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二元一次方程组参考例题
［例1］解方程组
分析：题中方程①x的系数为1，则用含y的代数式表示x，代入第②个方程；得到一个关于y的一元一次方程，求出y，进而再求出x；题中方程②出现常数项为零的情况，则由②得x=－2y,再代入①中消去x，进而求出方程组的解.
解法一：由②得x+2y=0即x=－2y.把③代入①得－2y+3y=4,得y=4
把y=4代入③得x=－2×4=－8
所以原方程的解为
解法二：由①得x=4－3y ③
把③代入②得=0
即y=4
把y=4代入③得x=4－3×4=－8
所以原方程组的解为
评注：解二元一次方程组的基本思想是“消元”，把二元一次方程组转化为我们已熟悉的一元一次方程来解.“代入法”是消元的一种方法，用代入法解二元一次方程组，首先要观察方程组中未知数系数的特点，尽可能选择变形后的方程比较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是很关键的一步.
［例2］解方程组
分析：先把方程②整理为一般形式4x－3y=－5③，通过观察发现方程①和③中y的系数是“+3”和“－3”，可以用整体代入法将①变形为3y=1+2x后代入③，得出关于x的一元一次方程，进而得到方程组的解.
解：原方程整理为
由①得3y=1+2x ④
把④代入③得
4x－(2x+1)=－5
解得x=－2
把x=－2代入④，得
3y=2×(－2)+1
y=－1
所以原方程的解为
评注：①解二元一次方程组一般要整理成标准形式，这样有利于确定消去哪个未知数；②用代入法解方程组，关键是灵活“变形”和“代入”，以达到“消元”的目的，要认真体会此题代入的技巧和方法.
［例3］已知关于x、y的方程组的解相同，求a、b的值.
分析：既然两个方程组的解相同，那么两个方程组的解也应与方程组的解相同，将此方程组的解代入含有a、b的另两个方程，则解关于a、b的二元一次方程组，从而求出a、b的值.
解：求得方程组解为将其代入ax+by=－1,2ax+3by=3,可得
由①得，b=－3a－1 ③
把③代入②，得
6a+3(－3a－1)=3.
解得a=－2
把a=－2代入④，得
b=5
所以a=－2,b=5
二、参考练习
1.填空题
(1)用代入法解二元一次方程组 最为简单的方法是将_________式中的_________表示为_________，再代入_________式.
(2)若方程3x－13y=－12的解也是x－3y=2的解，则x=_________,y=_________.
(3)已知3b+2a=17,2a－b=－7,则a2+b2+4ab=_________.
(4)已知｜4x－2y－3｜+(x+2y－7)2=0,则(x－y)2=_________.
2.选择题
(1)若方程组的解是一对相同的数，则a的值为
A.3
B.4
C.5
D.6
(2)已知x、y的值满足等式,那么代数式的值为
A.
B.
C.－
D.－
(3)若方程组的解互为相反数，则k的值为
A.8
B.9
C.10
D.11
3.用代入法解下列方程组
(1)
(2)
4.若y=kx+b，当x=1时y=－1;当x=3时，y=5，求k和b的值.
答案：略
二元一次方程组参考例题2
［例1］解方程组：
分析：这个方程组比较复杂，应先化简，然后再观察系数的特点，利用加减消元法或代入消元法求解.
解：化简方程组，得
③×2+④×3，得19x=38
x=2
把x=2代入③，得y=2
所以原方程组的解为
评注：当方程组比较复杂时，应通过去分母，去括号，移项，合并同类项等，使之化为的形式(同类项对齐)，为消元创造条件.
［例2］解方程组
分析：可以仿例1将方程化简，也可根据方程组的特点考虑把(x+y)、(x－y)看成一个整体，这样会给计算带来方便.
解法一：原方程化简为:
②×3－④,得32y=－64,y=－2
把y=－2代入④，得x=5
所以原方程组的解为
解法二：把(x+y)、(x－y)看成整体
①－②×3得x+y=3 ③
把③代入②，得2(x－y)－5×3=－1
即x－y=7 ④
由③、④联立方程组，得
解得
评注：在解法二中突出了方程的特点，体现了数学中的“整体”思想.
［例3］已知方程组的解适合x+y=8,求a的值.
分析一：把方程组成的解用含a的代数式表示出来，再代入x+y=8，得到关于a的一元一次方程，解方程即可求出a.
分析二；将方程2x+3y=a代入3x+5y=a+2，即用2x+3y代替方程3x+5y=a+2中的a，可得到3x+5y=2x+3y+2，整理得x+2y=2，将新得到的方程与x+y=8组成方程组解方程组即可求出x、y的值，然后把x、y的值代入2x+3y=a,便可求出a的值.
解法一：
①×2,得6x+10y=2a+4 ③
②×3,得6x+9y=3a ④
③－④，得y=4－a,
把y=4－a代入②，得
2x+3(4－a)=a
解得x=2a－6
所以代入x+y=8,得
(2a+6)+(4－a)=8
解得a=10
解法二：
把②代入①，得3x+5y=2x+3y+2,
整理，得x+2y=2 ③
把方程③与x+y=8组成方程组，
③－④，得y=－6
把y=－6代入④，得x=14
所以
把代入②中
a=2×14+3×(－6)=10
所以a=10
评注：顺利解决此题的关键是理解二元一次方程组的解和二元一次方程的解的概念；二是灵活运用加减法或代入法解二元一次方程组.
二、参考练习
1.填空题
(1)已知3ay+4b3x－1与－3a2x－2b1－2y是同类项，则x=_________,y=_________.
(2)若(5x+2y－12)2+｜3x+2y－6｜=0,则2x+4y=_________.
(3)若3x3m+5n+9+9y4m－2n+3=5是二元一次方程，则=_________.
(4)在代数式mx+n中，当x=3时，它的值是4，当x=4时，它的值是7，则m=_________,n=_________.
答案：(1)2 －2 (2)0 (3)1 (4)3 －5
2.选择题
(1)用加减消元法解方程组时，有以下四种结果，其中正确变形是
① ②
③ ④
A.只有①和②
B.只有③和④
C.只有①和③
D.只有②和④
(2)已知则x－y的值是
A.1
B.0
C.－1
D.不能确定
(3)方程组的解x和y的值相等，则k的值等于
A.9
B.10
C.11
D.12
答案：(1)B (2)A (3)C
3.用加减消元法解方程组：
(1)
(2)
(3)x+2y=
(4)
答案：(1)
(2)
(3)
(4)

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