资源简介

谈函数与导数、数列、不等式的复习
高考复习中，如何强化数学理性思维？如何真正把思维训练与提高能力相得益彰地落到实处？这是我们最需要思考的问题。就函数、数列与不等式部分的复习谈几点想法。
在知识的体系化过程中夯实基础
在一轮复习中，首先要遵循考试说明对考点的要求并达到相应的目标层次，不能定位过高而冲淡知识的掌握，尽量追求知识的全面性而不刻意追求方法的灵活性，有利于基础知识巩固的事多做，盲目拔高而不利于知识深化的事少做甚至不做；第二要加强过程复习，重视知识的体系化：基础知识的复习应将重点放在其发生的过程上(该知识是如何引进的、有什么样的表现形式、与“谁”有关联、有什么好的性质等)，让学生在反思中把知识构建有序，明确知识的适用情境及来龙去脉，使知识在解决问题的活动中达到“该出手时就出手”的境地。
例1. (06浙江)函数满足,则这样的函数个数共有 A.1个 B.4个 C.8个 D.10个 ( )
评析：函数概念是中学数学最重要的概念之一，必须透彻理解。
例2.(08杭州质检)已知函数,其中是定义域为R的函数,则方程在下面哪个范围内必有实数根( )
A.(0,1) B. (1,2) C.(2,3) D.(2,4)
例3. (09杭州质检)已知，则等于（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
评析：函数零点与分段函数都是新课程新加入的知识点，值得我们特别关注。
例4.（07安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为( )
(A) (0≤x≤2)
(B) (0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2) (D) (0≤x≤2)
评析：二次函数、V字形函数、双勾函数、反比例型函数、指对数函数、幂函数都是高中学生必须熟练掌握其图形与性质的基本初等函数。
例5. （09广东理）已知等比数列满足，且，则当时， ( ((((
A. B. C. D.
从知识的发展中提炼方法、思想与规律
知识的复习应当和基本思想方法、揭示规律融为一体，真正做到水乳交融，不能是两张皮，就函数部分而言，随着知识的发展，要注意以下思想方法的提炼：
(1)在函数概念与三个要素的复习中，要从概念的内涵中提炼出“函数思想”的以下要素：变量总是以两个或多个的形式相互制约相互依存，共处于一个数学问题之中；把一个变量作为自变量，另一个问题作为因变量，考虑后者是不是前者的函数？习惯上总是用自变量表示因变量，具体问题如何完成这个表示？
(2)在复习函数的表示方法时，要提炼出以下认识，它是数形结合思想方法的要素：函数有三种表现形式：解析式、图像式、表格式。这三种形式不能割裂，而应当统一起来。函数图像是表现函数性质最直接的手段。
例6.（09全国Ⅰ）函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( D )
(A) 是偶函数 (B) 是奇函数 (C) (D) 是奇函数
解: 与都是奇函数，，
函数关于点，及点对称，函数是周期的周期函数.，，即是奇函数。
(3)函数的每一个性质都有丰富的内涵，就几个性质的共性来说，可提炼出以下的认识与方法，它是“函数思想”的要素之一：函数概念中有两个运动变化的过程，自变量的运动变化过程与函数的运动变化过程，前一个运动变化过程的某些特征与后一个运动变化过程的某些特征的内在联系与规律就是函数性质的本质所在。
例7．（09浙江理）对于正实数，记为满足下述条件的函数构成的集合：且，有．下列结论中正确的是( )
A．若，，则
B．若，，且，则
C．若，，则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
善于用函数的观点看数列问题，用类比的眼光研究等差等比数列
(1)函数是高中数学的重要知识，它像一根主线贯穿高中数学的各个章节，数列是一类定义在正整数集或其有限子集上的特殊函数，是函数概念的继续与延伸，故任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征。从函数观点出发，以函数的概念、图像、性质为纽带，变动地、直观地研究数列的一些问题，有利于认识数列的本质。例如：对于公差不为零的等差数列来说，它的通项是n的“一次函数”，其图像是均匀分布在一直线上的离散点；它的前n项和是关于n的常数项为0的“二次函数”，其图像是分布在过原点的抛物线上的离散点。于是可得是关于n的“一次函数”。而对于公比不为1的等比数列来说，它的通项是关于n的“指数型函数”。
例8．若数列满足，若，则的值为( )
A． B． C． D．
评析：紧扣分段函数的定义代入法求项(，，，…)，可发现此数列是个周期为3的周期性数列。本题通过求出数列的前几项，从而掌握数列的构成规律，揭示其周期性，虽然处理方法与函数周期性的处理方法不尽相同，但从中我们可以看到数列作为特殊的函数也蕴含着函数的一些性质。
例9．（09江西理）数列的通项，其前项和为，则为
A． B． C． D．
例10．若对一切正整数n恒成立，求实数的取值范围。
评析：是关于n的二次函数，点是如图上的
点，因为函数为离散函数，因此要使函数为
递增函数，只要对称轴在的左侧即可。
例11. (2009山东文)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的，点均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时，记 , 求数列的前项和
(2)等差等比数列是高中数学研究的两种特殊数列，但这两种数列不是孤立的，从定义到通项公式再到众多的性质都有很强的类比性：；；
若，则有……等,从运算的角度类比观察,从等差数列到等比数列都是运算的升级.
例12. （09浙江文）设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则， ， ，成等比数列．
(3)数列问题难度降低,注重基础与通法
09年浙江卷没有出现数列解答题，但这并不意味着数列解答题不会再考，可以确定的是象往年那样把数列知识与不等式放缩法综合的押卷题不会再出现，数列题如果出现应该出现在解答题的前三道位置，在难度上会大大降低，对数列基础知识与通性通法的考查会是这个考题的重点。
例13．(09广东)已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足－=+（）.
（1）求数列和的通项公式；
（2）若数列{前项和为，问>的最小正整数是多少? w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
例14．（09全国Ⅰ）在数列中，
（I）设，求数列的通项公式
（II）求数列的前项和
评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
重视导数作为解决函数不等式及实际问题的工具的重要作用
函数与导数都是高中数学的主干知识，导数是研究函数的重要工具，同时导数及其性质的应用也离不开函数的支撑，因此除了对导数基本内容的考查外，以函数为载体、导数为工具在函数与导数交汇处命题始终是高考的热点。
例15．已知函数在 R上可导且满足:,则（ ）
A． B．0 C． D．2009
例16．（09江西理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为
A．　　　B．　　　C．　　　　D．
例17．（09天津理）设函数则
A．在区间内均有零点。 B。在区间内均无零点。
C．在区间内有零点，在区间内无零点。
D．在区间内无零点，在区间内有零点。
例18．若曲线存在垂直于轴的切线，则实数的取值范围是 .
例19．（09浙江理）已知函数，，其中．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
（I）设函数．若在区间上不单调，求的取值范围；
（II）设函数 是否存在，对任意给定的非零实数，存在惟一
的非零实数（），使得成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
评析：见多了要求单调的问题，问题（I）确实给人耳目一新的感觉；本题尽管是导数的背景但是实际是考查数学中最本质的转化思想和函数问题，有效区分了考生的数学素养。
例20．设函数，其中常数a>1
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
评析：本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出的范围。
例21．(09山东理)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.
（1）将y表示成x的函数；
（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，
使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存
在，求出该点到城A的距离;若不存在，说明理由。
评析：本题主要考查了函数在实际问题中的应用,运用待定系数法求解函数解析式的能力和运用换元法和基本不等式研究函数的单调性等问题.

展开更多......

收起↑