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湖南师大附中2025届模拟试卷（一）
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
【答案】B
【详解】由题意，集合，
联立方程组，整理得，解得或，
当时，可得；当时，可得，
所以，即中元素的个数为2个.
故选：B.
2. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为，所以，，
则，
所以，故A正确.
故选：A
3. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为函数的最小正周期，
所以函数的最小正周期为.
故选：B.
4. 若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】因为是夹角为的单位向量，，，
所以，
，
而，故，
，故，
所以，
而，解得，
则向量与的夹角为，故C正确.
故选：C
5. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题意双曲线，所以，，
由计算得：，又因为双曲线的离心率为，
所以，解得，
所以双曲线的方程为，
其渐近线方程为．
故选：B.
6. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】
如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径，
则球心到圆锥底面圆心距离，
由，得，圆锥的体积，
求导得，
当时，，函数在上递增，
当时，，函数在上递减，
则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径.
故选：B
7. 已知的内角所对的边分别为，，则的面积为（ ）
A. B. C. 36 D. 27
【答案】D
【详解】因为，且，所以，
由余弦定理得：，
即即，即，
所以，
所以的面积为.
故选：D.
8. 已知函数在区间上的最大值为，则当取到最小值时，（ ）
A. 7 B. C. 9 D.
【答案】B
【详解】函数在区间上的最大值，
可看作是函数与在区间上函数值之差的绝对值的最大值.
函数在区间上的两个端点,
直线的方程为.
设与直线平行且与函数图象相切的直线方程为，
，令，解得或（舍去），
切点坐标为，代入直线方程，可得，
所以切线方程为.
由图像可知，直线在函数图象上方或下方时的值大于直线与函数图象相交时的值，
所以要使取到最小值，直线在直线和直线的中间，即直线，
此时，，所以.
故选：B.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（ ）
A. 圆的半径 B. 直线与圆相交
C. 直线不可能将圆的周长平分 D. 直线被圆截得的最短弦长为
【答案】BD
【详解】对于选项A，由，得到，
所以圆圆心为，半径为，所以选项A错误，
对于选项B，由，得到，
由，得到，所以直线过点，
又，所以点在圆内，故直线与圆相交，则选项B正确，
对于选项C，当直线过点，即时，直线平分圆的周长，所以选项C错误，
对于选项D，当时，圆心到直线的距离最大，直线被圆截得的弦长最短，
此时弦长为，所以选项D正确，
故选：BD.
10. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
B.
C. 函数的值域为
D.
【答案】ACD
【详解】对于A，，定义域为，，
所以为奇函数，
，定义域，，
所以为偶函数，故A正确；
对于B：
，故B错误；
对于C：，，
，所以，，
所以，C选项正确；
对于D：因，
所以在上单调递增，
设，，
则，
因为，所以，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，，故D正确；
故选：ACD.
11. 古希腊数学家托勒密（Ptolemy85—165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角所对的弦长记为．例如180°圆心角所对弦长等于直径，即120个度量单位，所以．则（ ）
A. crd B. 若，则
C. D. crd
【答案】AC
【详解】因为，所以，
对于A，圆心角所对弦长为，故A正确，‘’
对于B，若，则，故，B错误，
对于C，圆心角所对的弦长为，故，C正确，
对于D，根据三角形两边之和大于第三边可知：所对的弦长之和大于所对的弦长，
所以，（），故D错误，
故选：AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若指数函数满足，则_____．
【答案】27
【详解】令且，因为，
则，即，解得或（舍），
所以，则，
故答案为：.
13. 从编号的15张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件：“第二次抽到的数字小于第一次”，则_____．
【答案】
【详解】由题意，在1 15这15个数字中，5的倍数有5、10、15，共3个，所以事件发生的概率，
记事件表示 “第一次抽到数字为5的倍数且第二次抽到的数字小于第一次”.
若第一次抽到5，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于5的卡片，有4种抽法；
若第一次抽到10，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于10的卡片，有9种抽法；
若第一次抽到15，那么第二次从剩下14张卡片中抽小于15的卡片，有14种抽法.
所以.
根据条件概率公式，.
故答案为：.
14. 已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，为坐标原点，若，垂足为，则面积的最大值为_____．
【答案】1
【详解】由题意知，可设直线AB的方程为，，
将代入，可得，即，
则，则，
因为，，
所以，化简得，
解得或（时直线过原点，舍去），
则直线AB的方程为，
因为，所以设直线OM方程为：，
联立两直线方程，
所以，
因为函数为奇函数，且当时，（当且仅当时等号成立），
所以，则（当且仅当时等号成立）.
所以面积的最大值为1.
故答案为：1
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示．
性别 评价 合计
喜欢 不喜欢
男性 15
女性
合计 50 100
（1）根据所给数据，完成上面的列联表；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？
（3）电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价男性中，用按比例分配的分层随机抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为，求的分布列及数学期望．
附：．
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
【答案】（1）列联表见解析
（2）能认为性别因素与评价结果有关系
（3）分布列见解析；
【小问1详解】
由题意，男性有人，女性有人，
可得的列联表，如下表所示：
喜欢 不喜欢 合计
男性 15 30 45
女生 35 20 55
合计 50 50 100
【小问2详解】
设零假设性别因素与评价结果无关，
由的列联表，可得，
所以依据的独立性检验，可推断不成立，
即能认为性别因素与评价结果有关系.
【小问3详解】
由题意得随机选取的3人中，不喜欢的有人，喜欢的有人，
则的所有取值可能为，
且评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，
评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，
则，，
，，
故分布列如下表：
故数学期望为.
16. 已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且．
（1）用表示；
（2）若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式．
【答案】（1）
（2）证明见解析；
【小问1详解】
因为，所以，
则曲线在点处的切线方程为，
将点代入方程，得，
因为为正实数，所以为正实数，.
【小问2详解】
因为，所以，
，由题意得，
则，而，
则，故为公比为的等比数列，且，
得到，故，
两边取指数得到，解得.
17. 如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【小问1详解】
因为所以，
所以，所以，
由三棱柱是直三棱柱，得平面，又平面，所以，
因为，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由于，且平面，
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，且是四边形（不含边界）内的动点,．
所以，即，
设，
所以．
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为．
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为．
设平面与平面所成角为
则，
令，则，
因为在上单调递减，所以，所以.
所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围.
18. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，直线与椭圆交于不同的两点.
（1）设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值；
（2）若，证明：直线与直线的交点在定直线上.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【小问1详解】
设，则，
则由两式相减可得，即，
所以
为定值.
【小问2详解】
由题意可得，解得，所以椭圆方程，
则，
联立方程可得，
则，得，
故，
直线的方程为，①
直线的方程为，②
设直线与直线的交点，
则由①②两式相减可得，代入①可得，
，即.
所以点在定直线上.
19. 已知函数．
（1）若在处的切线为，求的值；
（2）当时，求在上的零点个数；
（3）当时，设，是否存在，使得曲线在点处的切线与有3个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由．
【答案】（1），；
（2）存在2个零点； （3）所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线与有3个交点.
【小问1详解】
由，得，
因为在处的切线为，即，
代入得，解得，.
【小问2详解】
当时，，得，令，
即，结合函数图像可知，当且仅当时，成立，即①，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时取得最小值，即，
将①代入，得，
令，，所以，
所以，
又，，
所以当时，求在上存在2个零点.
【小问3详解】
当时，，
所以，，，，
切线方程：，即，
整理得，
令，
，
因为，，
当时，，为单调递增函数，
当时，，为单调递减函数，
函数所有的极大值为，
当时，极大值等于0，即，
当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点，
当为负整数时，极大值全部大于0，函数所有的极小值为，
当时，极小值，
且随着的增大，极小值越来越小，
因此在点处的切线与有3个交点，
等价于，即有解，
令，
则，
因此为上的严格增函数，
因为，，
于是存在唯一实数，满足，
所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线与有3个交点.湖南师大附中2025届模拟试卷（一）
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2. 若复数，则（ ）
A. B. C. D.
3. 函数的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
4. 若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知的内角所对的边分别为，，则的面积为（ ）
A. B. C. 36 D. 27
8. 已知函数在区间上的最大值为，则当取到最小值时，（ ）
A. 7 B. C. 9 D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（ ）
A. 圆的半径 B. 直线与圆相交
C. 直线不可能将圆的周长平分 D. 直线被圆截得的最短弦长为
10. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
B.
C. 函数的值域为
D.
11. 古希腊数学家托勒密（Ptolemy85—165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角所对的弦长记为．例如180°圆心角所对弦长等于直径，即120个度量单位，所以．则（ ）
A. crd B. 若，则
C. D. crd
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若指数函数满足，则_____．
13. 从编号的15张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件：“第二次抽到的数字小于第一次”，则_____．
14. 已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，为坐标原点，若，垂足为，则面积的最大值为_____．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示．
性别 评价 合计
喜欢 不喜欢
男性 15
女性
合计 50 100
（1）根据所给数据，完成上面的列联表；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？
（3）电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价男性中，用按比例分配的分层随机抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为，求的分布列及数学期望．
附：．
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
16. 已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且．
（1）用表示；
（2）若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式．
17. 如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．
18. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，直线与椭圆交于不同的两点.
（1）设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值；
（2）若，证明：直线与直线的交点在定直线上.
19. 已知函数．
（1）若在处的切线为，求的值；
（2）当时，求在上的零点个数；
（3）当时，设，是否存在，使得曲线在点处的切线与有3个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由．

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