y＝cos 4x
6．函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是(　　)
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
7．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是(　　)
A．f(x)是周期为1的奇函数 B．f(x)是周期为2的偶函数
C．f(x)是周期为1的非奇非偶函数 D．f(x)是周期为2的非奇非偶函数
8．函数f(x)＝sin，x∈R的最小正周期为________．
【拓展延伸】
1.下列函数中，最小正周期为π的是（ ）
A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=sin
2.下列函数中，最小正周期为的奇函数是（ ）
A． B．
C． D．
3.函数（ ）
A．是奇函数，也是周期函数； B．是奇函数，不是周期函数；
C．是偶函数，也是周期函数； D．是偶函数，不是周期函数.
4.（多选）下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
5.写出一个最小正周期为1的偶函数______．
6.已知函数是偶函数，若，则_________
7.已知函数y＝sin x＋|sin x|.(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．
8.判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝lg(sin x＋)； (2)f(x)＝sin.
9.设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f 的值等于(　　)
A．1 B. C．0 D．－
10.若函数是偶函数，则___________.
11.函数y＝cos(k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　)
A．10 B．11 C．12 D．13
12.已知f(x)＝2cosx，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.
13.已知函数f(x)＝sin是奇函数，则φ∈时，φ的值为________．
14.已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．
(1)求证：函数f(x)是周期函数；
(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．

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