资源简介

5.3.1
等比数列
第五章 数列
5.3.1 课时1
等比数列的定义
第五章 数列
1.理解等比数列的概念，并能判断一个数列是否为等比数列.
2.掌握等比数列的通项公式，并能运用其解决相关问题.
情境①：中国有14亿人口，抖音占8亿，抖音是如何获得这么多的用户数量呢？中有句古话已经回答了这个问题“一传十，十传百，百传千，千传万……”这句话里包含了一组什么样的数列呢？
情境②：庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果将“一尺之棰”视为单位“1”，则每日剩下的部分依次构成怎样的数列？
①1， 10， 100， 1000， 10000，……
②12，14，18，116，…
?
①1， 10， 100， 1000， 10000，……
②12，14，18，116，…
?
思考:从前面两个情境中得到的数列有什么共同特点？
经比较，可以看出数列①，②有如下的共同特征:从第2项起，每一项与它的前一项的比值都是一个与项数n无关的常数.
类比等差数列的概念，从上述数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？
概念讲解
如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，其中常数叫做等比数列的公比，用字母 q 表示（q ≠ 0）.
符号语言
（q为常数，且q≠0，an≠0，n∈N+）
思考：数列 是等比数列吗?为什么？
等比数列中，各项不能为零，公比不能为零.
注意：
(1)等比数列{an}中，an≠0；奇数项的符号相同，偶数项符号相同；
(2)公比q一定是由后项比前项所得，而不能用前项比后项来求，且q≠0；
(3)若q＝1，则该数列为常数列．
(4)常数列 a， a ， a ， a ， … a≠0 时，既是等差数列，又是等比数列.
思考:请你回忆一下，等差数列通项公式的推导过程，类比猜想，等比数列如何推导通项公式？
设一个等比数列????????的为????，根据等比数列的定义，可得????????+1=?????????????，
所以????2=????1 q，
?????????????3=????2 q=(????1 q) ????=????1????2，
?????????????4=????3????=(????1????2) ????=????1????3
……
归纳可得????????=????1?????????1(????≥2).
又????1=????1????0=????1????1?1，这就是说，当????=1时，上式也成立.
因此，首项为????1，公比为????的等比数列????????的通项公式为????????=?????????????????????.
?
等比数列????????的通项公式为????????=?????????????????????（????1≠0，????≠0）.
?
l
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问题：你能用其他的方法推导出等比数列的通项公式吗？
设一个等比数列{????????}的公比为????.根据等比数列的定义，可得：????????+1????????=????.
?
所以 ????2????1=????，
?
????3????2=????，
?
????4????3=????，??，
?
所以，????2????1?????3????2?????4????3????????????????????1=????????????1=????????????????????
?
????????+1????????=????.
?
(?????1)个
?
=?????????1.
?
由此可得，????????=????1?????????1.
?
累 乘 法
又????1=????1????0=????1????1?1，这就是说，当????=1时上式也成立.
?
例1 已知数列{an}的各项都不为0，a1＝1，且2an＋1＝3an，则a3的值为____，数列{an}_____等比数列(填“是”或“不是”).
解析：因为a1＝1，且2an＋1＝3an，
是
例2 在等比数列{????????}中，????4=2，????7=16，求????????.
?
解：设首项为????1，公比为????.
?
∵????4=????1????3=2，①????7=????1????6=16，②
?
由②①得????3=8，从而????=2，而????1????3=2，
于是????1=2????3=14，
?
∴????????=????1??????????1=14×2?????1=2?????3
?
.
你还有别的方法么？
例2 在等比数列{????????}中，????4=2，????7=16，求????????.
?
类比：在等差数列????????中，????????=????????+（?????????）??????;
试问：在等比数列????????中，如果知道????????和公比q，能否求????????? 如果能，请写出表达式.
?
????????=??????????????????????
?
[法二]∵????7=????4????3，
∴????3=8，????=2.
?
∴????????=????4?????????4=2×2?????4=2?????3.
?
例3 若等比数列????????的第4项和第6项分别为48和12，求????????的第5项.
?
解：由????4=48，????6=12，得???????1????3=48，??①???????1????5=12.??????②
②的两边分别除以①的两边，得????2=14. 解得????=12或?12.
把????=12 代入①，得????1 =384.此时???????5=????1????4 =384×(12)4=24.
把????=?12 代入①，得????1 =?384.此时???????5=????1????4 =384×(?12)4=?24.
因此????????的第5项是24或?24.
?
{7DF18680-E054-41AD-8BC1-D1AEF772440D}数列
等差数列
等比数列
定义


同一常数


通项公式
.
????????+1?????????=????
?
????????+1????????=q
?
.
.
????????=????1+(?????1)????
?
.
公差d
.
公比q
.
????????=????1??????????1
?
1.给出下列命题:①若 ，则-a，b，-c成等比数列(abc≠0);②若b2=ac，则a，b，c成等比数列;③若an+1=anq(q为常数)，则{an}是等比数列.其中正确的命题有(　　)
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
B
2.在等比数列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，则公比q等于(　　)
A．－2 B．1或－2
C．1 D．1或2
3.在等比数列{an}中，an>0，已知a1＝6，a1＋a2＋a3＝78，则a2等于(　　)
A．12 B．18
C．24 D．36
B
B
5.3.1 课时2
等比数列的性质
第五章 数列
1.结合等差数列的性质，理解等比数列的性质.
2.掌握等比中项的概念，会求同号两数的等比中项.
3.能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.
波兰数学家谢尔宾斯基创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示.我们来数一数图中那些白色的同一类三角形的个数，可以得到一列数1，3，9，27，…，这是一个等比数列.你能否类比等差数列{an}的性质:“若m+n=p+q，那么am+an=ap+aq”，得出等比数列中类似的性质?
am·an＝ap·as
问题1：你能证明导入的结论(am·an＝ap·as)吗？
am·an＝a1qm－1·a1qn－1＝a12qm＋n－2，
ap·as＝a1qp－1·a1qs－1＝a12qp＋s－2，
又m＋n＝p＋s，则am·an＝ap·as．
问题2：等差数列的通项公式推广为an=am+(n-m)d，那么等比数列通项公式有无推广，是什么呢？
????????=????1??????????1=????2??????????2=?????????????????????? ，
所以一般的等比数列的通项公式为 ????????=??????????????????????(????，????∈?????) ．
?
问题3：若从等比数列中按序等距离取出若干项，能否构成一个新的等比数列？
能
归纳总结
等比数列{an}的常用性质
1.若m+n=p+q(m，n，p，q∈N+)，则am·an=ap·aq.
2.an=am·qn-m(m，n∈N+).
3.在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，取出的项按原来顺序组成新数列，该数列仍然是等比数列，公比为qk+1.
问题4：在等差数列中，公差????≠0的等差数列可以与相应的一次函数建立联系，那么对于等比数列，公比??????满足什么条件的数列可以与相应的函数建立类似的联系？
?
????????=????1?????????1=?????1????????????
当????>0且????≠1时 , ????(????)=?????1????????????(?????∈????)，
当????=????时, ????(????)=?????1????????????(?????∈?????)，
即指数型函数????(????)=????????????（????, ????为常数， ?????≠0, ????>0且????≠1?）构成一个等比数列????????????，
????1=????????，????2=????????2，?，????????=????????????，?
其首项为?????????，公比为????.
?
类比指数函数的性质，你能说说公比????>0的等比数列的单调性吗？
?
????(????)=?????1????????????(?????∈????)
?
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
单调递减
单调递增
?
单调递减
单调递增
不变
单调递减
单调递增
不变
单调递增
单调递减
不变
问题5：我们知道，如果三个数a，A，b成等差数列，则A叫作a与b的等差中项，且A= ，如果三个数a，G，b成等比数列，那么三个数有何数量关系？
等比中项：如果在a与b之间插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，
那么根据等比数列的定义， G2＝ab，G＝ ，我们称G为a，
b的等比中项.
注意：(1)若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列.
(2)只有同号的两个实数才有等比中项.
(3)若两个实数有等比中项，则一定有两个，它们互为相反数.
概念讲解
若m+n=2p(m，n，p∈N+)，则am·an=ap2
例1 (1)(多选题)等比数列{an}中，a1＝18，q＝2，则a4与a8的等比中项可能是(　　)
A．－14 B．14 C．－4 D．4
?
CD
解析：由题意知an＝18·2n－1＝2n－4>0
∴a4＝1，a8＝16
∴a4·a8＝16
∴a4与a8的等比中项是±4.
故选CD.
?
(2)若{an}为等比数列，则“a1 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
B
解析：若等比数列{an}是递增数列，可得a1 反之：例如数列{(－1)n＋12n}，此时满足a1所以“a1应用等比中项解题思路
(1)如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示；
(2)等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列中，还要考虑与项的关系，如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同．
方法归纳
例2 已知{an}为等比数列．
(1)等比数列{an}满足a2a4＝12，求a1a32a5；
(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
?
解：(1)在等比数列{an}中，因为a2a4＝12，所以a32＝a1a5＝a2a4＝12，
所以a1a32a5＝14.
?
(2)根据等比中项，化简条件得????32+2????3????5＋????52＝25，
即(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5＝5.
(3)由等比数列的性质知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2…a10)
＝log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
?
(2)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(3)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
运用等比数列性质计算的思路
运用等比数列的性质，“若m＋n＝p＋q，(m，n，p，q∈N＋)，则aman＝apaq；特别地若m＋n＝2p，(m，n，p∈N＋)则am·an＝ap2”，这样大大的简化了运算，因此在解决数列问题时，首先要有运用数列性质的意识，然后仔细观察各项序号之间的关系，以寻求满足数列性质的条件．
?
方法归纳
例3 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N+)年后这辆车的价值.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他能得到多少钱?
解：(1)n年后车的价值(万元)依次设为:a1，a2，a3，…，an，
由题意，得a1=13.5(1-10%)，a2=13.5(1-10%)2，….
由等比数列定义，知数列{an}是等比数列，
∴n年后车的价值为an=13.5×(0.9)n万元.
例3 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N+)年后这辆车的价值.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他能得到多少钱?
(2)由(1)得a4=13.5×0.94=8.857 35(万元)，
∴用满4年时卖掉这辆车，能得到8.857 35万元.
1.对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(　　)
A.a1，a3，a9成等比数列
B.a2，a3，a6成等比数列
C.a2，a4，a8成等比数列
D.a3，a6，a9成等比数列
2.在等比数列{an}中，如果公比为q，且q<1，那么等比数列{an}是(　　)
A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.无法确定单调性
D
D
3.一张报纸的厚度为a，面积为b，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为(　　)
C
4.在等比数列{an}中，a1+a2=30，a3+a4=120，则a5+a6=　　 　.?
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