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2025年中考数学压轴题专练：二次函数与圆的综合问题
1．已知：如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点为抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，若连接，那么与是否相等？请说明理由；
(3)如图2，若点以每秒1个单位的速度从点出发，沿着向点运动，到达点时停止，轴于点，直线交抛物线于点，以为直径的圆与线段交于点，当运动时间t为何值时的周长最大，并求出此时点的坐标及周长．
2．如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．
(1)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(2)当时，求点P的坐标；
(3)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接、、，判断的形状，并说明理由．
3．如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于，两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图②，点P为直线上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，以P为圆心的圆与直线相切，当的半径最大时，求m的值；
(3)如图③，抛物线顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，若以B、M、N、Q为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标．
4．已知抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C．
(1)求顶点D的坐标；
(2)点P是第一象限对称轴右侧抛物线上一点，点P的横坐标为t，以点P为圆心的⊙P交抛物线的对称轴于点M、N（点M在点N的上方）．
①若与x轴相切，且，求点P的坐标；
②过点P作y轴垂线，交抛物线于另一点E，连接，连接并延长交于点T，过点P作y轴的平行线交直线于点Q，若于点T，且，求点Q的坐标．
5．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点．
(1)求的值；
(2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值．
6．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标；
(3)以点为圆心，画半径为的圆，为上一个动点，请求出的最小值．
7．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)过A，B两点作，交抛物线于点D（点D在对称轴右侧），若，求点M的坐标；
(3)如图2，点Q是抛物线对称轴上，纵坐标为的点，点E是对称轴上抛物线下方的动点，以点Q为圆心，为半径作圆交抛物线于点F（点F在对称轴右侧），求证：直线与抛物线有唯一公共点．
8．在平面直角坐标系中，已知一条开口向上的抛物线，连接此抛物线上关于对称轴对称的两点A，B（A点在B点左侧），以为直径作．取线段下方的抛物线部分和线段上方的圆弧部分（含端点A，B），组成一个封闭图形，我们称这种图形为“抛物圆”，其中线段叫做“横径”，线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段叫做“纵径”，规定“纵径”长度和“横径”长度的比值叫做此“抛物圆”的“扁度”．
(1)如图，已知抛物线．
①若点A横坐标为，则得到的“抛物圆”的“横径”长为______，“纵径”长为______；
②若点A横坐标为t，用t表示此“抛物圆”的“纵径”长，并求出当它的“扁度”为2时t的值；
(2)已知点在抛物线上，若“抛物圆”的“扁度”值不超过3，请直接写出a的取值范围．
9．如图①，经点的直线与经过点的二次函数的图像交于点，与轴交于点．

(1)求二次函数的解析式及点的坐标；
(2)如图②，点是线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴的垂线，交线段于点，再过点作轴的垂线交抛物线于点．是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图③，点为线段上的一个动点（不与重合），经过三点的圆与经过点且垂直于的直线交点，当面积取最小值时，求直线上点的坐标，使得周长最小．
10．如图，已知点P是抛物线上的任意一点，记点P到x轴的距离为，点P到的距离为．

(1)求证：．
(2)若直线交抛物线于另一点Q（异于点P），请判断以为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由．
(3)在（2）条件下，求出以为直径的圆的面积的最小值．
11．如图，已知一次函数的图象分别交x轴、y轴于点N，M，抛物线经过M，N两点，在第一象限内的抛物线上有一动点G，过G作轴于E，交于点F．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)设点G的横坐标为n，以M，N，G为顶点的三角形面积为S，求S关于n的函数关系式，并求出S的最大值．
(3)若F为线段的中点，H为线段上一点，以H为圆心，为半径作圆，当与y轴相切时，求点G的坐标．
12．如图：抛物线与x轴交于A、B两点（点A 在点B 的左边）， 与y轴交于点，已知抛物线的对称轴为直线，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M 为抛物线上动点；
①如图1，当半径为r且与直线相切的圆M恰好有三个时，请求出r的值
②如图2，已知点M 的横坐标为，点，在x轴上方（含x 轴），是否存在与的面积相等，且四个顶点都在抛物线上的四边形，若有，请求出面积最大时，符合条件的一个四边形的周长，若没有，请说明理由．
13．如图，已知抛物线过点．顶点为，与x轴交于A、B两点．以为直径作圆，记作．
(1)求抛物线解析式及点D的坐标；
(2)猜测直线与的位置关系，并证明你的猜想；
(3)抛物线对称轴上是否存在点P，若将线段绕点P逆时针旋转，使点C的对应点恰好落在抛物线上？若能，求点P的坐标；若不能，说明理由．
14．如图，二次函数的图象经过点，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，轴于点H，交直线于点F，以为直径的圆与交于点R．
(1)求b，c的值；
(2)当周长最大时，求此时E点坐标及周长；
(3)连接，当时，求出E点坐标．
15．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，其中A在B的左侧，；与y轴的正半轴交于点C；与一次函数的图象交于A、D两点，连接，．
(1)求b的值；
(2)求二次函数的关系式；
(3)在抛物线上是否存在点P，使得以P为圆心的圆与直线和x轴都相切？若存在，求出P点横坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，抛物线的顶点为，且经过点，以坐标原点O为圆心的圆的半径，于点C．

(1)求抛物线的函数解析式．
(2)求证：直线与相切．
(3)已知P为抛物线上一动点，线段交于点M，当以M，O，A，C为顶点的四边形是平行四边形时，求的长．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点．
(1)求抛物线的表达式：
(2)点P是x轴上一点，以P为圆心，为半径的圆与直线相切，求圆心P的坐标；
(3)点M为直线下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当的面积最大时，求的最小值．
18．如图，在平面直角坐标系中，顶点为的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧）．已知A点坐标为．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间（不与A，C重合），连接．当点P运动到什么位置时，的面积最大？求出此时点P的坐标．
(3)过点B作线段的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴l与有怎样的位置关系，并给出证明；
19．如图，二次函数的图象与轴分别交于点，（点在点的左侧），直线是对称轴．点在函数图象上，其横坐标大于4，连接，，过点作，垂足为，以点为圆心，作半径为的圆，与相切，切点为．
(1)求点，的坐标；
(2)四边形能是一个菱形吗？若能，求出点的坐标；若不能，说明理由；
(3)若以为边长的正方形的面积与的面积相等，且不经过点，求的取值范围．
20．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形 若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，请求出的最小值．
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《2025年中考数学压轴题专练：二次函数与圆的综合问题》参考答案
1．(1)
(2)，理由见解析
(3)秒，，最大周长：
【分析】（1）根据抛物线与轴交于，两点，得；
（2）根据，得，，结合，，得，，取点，连接，得，，得，得，求出直线解析式，当时，，得点D在直线上，即得；
（3）根据，，得是等腰直角三角形，当最大时，的周长最大，求出直线解析式为，设，则，得，当时，有最大值2，得，得周长最大值为，此时，得，得，得，得秒．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
∴；
（2）解：∵，
∴，
当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
取点，连接，
则，,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，，
∴点D在直线上，
∴；
（3）解：∵轴于点，
∴轴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴当最大时，的周长最大，
∵，，
∴设直线解析式为，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
∵，
∴当时，有最大值2，
∵，
∴，
∴周长最大值为：，
此时，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（秒）．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数与一次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理推论，线段长周长问题产生的二次函数综合，是解题的关键．
2．(1)16
(2)或
(3)是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求出函数的解析式，过点P作于T，根据列式求解即可；
（2）取，连接，易证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或；
（3）由90度的圆周角所对的弦是直径得到为过三点的圆的直径，如图所示，取中点R，连接，则，；设与抛物线交于，联立得，解得，则， 由勾股定理可得，则是等边三角形．
【详解】（1）解：将点代入，
得
解得
∴抛物线解析式为；
过点P作于T，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴
；
（2）解：如图所示，取，连接，
∵、，，
∴，
∴，
∴线段与抛物线的交点即为所求；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
如图所示，取，连接，
同理可得，
∴直线与抛物线的交点即为所求；
同理可知直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
综上所述，符合题意的点P的坐标为或；
（3）解：是等边三角形，理由如下：
∵三点共圆，且，
∴为过三点的圆的直径，
如图所示，取中点R，连接，
∵，
∴，
∴；
设与抛物线交于，
联立得，
∴，
解得，
在中，当时，
当时，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，圆的相关知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解．
3．(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数即可求解；
（2）过点作轴的垂线交直线于点，设，，得出的关系式，进而过点作直线垂线交直线于点，则，得出的关系式，进而根据二次函数的性质，即可求解；
（3）先求出，设，，求出，分①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，三种情况讨论，先求出点N的坐标，再利用矩形的性质即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）解：令，解得：，
将代入，则，
∴，
将代入抛物线，则，
解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图所示，过点作轴的垂线交直线于点，
∴设，
∵在直线的上方，
∴
∵，
∴
∴是等腰直角三角形，
过点作直线垂线交直线于点，则
∴
∵是的切线，
∴即为的半径，
∴当时，取得最大值，此时取得最大值
（3）解：∵，抛物线的对称轴为直线，
∴，
点是轴上任意一点，点是平面内一点，
设，，
又，
∴，
①当为对角线时，
则，即，
整理得：，
解得：或，
∴或，
当时，
则，解得：，
∴；
当时，
则，解得：，
∴；
②当为对角线时，
则，即，
整理得：，
解得：，
∴，
则，解得：，
∴；
③当为对角线时，
则，即，
整理得：，
解得：，
∴，
则，解得：，
∴；
综上，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图像与性质，直线与圆的位置关系，二次函数与特殊四边形的存在问题，解直角三角形，勾股定理，灵活运用分类讨论的思想是解题关键．
4．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据待定系数法求解析式，再化为顶点式，即可求解；
（2）①设切点为H，连接，过P作于L，则，分别求出，，，再利用勾股定理列方程求解即可；
②证明，分别求出，，，根据相似三角形的性质可求出，则，再根据列方程求解即可．
【详解】（1）解：把代入得，，
解得：，
抛物线的解析式为，
顶点D的坐标，
（2）①设切点为H，连接，过P作于L，则，
点P的横坐标为t，
，
与x轴相切，
，
，
，
对称轴为直线，
，
在中，，
，
设，且，
原方程可化为，
解得或（舍），
，
解得：或（舍），
当时，，
，
②解：如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
当的时，，
，
设直线的解析式为，
把B，C代入得，
解得，
直线的解析式为，
，轴，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：（负值舍去），
．
【点睛】本题考查了二次函数与相似三角形的综合，涉及待定系数法求解析式，对称性，勾股定理，垂径定理，直线与圆相切，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是综合运用以上知识．
5．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可；
（2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可；
（3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度．
【详解】（1）解：，
点坐标为，
将，代入，
得，
解得，
（2）解：设直线的表达式为，
由（1）可知抛物线的表达式为，
故点坐标为，
直线的表达式为
设点坐标为，
则， ，
，
若，
则，
解得，
，
故，此时点坐标为；
（3）如图，取，连接，
，，，
又，
，
，
，
，
，
故的最小值为．
【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键．
6．(1)
(2)存在，或或
(3)
【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解；
（2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可；
（3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴，，
∴ ，．
∴将代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，理由如下：
直线的解析式为，将代入得
解得：
∴直线的解析式为：
∵抛物线对称轴与轴交于点，
∴当时，，
∴，
①当时，设直线交对称轴于点，
∵，，二次函数对称轴为，
∴，，轴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点的坐标为；
②∵，，
∴
∴
∴是直角三角形，
当时，根据点关于抛物线对称轴对称，
则直线经过点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，
如图，在上取点，使，连接，
，
∴，
，
，
又，
，
，即，
当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键．
7．(1)，，
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）分别求出当时，的值；当时，的值，由此即可得；
（2）求出圆心必在的垂直平分线上，即在直线上，设点的坐标为，分两种情况：①点在轴上方和②点在轴下方，再通过全等三角形的性质求出点的坐标，代入二次函数的解析式求出的值，由此即可得；
（3）先求出点的坐标为，设点的坐标为，点的坐标为，再过点作直线的垂线，垂足为点，连接，在中，利用勾股定理可得，从而可得点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立直线和抛物线的解析式，由此即可得证．
【详解】（1）解：对于二次函数，
当时，，解得或，
当时，，
∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，
∴，，．
（2）解：二次函数的对称轴为直线，
∵过两点作，
∴圆心必在的垂直平分线上，即在直线上，
设点的坐标为，
①如图，当点在轴上方时，则，
过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，，
∴，
将点代入二次函数得：，
解得或（不符合题设，舍去），
∴，位于对称轴右侧，符合题意，
∴此时点的坐标为；
②如图，当点在轴下方时，则，
过点作轴于点，过点作，交的延长线于点，
∴，，，，
同理可证：，
∴，，
∴，，
∴，即，
将点代入二次函数得：，
解得或（不符合题设，舍去），
∴，位于对称轴右侧，符合题意，
∴此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
（3）证明：二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为，
则点的坐标为，
设点的坐标为，点的坐标为，
如图，过点作直线的垂线，垂足为点，连接，
∴，，，
在中，，即，
整理得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，
解得，
则直线的解析式为，
联立直线和抛物线的解析式得：，
将②代入①得：，即，
这个方程的根的判别式为，这个方程有两个相等的实数根，
∴直线与抛物线有唯一公共点．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、勾股定理、三角形全等的判定与性质、一元二次方程的根的判别式等知识，综合很强，正确分类讨论，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
8．(1)①4，6；②
(2)
【分析】（1）①点，则点，得到半径，则，求出，即可求解；②若点点A横坐标为t，则点，则点，参考①即可求解；
（2）根据点A在抛物线上得到，将抛物线解析式变式得到顶点坐标为，即点，进而求解．
【详解】（1）解：①如图，设线段的垂直平分线被“抛物圆”截得的线段为，则点N（O）重合，点，则点，
则圆M的半径，则，
由点B的坐标知，，则，
故答案为：4，6；
②若点A横坐标为t，则点，则点，
则圆M的直径为，
则，
则，解得：（舍去）或，
即；
（2）点在抛物线上，
，即，
其顶点坐标为，即点，
则点，则圆M的半径为
则，
则，
，
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和圆的基本的性质，理解新定义等，数形结合是本题解题的关键．
9．(1)，
(2)或
(3)
【分析】（1）直接将点，代入二次函数中即可求得得解，同时设直线的解析式为，代入，得到值，即可得点的坐标；
（2）设，则，，进而得出，，根据列出方程，解方程，即可求解；
（3）先求得直线的解析式，设，设，，的中点为圆心，设为，则，根据圆的性质，可得一定在的垂直平分线上，得出，进而得出，用表示出，根据二次函数的性质得出，取得最小值时，，进而根据周长最小，设关于的对称点为，得出，求得直线的解析式为，联立直线解析式，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，将点，代入二次函数解析式中，
可得，解得，
∴二次函数解析式为：，
设直线的解析式为，
将，代入，
可得，解得，
故直线的解析式为，
令得，
∴点的坐标为；
（2）解：∵，对称轴为直线，
设，，则，，
∴，，
∵为等腰直角三角形，，
∴，
∴或，
解得：（舍去）或或或（舍去），
当时，，
当时，，
∴或；
（3）解：∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
设直线与轴交于点，如下图，则是等腰直角三角形，
∴，即，
设直线的解析式为，代入，，
∴，解得，
∴直线的解析式，设，
∵点为线段上的一个动点（不与重合），设，，
∵，
∴的中点为圆心，设为，则，
又∵，则一定在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴当时，取得最小值为，
∴，
设关于的对称点为，
∵，
∴在直线上，
如图所示，连接交于点，
∴的周长为，
当在上时，周长最小，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题、二次函数与一次函数的综合应用、等腰三角形的定义与性质、勾股定理、轴对称的性质、直角所对的弦是直径等知识，结合题意完善图像，熟练掌握相关知识是解题的关键．
10．(1)见解析
(2)相切，理由见解析
(3)圆的面积最小值为
【分析】（1）设P为抛物线上一点，坐标为，进而表示出P到x轴距离与到点A的距离，化简可得两者大小相等；
（2）设，直线的解析式为，求出的中点到x轴的距离，，得圆心到x轴的距离等于圆的半径，故以为直径的圆与x轴相切；
（3）根据圆的半径，得圆的面积，得圆的面积最小值，
【详解】（1）解：设P为抛物线上一点，坐标为；
则P到x轴距离为，
P到点的距离为
，
∴．

（2）解：设，直线的解析式为，
联立，
得，
即，
∴，
∴，
∵以为直径的圆的圆心坐标为，
即，
∴圆心到x轴的距离为，
∵
，
∴以为直径的圆的半径为
∴圆心到x轴的距离等于圆的半径，
∴以为直径的圆与x轴相切．

（3）解：由（2）知，圆的半径，
∴圆的面积，
∵，
∴当时，圆的面积取得最小值，
故以为直径的圆的面积最小值为．

【点睛】本题考查了二次函数综合．熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，函数与方程，一元二次方程根与系数的关系，两点间的距离，点到直线的距离，完全平方公式变形求值 ，圆切线判定和性质，二次函数最值，是解题的关键．
11．(1)
(2)，当时，S有最大值，为2
(3)
【分析】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用圆与y轴相切得出关于m的方程是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
（1）根据一次函数表达式可得M、N点坐标，根据待定系数法可得函数解析式；
（2）连接，得，根据割补法表示面积，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
（3）设，得出及，由相切，可得关于m的方程，根据解方程，可得m，可得G点坐标；
【详解】（1）解：在中，当时，；
当时；
∴，，
把，代入中，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，连接，
∵点G的坐标为，
∴
，
∴S关于n的函数关系式为；
∵，
∴当时，S有最大值，为2；
（3）设，
则，
∴，
∵F为线段的中点，
∴，
∵以为半径的与y轴相切，
∴，
解得，（舍去），
∴，
∴G点的坐标为．
12．(1)
(2)①；②存在；符合条件的四边形的周长为：
【分析】（1）先求出点A、B的坐标，然后用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）①根据在下方的抛物线上一定存在2个符合题意的圆，得出当上方的抛物线上只有一个符合题意的圆时，就正好有3个符合题意的圆，从而得出当点M在上方的抛物线上，且点M到的距离最大时，半径为r且与直线相切的圆M恰好有三个，先求出点M的坐标，过点M作于点H，连接，根据，，得出轴，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得出答案；
②先得出当时，的面积最大，求出此时点，，连接，交于点E，连接，证明，得出，根据，得出此时四边形满足题意，求出四边形的周长即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A、B两点（点A 在点B 的左边），抛物线的对称轴为直线，，
∴点，，
∴抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：①∵在下方的抛物线上一定存在2个符合题意的圆，
∴在上方的抛物线上只存在1个符合条件的圆时，半径为r且与直线相切的圆M恰好有3个，
∴当点M在上方抛物线上，且点M到的距离最大时，此时半径r的值正好符合题意，
设直线的解析式为：，把代入得：，解得：，
∴直线的解析式为：，
当过点M的直线与平行，且与抛物线相切时，点M到的距离最大，
设此时过点M的直线为，
令，
整理得：，
，
解得：，
∴此时过点M的直线为，
时，方程的解为：
，
∴此时点M的坐标为：，
过点M作于点H，连接，如图所示：
∵，，
∴轴，，
即轴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
即此时；
②存在；
∵，点M的坐标为，，
∴
，
∵，，
∴当时，的面积最大，
∴此时点，，
连接，交于点E，连接，如图所示：
此时轴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即此时四边形满足题意，
∵，，
∴此时四边形的周长为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求二次函数的最值，切线的性质，求一次函数解析式，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
13．(1)，
(2)直线与相切，证明见解析
(3)能，或
【分析】（1）利用待定系数法抛物线解析式即可；根据解析式求得抛物线与x轴的交点，即可得点A、B坐标，再根据点D为的中点，即可求解；
（2）利用勾股定理的逆定理证明，得出，再根据即为的半径，即可得出结论；
（3）假设存在点P．设点，过点C作对称轴，过点作对称轴，则，证明，得，求得，再把代入抛物线解析式求得k值，即可求解．
【详解】（1）解：∵已知抛物线顶点为，
∴
把点代入，得
解得：
∴抛物线解析式为，
令，则
解得：，，
∴，，
∴，
∴，，
∴点D的坐标为；
（2）解：连接，如图所示：
∵，，
∴
∵，
∴，，
∴
∴，即，
∵，
∴点C在上，
∴直线与相切．
（3）解：假设存在点P．设点，过点C作对称轴，过点作对称轴，则，
根据题意得，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∵
∴，
∴，
∴
∵点在抛物线上，
∴，
解得：或，
∴或．
∴存在，当或时，将线段绕点P逆时针旋转，使点C的对应点恰好落在抛物线上．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，直线与圆的位置关系，矩形的判定与性质，旋转变换的性质．此题属二次函数综合题目，综合性较强，属中考压轴题目．
14．(1)
(2)点E的坐标为，的周长为
(3)点E的坐标为或
【分析】（1）将代入，解方程组即得；
（2）根据直径性质得，根据,得，得，得，为等腰直角三角形，当周长最大时，最长，求出直线解析式，设，，得，当时，取得最大值，，点E的坐标为， 的周长为；
（3）设，根据，得，当点R在上，，过点轴于N，过点B作轴交直线于点G，有，得，得，得，得， ，当点R在延长线上， 有，延长交x轴于K，求出直线的解析式，当得，根据垂直平分线段，得，得，点．
【详解】（1）解：将代入，
得，
解得，
（2）∵为的直径，
∴，
∵时，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
则，
∴周长为，
∴当周长最大时，最长；
设直线解析式为，
将代入，
得，
解得，
∴，
设，
则，
∴，
当时，取得最大值，，
∴点E的坐标为，
故的周长为；
（3）解：设，
∵，
∴，
当点R在上，，
过点轴于N，过点B作轴交直线于点G，
则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴；
当点R在延长线上，
∵，
∴，
延长交x轴于K，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∵，，
∴垂直平分线段，
∴，
解得，
∴点．
综上所述，点E的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数与三角形综合．熟练掌握待定系数法求解析式，圆周角定理推论，二次函数图象与性质，等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)存在，
【分析】
（1）根据二次函数，则其对称轴为直线，根据抛物线对称轴和，即可求得点A、B的坐标分别为：、，从而得抛物线的表达式为：，再由直线的表达式为，可得，过点B作于点H，根据，故设，则，则，则，则，则，过点D作x轴的平行线交过点A和y轴的平行线于点T，则为等腰直角三角形，则，则点，将点D的坐标代入抛物线表达式得：，求得：，即可求解；
（2）由（1）知，即求解；
（3）设点，分两种情况：当点在轴右侧时，先求得，再根据，即，所以，求解即可；当点在轴左侧时，同理可解．
【详解】（1）
解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线，
∵，
∴设点A、B的坐标分别为：、，则，解得：，
则点A、B的坐标分别为：、，
则抛物线的表达式为：，
如下图，设直线交y轴负半轴于E，过点B作于点H，
∵直线的表达式为，
令，则，令，则，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，故设，则，则，
则，则，则，
过点D作x轴的平行线交过点A和y轴的平行线于点T，
则为等腰直角三角形，则，则点，
将点D的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
则抛物线的表达式为：，即；
（2）
解：由（1）知，抛物线的表达式为：；
则抛物线的表达式为：；
（3）
解：存在，
理由：设点，
当点P在y轴右侧时，如下图①，
当以P为圆心的圆与直线和x轴都相切，
则点P为的角平分线和抛物线的交点，
由（1）知：，
而直线m和x轴的夹角为，
如上图②，设为等腰直角三角形，，则，
设，则，
则，
设与x轴相切于T，连接，
∴，
∴
∴
∵点P在第四象限，
∴，，
则，
∵
∴，
∴
∴
解得：，（舍去）
当点P在y轴左侧时，则点P所在的直线（n）和m垂直，
同理可解得：，（舍去），
综上， P点横坐标为．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数的图象和性质、圆和直线的位置关系等，有一定的综合性，难度适中．
16．(1)
(2)见解析
(3)或
【分析】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：，把点的坐标代入即可求出的值，即可得出抛物线解析式；
（2）根据切线的判定，证明是的半径即可；
（3）由题意知，是以，，，为顶点的平行四边形的边，利用平行四边形对边平行的性质，可得出直线的解析式，直线与抛物线的交点为，即可求出的长．
【详解】（1）解： 抛物线的顶点为，
可设抛物线的解析式为：，
抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）证明：，，
，
，
，
，
，
解得：，
的半径，
是的半径，
直线与相切；
（3）解：点在抛物线上，
可设，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，
可得：，，
点是的中点，
，，
设直线的解析式为，将点代入，
得：，
直线的解析式为，
点在上，
，
解得：，，
，，
，，，，
如图，

当点位于位置时，
，
，
当点位于位置时，同理可得：，
；
综上所述，的长是或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质，圆的切线的判定，二次函数与几何图形的综合运用等知识，熟练掌握待定系数法，二次函数图象和性质等相关知识，灵活运用数形结合思想和方程思想是解题关键．
17．(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，得到，即可求解；
（3）过点M作轴交于点H，作直线使，作，作轴交x轴于点E，过点M作交于点F，设点，则点，然后表示出的面积，然后求出当时，的面积最大，得到，然后推出
∴当点M，N，G三点共线时，有最小值，即的长度，设，表示出，，，然后利用求出，，，即可求解．
【详解】（1）直线与轴交于点，与轴交于点，
当时，，
∴，
当时，即
解得
∴
∵过A、B两点的抛物线与x轴交于另一点
∴设，
将代入得，，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）∵，
∴，
设圆和直线切于点，
则，
解得：，
则点的坐标为：或；
（3）如图所示，过点M作轴交于点H，作直线使，作，作轴交x轴于点E，过点M作交于点F，
=
设点，则点，
则的面积
，
则当时，的面积最大，此时，点；
∵，
∴
∴
∴
∴当点M，N，G三点共线时，有最小值，即的长度
∵，
∴
∵
∴
∴设，则，
∴
∴
∴，
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴，即
解得
∴
∴．
∴的最小值为．
【点睛】本题考查的是二次函数和一次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、解直角三角形、勾股定理，面积的计算等，解题的关键是掌握以上知识点．
18．(1)
(2)
(3)相交，证明见解析
【分析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；
（2）过P作y轴的平行线，交于Q；易求得直线的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出的最大面积及对应的P点坐标．
（3）根据抛物线的解析式，易知道对称轴的方程及B、C的坐标，证明，
求出的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；
【详解】（1）设抛物线为
∵抛物线经过点，
∴
∴抛物线为
（2）如图，过点P作平行于y轴的直线交于点Q；
当时，，解得，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
设直线的解析式为
则
解得
∴的解析式为
设P点的坐标为
则Q点的坐标为
∴
∵
∴当时，的面积最大为；，
此时，P点的坐标为．
（3）相交．
证明：设以点C为圆心的圆与直线BD相切与点,连接，则，
∵抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为，点C的坐标为，
∴
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴即的半径为
∵
∴抛物线的对称轴与相交．
【点睛】此题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，相似三角形的判定与性质、勾股定理、切线的性质等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
19．(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)四边形不能是一个菱形．理由见解析
(3)长的取值范围为或或
【分析】（1）令，代入二次函数中即可求解．
（2）假设四边形是菱形，则，进而得出即，过点作轴，垂足为，则，，勾股定理求得，这与相矛盾，即可得出结论；
（3）利用配方法求出二次函数的对称轴，设出点坐标，求出点坐标，连接，则，求出，即以切线长为边长的正方形的面积为，过点作轴，垂足为，求出三角形的面积，进而得出半径，假设经过点，分两种情况：①当点在点的上方，②当点在点的下方，即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
解得，，
，．
答：点的坐标为，点的坐标为．
（2）
不能．
理由如下：由（1）知抛物线对称轴为
假设四边形是菱形，则
由，得，
即
过点作轴，垂足为，则，
由勾股定理得：
这与相矛盾
四边形不能是一个菱形．
（3），
对称轴为．
设，
，
，
连接，则，
，
即以切线长为边长的正方形的面积为，
过点作轴，垂足为，
则，，
，
．
假设经过点，则有两种情况：
①如图，当点在点的上方，
，
，解得或1，
，
．
②如图，当点在点的下方，
，
解得，
，
，
综上所述，或，
当不经过点时，长的取值范围为：或或．
答：长的取值范围为：或或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，菱形的性质，正方形的性质，点与圆的位置关系；熟练掌握以上知识分类讨论，是解题的关键．
20．(1)
(2)存在，或或
(3)
【分析】（1）根据题意，可求出点的坐标，再运用待定系数法即可求解；
（2）根据直角三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；分别求出直线的解析式，再联立二次函数为二元一次方程组求解即可；
（3）如图，在上取点，使，连接，可证，得，当点三点共线时，的值最小，运用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，
∴把代入直线得，，
∴，
令，则，
∴，
∵，
∴，
∴将代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：存在点，理由如下：
直线的解析式为，抛物线对称轴与轴交于点，
∴当时，，
∴，
①当时，设直线交对称轴于点，对称轴与轴交于点，
∵，，二次函数对称轴为，
∴，，轴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
解方程组，
得或，
∴点的坐标为；
②当时，根据点关于抛物线对称轴对称，则直线经过点坐标为，
设直线的解析式为，将点坐标代入，
得，
解得，
直线DM的解析式为，
解方程组，
解得或，
∴点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或；
（3）解：已知，以点为圆心，画半径为的圆，点为上一个动点，
如图，在上取点，使，连接，
，
∴，
，
，
又，
，
，即，
当点三点共线时，的值最小，即为线段的长，
的最小值为．
【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，二次函数与特殊三角形，圆的基础知识，相似三角形的判定和性质，勾股定理，最短路径等知识的综合，掌握二次函数图象的性质，特殊三角形的性质，最短路径的计算方法是解题的关键．

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