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6.1.2 课时1
瞬时变化率与导数
人教B版(2019)选择性必修第三册
1.理解瞬时变化率、导数的概念．
2.理解导数的几何意义．
3.会用导数的定义及几何意义求曲线在某点处的切线方程．
上节已经学习了函数的平均变化率和物体运动的平均速度的概念，二者有何关系？
物体做变速运动时，设物体走过的路程????=????(????)，
则从????0到????0+?????的过程中，物体运动的平均速度就是函数????=????(????)在[????0，????0+?????]上的平均变化率.
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阅读下列实例，回答问题：
实例1：一个小球从高空自由下落，其下落的高度h(单位:m)与时间t(单位:s)的函数关系为 ，其中，g为重力加速度(g取9. 8 m/s2).估算小球在t=5 s这个时刻的瞬时速度.
分析：当时间t从t0变到t1时，根据平均速度公式 ，
可以求出从5 s到6 s这段时间内小球的平均速度
有时用它来近似表示小球在t=5s这个时刻的瞬时速度.
为了提高精度，可以缩短时间间隔，如求出5s到5.1s这段时间内的平均速度
用它来近似表示小球在t=5s这个时刻的瞬时速度，这样更接近实际情况.
如果时间间隔进一步缩短,那么可以想象，平均速度就更接近小球在t=5s这个时刻的瞬时速度.
解：将时间间隔每次缩短为上次的 ，计算出相应的平均速度，得到下表.
可以看岀，当时间t1趋于t0=5s时,平均速度趋于49 m/s,因此，可以认为小球在t0=5s 这个时刻的瞬时速度为49 m/s.从上面的分析和计算可以看岀，瞬时速度为49 m/s的物理意义是:如果小球保持这一时刻的速度进行运动,每秒将要运动49 m.
可以看出，当x1趋于x0=2 m时，平均线密度趋于0.707 kg/m.
实例2：如图, 一根质量分布不均匀的合金棒，长为10 m.设x(单位:m)表示OX这段棒的长,y(单位:kg)表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系：
估计该合金棒在x=2 m处的线密度(物理学的“线密度”定义为单位长度的质量).
解：由 ，可以计算出相应的平均线密度，得到下表.
从上面的分析和计算可以看出，线密度为0.707 kg/m的物理意义是:如果有1 m长的这种线密度的质量均匀的合金棒，其质量将为0. 707 kg.
与实例1类似，同学们也可以动手计算当x1从“左侧”趋近于x0=2 m时的平均线密 度,会发现也趋于0.707 kg/m.
据此，可以认为合金棒在x0=2 m处的线密度约为0.707 kg/m.
实例1和实例2都是通过减小自变量的改变量（为计算方便选取 ，也可以选取 等）, 用平均变化率“逼近”瞬时变化率.
1.函数的瞬时变化率
一般地，设函数????＝????(????)在????0附近有定义，自变量在????＝????0处的改变量为Δ????，当Δ????无限接近于0时，若平均变化率
??????????=????????0+??????????????0?????，
无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数????(????)在????＝????0处的瞬时变化率.
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记作：当Δ????→0时，????????0+??????????????0?????→????
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2.导数
函数????(????)在????＝????0处的瞬时变化率为k，也称????(????)在x0处可导，并称k为????(????)在????＝????0处的导数，记作????′(????0)＝????.
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记作：lim?????→0??????(????0+?????)?–??????(????0)?????=????，即f ?(x0) =lim?????→0??????(????0+?????)?–??????(????0)????? .
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还可以说：当Δx→0时，函数的平均变化率的极限等于函数在x0处的瞬时变化率????.
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讨论：平均变化率与瞬时变化率有什么关系？
区别：平均变化率刻画函数值在区间[????1，????2]上变化的快慢，瞬时变化率刻画函数值在????0点处变化的快慢；
联系：当Δ????趋于0时，平均变化率Δ????Δ????趋于一个常数，这个常数即为函数在
????0处的瞬时变化率，它是一个固定值．
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“Δ????趋于0”的含义：?Δ????趋于0的距离要多近有多近，即Δ?????0可以小于给定的任意小的正数，且始终Δ????≠0．
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例1 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)=????2+????+1表示，求物体在t=1s时的瞬时速度．
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解： Δ????Δ????=????1+Δ?????????1Δ????=1+Δ????2+1+Δ????+1?12+1+1Δ????=3+Δ????，
当Δ????趋于0时，Δ????Δ????趋于3，即物体在t=1s时的瞬时速度为3 m/s．
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变式1：某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，试求物体的初速度.
解：求物体的初速度，即求物体在t＝0时的瞬时速度，
即物体的初速度为1 m/s.
解：设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.
则2t0＋1＝9，∴t0＝4.
则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.
变式2：某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.
求函数????????在点????=????????处的瞬时变化率的步骤：
(1)求Δ????=????????0+Δ?????????????0；
(2)计算Δ????Δ????，并化简，直到当Δ????=0时有意义为止；
(3)将Δ????=0代入化简后的即得瞬时变化率．
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方法归纳
解：f'(1)=4表示该工人上班后工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4 kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度,那么他每时可以生产4 kg的食品.
例2 一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y(单位:kg)与其工作时间x(单位:h)的函数关系为y=f(x).假设函数y=f(x)在x=l和x=3处的导数分别为f'(1)=4和f'(3) =3.5,试解释它们的实际意义.
f'(3) =3.5表示该工人上班后工作3 h的时候，其生产速度为3.5 kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产3. 5 kg的食品.
例3 求函数y=f(x)=x-1????在x=-1处的导数.
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解：∵Δy=f(-1+Δx)-f(-1)=-1+Δx-1?1+Δ????-0=?2Δ????+(Δ????)2?1+Δ????，
∴Δ????Δ????=?2Δ????+(Δ????)2(?1+Δ????)Δ????=?2+Δ?????1+Δ????，
故函数在x=-1处的导数f'(-1)=limΔ????→0Δ????Δ????=limΔ????→0?2+Δ?????1+Δ????=2.
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1.物体运动函数为s(t)=3t2(位移单位:m，时间单位:s)，若当Δt趋于0时，
趋于18 m/s，则下列说法中正确的是(　　)
A.18 m/s是物体从0 s到3 s这段时间内的平均速度
B.18 m/s是物体从3 s到(3+Δt)s这段时间内的速度
C.18 m/s是物体在3 s这一时刻的瞬时速度
D.18 m/s是物体从3 s到(3+Δt)s这段时间内的平均速度
C
2.某运动物体的位移s(单位:米)关于时间t(单位:秒)的函数关系式为s=2t+1，则该物体在t=1秒时的瞬时速度为(　　)
A.1米/秒 B.2米/秒
C.3米/秒 D.4米/秒
3.已知物体运动的速度与时间之间的关系是v(t)=t2+2t+2，则在时间间隔[1，1+Δt]内的平均加速度是　　　　　，在t=1时的瞬时加速度是　　　　　.?
4.已知函数f(x)在x=x0处的导数为2，则limΔ????→0????(????0+Δ????)?????(????0)2Δ????=　　.
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B
4+Δt
4
1
1. 什么是函数的瞬时变化率？它和平均变化率有什么联系？
2. 导数的概念是什么？如何求解函数在某处的导数？
回顾：结合本节课所学，回答下列问题？

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