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山东省济南市济阳区2024年中考数学二模试题
1．（2024·济阳模拟）下列四个几何体中，左视图为圆的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：左视图为从左往右看得到的视图，
A.球的左视图是圆，
B.圆柱的左视图是长方形，
C.圆锥的左视图是等腰三角形，
D.圆台的左视图是等腰梯形，
故答案为：A.
【分析】根据三视图的定义求解即可。
2．（2024·济阳模拟）据报道，2023年“十一”假期全国国内旅游出游合计826000000人次．数字826000000用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式，其中1≤|a|<10 ， n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．（2024·济阳模拟）观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：第一个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此图案不符合题意；
第二个图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故此图案符合题意；
第三个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此图案不符合题意；
第四个图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此图案不符合题意．
故答案为：B．
【分析】 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形 。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 。根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
4．（2024·济阳模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意
B：，不能合并，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意.
故答案为；C
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的除法逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024·济阳模拟）已知实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的性质；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由数轴可得：
-2∴A选项错误
a<-a，B选项错误
a2<4，C选项错误
，D选项正确
故答案为：C
【分析】根据数轴上点的位置关系可得-26．（2024·济阳模拟）如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵ 等腰直角三角形放在两条平行线上
∴∠3=180°-∠1-45°=180°-50°-45°=85°
∵a∥b，
∴∠2=∠3=85°.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质和三角形内角和定理即可直接解题.
7．（2024·济阳模拟）“济阳风景独好”．小明、小亮准备采用抽签的方式，各自随机选取澄波湖公园、黄河公园、安澜湖公园和济北公园中的一个景点游玩，若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，小明、小亮抽到同一景点的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下
∴共有16种等可能的结果，其中小明、小亮抽到同一景点的结果有4种
∴小明、小亮抽到同一景点的概率问为
故答案为：B
【分析】求出所有等可能的结果，再求出小明、小亮抽到同一景点的结果，再根据概率公式即可求出答案.
8．（2024·济阳模拟）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当K>0时，的图象在一，三象限，中，y随x的增大而减小，图象交y轴于负半轴，排除B，D选项
当k<0时，的图象在二，四象限，中，y随x的增大而增大，图象交y轴于负半轴，排除C选项
故答案为：A
【分析】根据反比例函数，一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
9．（2024·济阳模拟）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画孤，分别交BA，BC于点E，F．再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．若此时射线BP恰好经过点D，则的大小是（　　）
A．31° B．32° C．33° D．36°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线
∴
∴∠A=∠ABD=∠CBD
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=87°
∴∠A+2∠ABD=180°-∠C，即3∠A=180°-87°=93°
∴∠A=31°
故答案为：A
【分析】由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，则 ，再根据等边对等角可得∠A=∠ABD=∠CBD，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
10．（2024·济阳模拟）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点，
∴图象开口朝上，对称轴为直线
∴a+b=2c
∵
∴
∴0∴当时，函数的最小值为x=c时所对应的函数值，且n=c2-2c×c-c=-c2-c
函数的最大值是x=-1时所对应的函数值
∴m=1+2c-c=1+c
∴c=m-1，代入n=-c2-c，得n=-m2+m
故答案为：C
【分析】根据二次函数的对称轴公式可得a+b=2c，几何题意可得011．（2024·济阳模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
12．（2024·济阳模拟）若关于x的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为　 　．
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设另一个根为a
∴2a=-6，解得：a=-3
故答案为：-3
【分析】设另一个根为a，根据二次方程根与系数的关系建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2024·济阳模拟）化简：　 　．
【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】先计算括号，再除法转换为乘法，结合平方差公式即可求出答案.
14．（2024·济阳模拟）一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球．其中有9个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球　 　个．
【答案】30
【知识点】用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意可得：
9÷30%=30
故答案为：30
【分析】根据黄球个数乘以频率即可求出答案.
15．（2024·济阳模拟）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为20%（如图1），经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB，AC．先用普通充电器充电ah后，再改为快速充电器充满电，若一共用时4h，则a的值为　 　．
【答案】3
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：a=3
故答案为：3
【分析】根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
16．（2024·济阳模拟）如图，矩形ABCD中，，，P是线段上一动点，连接AP并将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE．连接DE，直线DE交BC于F，若的面积为3．则线段BP的长度为　 　．
【答案】3或2
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥BC于点H，设BP=x
∵AP=PE，∠APE=90°=∠ABP=∠PHE，∠BPA+∠EPH=90°，∠BAP+∠BPA=90°
∴∠BAP=∠EPH
∴△ABP≌△PHE
∴EH=BP=x，PH=AB=5
∴CH=BC-BP-PH=5-x
∵EH⊥BC，∠C=90°
∴EH∥CD
∴△FEH∽△FDC
∴，即
解得：FH=x
∴PF=5-x
∴
解得：x=3或x=2
故答案为：3或2
【分析】过点E作EH⊥BC于点H，设BP=x，根据角之间的关系可得∠BAP=∠EPH，再根据全等三角形判定定理可得△ABP≌△PHE，则EH=BP=x，PH=AB=5，再根据边之间的关系可得CH=5-x，根据相似三角形判定定理可得△FEH∽△FDC，则，代值计算可得PF=5-x，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
17．（2024·济阳模拟） 计算：；
【答案】解：
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质化简，再计算加减即可求出答案.
18．（2024·济阳模拟）解不等式组，并写出它的整数解．
【答案】解：
由①，得，
由②，得，
∴不等式组的解集为
它的正整数解为：0，1，2，3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集，再求特殊角即可.
19．（2024·济阳模拟） 如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边BC，AD分别相交于点E和点F．求证：
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
20．（2024·济阳模拟） 下图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它足由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如下．经过测量，支架的立柱AB与地面AM垂直．米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆BC与水平线AC的夹角，支撑杆，垂足为E，该支架的边BD与BC的夹角，又测得米．（参考数据：，，，，，）
（1）求该支架的边BC和BD的长；
（2）求支架的边BD的顶端D到地面AM的距离．（结果精确到1米）
【答案】（1）解：在中，，，米
∴米
∵米
∴米
∵
∴
在中．，，米
∴米
∴该支架的边BC的长为6米，BD的长为8米；
（2）解：如图所示，过点D作于H，过点B作于G，则四边形ABGH是矩形，
∴米，，
∴
∴
在中，米，
∴米
∴支架的边BD的顶端D到地面AM的距离为8米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定义可得BC，再根据边之间的关系可得BE，再根据余弦定义即可求出答案.
（2）过点D作于H，过点B作于G，则四边形ABGH是矩形，根据矩形性质可得米，，则，再根据角之间的关系可得，再根据正弦定义可得DG，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．（2024·济阳模拟） 京剧，是中国五大戏曲剧种之一，被视为中国国粹，分布地以北京为中心，遍及全中国．京剧走遍世界各地，成为介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介，在2010年11月16日，京剧被列入“人类非物质文化遗产代表作名录”．某校为了解七、八年级学生对京剧文化的了解程度，组织了一次京剧文化知识测试，七、八年级各抽取10名学生参加比赛，现对测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x（分）表示）．共分成四个等级（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息：
七年级参赛的学生C等级的成绩为：92、92、93、94
八年级参赛的学生D等级的成绩为：95、95、95、97、100
七、八年级抽取的学生测试成绩统计表：
班级 平均分 中位数 众数
七年级 92 a 92
八年级 92 94 b
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空：　 　，　 　；
（2）七年级参赛学生成绩扇形图中D等级的圆心角是　 　度；
（3）补全八年级测试成绩条形统计图：
（4）在这次测试中，七年级学生小明与八年级学生小亮的成绩都是93分，于是小明说：“我在七年级参赛小队的名次高于小亮在八年级参赛小队的名次．”你同意小明的说法吗？并说明理由．
【答案】（1）92.5；95
（2）108
（3）解：A组人数为：10-1-2-5=2人
补全图形如下
（4）解：∵八年级（一）班的中位数为92.5分，（一）班学生小明的成绩是93分，
∴他在（一）班中是前5名，
而（二）班的中位数是94分，学生小亮的成绩是93分，
∴他在（二）班是后5名，
∴同意小明的说法．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）八年级（一）中
D组人数为10×30%=3，C组人数为10×40%=4
∴10人中第5，6的成绩分别为92，93
∴中位数
八年级（二）中成绩出现次数最多的是95，即b=95
故答案为92.5；95
（2）D组的占比为1-40%-20%-10%=30%
∴七年级参赛学生成绩扇形图中D等级的圆心角为360°×30%=108°
故答案为：108°
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）求出D组的占比，再乘以360°即可求出答案.
（3）求出A组人数，补全图形即可.
（4）根据中位数的性质分析即可求出答案.
22．（2024·济阳模拟） 如图，AB为的直径，D、E是上的两点，过D作的切线交AB的延长线于点C，连接AD，BE，BD．
（1）求证：；
（2）若，．求的半径．
【答案】（1）证明：连接OD，
∵AB为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴CD是的切线；
∴
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴
∴
∴
∴的半径为5．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可得，再根据等边对等角可得，则，由切线的性质可得，则，即可求出答案.
（2）根据正切定义可得，由相似三角形判定定理可得，则，代值可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．（2024·济阳模拟） 某商场购进甜橙、脐橙两个品种，已知1箱甜橙价格比1箱脐橙少20元，300元购买甜橙的箱数与400元购买脐橙的箱数相同．
（1）甜橙和脐橙每箱分别是多少元？
（2）商场预计共购买两种橙子150箱，且购买甜橙的数量不少于脐橙的2倍，请你求出购买总费用的最大值．
【答案】（1）解：设甜橙每箱x元，则脐橙每箱元
，
解得，经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甜橙每箱60元，脐橙每箱80元；
（2）解：设购买甜橙a箱，则购买脐橙箱，所需费用为w元，
∴，
∵，
∴
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，此时，
答：购买总费用的最大值为10000元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甜橙每箱x元，则脐橙每箱元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买甜橙a箱，则购买脐橙箱，所需费用为w元，根据题意列出函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.
24．（2024·济阳模拟） 综合与实践：
《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程：
（1）初步感知
函数的自变量取值范围是　 　；
（2）作出图象
①列表：
x … －6 －5 －4 －3 －2 n 0 1 2 3 4 …
y … 2 3 4 m 6 －3 －2 －1 0 …
填空：表中_▲_，_▲_；
②描点，连线：
在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）研究性质
小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为　 　；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线　 　
（4）拓展应用
①若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接OA、AB，则的面积为　 　
②若直线与函数的图象有且只有一个交点，则k的值为　 　．
【答案】（1）
（2）解：①5，；
②根据表格数据，描点，连线，画图如下：
（3）；和
（4）5；8
【知识点】函数自变量的取值范围；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
x+1≠1，解得：x≠-1
故答案为：x≠-1
（2）①当x=，，即m=5
当y=-3时，，解得：，即
故答案为：5，
（3）
则将反比例函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得函数的图象
∵的对称中心为
∴函数的图象的对称中心为
函数的图象的对称轴为直线和
故答案为：；和
（4）①如图
联立，解得：
∴
∴
故答案为：5
②联立，整理得
∵直线与函数的图象有且只有一个交点
∴
解得：k=8或k=0（舍去）
故答案为：8
【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求出答案.
（2）①将x=，y=-3分别代入解析式即可求出答案.
②描点，连线作图即可.
（3）根据函数图象的平移性质即可求出答案.
（4）①联立解析式，求出A，B点坐标，再根据割补法求面积即可.
②联立解析式，根据二次方程只有一个解，可得判别式，解方程即可求出答案.
25．（2024·济阳模拟） 如图1，P是正方形ABCD边BC上一动点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP与点F．连接CF，连接AC．
（1）的值为　 　；
（2）①在P点从点B运动到点C的过程中，是否为定值？若是请求出此定位，若不是，请说明理由；
②求的值；
（3）如图2，若H是AF的中点，正方形ABCD边长为a，若点P从点B运动到点C，直接写出点H的运动路径长．
【答案】（1）
（2）解：①是定值，
理由如下：设，则，由条件知，
∴，
∵，
∴
∴
∴
②过A作于点M，
∵
∴，
∵，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴，
∵
∴
∴
（3）解：
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC
∴
∴，即
故答案为：
（3）连接BD交AC于点O，连接OH
∴点O是AC的中点
∵H是AF的中点
∴
∴点H在以O为圆心，为半径的圆上
当点P与C重合时，H与AC中点重合
当点P与B重合时，H与BA中点重合
点H运动的路径是以为半径，圆心角为45°的弧上
∴ 点H的运动路径长为
【分析】（1）根据正方形性质可得AB=BC，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①设，则，由条件知，根据角之间的关系可得，再根据边之间的关系可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
②过A作于点M，根据等腰三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接BD交AC于点O，连接OH，根据三角形中位线定理可得，则点H在以O为圆心，为半径的圆上，当点P与C重合时，H与AC中点重合，当点P与B重合时，H与BA中点重合，点H运动的路径是以为半径，圆心角为45°的弧上，根据弧长公式即可求出答案.
26．（2024·济阳模拟） 如图，已知抛物线：与y轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为O点，抛物线的对称轴交x轴于A点．
（1）抛物线的关系表达式；
（2）若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B，当时，求点P的坐标；
（3）将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：与y轴相交于点，对称轴我
由题意得：，
解得：，
∴抛物线的关系表达式为
（2）解：过P作直线轴交直线AC于Q，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
易求得直线AC的解析式为
设，则Q的纵坐标
∴，
∴Q的坐标
∴
解方程得或
∴点P的坐标；（4，1）或
（3）解：或（1，－2）或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在，理由如下
∵
∴抛物线向左平移2个单位长度后抛物线的解析式为
联立，解得：
∴E(1，4)
∵抛物线的对称轴为直线x=2
设F(2，t)，H(a，b)
①当CF，EF为邻边，CE，FH为对角线时
CF2=(2-0)2+(t-1)2=t2-2t+5，EF2=(2-1)2+(t-4)2=t2-8t+17
∵CF2=EF2
∴t2-2t+5=t2-8t+17，解得：t=2
∴F(2，2)
∵CE的中点坐标为，即
∴，解得：a=-1，b=3
∴H(-1，3)
②当CE，CF为邻边，EF，CH为对角线时
CE2=(2-1)2+(4-1)2=10，CF2=(2-0)2+(t-1)2=t2-2t+5
∵CF2=CE2
∴t2-2t+5=10，解得：
当时，，EF的中点坐标为
∴，解得：
∴
当时，，EF的中点坐标为
∴，解得：
∴
③当CE，EF为邻边，CF，EH为对角线时
CE2=(2-1)2+(4-1)2=10，EF2=(2-1)2+(t-4)2=t2-8t+17
∵CE2=EF2
∴t2-8t+17=10，解得：t=1，t=7(C，E，F三点共线，不符合题意，舍去)
∴F(2，1)，CF的中点坐标为(1，-1)
∴，解得：a=1，b=2
∴H(1，-2)
综上所述，点H的坐标为或（1，－2）或或
【分析】（1）将点C坐标代入表达式可得c，再根据二次函数对称轴方程可得b，即可求出答案.
（2）过P作直线轴交直线AC于Q，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的额关系可得，易求得直线AC的解析式为，设，则Q的纵坐标，代入直线AC解析式可得，则Q的坐标，再根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据函数图象平移性质可得抛物线向左平移2个单位长度后抛物线的解析式为，联立两函数解析式可得E(1，4)，设F(2，t)，H(a，b)，分情况讨论：①当CF，EF为邻边，CE，FH为对角线时，②当CE，CF为邻边，EF，CH为对角线时，③当CE，EF为邻边，CF，EH为对角线时，根据菱形性质，勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1山东省济南市济阳区2024年中考数学二模试题
1．（2024·济阳模拟）下列四个几何体中，左视图为圆的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024·济阳模拟）据报道，2023年“十一”假期全国国内旅游出游合计826000000人次．数字826000000用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·济阳模拟）观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·济阳模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024·济阳模拟）已知实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024·济阳模拟）如图，将一个等腰直角三角形放在两条平行线上，若∠1＝50°，则∠2的度数为（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
7．（2024·济阳模拟）“济阳风景独好”．小明、小亮准备采用抽签的方式，各自随机选取澄波湖公园、黄河公园、安澜湖公园和济北公园中的一个景点游玩，若规定其中一人抽完签后，放回，下一个人再抽，小明、小亮抽到同一景点的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·济阳模拟）函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024·济阳模拟）如图，在中，，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M，N，作直线MN交AC于点D；以点B为圆心，适当长为半径画孤，分别交BA，BC于点E，F．再分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P．若此时射线BP恰好经过点D，则的大小是（　　）
A．31° B．32° C．33° D．36°
10．（2024·济阳模拟）已知二次函数的图象经过点，，且满足．当时，该函数的最大值m和最小值n之间满足的关系式是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024·济阳模拟）因式分解：　 　．
12．（2024·济阳模拟）若关于x的一元二次方程有一个根为，则该方程的另一个根为　 　．
13．（2024·济阳模拟）化简：　 　．
14．（2024·济阳模拟）一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球．其中有9个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球　 　个．
15．（2024·济阳模拟）用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为20%（如图1），经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量y（单位：%）与充电时间x（单位：h）的函数图象分别为图2中的线段AB，AC．先用普通充电器充电ah后，再改为快速充电器充满电，若一共用时4h，则a的值为　 　．
16．（2024·济阳模拟）如图，矩形ABCD中，，，P是线段上一动点，连接AP并将AP绕P顺时针旋转90°得到线段PE．连接DE，直线DE交BC于F，若的面积为3．则线段BP的长度为　 　．
17．（2024·济阳模拟） 计算：；
18．（2024·济阳模拟）解不等式组，并写出它的整数解．
19．（2024·济阳模拟） 如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边BC，AD分别相交于点E和点F．求证：
20．（2024·济阳模拟） 下图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它足由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如下．经过测量，支架的立柱AB与地面AM垂直．米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆BC与水平线AC的夹角，支撑杆，垂足为E，该支架的边BD与BC的夹角，又测得米．（参考数据：，，，，，）
（1）求该支架的边BC和BD的长；
（2）求支架的边BD的顶端D到地面AM的距离．（结果精确到1米）
21．（2024·济阳模拟） 京剧，是中国五大戏曲剧种之一，被视为中国国粹，分布地以北京为中心，遍及全中国．京剧走遍世界各地，成为介绍、传播中国传统艺术文化的重要媒介，在2010年11月16日，京剧被列入“人类非物质文化遗产代表作名录”．某校为了解七、八年级学生对京剧文化的了解程度，组织了一次京剧文化知识测试，七、八年级各抽取10名学生参加比赛，现对测试成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩用x（分）表示）．共分成四个等级（A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息：
七年级参赛的学生C等级的成绩为：92、92、93、94
八年级参赛的学生D等级的成绩为：95、95、95、97、100
七、八年级抽取的学生测试成绩统计表：
班级 平均分 中位数 众数
七年级 92 a 92
八年级 92 94 b
请根据相关信息，回答以下问题：
（1）填空：　 　，　 　；
（2）七年级参赛学生成绩扇形图中D等级的圆心角是　 　度；
（3）补全八年级测试成绩条形统计图：
（4）在这次测试中，七年级学生小明与八年级学生小亮的成绩都是93分，于是小明说：“我在七年级参赛小队的名次高于小亮在八年级参赛小队的名次．”你同意小明的说法吗？并说明理由．
22．（2024·济阳模拟） 如图，AB为的直径，D、E是上的两点，过D作的切线交AB的延长线于点C，连接AD，BE，BD．
（1）求证：；
（2）若，．求的半径．
23．（2024·济阳模拟） 某商场购进甜橙、脐橙两个品种，已知1箱甜橙价格比1箱脐橙少20元，300元购买甜橙的箱数与400元购买脐橙的箱数相同．
（1）甜橙和脐橙每箱分别是多少元？
（2）商场预计共购买两种橙子150箱，且购买甜橙的数量不少于脐橙的2倍，请你求出购买总费用的最大值．
24．（2024·济阳模拟） 综合与实践：
《函数》复习课后，为加深对函数的认识，张老师引导同学们对函数的图象与性质进行探究．过程如下，请完成探究过程：
（1）初步感知
函数的自变量取值范围是　 　；
（2）作出图象
①列表：
x … －6 －5 －4 －3 －2 n 0 1 2 3 4 …
y … 2 3 4 m 6 －3 －2 －1 0 …
填空：表中_▲_，_▲_；
②描点，连线：
在平面直角坐标系xOy中，描出以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）研究性质
小刚观察图象，发现这个图象为双曲线，进一步研究中，小刚将函数转化为，他判断该函数图象就是反比例函数通过某种平移转化而来，反比例函数的图象是中心对称图形，对称中心为，则函数的图象的对称中心为　 　；反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线和，则函数的图象的对称轴为直线　 　
（4）拓展应用
①若一次函数的图象与函数的图象交于A、B两点，连接OA、AB，则的面积为　 　
②若直线与函数的图象有且只有一个交点，则k的值为　 　．
25．（2024·济阳模拟） 如图1，P是正方形ABCD边BC上一动点，线段AE与AD关于直线AP对称，连接EB并延长交直线AP与点F．连接CF，连接AC．
（1）的值为　 　；
（2）①在P点从点B运动到点C的过程中，是否为定值？若是请求出此定位，若不是，请说明理由；
②求的值；
（3）如图2，若H是AF的中点，正方形ABCD边长为a，若点P从点B运动到点C，直接写出点H的运动路径长．
26．（2024·济阳模拟） 如图，已知抛物线：与y轴相交于点，对称轴为直线．坐标原点为O点，抛物线的对称轴交x轴于A点．
（1）抛物线的关系表达式；
（2）若点P为抛物线上的一动点，连接PO交线段AC于点B，当时，求点P的坐标；
（3）将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点C，E，F，H为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点H的坐标：若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：左视图为从左往右看得到的视图，
A.球的左视图是圆，
B.圆柱的左视图是长方形，
C.圆锥的左视图是等腰三角形，
D.圆台的左视图是等腰梯形，
故答案为：A.
【分析】根据三视图的定义求解即可。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故答案为：B.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式，其中1≤|a|<10 ， n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：第一个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此图案不符合题意；
第二个图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故此图案符合题意；
第三个图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故此图案不符合题意；
第四个图案不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此图案不符合题意．
故答案为：B．
【分析】 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形 。 在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形 。根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，错误，不符合题意
B：，不能合并，错误，不符合题意；
C：，正确，符合题意；
D：，错误，不符合题意.
故答案为；C
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的除法逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】不等式的性质；有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：由数轴可得：
-2∴A选项错误
a<-a，B选项错误
a2<4，C选项错误
，D选项正确
故答案为：C
【分析】根据数轴上点的位置关系可得-26．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵ 等腰直角三角形放在两条平行线上
∴∠3=180°-∠1-45°=180°-50°-45°=85°
∵a∥b，
∴∠2=∠3=85°.
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质和三角形内角和定理即可直接解题.
7．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下
∴共有16种等可能的结果，其中小明、小亮抽到同一景点的结果有4种
∴小明、小亮抽到同一景点的概率问为
故答案为：B
【分析】求出所有等可能的结果，再求出小明、小亮抽到同一景点的结果，再根据概率公式即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：当K>0时，的图象在一，三象限，中，y随x的增大而减小，图象交y轴于负半轴，排除B，D选项
当k<0时，的图象在二，四象限，中，y随x的增大而增大，图象交y轴于负半轴，排除C选项
故答案为：A
【分析】根据反比例函数，一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线
∴
∴∠A=∠ABD=∠CBD
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∠C=87°
∴∠A+2∠ABD=180°-∠C，即3∠A=180°-87°=93°
∴∠A=31°
故答案为：A
【分析】由作图可得，MN是线段AB的垂直平分线，BD是∠ABC的平分线，则 ，再根据等边对等角可得∠A=∠ABD=∠CBD，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数的图象经过点，
∴图象开口朝上，对称轴为直线
∴a+b=2c
∵
∴
∴0∴当时，函数的最小值为x=c时所对应的函数值，且n=c2-2c×c-c=-c2-c
函数的最大值是x=-1时所对应的函数值
∴m=1+2c-c=1+c
∴c=m-1，代入n=-c2-c，得n=-m2+m
故答案为：C
【分析】根据二次函数的对称轴公式可得a+b=2c，几何题意可得011．【答案】
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】根据平方差公式进行因式分解即可求出答案.
12．【答案】-3
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设另一个根为a
∴2a=-6，解得：a=-3
故答案为：-3
【分析】设另一个根为a，根据二次方程根与系数的关系建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】分式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：
【分析】先计算括号，再除法转换为乘法，结合平方差公式即可求出答案.
14．【答案】30
【知识点】用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】解：由题意可得：
9÷30%=30
故答案为：30
【分析】根据黄球个数乘以频率即可求出答案.
15．【答案】3
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由题意可得：
解得：a=3
故答案为：3
【分析】根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】3或2
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点E作EH⊥BC于点H，设BP=x
∵AP=PE，∠APE=90°=∠ABP=∠PHE，∠BPA+∠EPH=90°，∠BAP+∠BPA=90°
∴∠BAP=∠EPH
∴△ABP≌△PHE
∴EH=BP=x，PH=AB=5
∴CH=BC-BP-PH=5-x
∵EH⊥BC，∠C=90°
∴EH∥CD
∴△FEH∽△FDC
∴，即
解得：FH=x
∴PF=5-x
∴
解得：x=3或x=2
故答案为：3或2
【分析】过点E作EH⊥BC于点H，设BP=x，根据角之间的关系可得∠BAP=∠EPH，再根据全等三角形判定定理可得△ABP≌△PHE，则EH=BP=x，PH=AB=5，再根据边之间的关系可得CH=5-x，根据相似三角形判定定理可得△FEH∽△FDC，则，代值计算可得PF=5-x，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
17．【答案】解：
【知识点】零指数幂；求特殊角的三角函数值；化简含绝对值有理数
【解析】【分析】根据0指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质化简，再计算加减即可求出答案.
18．【答案】解：
由①，得，
由②，得，
∴不等式组的解集为
它的正整数解为：0，1，2，3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】先分别求出两个不等式的解，再求出不等式组的解集，再求特殊角即可.
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
20．【答案】（1）解：在中，，，米
∴米
∵米
∴米
∵
∴
在中．，，米
∴米
∴该支架的边BC的长为6米，BD的长为8米；
（2）解：如图所示，过点D作于H，过点B作于G，则四边形ABGH是矩形，
∴米，，
∴
∴
在中，米，
∴米
∴支架的边BD的顶端D到地面AM的距离为8米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据正弦定义可得BC，再根据边之间的关系可得BE，再根据余弦定义即可求出答案.
（2）过点D作于H，过点B作于G，则四边形ABGH是矩形，根据矩形性质可得米，，则，再根据角之间的关系可得，再根据正弦定义可得DG，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．【答案】（1）92.5；95
（2）108
（3）解：A组人数为：10-1-2-5=2人
补全图形如下
（4）解：∵八年级（一）班的中位数为92.5分，（一）班学生小明的成绩是93分，
∴他在（一）班中是前5名，
而（二）班的中位数是94分，学生小亮的成绩是93分，
∴他在（二）班是后5名，
∴同意小明的说法．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）八年级（一）中
D组人数为10×30%=3，C组人数为10×40%=4
∴10人中第5，6的成绩分别为92，93
∴中位数
八年级（二）中成绩出现次数最多的是95，即b=95
故答案为92.5；95
（2）D组的占比为1-40%-20%-10%=30%
∴七年级参赛学生成绩扇形图中D等级的圆心角为360°×30%=108°
故答案为：108°
【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（2）求出D组的占比，再乘以360°即可求出答案.
（3）求出A组人数，补全图形即可.
（4）根据中位数的性质分析即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：连接OD，
∵AB为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴CD是的切线；
∴
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵
∴
∴，
∴
∴
∴
∴的半径为5．
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理可得，再根据等边对等角可得，则，由切线的性质可得，则，即可求出答案.
（2）根据正切定义可得，由相似三角形判定定理可得，则，代值可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）解：设甜橙每箱x元，则脐橙每箱元
，
解得，经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：甜橙每箱60元，脐橙每箱80元；
（2）解：设购买甜橙a箱，则购买脐橙箱，所需费用为w元，
∴，
∵，
∴
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，此时，
答：购买总费用的最大值为10000元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甜橙每箱x元，则脐橙每箱元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购买甜橙a箱，则购买脐橙箱，所需费用为w元，根据题意列出函数关系式，结合二次函数的性质即可求出答案.
24．【答案】（1）
（2）解：①5，；
②根据表格数据，描点，连线，画图如下：
（3）；和
（4）5；8
【知识点】函数自变量的取值范围；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
x+1≠1，解得：x≠-1
故答案为：x≠-1
（2）①当x=，，即m=5
当y=-3时，，解得：，即
故答案为：5，
（3）
则将反比例函数的图象先向左平移1个单位，再向上平移1个单位可得函数的图象
∵的对称中心为
∴函数的图象的对称中心为
函数的图象的对称轴为直线和
故答案为：；和
（4）①如图
联立，解得：
∴
∴
故答案为：5
②联立，整理得
∵直线与函数的图象有且只有一个交点
∴
解得：k=8或k=0（舍去）
故答案为：8
【分析】（1）根据分式有意义的条件即可求出答案.
（2）①将x=，y=-3分别代入解析式即可求出答案.
②描点，连线作图即可.
（3）根据函数图象的平移性质即可求出答案.
（4）①联立解析式，求出A，B点坐标，再根据割补法求面积即可.
②联立解析式，根据二次方程只有一个解，可得判别式，解方程即可求出答案.
25．【答案】（1）
（2）解：①是定值，
理由如下：设，则，由条件知，
∴，
∵，
∴
∴
∴
②过A作于点M，
∵
∴，
∵，
∴
∵
∴
∵，
∴
∴
∴，
∵
∴
∴
（3）解：
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质；弧长的计算；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形
∴AB=BC
∴
∴，即
故答案为：
（3）连接BD交AC于点O，连接OH
∴点O是AC的中点
∵H是AF的中点
∴
∴点H在以O为圆心，为半径的圆上
当点P与C重合时，H与AC中点重合
当点P与B重合时，H与BA中点重合
点H运动的路径是以为半径，圆心角为45°的弧上
∴ 点H的运动路径长为
【分析】（1）根据正方形性质可得AB=BC，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）①设，则，由条件知，根据角之间的关系可得，再根据边之间的关系可得，再根据等边对等角及三角形内角和定理可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
②过A作于点M，根据等腰三角形性质可得，再根据边之间的关系可得，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接BD交AC于点O，连接OH，根据三角形中位线定理可得，则点H在以O为圆心，为半径的圆上，当点P与C重合时，H与AC中点重合，当点P与B重合时，H与BA中点重合，点H运动的路径是以为半径，圆心角为45°的弧上，根据弧长公式即可求出答案.
26．【答案】（1）解：与y轴相交于点，对称轴我
由题意得：，
解得：，
∴抛物线的关系表达式为
（2）解：过P作直线轴交直线AC于Q，
∵，
∴
∴
∵，
∴
∵
∴
易求得直线AC的解析式为
设，则Q的纵坐标
∴，
∴Q的坐标
∴
解方程得或
∴点P的坐标；（4，1）或
（3）解：或（1，－2）或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】解：（3）存在，理由如下
∵
∴抛物线向左平移2个单位长度后抛物线的解析式为
联立，解得：
∴E(1，4)
∵抛物线的对称轴为直线x=2
设F(2，t)，H(a，b)
①当CF，EF为邻边，CE，FH为对角线时
CF2=(2-0)2+(t-1)2=t2-2t+5，EF2=(2-1)2+(t-4)2=t2-8t+17
∵CF2=EF2
∴t2-2t+5=t2-8t+17，解得：t=2
∴F(2，2)
∵CE的中点坐标为，即
∴，解得：a=-1，b=3
∴H(-1，3)
②当CE，CF为邻边，EF，CH为对角线时
CE2=(2-1)2+(4-1)2=10，CF2=(2-0)2+(t-1)2=t2-2t+5
∵CF2=CE2
∴t2-2t+5=10，解得：
当时，，EF的中点坐标为
∴，解得：
∴
当时，，EF的中点坐标为
∴，解得：
∴
③当CE，EF为邻边，CF，EH为对角线时
CE2=(2-1)2+(4-1)2=10，EF2=(2-1)2+(t-4)2=t2-8t+17
∵CE2=EF2
∴t2-8t+17=10，解得：t=1，t=7(C，E，F三点共线，不符合题意，舍去)
∴F(2，1)，CF的中点坐标为(1，-1)
∴，解得：a=1，b=2
∴H(1，-2)
综上所述，点H的坐标为或（1，－2）或或
【分析】（1）将点C坐标代入表达式可得c，再根据二次函数对称轴方程可得b，即可求出答案.
（2）过P作直线轴交直线AC于Q，根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的额关系可得，易求得直线AC的解析式为，设，则Q的纵坐标，代入直线AC解析式可得，则Q的坐标，再根据两点间距离建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据函数图象平移性质可得抛物线向左平移2个单位长度后抛物线的解析式为，联立两函数解析式可得E(1，4)，设F(2，t)，H(a，b)，分情况讨论：①当CF，EF为邻边，CE，FH为对角线时，②当CE，CF为邻边，EF，CH为对角线时，③当CE，EF为邻边，CF，EH为对角线时，根据菱形性质，勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
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