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6.1.3 基本初等函数的导数
第六章 导数及其应用
1.能根据导数的定义推导常数函数与幂函数的导数.
2.掌握基本初等函数的导数公式表，会利用导数公式表求导数.
3.会求曲线的切线方程.
如何求函数y=f(x)在点x0处的导数？
这涉及到函数在任意一点的导数问题，
通过f'(x0)= 可知f'(x)=，
这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数.
问题：求函数在某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？
1.导函数
一般地，如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导.此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f'(x).于是，在f(x)的定义域内，f'(x)是一个函数，这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数，
记作f'(x)(或y'，yx')，即f'(x)=y'=yx'=.
知识梳理
合作完成：求常函数f(x)=c以及常用幂函数的导数.
原函数 导函数
f(x)=C，其中C为常数 f'(x)=____
f(x)=x f'(x)=____
f(x)=x2 f'(x)=____
f(x)=x3 f'(x)=____
f(x)= f'(x)=______
f(x)= f'(x)=
0
1
2x
3x2
-
改写成幂指数形式
由此推测,对任意的幂函数 ,都有：
知识梳理
基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f (x)＝C(C为常数) f ′(x)＝_____________
f (x)＝xα(α∈Q，且α≠0) f ′(x)＝_____________
f (x)＝sin x f ′(x)＝_____________
f (x)＝cos x f ′(x)＝_____________
f (x)＝ax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝_____________(a＞0，且a≠1)
f (x)＝ex f ′(x)＝_____________
f (x)＝logax(a＞0，且a≠1) f ′(x)＝_____________(a＞0，且a≠1)
f (x)＝ln x f ′(x)＝_____________
0
思考:(1)函数f(x)=ax的导数与函数f(x)=ex的导数之间有什么关系
(2)函数f(x)=logax与f(x)=lnx的导数之间有何关系
(1)f(x)=ex是底数为e的指数函数，是特殊的指数函数，所以其导数f′(x)=ex也是f′(x)=axlna当a=e时的特殊情况.
(2)f(x)=lnx是f(x)=logax的一个特例，f(x)=lnx的导数也是f(x)=logax的导数的特例.
例1 求下列函数的导数.
求简单函数的导函数有两种基本方法:
(1)利用导数的定义求导，但运算比较复杂；
(2)利用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.
在解题时,应先根据所给问题的特征，将题中的函数化为基本初等函数，再选择合适的求导公式求解.
归纳总结
例2 已知函数f(x)=，求曲线y=f(x)在点A(4，2)处的切线方程.
解：由f(x)=得f'(x)=，
在点A(4，2)处的切线k=f'(4)=，
故所求切线方程为y-2=(x-4)，即x-4y+4=0.
变式：求曲线y=f(x)=上与直线y=2x-4平行的切线方程.
解：设切点为(x0，y0)，
由f(x)=得f'(x)=，故f'(x0)=，
∵切线与直线y=2x-4平行，∴=2，
∴x0=，∴y0=，
故所求切线方程为y-=2(x-)，即16x-8y+1=0.
例3 已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求曲线 过点 的切线方程.
解：（1） 由 ，得 ，
故切线斜率 ，
又 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）① 当 为切点时，由（1）知，切线方程为 ；
②当 不为切点时，
设切点为 ，则切线斜率 ，
故切线方程为 ，
又切线过点 ，所以 ，
解得 （舍去）或 ，
因此切线方程为 .
综上，过点 的切线方程为 或 .
例3 已知函数 .
（2）求曲线 过点 的切线方程.
求曲线方程或切线方程时，应注意：
1.切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
2.曲线在切点处的导数就是切线的斜率；
3.必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．
归纳总结
基本初等函数的导数
导函数
导数公式表
求切线方程
在某点的
切线方程
过某点的
切线方程
B
2.下列函数求导运算正确的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
C
3.设函数f (x)=， f (1)=1，则a=__________.
4.函数y=x3在点(2，8)处的切线方程为(　　)
A.y=12x-16 B.y=12x+16
C.y=-12x-16 D.y=-12x+16
A

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