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第三章第6节　共点力作用下物体的平衡
(分值:100分)
选择题1~10题,每小题8分,共80分。
基础对点练
题组一　共点力作用下物体的平衡状态及条件
1.(多选)下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是 (　　)
如果物体的运动速度为零,则必处于平衡状态
如果物体的运动速度大小不变,则必处于平衡状态
如果物体处于平衡状态,则物体沿任意方向的合力都必为零
如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态,则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
2.(2024·河北邯郸高一期末)物体受共点力F1、F2、F3的作用保持静止,则这三个力可能是 (　　)
15 N、6 N、8 N 6 N、8 N、10 N
12 N、17 N、1 N 8 N、15 N、3 N
题组二　平衡条件的应用
3.(2023·广东卷,2)如图所示,可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面,与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时,机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用,磁力垂直壁面。下列关系式正确的是 (　　)
Ff=G F=FN
Ff=Gcos θ F=Gsin θ
4.如图所示,用三根等长的轻质细链悬拉花盆(花盆与墙壁未接触,连接处间距相等),已知花盆的重力为G,每根轻质细链和竖直方向都成30°角,则每根轻质细链对花盆的拉力大小为 (　　)
G G G G
5.(2023·6月浙江选考,6)如图所示,水平面上固定两排平行的半圆柱体,重为G的光滑圆柱体静置其上,a、b为相切点,∠aOb=90°,半径Ob与重力的夹角为37°,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为 (　　)
Fa=0.6G,Fb=0.4G
Fa=0.4G,Fb=0.6G
Fa=0.8G,Fb=0.6G
Fa=0.6G,Fb=0.8G
6.(2024·山西晋中高一期末)如图所示,轻绳与劲度系数为k的轻弹簧互相垂直且一端悬挂在天花板上,另一端连接到物块的同一点上,轻绳与天花板的夹角为θ=53°(sin 53°=0.8,cos 53°=0.6),物块的重力为G,并处于静止状态,则关于轻绳拉力的大小T和弹簧的形变量Δx正确的为 (　　)
T=G T=G
Δx= Δx=
7.在一半径为R、质量为m的乒乓球内注入质量为M的水,但未将乒乓球注满,用水平U形槽将其支撑住,保持静止状态,其截面如图所示。已知U形槽的间距d=R,重力加速度为g,忽略乒乓球与槽间的摩擦力,则U形槽侧壁顶端A点对乒乓球(包括水)的支持力大小为 (　　)
(M+m)g (M+m)g
(M+m)g 2(M+m)g
8.(多选)如图所示,质量为m的物体放在水平桌面上,在与水平方向成θ角的拉力F作用下保持静止,已知物体与桌面间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g,下列判断正确的是 (　　)
物体对地面的压力为mg
物体受到地面的支持力为mg-Fsin θ
物体受到的摩擦力为F
物体受到的摩擦力为Fcos θ
综合提升练
9.(多选)如图所示,建筑工人用恒力F推着运料车在水平地面上匀速前进,恒力F与水平方向的夹角为θ=30°,运料车和材料的总重力为G,下列说法正确的是 (　　)
运料车受到的摩擦力方向水平向左
运料车受到的摩擦力方向水平向右
运料车受到的摩擦力大小为F
运料车与地面间的动摩擦因数为
10.如图所示,质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上,轻绳一端固定在圆环的最高点A,另一端与小球相连,小球静止时位于环上的B点,此时轻绳与竖直方向的夹角为60°,则轻绳对小球的拉力大小为(重力加速度为g) (　　)
mg mg 2mg mg
11.(10分)如图所示,质量为m的木块在与水平方向成α角的推力F(大小未知)作用下,沿竖直墙壁向上匀速运动。已知木块与墙壁间的动摩擦因数为μ,重力加速度为g。求:
(1)(5分)推力F的大小;
(2)(5分)若将推力的方向改为竖直向上推动木块,且木块仍做匀速直线运动,则推力F'为多大
培优加强练
12.(10分)如图所示,倾角θ=37°的粗糙斜面固定在水平地面上,一质量m=1 kg的小滑块在斜面上恰好能匀速下滑(g=10 m/s2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)。
(1)(3分)求滑块与斜面之间的动摩擦因数μ;
(2)(3分)若给小滑块施加一平行于斜面向上的推力F1,小滑块能沿斜面匀速向上滑动,求推力F1的大小;
(3)(4分)将推力方向改为水平向右,要使小滑块仍沿斜面匀速上滑,求该情形中力F2的大小。
第6节　共点力作用下物体的平衡
1.CD　[物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A选项错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，一定不处于平衡状态，B选项错误；物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，C选项正确；物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，合力为零，则任意两个力的合力与第三个力等大反向，D选项正确。]
2.B　[前两个力的大小范围为9 N≤F≤21 N，第三个力是8 N，不在范围内，所以合力不可能为零，物体不能保持静止，A错误；前两个力的大小范围为2 N≤F≤14 N，第三个力是10 N，在范围内，所以合力可以为零，物体能保持静止，B正确；前两个力的大小范围为5 N≤F≤29 N，第三个力是1 N，不在范围内，所以合力不可能为零，物体不能保持静止，C错误；前两个力的大小范围为7 N≤F≤23 N，第三个力是3 N，不在范围内，所以合力不可能为零，物体不能保持静止，D错误。]
3.C　[如图所示，
将重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，由平衡条件得，沿斜面方向Ff＝Gcos θ，垂直斜面方向F＝Gsin θ＋FN，故C正确，A、B、D错误。]
4.C　[设每根轻质细链对花盆的拉力大小均为F，由平衡条件得3Fcos 30°＝G，解得F＝G，故C项正确。]
5.D　[以圆
柱体为研究对象，受力分析如图所示，两侧半圆柱体对圆柱体的支持力的合力与重力等大反向，结合几何关系可知Fa＝Gsin 37°＝0.6G，Fb＝Gcos 37°＝0.8G，D正确。]
6.D　[对物块受力分析如图所示，根据平衡条件
有G＝F合，T＝F合sin 53°＝G，F弹＝F合cos 53°＝G，由胡克定律可知Δx＝，故选项D正确。]
　　
第6题图　　　　第7题图　　　　第8题图　　
7.B　[以乒乓球和水为研究对象，受力分析如图。根据平衡条件有2Nsin θ＝(M＋m)g，由几何关系可知θ＝60°，则A点对乒乓球(包括水)的支持力大小为N＝(M＋m)g，B项正确。]
8.BD　[物体受力如图所示，将拉力F沿水平和竖直方向分解，则Fx＝Fcos θ，Fy＝Fsin θ。由平衡条件可得N＋Fsin θ－mg＝0，Fcos θ－f＝0，所以物体受到的摩擦力f＝Fcos θ，支持力N＝mg－Fsin θ，选项B、D正确。]
9.AC　[
对运料车和材料进行受力分析，如图所示，由平衡条件得，运料车受到地面的摩擦力水平向左，大小为f车＝Fcos 30°＝F，竖直方向上有N车＝G＋Fsin 30°＝G＋0.5F，则运料车与地面间的动摩擦因数为μ＝＝，选项A、C正确，B、D错误。]
10.A　[对B点处的小球受力分析，如图所示，则有Tsin 60°＝Nsin 60°，Tcos 60°＋Ncos 60°＝mg，解得T＝N＝mg，A正确。]
11.(1)　(2)mg
解析　(1)以木块为研究对象，木块受到重力、支持力、推力和摩擦力作用，受力情况如图所示。
水平方向N＝Fcos α
竖直方向Fsin α＝mg＋f
又f＝μN，联立解得F＝。
(2)若将推力的方向改为竖直向上推动木块做匀速直线运动，木块只受重力和推力，根据平衡条件可得F′＝mg。
12.(1)0.75　(2)12 N　(3)34.3 N
解析　(1)根据平衡条件得mgsin θ＝μmgcos θ
解得μ＝0.75。
(2)根据平衡条件得mgsin θ＋μmgcos θ＝F1
代入数据解得F1＝12 N。
(3)推力方向改为水平向右，要使小滑块仍沿斜面匀速上滑，对小滑块受力分析，如图所示
垂直斜面方向N＝mgcos θ＋F2sin θ
平行斜面方向mgsin θ＋f＝F2cos θ
又f＝μN
联立解得F2≈34.3 N。第6节　共点力作用下物体的平衡
学习目标　1.知道平衡状态，掌握共点力作用下物体的平衡条件，并会分析生产、生活中的相关问题。2.会对物体的受力情况进行分析。3.会利用合成法或正交分解法分析计算平衡问题。
知识点一　共点力作用下物体的平衡状态及条件
如图所示，著名景点——黄山飞来石独自静止于悬崖之上，它受哪些力作用？这些力的大小、方向有何关系？它们的合力有何特点？
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1.平衡状态
(1)定义：如果物体保持静止或____________运动状态，我们就说，这个物体处于平衡状态。
(2)对“平衡状态”的理解
不管是静止还是匀速直线运动，速度保持不变，所以Δv＝0，a＝，对应加速度为零，v＝0不代表a＝0。
2.平衡条件：(1)在共点力作用下物体的平衡条件是：物体受到的合力为____________。即F合＝____________。
(2)如果用正交分解的方法，平衡条件可写成。
思考
1.做竖直上抛运动的物体运动到最高点时，其速度为零，物体是否处于平衡状态？
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2.一灯泡吊在天花板下，现用另一细绳将灯泡拉到如图位置，灯泡静止时。
(1)此时灯泡受几个力？
(2)试根据二力平衡条件，推导说明：若一个物体受三个力作用而处于平衡状态，则其中一个力与另外两个力的合力满足怎样的关系？
(3)上面探究的结论是否可以推广到多个力的平衡？
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例1 (教科版教材P96自我评价T1改编)物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示，其中F1大小为10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的合力的大小和方向；
(2)若将F1转过90°，保持其余四个力不变，物体所受的合力大小。
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训练1 下列物体处于平衡状态的是(　　)
A.静止在水平地面上的杯子
B.做竖直上抛运动的小球
C.做自由落体运动的石块
D.沿斜面加速下滑的木块
知识点二　平衡条件的应用
共点力平衡问题的解题思路
(1)明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。
(2)分析研究对象所处的运动状态，判定其是否处于平衡状态。
(3)对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。
(4)列平衡方程，应用共点力平衡的条件，选择恰当的方法(合成法、正交分解法)列出平衡方程。
(5)求解方程，并讨论结果。
角度1　三力平衡问题
例2 (多选)(教科版教材P96自我评价T4改编)如图所示，是一种测定风作用力的仪器的原理图，它能自动随着风的转向而转向，使风总从图示方向吹向小球P。P是质量为m的金属球，固定在一细长刚性金属丝下端，能绕悬挂点O在竖直平面内摆动，无风时金属丝自然下垂，有风时金属丝将偏离竖直方向一定角度θ，角θ大小与风力大小有关，下列关于风力F、刚性金属丝拉力T与角度θ的关系式正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.F＝mgsin θ B.F＝mgtan θ
C.T＝mgcos θ D.T＝
听课笔记___________________________________________________________
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总结提升　处理三力平衡问题的常用方法
合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将某个力按作用效果分解，则其分力与其他两个力分别平衡
正交 分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态，应用正交分解法，则有 ∑Fx＝F1x＋F2x＋F3x＝0， ∑Fy＝F1y＋F2y＋F3y＝0
矢量三 角形法 如果三个力首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力为零。矢量三角形法可以充分利用几何边角关系求解平衡问题
角度2　多力平衡问题
例3 (2024·四川泸州高一期末)如图所示为一种家用拖把，拖把头的总质量m＝1.2 kg，推杆的质量可以忽略，拖地时沿杆方向对拖把头施加推力F，推力方向始终与水平方向成θ＝37°角。取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小为g＝10 m/s2。
(1)若推力F1＝20 N时，拖把静止不动，求拖把所受摩擦力的大小和方向；
(2)某次拖地过程中，推力F2＝30 N时，拖把在水平地面上恰好做匀速直线运动，求拖把头与地面之间的动摩擦因数μ。
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训练2 某幼儿园要在空地上做一个滑梯如图所示，根据空地的大小，滑梯的水平跨度确定为6 m。设计时，滑板和儿童裤料之间的动摩擦因数取0.4，为使儿童在滑梯游戏时能在滑板上滑下，滑梯至少要多高？
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随堂对点自测
1.(共点力作用下物体的平衡条件理解)(多选)下列运动项目中的运动员处于平衡状态的是(　　)
A.体操运动员双手握住单杠吊在空中不动时
B.蹦床运动员在空中上升到最高点时
C.举重运动员在举起杠铃后不动的那段时间内
D.游泳运动员仰卧在水面静止不动时
2.(三力平衡问题)(2024·四川遂宁高一期末)一重为16 N的小球固定在AB杆的上端，今用测力计水平拉小球，使杆发生弯曲，如图所示，当小球达到平衡
时，测力计的示数为12 N，则AB杆对小球作用力的大小为 (　　)
A.15 N B.16 N
C.18 N D.20 N
3.(多力平衡问题)(多选)如图所示，站在水平地面、质量为15 kg的小朋友用轻绳牵住氢气球，轻绳与水平方向成53°角，轻绳的拉力大小为5 N。已知重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则关于地面对小朋友的支持力N和摩擦力f，下列说法正确的是(　　)
A.N＝150 N，方向竖直向上
B.N＝146 N，方向竖直向上
C.f＝3 N，方向水平向右
D.f＝5 N，方向水平向右
第6节　共点力作用下物体的平衡
知识点一
导学　提示　受重力和悬崖对它的作用力；重力方向竖直向下、悬崖对它的作用力方向竖直向上，二力等大、反向；合力为零。
知识梳理
1.(1)匀速直线　2.(1)零　0　(2)0　0
[思考] 1.提示　不是，因为物体此时所受合力不为零。
2.提示　(1)受重力和两根细绳的拉力共三个力的作用。
(2)如图
所示，灯泡受三个力的作用，将F1和F2合成，可以发现F1和F2的合力与重力G满足二力平衡，所以三个力平衡，则其中一个力与另外两个力的合力必定大小相等、方向相反。
(3)可以。若物体受多个力的作用而处于平衡状态，则这些力中的某一个力一定与其余力的合力大小相等、方向相反。
例1 (1)10 N　水平向左　(2)10 N
解析　(1)五个共点力作用下物体平衡时所受合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10 N，方向水平向左。
(2)若将F1转过90°得到F1′，则F1′与其余四个力的合力F垂直，F合＝＝ N＝10 N。
训练1 A　[物体处于静止或匀速直线运动状态，则物体处于平衡状态。做竖直上抛运动的小球、做自由落体运动的石块、沿斜面加速下滑的木块均做加速运动，只有静止在水平地面上的杯子处于平衡状态，故A正确，B、C、D错误。]
知识点二
例2 BD　[选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示。金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零。可用以下三种方法求解。
方法一　合成法
将风力F和拉力T合成如图乙所示，由平衡条件知F与T的合力与重力等大反向，可得F＝mgtan θ，T＝，故B、D正确。
方法二　正交分解法
以金属球的重心为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丙所示。由于金属球处于平衡状态，故水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合都等于零，即
Fx合＝Tsin θ－F＝0
Fy合＝Tcos θ－mg＝0
解得F＝mgtan θ，T＝，故B、D正确。
方法三　矢量三角形法
把表示重力、风力、拉力的有向线段依次首尾相连构成一个矢量三角形，如图丁所示。
由图可知F＝mgtan θ，T＝，故B、D正确。]
例3 (1)16 N，方向水平向左　(2)0.8
解析　(1)根据平衡条件可知拖把受到的摩擦力为f＝F1cos θ＝20×0.8 N＝16 N，方向水平向左。
(2)地面受到的正压力为
N＝mg＋F2sin θ＝1.2×10 N＋30×0.6 N＝30 N
拖把头与地面的摩擦力为f1＝μN＝F2cos θ
可得拖把头与地面之间的动摩擦因数为μ＝0.8。
训练2 2.4 m
解析　将滑梯抽象为一个斜面的模型如图所示，以正在匀速滑下的儿童为研究对象。
儿童受到重力G、斜面的支持力N和滑动摩擦力f三个力的作用。
如图所示，沿平行和垂直于斜面的两个方向建立直角坐标系。把重力G沿两个坐标轴的方向分解为Gx和Gy。
设斜面倾角为θ，用l、b和h分别表示AB、AC和BC的长度。
根据共点力平衡的条件和几何关系可知，
在x轴方向上Gx－f＝0
则f＝Gx＝Gsin θ＝G①
在y轴方向上Gy－N＝0
则N＝Gy＝Gcos θ＝G②
由于f＝μN③
联立①②③式有G＝μG
可求得h＝μb＝0.4×6 m＝2.4 m
滑梯至少要2.4 m高，儿童才能从滑梯上滑下。
随堂对点自测
1.ACD　[物体处于平衡状态的条件是F合＝0，物体处于静止或匀速直线运动状态，A、C、D正确；B项中运动员上升到最高点时v＝0，F合≠0，不会静止在最高点，故不是平衡状态，B错误。]
2.D　[由题意知，小球受到竖直向下的重力G＝16 N，水平向右的拉力F＝12 N，以及杆对小球的作用力，三个力的合力为零，则AB杆对小球作用力的大小为N＝＝20 N，故选项D正确。]
3.BC　[对小朋友进行受力分析如图
由平衡条件可得Tsin 53°＋N＝Mg，Tcos 53°＝f，解得N＝146 N，f＝3 N，故B、C正确，A、D错误。](共46张PPT)
第6节　共点力作用下物体的平衡
第三章　相互作用
1.知道平衡状态，掌握共点力作用下物体的平衡条件，并会分析生产、生活中的相关问题。2.会对物体的受力情况进行分析。3.会利用合成法或正交分解法分析计算平衡问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　平衡条件的应用
知识点一　共点力作用下物体的平衡状态及条件
知识点一　共点力作用下物体的平衡状态及条件
如图所示，著名景点——黄山飞来石独自静止于悬崖之上，它受哪些力作用？这些力的大小、方向有何关系？它们的合力有何特点？
提示　受重力和悬崖对它的作用力；重力方向竖直向下、悬崖对它的作用力方向竖直向上，二力等大、反向；合力为零。
1.平衡状态
(1)定义：如果物体保持静止或____________运动状态，我们就说，这个物体处于平衡状态。
(2)对“平衡状态”的理解
匀速直线
2.平衡条件：(1)在共点力作用下物体的平衡条件是：物体受到的合力为___。即
F合＝___。
零
0
0
0
【思考】
1.做竖直上抛运动的物体运动到最高点时，其速度为零，物体是否处于平衡状态？
提示　不是，因为物体此时所受合力不为零。
2.一灯泡吊在天花板下，现用另一细绳将灯泡拉到如图位置，灯泡静止时。
(1)此时灯泡受几个力？
(2)试根据二力平衡条件，推导说明：若一个物体受三个力作用而处于平衡状态，则其中一个力与另外两个力的合力满足怎样的关系？
(3)上面探究的结论是否可以推广到多个力的平衡？
提示　(1)受重力和两根细绳的拉力共三个力的作用。
(2)如图所示，灯泡受三个力的作用，将F1和F2合成，可以发现F1和F2的合力与重力G满足二力平衡，所以三个力平衡，则其中一个力与另外两个力的合力必定大小相等、方向相反。
(3)可以。若物体受多个力的作用而处于平衡状态，则这些力中的某一个力一定与其余力的合力大小相等、方向相反。
例1 (教科版教材P96自我评价T1改编)物体在五个共点力的作用下保持平衡，如图所示，其中F1大小为10 N，方向水平向右，求：
(1)若撤去力F1，而保持其余四个力不变，其余四个力的
合力的大小和方向；
(2)若将F1转过90°，保持其余四个力不变，物体所受的合力大小。
解析　(1)五个共点力作用下物体平衡时所受合力为零，则其余四个力的合力与F1等大、反向，故其余四个力的合力大小为10 N，方向水平向左。
A
训练1 下列物体处于平衡状态的是(　　)
A.静止在水平地面上的杯子 B.做竖直上抛运动的小球
C.做自由落体运动的石块 D.沿斜面加速下滑的木块
解析　物体处于静止或匀速直线运动状态，则物体处于平衡状态。做竖直上抛运动的小球、做自由落体运动的石块、沿斜面加速下滑的木块均做加速运动，只有静止在水平地面上的杯子处于平衡状态，故A正确，B、C、D错误。
知识点二　平衡条件的应用
共点力平衡问题的解题思路
(1)明确研究对象(物体、质点或绳的结点等)。
(2)分析研究对象所处的运动状态，判定其是否处于平衡状态。
(3)对研究对象进行受力分析，并画出受力示意图。
(4)列平衡方程，应用共点力平衡的条件，选择恰当的方法(合成法、正交分解法)列出平衡方程。
(5)求解方程，并讨论结果。
BD
角度1　三力平衡问题
例2 (多选)(教科版教材P96自我评价T4改编)如图所示，是一种测定风作用力的仪器的原理图，它能自动随着风的转向而转向，使风总从图示方向吹向小球P。P是质量为m的金属球，固定在一细长刚性金属丝下端，能绕悬挂点O在竖直平面内摆动，无风时金属丝自然下垂，有风时金属丝将偏离竖直方向一定角度θ，角θ大小与风力大小有关，下列关于风力F、刚性金属丝拉力T与角度θ的关系式正确的是(重力加速度为g)(　　)
解析　选取金属球为研究对象，它受到三个力的作用，如图甲所示。金属球处于平衡状态，这三个力的合力为零。可用以下三种方法求解。
方法一　合成法
方法二　正交分解法
以金属球的重心为坐标原点，取水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立直角坐标系，如图丙所示。由于金属球处于平衡状态，故水平方向的合力Fx合和竖直方向的合力Fy合都等于零，即
Fx合＝Tsin θ－F＝0
Fy合＝Tcos θ－mg＝0
方法三　矢量三角形法
把表示重力、风力、拉力的有向线段依次首尾相连构成一个矢量三角形，如图丁所示。
总结提升　处理三力平衡问题的常用方法
合成法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，将某个力按作用效果分解，则其分力与其他两个力分别平衡
正交分解法 物体在三个共点力作用下处于平衡状态，应用正交分解法，则有
∑Fx＝F1x＋F2x＋F3x＝0，
∑Fy＝F1y＋F2y＋F3y＝0
矢量三角形法 如果三个力首尾相接恰好构成三角形，则这三个力的合力为零。矢量三角形法可以充分利用几何边角关系求解平衡问题
角度2　多力平衡问题
例3 (2024·四川泸州高一期末)如图所示为一种家用拖把，拖把头的总质量m＝1.2 kg，推杆的质量可以忽略，拖地时沿杆方向对拖把头施加推力F，推力方向始终与水平方向成θ＝37°角。取sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度大小为g＝10 m/s2。
(1)若推力F1＝20 N时，拖把静止不动，求拖把所受摩擦力的大小和方向；
(2)某次拖地过程中，推力F2＝30 N时，拖把在水平地面上恰好做匀速直线运动，求拖把头与地面之间的动摩擦因数μ。
解析　(1)根据平衡条件可知拖把受到的摩擦力为f＝F1cos θ＝20×0.8 N＝16 N，方向水平向左。
(2)地面受到的正压力为N＝mg＋F2sin θ＝1.2×10 N＋30×0.6 N＝30 N
拖把头与地面的摩擦力为f1＝μN＝F2cos θ
可得拖把头与地面之间的动摩擦因数为μ＝0.8。
答案　(1)16 N，方向水平向左　(2)0.8
训练2 某幼儿园要在空地上做一个滑梯如图所示，根据空地的大小，滑梯的水平跨度确定为6 m。设计时，滑板和儿童裤料之间的动摩擦因数取0.4，为使儿童在滑梯游戏时能在滑板上滑下，滑梯至少要多高？
答案　2.4 m
解析　将滑梯抽象为一个斜面的模型如图所示，以正在匀速滑下的儿童为研究对象。
儿童受到重力G、斜面的支持力N和滑动摩擦力f三个力的作用。
如图所示，沿平行和垂直于斜面的两个方向建立直角坐标系。把重力G沿两个坐标轴的方向分解为Gx和Gy。
设斜面倾角为θ，用l、b和h分别表示AB、AC和BC的长度。
根据共点力平衡的条件和几何关系可知，
在x轴方向上Gx－f＝0
在y轴方向上Gy－N＝0
由于f＝μN③
可求得h＝μb＝0.4×6 m＝2.4 m
滑梯至少要2.4 m高，儿童才能从滑梯上滑下。
随堂对点自测
2
ACD
1.(共点力作用下物体的平衡条件理解)(多选)下列运动项目中的运动员处于平衡状态的是(　 　)
A.体操运动员双手握住单杠吊在空中不动时
B.蹦床运动员在空中上升到最高点时
C.举重运动员在举起杠铃后不动的那段时间内
D.游泳运动员仰卧在水面静止不动时
解析　物体处于平衡状态的条件是F合＝0，物体处于静止或匀速直线运动状态，A、C、D正确；B项中运动员上升到最高点时v＝0，F合≠0，不会静止在最高点，故不是平衡状态，B错误。
D
2.(三力平衡问题)(2024·四川遂宁高一期末)一重为16 N的小球固定在AB杆的上端，今用测力计水平拉小球，使杆发生弯曲，如图所示，当小球达到平衡时，测力计的示数为12 N，则AB杆对小球作用力的大小为 (　　)
A.15 N B.16 N C.18 N D.20 N
BC
3.(多力平衡问题)(多选)如图所示，站在水平地面、质量为15 kg的小朋友用轻绳牵住氢气球，轻绳与水平方向成53°角，轻绳的拉力大小为5 N。已知重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则关于地面对小朋友的支持力N和摩擦力f，下列说法正确的是(　　)
A.N＝150 N，方向竖直向上 B.N＝146 N，方向竖直向上
C.f＝3 N，方向水平向右 D.f＝5 N，方向水平向右
解析　对小朋友进行受力分析如图
由平衡条件可得Tsin 53°＋N＝Mg，Tcos 53°＝f，解得N＝146 N，f＝3 N，故B、C正确，A、D错误。
课后巩固训练
3
CD
题组一　共点力作用下物体的平衡状态及条件
1.(多选)下面关于共点力的平衡与平衡条件的说法正确的是(　　)
A.如果物体的运动速度为零，则必处于平衡状态
B.如果物体的运动速度大小不变，则必处于平衡状态
C.如果物体处于平衡状态，则物体沿任意方向的合力都必为零
D.如果物体受到三个共点力的作用而处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力大小相等、方向相反
基础对点练
解析　物体运动速度为零时不一定处于平衡状态，A选项错误；物体运动速度大小不变、方向变化时，物体不做匀速直线运动，一定不处于平衡状态，B选项错误；物体处于平衡状态时，合力为零，物体沿任意方向的合力都必为零，C选项正确；物体受到三个共点力作用而处于平衡状态时，合力为零，则任意两个力的合力与第三个力等大反向，D选项正确。
B
2.(2024·河北邯郸高一期末)物体受共点力F1、F2、F3的作用保持静止，则这三个力可能是(　　)
A.15 N、6 N、8 N B.6 N、8 N、10 N
C.12 N、17 N、1 N D.8 N、15 N、3 N
解析　前两个力的大小范围为9 N≤F≤21 N，第三个力是8 N，不在范围内，所以合力不可能为零，物体不能保持静止，A错误；前两个力的大小范围为2 N≤F≤14 N，第三个力是10 N，在范围内，所以合力可以为零，物体能保持静止，B正确；前两个力的大小范围为5 N≤F≤29 N，第三个力是1 N，不在范围内，所以合力不可能为零，物体不能保持静止，C错误；前两个力的大小范围为7 N≤F≤23 N，第三个力是3 N，不在范围内，所以合力不可能为零，物体不能保持静止，D错误。
C
题组二　平衡条件的应用
3.(2023·广东卷，2)如图所示，可视为质点的机器人通过磁铁吸附在船舷外壁面检测船体。壁面可视为斜面，与竖直方向夹角为θ。船和机器人保持静止时，机器人仅受重力G、支持力FN、摩擦力Ff和磁力F的作用，磁力垂直壁面。下列关系式正确的是(　　)
A.Ff＝G B.F＝FN
C.Ff＝Gcos θ D.F＝Gsin θ
解析　如图所示，将重力垂直于斜面方向和沿斜面方向分解，由平衡条件得，沿斜面方向Ff＝Gcos θ，垂直斜面方向F＝Gsin θ＋FN，故C正确，A、B、D错误。
C
4.如图所示，用三根等长的轻质细链悬拉花盆(花盆与墙壁未接触，连接处间距相等)，已知花盆的重力为G，每根轻质细链和竖直方向都成30°角，则每根轻质细链对花盆的拉力大小为(　　)
D
5.(2023·6月浙江选考，6)如图所示，水平面上固定两排平行的半圆柱体，重为G的光滑圆柱体静置其上，a、b为相切点，∠aOb＝90°，半径Ob与重力的夹角为37°，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则圆柱体受到的支持力Fa、Fb大小为(　　)
A.Fa＝0.6G，Fb＝0.4G 　 B.Fa＝0.4G，Fb＝0.6G
C.Fa＝0.8G，Fb＝0.6G 　 D.Fa＝0.6G，Fb＝0.8G
解析　以圆柱体为研究对象，受力分析如图所示，两侧半圆柱体对圆柱体的支持力的合力与重力等大反向，结合几何关系可知Fa＝Gsin 37°＝0.6G，Fb＝Gcos 37°＝0.8G，D正确。
D
6.(2024·山西晋中高一期末)如图所示，轻绳与劲度系数为k的轻弹簧互相垂直且一端悬挂在天花板上，另一端连接到物块的同一点上，轻绳与天花板的夹角为θ＝53°(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)，物块的重力为G，并处于静止状态，则关于轻绳拉力的大小T和弹簧的形变量Δx正确的为(　　)
解析　对物块受力分析如图所示，根据平衡条件
B
7.在一半径为R、质量为m的乒乓球内注入质量为M的水，但未将乒乓球注满，用水平U形槽将其支撑住，保持静止状态，其截面如图所示。已知U形槽的间距d＝R，重力加速度为g，忽略乒乓球与槽间的摩擦力，则U形槽侧壁顶端A点对乒乓球(包括水)的支持力大小为(　　)
BD
8.(多选)如图所示，质量为m的物体放在水平桌面上，在与水平方向成θ角的拉力F作用下保持静止，已知物体与桌面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，下列判断正确的是(　　)
A.物体对地面的压力为mg
B.物体受到地面的支持力为mg－Fsin θ
C.物体受到的摩擦力为F
D.物体受到的摩擦力为Fcos θ
解析　物体受力如图所示，将拉力F沿水平和竖直方向分解，则Fx＝Fcos θ，Fy＝Fsin θ。由平衡条件可得N＋Fsin θ－mg＝0，Fcos θ－f＝0，所以物体受到的摩擦力f＝Fcos θ，支持力N＝mg－Fsin θ，选项B、D正确。
AC
9.(多选)如图所示，建筑工人用恒力F推着运料车在水平地面上匀速前进，恒力F与水平方向的夹角为θ＝30°，运料车和材料的总重力为G，下列说法正确的是(　　)
综合提升练
A
10.如图所示，质量为m的小球套在竖直固定的光滑圆环上，轻绳一端固定在圆环的最高点A，另一端与小球相连，小球静止时位于环上的B点，此时轻绳与竖直方向的夹角为60°，则轻绳对小球的拉力大小为(重力加速度为g)(　　)
解析　对B点处的小球受力分析，如图所示，则有Tsin 60°＝Nsin 60°，Tcos 60°＋Ncos 60°＝mg，解得T＝N＝mg，A正确。
11.如图所示，质量为m的木块在与水平方向成α角的推力F(大小未知)作用下，沿竖直墙壁向上匀速运动。已知木块与墙壁间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。求：
(1)推力F的大小；
(2)若将推力的方向改为竖直向上推动木块，且木块仍做匀速直线运动，则推力F′为多大？
解析　(1)以木块为研究对象，木块受到重力、支持力、推力和摩擦力作用，受力情况如图所示。
水平方向N＝Fcos α
竖直方向Fsin α＝mg＋f
(2)若将推力的方向改为竖直向上推动木块做匀速直线运动，木块只受重力和推力，根据平衡条件可得F′＝mg。
培优加强练
12.如图所示，倾角θ＝37°的粗糙斜面固定在水平地面上，一质量m＝1 kg的小滑块在斜面上恰好能匀速下滑(g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)。
(1)求滑块与斜面之间的动摩擦因数μ；
(2)若给小滑块施加一平行于斜面向上的推力F1，小滑块能沿斜面匀速向上滑动，求推力F1的大小；
(3)将推力方向改为水平向右，要使小滑块仍沿斜面匀速上滑，求该情形中力F2的大小。
答案　(1)0.75　(2)12 N　(3)34.3 N
解析　(1)根据平衡条件得mgsin θ＝μmgcos θ
解得μ＝0.75。
(2)根据平衡条件得mgsin θ＋μmgcos θ＝F1
代入数据解得F1＝12 N。
(3)推力方向改为水平向右，要使小滑块仍沿斜面匀速上滑，对小滑块受力分析，
如图所示
垂直斜面方向N＝mgcos θ＋F2sin θ
平行斜面方向mgsin θ＋f＝F2cos θ
又f＝μN
联立解得F2≈34.3 N。

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