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二次函数综合应用
三亚市第二中学 符斌
二次函数是初中数学中的重要内容之一，是历年中考的一个必考知识点，并且也是综合代数与几何的一个重要载体，它往往以中考压轴题的形势出现。此类问题考查知识点多，综合性强，难度较大，能较好地考查学生综合应用能力与灵活应变能力，在解题思路上注意渗透数形结合、函数与方程、分类讨论和转化与化归等数学思想的运用。本文就综合问题的分类归纳解析，以供读者参考。
一、用待定系数法求函数解析式
要确定函数解析式，就是要确定解析式中的待定系数（常数）。由于二次函数的解析式有三种形式，即一般式：，顶点式：，交点式：，所以求二次函数解析式时，要根据已知条件的特点，选择适当形式，建立方程或方程组，简化计算过程。
例1．（北京市中考题）已知抛物线与y轴交于点A(0,3)，与x轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点，
求抛物线的解析式；
若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式。
解：(1) 因为抛物线过A(0,3)、B(1,0)、C(5,0)三点，所以
有 解得 .
∴抛物线的解析式是.
(2) 依题知，OA的三等分点分别为(0,1)、(0,2).
?设直线DC的解析式为
当点D的坐标为(0,1)时，有 解得 ，
∴直线DC的解析式为
当点D的坐标为(0,2)时，有 解得 ，
∴直线DC的解析式为
二、从几何图形中建立函数关系
从几何图形中确定或建立函数关系式是数形结合的新题型，已构成中考命题的热点，主要是运用相似的性质、勾股定理、面积关系（或公式）等建立量与量的函数关系，几何图形中要建立两个量之间的关系，一般的方法和步骤是：
1、将题目中的几何量用含字母x和y的代数式表示，并将有关几何量通过添加辅助线等方法转化为我们熟悉的特殊图形中的量。
2、用特殊图形的特定性质和几何定理，写出满足含有字母x、y的方程，并用x表示y，并写出自变量的范围。
例2、（长春市中考题）如图1，正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别为(0、10)、(8、4)，顶点C、D在第一象限，点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4、0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动。当点P到达点C时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒。
(1)求正方形ABCD的边长；
(2)当点P在边AB上运动时，△OPQ的面积S(平方单位)与时间t(秒)之间的函数图像为抛物线的一部分（如图2），求P、Q两点的运动速度；
(3)求(2)中的面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点F的坐标；
(4)若点P、Q保持(2)中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间t的增大而减小。当点P沿着这两边运动时，使∠OPQ=90o的点P有 个。
(抛物线的顶点坐标是 .)
y D y
A C
P B
O E Q x O 10 x
图1 图2
解：(1) 过点B作BF⊥y轴于点F,
由 A(0、10)、B(8、4) 得BF=8,AF=6. ∴ AB=10.
(2) 由图2可知,点P从点A运动到点B用了10秒.
∵AB=10,1010=1. ∴P、Q两点的运动速度均为每秒1个单位.
(3) 过点P作P G⊥y轴于点G ,则P G∥BF.
∴
∴ ∴
∵
∴.
∵
∴当时, S有最大值.
∴点P的坐标为
(4) 2.
三、如何求实际问题的最值（最值问题）
解此类问题通常分为两个步骤进行：先是根据实际问题的条件建立函数关系，二是在给定的自变量的取值范围内，利用二次函数的性质求出函数的最值.
例3.在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来临时，价格呈上升趋势.设这种时装开始时定价为20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售,从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售.
(1)试建立销售价y与周次x之间的函数关系式；
(2)若这种时装每件进价z与周次x之间的关系为，且x为整数，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润是多少？

解：(1)依题意，可建立函数关系式为
20+2(x-1)(1≤x≤6) 2x + 18(1≤x≤6)
y= 30(6≤x≤11) 即 y= 30(6≤x≤11)
30-2(x-11)(12≤x≤16) -2x+52 (12≤x≤16)
(2)设销售利润为W，则W=售价 - 进价,
； ；
故W= ； 即W= ；
； ；
①当W=时，∵x≥0时，函数W随x增大而增大，
又1≤x≤6, ∴当x=6时, W有最大值,此时最大值为18.5；
②当W= =时, ∵x≥8时，函数W随x增大而增大，
∴当x=11时, W有最大值,此时最大值为19.125；
③当W= =时, ∵12≤x≤16时，函数W随x增大而减小∴当x=12时, W有最大值,此时最大值为18；
综上所述，该服装第11周出售时，每件销售利润最大，最大利润是19.125元.
四、存在性问题
存在性问题是指在一定条件下判断某种数学对象是否存在的问题。解决此类问题的一般思路是：假设存在，运用条件、定理、性质等逆推，看与题中的条件是否相等。
例4.（海南省中考题）如下图，已知二次函数图像的顶点坐标是C(1、0)，直线y=x+m与该二次函数的图像交于A、B两点，其中A点的坐标为 (3、4)，B点在y轴上.
求m的值及这个二次函数的关系式；
P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合)，过P作x轴的垂线与这个二次函数的图像交于E点，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
D为直线AB与这个二次函数图像对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由. y
解: (1) ∵点A (3、4)在直线y=x+m上， P A
∴4=3+m ∴ m=1 D
设所求二次函数的关系式为 . B E
∵点A (3、4)在二次函数的图像上, O C x
∴4=, ∴.
∴所求二次函数的关系式为 . 即 .
(2)设P、E两点的纵坐标分别为和.
∴PE==-= . 即(0 (3)存在.
假设存在点P，使得四边形DCEP是平行四边形，则必有PE=DC.
∵点D在直线y=x+1上， ∴点D的坐标为(1、2)，
∴. .
解之，得, （不合题意，舍去）
∴ 当点P的坐标为（2、3）时，四边形DCEP是平行四边形.
附：
作者通讯地址：海南省三亚市第二中学 符斌
邮编：572000

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