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专题10二次函数中面积的最值问题（六大题型）
通用的解题思路：
二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：
1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：
一般步骤为：①设出要求的点的坐标；
②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；
③列出关系式求解；
④检验是否每个坐标都符合题意．
2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.
3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：
一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；
②通过已知点的坐标，求出直线解析式；
③求出题意中要求点的坐标；
④检验是否每个坐标都符合题意．
题型01 三角形面积最值问题
1．（2024·宁夏银川·一模）如图，二次函数的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与y轴交于点C．
(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，且在直线上方，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．
①当时，求m的值；
②设的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．
【答案】(1)直线解析式为，
(2)①或；②，最大值为
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合：
（1）先求出点A的坐标，进而利用待定系数法求出直线的解析式，最后求出点C的坐标即可；
（2）①根据题意可得，，则，根据，得到，解方程即可得到答案；②根据列出S关于m的关系式，再利用二次函数的性质求出其最大值即可．
【详解】（1）解：在中，当时，解得或，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
在中，当时，，
∴；
（2）解：①由题意得，，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得或；
②∵，
∴
，
∵，
∴当时，S有最大值，最大值为
2．（2024·新疆克孜勒苏·二模）如图，抛物线（b，c 是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用待定系数法求解函数解析式即可；
（2）过C作轴于F，过Q作于E，设，证明，得到，进而得到，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
将，代入中，
得，解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：过C作轴于F，过Q作于E，
设，则，
∵，
∴，则，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴
，
∵，，
∴当时，面积的最大，最大值为，此时点P坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握二次函数的性质，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．
3．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，抛物线交轴于两点（点在点的左侧），交轴正半轴于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点的横坐标．
(3)平面上有两点，求的面积的最小值．
【答案】(1)
(2)点的横坐标为
(3)
【分析】（1）分别令，根据，得出，进而即可求解；
（2）在线段上取点D，使，过点D作交于点E，过点C作交抛物线于点P，设，表示出，然后利用勾股定理求出，得到，求出，，然后求出，进而得到所在直线的解析式，然后求出所在直线的解析式，最后和抛物线联立求解即可；
（3）根据题意得出在上，设与平行的直线为，联立，令，得出直线根据题意当抛物线只有一个交点，过点作，连接，当时的面积的最小值，根据平行线的距离求得，进而根据三角形的面积公式即可求解；
【详解】（1）解：∵抛物线，
当时，，又，
解得：，
∴，，
当时，，即，
∵，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）如图所示，在线段上取点D，使，过点D作交于点E，过点C作交抛物线于点P，

∵，，
∴，
∴点P即为所求，
∵，，
∴设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，
∴，，
∴，
∴，
∴
设所在直线的解析式为，
∴，解得，
∴所在直线的解析式为，
∵，
∴设所在直线的解析式为，
将代入得，，
∴所在直线的解析式为，
∴联立抛物线和所在直线得，，
解得，，
∴点的横坐标为；
（3）∵，，
设直线解析式为，
∴，
解得：，
∴在上，
设与平行的直线为，
联立，
即，
∴，
令，
即，
解得：，
∴直线，
当直线与抛物线只有一个交点，如图所示，过点作，连接，当时的面积的最小值，

∵，，
∴，
∵，与轴的交点分别为和，且直线与轴的夹角为，
∴，则，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和结合综合题，一次函数的图象和性质，解直角三角形，待定系数法求解析式，勾股定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）中，，，， 点 P从点C出发，沿射线方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点 B 出发，沿射线方向运动．设运动时间为x （且）秒， 的面积为S．
(1)当时， 如图①， 求S与x的函数关系式；
(2)当时， 如图②， 求S的最大值；
(3)若在运动过程中，存在两个时刻，，对应的点P和点Q分别记为 ，和，对应的和的面积分别记为和，且当时，，请求出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数及一元二次方程在几何动点中的应用，弄清动点的运动过程是解题的关键．
（1）由已知条件得，，由三角形面积公式得即可求解；
（2）由已知条件得，，由三角形面积公式得即可求解；
（3）由已知条件得，，可求，由可求，由三角形面积公式得，，由得一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得
，
，
，
故S与x的函数关系式为；
（2）解：由题意得
，
，
，
，
当时，；
（3）解：如图，
由题意得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：，(舍去)，
故的值为．
5．（2023·山东聊城·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．
【答案】(1)；
(2)存在，最大值为；
(3)不存在．理由见解析．
【分析】
本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质等知识点．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，且，求得，，，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可；
（3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点和，
∴，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：对于直线，
令，则，
∴，
设，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，对称轴为直线，
∴时，的值随的增大而增大，
∴当，有最大值，最大值为；
（3）解：∵轴，
∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，
∴M点纵坐标为，
∴，
解得或，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去，
点的坐标为，点的坐标为，
此时，，，
，则不是以为腰的等腰直角三角形，
∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形．
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点、，抛物线的图象经过、两点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点使的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及点的坐标，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，面积的最大值为， 点的坐标是
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，根据数形结合的思想解题时关键．
（）根据一次函数解析式求出点、的坐标，然后运用待定系数求二次函数解析式即可；
（）设的面积为，，则，列出关于的二次函数，利用二次函数的性质即可得解。
【详解】（1）解：在中，令得，令得
，，
二次函数的图象过、两点，
，
解得
二次函数的表达式为；
（2）解：过点作轴交于点，

设的面积为，，则，
∴
∵，，
∴
∴当时，面积的最大值为，，
点的坐标是
7．（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标；
(3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点． 要使得以P，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点坐标为或或或
【分析】
（1）先求出的坐标，进而利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）过点作垂直于轴交于点，设，，则，由即可求解；
（3）抛物线对称轴为直线．，，．设，则，分两种情况当，时，，此时，当，时，，此时，求解即可．
【详解】（1）解：把代入得；
把代入得．
，．
抛物线经过三点，
，
解得．
抛物线的解析式为；
（2）过点作垂直于轴交于点，设，则，
则，
，
当时，最大，此时．
当坐标为时，取得最大值．
（3）∵，
∴抛物线对称轴为直线．
∵过点P作l的垂线，垂足为D，
∴，
∵，，
∴，．
设，则
当，时，，
此时，
解得或．
∴点坐标为或,
当，时，，
此时，
解得或．
∴点坐标为或,
综上：或或或．
【点睛】本题考查了二次函数求解析式，二次函数的性质，三角形全等的性质，最值问题等，熟练掌握各知识点，能准确作出辅助线，并结合图形列出相应关系式是解题的关键．
8．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；
(2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，求的最大面积；
(3)如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标．
【答案】(1)该函数表达式为，点A坐标为
(2)
(3)直线恒过定点
【分析】
（1）求出点即可得抛物线的解析式，令可得点A的坐标；
（2）过点P作于D，P作轴于E，交于点F，求出直线的解析式，设，则；可证得，根据即可求解；
（3）设点，，直线，直线，直线，求出直线与直线的交点即可求解；
【详解】（1）解：对于，令，则，
，
，
点，
，
，
即该函数表达式为，
令，则，
解得，，
点A坐标为；
（2）解：过点P作于D，P作轴于E，交于点F，如图1，
设直线的解析式为，将点，代入得：，
解得：，
直线的解析式为，
设，则，
，
轴，
轴，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
当时，的最大面积为：；
（3）证明：如图2，设点，，
直线，直线，直线，
将点代入直线的解析式得：，
将点代入直线的解析式得：，
联立直线与抛物线的解析式得：，
整理得：，则，，
同理：，，
，，
，，
，
，
联立直线与直线的解析式得：，
解得：，
直线与直线的交点始终在直线上，
，化简得：，
，
直线，
不论为何值，均有时，，即：直线恒过定点．
【点睛】本题综合考查了二次函数与一次函数的性质、二次函数的解析式、相似三角形的判定与性质以及二次函数与面积问题，掌握函数的相关性质是解题关键.
9．（2024·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 B，，与y轴交于点．

(1)求直线和抛物线的解析式．
(2)若点 M 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 M，使得以 M，A，C三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形 若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点 P 是第二象限内抛物线上的一个动点，求 面积的最大值．
【答案】(1)直线的解析式为 ；抛物线的解析式为 ；
(2)存在，
(3)
【分析】本题考查待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数动点围城等腰三角形及最大面积问题：
（1）将点代入解析式求解即可得到答案；
（2）设存在，设出点的坐标根据等腰列式求解即可得到答案；
（3）设点P坐标，表示出面积，结合新函数性质求解即可得到答案；
【详解】（1）解：设直线的解析式为：，将点， 代入，得，
，，
解得：，，
∴直线的解析式为 ；抛物线的解析式为 ；
（2）解：存在，理由如下，
抛物线的对称轴为：，
设点，
∵M，A，C三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形，
∴，
∵， ，
，
解得：，
∴；
（3）解：设，且，连接，
∴
，
，
∵，，
∴当时，最大为．
10．（2024·安徽安庆·一模）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．
①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值；
②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标．
【答案】(1)
(2)①；②或或或
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键．
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①先求出的解析式，设，将三角形的面积转化为二次函数求最值，即可；
②分点为直角顶点，点为直角顶点，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：把点、代入解析式，得：
，解得：；
∴；
（2）①∵，
∴当时，，
∴，
设的解析式为，把代入，得：，
∴，
设点，则：，
∴，
∴，
∴当时，面积的最大值为；
②∵，
∴对称轴为直线，
当时，，
∴
设点，则：，
∴，
当点为直角顶点时，则：，
∴，
解得：（舍去），或；
∴或
当点为直角顶点时：，
∴，
解得：（舍），（舍），或；
∴或；
综上：或或或．
11．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直接写出当时，x的取值范围；
(3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，连接．求面积的最大值及此时点P的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)；
【分析】（1）令直线解析式，即可求得点B的坐标，令，即可求得点C的坐标，利用待定系数法直接代入求解即可；
（2）根据函数图象即可解答；
（3）过点P作轴于点H，交直线于点G，过点E作于点F，设点，则点，，证明是等腰直角三角形，得到，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：时，，，
，
时，，
，
将，代入得：
解得，
；
（2）解：，，
时，
由函数图象可得：；
（3）解：如图，过点P作轴于点H，交直线BC于点G，过点E作于点F，
设点，
则点，，
，
，
，轴，
是等腰直角三角形，，
，
，
∵P在直线下方，
，
，对称轴为直线，
当时，，
此时点P坐标为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，图像法解不等式，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用数形结合的思想解决问题．
12．（2024·天津西青·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．
(1)若点在抛物线上．
①求抛物线的解析式及点的坐标；
②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．
【答案】(1)①，；②，最大值是
(2)
【分析】本题考查二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，三角形全等等知识，
（1）①把点坐标代入，解得，即可求得抛物线的解析式，当时，解得，，根据题意可求点的坐标；
②设点坐标为（），设直线的解析式为，把，分别代入，即可求得直线的解析式为，过点作轴的垂线，交于点，则得点坐标为，根据可得，即可求解；
（2）根据抛物线，可知对称轴是，点坐标为，可知点在抛物线对称轴上，由线段绕点顺时针旋转后对应点是点，得，，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，则，先证明，得点坐标可表示为，把点坐标代入可求得，即可求解．
【详解】（1）解：①把点坐标代入，
有，解得．
抛物线的解析式为．
当时，有，解得，．
根据题意知点的坐标是
②设点坐标为（）
设直线的解析式为，把，分别代入，
得，解得
直线的解析式为．
如图，过点作轴的垂线，交于点，
则点坐标为．
．
即．
当时，面积最大，最大值是．
此时点坐标为．
（2）解：由抛物线解析式为，
可知其对称轴是直线，点坐标为，
故点在抛物线对称轴上．
线段绕点顺时针旋转后对应点是点，
，．
如图，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，点，
则
．
．
．
，
点坐标可表示为．
把点坐标代入，得，
解得（舍），．
抛物线的解析式为．
13 ．（2024·山东临沂·二模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点D在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；
(3)小明进一步探究点D位置时发现：如图2，点D在抛物线上移动，连接CD，存在，请帮助小明求出时点D的坐标．
【答案】(1)
(2)面积的最大值是4
(3)点D的坐标为或
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）先直线的解析式，设点，，根据三角形的面积公式列出函数解析式求解即可；
（3）分两种情况求解：当点D在x轴上方时和当点D在x轴下方时．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，
∴
解得
∴求抛物线的解析式为；
（2）如答图1，过点D做轴，交线段于点E，垂足为点F，
当时，，则，
∵直线经过点，，
设
∴，
解得：
∴直线的解析式为：，
设点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴当，面积最大，面积的最大值是4．
（3）如答图2，当点D在直线的上方的抛物线上时，
∵，
∴ ，
∴点C，D的纵坐标相等，即点D的纵坐标为2，
当时，则，
解得，（舍去），
∴ ，
如答图3，当点D在直线的下方的抛物线上时，
设交x轴于点G，
∵，
∴．
设，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得： ，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
综上所述，点D的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键．
14．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值；
(3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为，的面积最大．
(3)存在，或
【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法、二次函数图象与面积问题、二次函数与特殊四边形等知识，数形结合是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）设，求出直线的解析式为，设，得到，根据二次函数的性质解答即可；
（3）设点，交于点E，若四边形是菱形，连接，则，，得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：将，代入，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）设，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设，
∴
当时，的面积最大，
，
此时，点的坐标为，的面积最大值为．
（3）存在．如图，设点，交于点E，
若四边形是菱形，连接，则，，
∴，
解得，
∴或
15．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点．设P点在抛物线上运动，横坐标为m．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当P点位于第四象限时，求面积的最大值，并求出此时P点坐标；
(3)设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为 h．
① 求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
② 根据h的不同取值，试探索点P的个数情况．
【答案】(1)
(2)面积最大值为；
(3)①；时，点只有1个；时，点有无数个；或时，点有2个
【分析】本题考查了二次函数的图象及性质及二次函数的综合运用，熟练掌握二次函数的性质，数形结合，分类讨论是解题的关键．
（1）将代入抛物线即可解答；
（2）设点P为，过点P作轴交直线于点Q，求出直线的解析式为，故点Q的坐标为，得到，根据二次函数的性质进行解答即可；
（3）①出的顶点坐标为，对称轴为直线，根据m的取值范围，求出函数解析式即可；②出函数图象，根据图象解答即可．
【详解】（1）把代入得到
解得
∴
（2）设点P为，过点P作轴交直线于点Q，
当时，，
解得
∴点B的坐标是，点A的坐标是，
设直线的解析式为，则
解得
∴直线的解析式为，
故点Q的坐标为，
∴，
∴，
当时，面积有最大值，最大值为，
此时，
即点P的坐标为
（3）①∵
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴，
②函数图象如下：
根据函数图象可知，
当时，m的值只有一个，故点P只有一个，
当时，m的值有无数个，故点P有无数个，
当或时，m的值有2个，故点P有2个，
16．（22-23九年级下·重庆·阶段练习）抛物线 经过点和点．该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线轴，分别与x轴和直线交于点 M、N．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)连接，如图1，在点P运动过程中，的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
(3)连接，过点 C作垂足为点 Q，如图2，是否存在点 P，使得与相似？ 若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)在点P运动过程中，的面积存在最大值，最大值为
(3)或
【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）联立抛物线与直线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点C、D的坐标，设点P的坐标为，则点N的坐标为，，根据三角形面积公式可得，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）利用相似三角形的性质可得出：若与相似，则有或，设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为，进而可得出，，，，将其代入或中即可求出x的值，结合即可得出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点，
，
解得，
该抛物线对应的函数解析式为；
（2）解：联立抛物线与直线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
点C的坐标为，点D的坐标为．
设点P的坐标为，则点N的坐标为，
，
，
当时，取最大值，最大值为 ，
在点P运动过程中，的面积存在最大值，最大值为．
（3）解：，
若与相似，则有或．
设点P的坐标为，则点N的坐标为，点M的坐标为，点Q的坐标为，
，，，．
当时，则，
解得：，舍去，
点P的坐标为；
当时，有，
解得：，舍去，
点P的坐标为．
综上所述：存在点P，使得与相似，点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、二次函数的性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）利用三角形的面积公式找出；（3）分、两种情况求出x的值．
17．（2024·江苏宿迁·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求出这条抛物线的函数表达式；
(2)如图2，点D是第一象限内该抛物线上一动点，过点D作直线轴，直线l与的外接圆相交于点E．
①仅用无刻度直尺找出图2中外接圆的圆心P．
②连接、，与直线的交点记为Q，如图3，设的面积为S，在点D运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S的最大值；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①图见解析②存在，2
【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①画出对称轴，根据三角形的外接圆在三边的中垂线上，结合抛物线和圆的轴对称性，得到两点关于对称轴对称，连接，得到，圆周角定理得到为圆的直径，则与对称轴的交点即为点；
②连接，设相交于点，设，证明，求出的长，进而表示出，利用，列出二次函数解析式，求最值即可。
【详解】（1）解：把，代入二次函数解析式，得：
，解得：，
∴；
（2）①如图所示，点即为所求；

②存在；
连接，设相交于点，设，则：，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，S有最大值为：2．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数的解析式，三角形的外接圆，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
18．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，于点D，，，点P从点B出发，在线段上以每秒的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于的直线m从底边出发，以每秒的速度沿方向匀速平移，分别交、、于E、F、H，当点P到达点C，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒．
(1)__________，__________（用含t的式子表示）．
(2)在整个运动过程中，所形成的的面积存在最大值，当的面积最大时，求线段的长；
(3)是否存在某一时刻t，使为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)当秒或秒时，为直角三角形
【分析】（1）根据运动求出，证明，得出，求出即可；
（2）先求出的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；
（3）分三种情况，利用平行线分线段成比例及勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：根据题意可知，，，
∵，
∴，
，
即，
解得：；
（2）解：，
当秒时，存在最大值，最大值为，此时．
（3）解：存在，分三种情况，具体如下：
①若点为直角顶点，如图：
此时，，，
，即，
此比例不成立，故不存在这种情况；
②若为直角顶点，如图：
此时，，，，，
，
，即，
解得；
③若为直角顶点，如图：
过点作于点，过点作于点，则：
，
，
，即
解得，
，
，
，即，
解得，
，
，
，
解得或（舍去）．
综上，当秒或秒时，为直角三角形．
【点睛】本题是运动型的综合题，考查动点及动线两种运动类型，涉及相似三角形、图形面积、二次函数极值和勾股定理等知识，重点考查分类讨论数学思想．
19．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，为线段上一动点，过点作交直线于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后的抛物线上一动点，连接，当与的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
【答案】(1)；
(2)最大值为，点；
(3)点的坐标为或或或．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由，即可求解；
（3）当与的一个内角相等时，即或；当时，在中，，，，用解直角三角形的方法求出点的坐标，即可求解；当点在轴右侧时，同理可解；当时，求出直线的表达式为：，即可求解．
【详解】（1）解：由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点、、的坐标分别为：、、，
由点、、的坐标得，直线的表达式为：，直线的表达式为：，
连接，设点，
∵，则，
则直线的表达式为：，
联立直线和直线的表达式得：，
解得：，
则点，
则，
故面积的最大值为，此时，则点；
（3）解：该抛物线沿射线方向平移个单位长度，则相当于将抛物线向左向上分别平移1个单位，
则新抛物线的表达式为：，
当与的一个内角相等时，即或；
当时，如下图：
当点在轴左侧时，
设交轴于点，过点作于点，
在中，，，，
则设，则，
则，则，
则，
则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
将上式和新抛物线的表达式联立得：，
解得：（舍去）或，
即点的坐标为；
当点在轴右侧时，
则直线的表达式为：，
将上式和新抛物线的表达式联立得：，
解得：（不合题意的值已舍去），
即点的坐标为；
当时，如下图：
则直线的表达式为：，
将上式和新抛物线的表达式联立得：，
解得：
即点的坐标为或；
综上，点的坐标为或或或．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查二次函数性质，三角形的面积．解直角三角形，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，分类讨论思想等相关知识，解题的关键是进行正确的分类讨论．
20．（2024·湖南衡阳·一模）如图，已知抛物线经过三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D为第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
【答案】(1)
(2)的面积最大，最大面积为，此时
(3)点P的坐标为或或
【分析】（1）将点代入解析式求解即可；
（2）过点向轴作垂线交于点Q，设，，得到的值，计算即可；
（3）设，直角三角形的性质分类讨论即可；
【详解】（1）解：根据题意，将点，代入，
可得，
解得，
抛物线的解析式为，
（2）解：连接，过点向轴作垂线交直线于点Q，垂足为G，

设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
设，，
，
当时，最大，最大为，
，
∴最大时，的面积最大，最大面积为，此时；
（3）解：抛物线，
抛物线的对称轴为，
设，
∵，，
，，
当时，，
解得：或，
点P的坐标为或；
当时，，
解得：，
点P的坐标为；
当时，，
解得：，
点P的坐标为；
综上所述，存在这样的点P，使得为直角三角形，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，特殊三角形与的存在问题，二次函数的面积问题，一次函数，利用分类讨论组成直角三角形，应用勾股定理构造方程求点P坐标是解题关键．
21．（2024·甘肃天水·一模）如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与轴交于两点，是抛物线的顶点．为坐标原点．两点的横坐标分别是方程的两根，且．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)作交抛物线于点，求点的坐标及直线的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在一点，使的面积最大？如果存在，请求出点的坐标和的最大面积；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)，直线的解析式为．
(3)存在，，的面积最大面积为
【分析】（1）解出方程的两根即可求出、两点的坐标，再利用求出点坐标，进而利用顶点式、两根式或一般式求出二次函数的解析式．
（2）由（1）推得是等腰直角三角形，据此设出点坐标，将其代入抛物线即可求出的值，进而求出、的坐标，从而求出直线解析式；
（3）过点作轴交于点，设，则，，利用面积公式构造二次函数即可得解．
【详解】（1）解：解方程得，．
，．过作轴于，
是顶点，
点是的中点，
．
在中，
，
，
，
设抛物线的函数解析式为，
把，，分别代入，得
解得：
抛物线的解析式为；
（2）解：，由（）得：
，作轴于，

∴是等腰直角三角形．
设（显然，，
则，即，
点在抛物线上，
，
，
解之得：，（舍去），
，
设直线的方程为，代入、的坐标，得
，
解之得：，
直线的解析式为．
（3）如下图，过点作轴交于点，设，则，
∴，
∵，，
∴，
∴存在点，使得的面积最大，当时，的面积最大，最大面积为，此时．
【点睛】本题考查求抛物线的解析式，求直线的解析式，抛物线图象上点的坐标特征，解直角三角形，熟练掌握用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
22．（2024·山东聊城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若点为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标；
(3)若点为抛物线上一点，点是线段上一点（点不与两端点重合），是否存在以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)点
(3)点P的坐标为或或或
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）作交于点，先求得直线的解析式，设点P的坐标为，则点R的坐标为，利用三角形面积公式列式，利用二次函数的性质求解即可；
（3）分四种情况讨论，利用等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：将、代入得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
顶点坐标为；
（2）解：作交于点，
令，则，
∴，
∵，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点R的坐标为，
∴
，
∵，
∴时，有最大值，此时点P的坐标为；
（3）解：∵点Q是线段上一点，
∴设点Q的坐标为，
∵，，
∴，
∴当点P与点B重合，点Q与点C重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为；
同理当点P与点C重合，点Q与点B重合时，是等腰直角三角形，此时点P的坐标为；
如图，当点P在第四象限时，过点Q作轴于点，作交于点，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，即点P的纵坐标为，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为；
如图，当点P在第三象限时，过点P作轴于点，作交于点，设，
同理，
∴，，，，
∴，，
∴，
解得，
∴点P的纵坐标为，
∴，
解得（舍去）或，
∴点P的坐标为；
综上，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求函数的解析式、轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题，分类思想的应用是解题的关键．
23．（2024·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于A、B两点，过点作轴垂线，垂足为，连接．现有动点同时从点出发，分别沿向终点和终点运动，若点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒2个单位长度．设运动的时间为秒．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)当时，__________；
(3)设的面积为，写出与的函数关系式，并求面积的最大值；
(4)当为轴对称图形时，直接写出的值．
【答案】(1)，
(2)1
(3)，（）， ．
(4)当为轴对称图形，t的值是或或
【分析】（1）把，分别代入函数解析式，求出即可；
（2）根据平行四边形的性质得出，即可求出答案；
（3）先证明，得到，根据列出y关于t的一元二次函数，根据函数得性质求解即可．
（4）当为轴对称图形，即为等腰三角形或者等边三角形，根据勾股定理分别求出、、的平方，分为三种情况：当时，当时，当时，以及当代入求出t值即可．
【详解】（1）解：直线分别交轴、轴于、两点，
当时，，
当时，，
，．
（2），，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
；
故答案为：1．
（3）∵，，，，
∴，，，
∴，
即，
∵点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒2个单位长度．
∴，，
∴，
∵，
∴
∵
，
即，（）
∴当时，．
（4）当为轴对称图形，即为等腰三角形，
如图1，过作，交于，交直线于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
分为四种种情况：①如图2，当时，，
（不满足，舍去），；
②如图2，
当时，，
（舍去），；
③如图3，

当时，，，，，
由勾股定理得：，解得，
④当时，
即，t无解．
故不存在这样的t值．
故当为轴对称图形时，的值是或或
【点睛】本题考查了二次函数的面积综合问题，等腰三角形的性质和判定，平行四边形的判定以及性质，勾股定理的应用等知识，用了分类讨论思想．
24．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①当时，的面积由最大值，最大值为；
②当点的坐标为或时，为等腰直角三角形
【分析】（1）将将、代入抛物线即可求解；
（2）①由（1）可知：，得，可求得的解析式为，过点P作轴，交于点E，交轴于点，易得，根据的面积，可得的面积，即可求解；
②由题意可知抛物线的对称轴为，则，分两种情况：当点在对称轴左侧时，即时，当点在对称轴右侧时，即时，分别进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：将、代入抛物线中，
可得：，解得：，
即：，；
（2）①由（1）可知：，
当时，，即，
设的解析式为：，
将，代入中，
可得，解得：，
∴的解析式为：，
过点P作轴，交于点E，交轴于点，

∵，则，
∴点E的横坐标也为，则纵坐标为，
∴，
的面积
，
∵，
∴当时，的面积有最大值，最大值为；
②存在，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
理由如下：由①可知，
由题意可知抛物线的对称轴为直线，
∵轴，
∴，，则，
当点在对称轴左侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时，即点；
当点在对称轴右侧时，即时，
，当时，为等腰直角三角形，
即：，整理得：，
解得：（，不符合题意，舍去）
此时：，即点；
综上所述，当点的坐标为或时，为等腰直角三角形．
【点睛】本题二次函数综合题，考查了利用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质及图象上的点的特点，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是表示出点的坐标，进行分类讨论．
25．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，与于点（点在点的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值；
(3)若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)面积的最大值为
(3)的取值范围为或
【分析】（1）运用待定系数法即可求解；
（2）求出直线与抛物线的交点的坐标，过点作轴的平行线交于点，交轴于点，设点坐标为，由此用含的式子表示的面积，结合二次函数的最值计算方法即可求解；
（3）根据题意，分类讨论：当时；当时；由此即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，
∴，
∵抛物线与轴交于点和，
∴，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，直线的解析式为：，
联立方程组，
解得或，
∴，，
过点作轴的平行线交于点，交轴于点，
设点坐标为，
∴点，
∴，，
∴，
∵，，
∴当时，有最大值．
∴面积的最大值为；
（3）解：令，则，
∴点坐标为，
令，则，
解得，
∴点坐标为，
若抛物线与线段有公共点，
当时，如图所示，
则，
解得；
当时，如图所示：
则，
解得；
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，二次函数图象与一次函数图象的综合，二次函数的最值问题，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
26．（2024·湖南长沙·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，直线交y轴于点E．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设点P为线段上一点（点P不与B，D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接，，求面积的最大值．
(3)连接，在线段上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点Q的坐标为
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法、等腰三角形的性质、勾股定理，一次函数的图象和性质，数形结合和准确计算是解题的关键．
（1）将，代入抛物线，求出b，c的值，即可得到抛物线的解析式；
（2）先求出点D坐标为，①设点F的坐标为，则点P的坐标为，表示出，根据二次函数的性质即可得到答案；
（3）连接，先推出．再由，得到比例式，进而即可求解
【详解】（1）解：将，代入抛物线，
得，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）由（1）可得点D的坐标为．
当时，，解得，，
∴点B的坐标为，
∴直线BD的解析式为．
设点F的坐标为，则点P的坐标为，
∴，整理得，
∴当时，．
（3）存在．理由如下：
如图，连接，
则由勾股定理，得，，
，
∴，
∴．
设，过点Q作轴于点M，连接．
∵，
∴∽，
∴，
∴，解得，
此时点Q的坐标为．
∴在线段BD上存在点Q，使得，点Q的坐标为．
27．（2024·江西萍乡·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知，，连接，．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以为顶点的三角形与相似，求出点P的坐标；
(3)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接，．设的面积为S，试求S的最大值．
【答案】(1)
(2)或或或
(3)
【分析】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．
（1）根据待定系数法解答即可；
（2）根据为顶点的三角形与相似，，得出或，列出等式解出，解答即可；
（3）过点作交于点，交轴于点，设点的坐标为，根据位于第一象限，得出，解出直线的解析式，得出点的坐标为，再根据列出式子并配方即可
【详解】（1）∵抛物线经过和两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式：；
（2）解：，
∴的坐标是，，，
∵抛物线的对称轴是，，
∴点的横坐标是1，
∵为顶点的三角形与相似，，
∴或；
∴或，
∴或，
∴点的坐标为或或或；
（3）如图，过点作交于点，交轴于点，
设点的坐标为，
∵位于第一象限，
∴，
∵和，
∴直线的解析式为：，则点的坐标为，
故
，
∴S的最大值是．
28．（2024·四川广元·二模）如图1，抛物线与x轴交于两点，且点B的坐标为，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线和直线的解析式．
(2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上的一个动点，连接，求面积的最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为；直线的解析式为
(2)存在点M，坐标为，
(3)
【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为，可设抛物线的解析式为，将代入即可求得抛物线的解析式，设直线的解析式为，由待定系数法即可求解；
（2）由是以为底边的等腰三角形，可得，由（1）可知连接交于点D，是线段的中垂线，的中点坐标D，设的垂直平分线的解析式为由待定系数法可得直线解析式，联立直线与抛物线即可求解；
（3）过点B作，交的延长线于点H，此时点P的位置使得的面积最大，由可得，由勾股定理即可求得，证明可得，由即可求解．
【详解】（1）解∶抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为．
将代入，
解得，
抛物线的解析式为．
令，
解得
当，得，
．
设直线的解析式为，
将代入，
得，
直线的解析式为．
（2）存在点M，使得是以为底边的等腰三角形．
是以为底边的等腰三角形．
，
，
，
连接交于点D如图：
，
是中垂线，
是中点，
，
设直线为，
将代入可得
直线为，
联立，
解得或，
∴点M的坐标为，．
（3）如图2，过点B作，交的延长线于点H，此时点P的位置使得的面积最大．
，
．
．
，
．
，
．
．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形等知识，解题关键是根据抛物线的顶点坐标求二次函数的解析式，根据等腰三角形的性质，求满足条件的M点坐标，的面积最大时P的位置．
29．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：

(1)当点M在上时，求t的值；
(2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
(3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)；的最大值为
(3)
【分析】（1）证明， 则 ， 即可求解；
（2）由 即可求解；
（3）当点在的平分线上时，则 ，在中， ，即可求解．
【详解】（1）∵平行四边形，
∴，，，
由题意得∶，，
如下图，点在上时，

∵，，，
∴，
∴，
则 即
解得：
（2）如上图，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
则，
∴，
∴为等腰三角形， 则
过点作于点，
则
即 解得∶ ，
则 ，
设中边上的高为，则
即：
，故有最大值，
当时， 的最大值为；
（3）存在， 理由∶
如下图， 过点作于点，

当点在的平分线上时，则
，
在中，
，
解得：
【点睛】本题为四边形综合题，涉及到特殊四边形性质、三角形相似、解直角三角形、函数的表达式确定等，综合性强，难度适中．
30．（2023·湖南怀化·中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
【答案】(1)
(2)面积的最大值为，此时点的坐标为
(3)见解析
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）如图所示，过点作轴于点，交于点，得出直线的解析式为，设，则，得出，当取得最大值时，面积取得最大值，进而根据二次函数的性质即可求解；
（3）设、，的中点坐标为，联立，消去，整理得：，得出，则，设点到的距离为，则，依题意，，，得出，则，，点总在上，为直径，且与相切，即可得证．
【详解】（1）解：将代入，得
，
解得：，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：如图所示，过点作轴于点，交于点，

由，令，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，将点代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴
，
当时，的最大值为
∵
∴当取得最大值时，面积取得最大值
∴面积的最大值为，
此时，
∴
（3）解：设、，的中点坐标为，
联立，消去，整理得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点到的距离为，则，
∵、，
∴，
∴
∴，
∴

∴，
∴点总在上，为直径，且与相切，
∴为直角．
∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质与判定，直角所对的弦是直径，熟练掌握以上知识是解题的关键．
31．（2024·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点，为抛物线的顶点．

图1 图2
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点是第一象限内抛物线上一动点，连接，设点的横坐标为．
①当为何值时，的面积最大？并求出最大面积；
②当为何值时，是直角三角形？
(3)如图2，过作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请直接写出实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)①当时，的最大面积为；②为1或
(3)
【分析】（1）将的坐标代入即可得到抛物线的解析式；
（2）①根据抛物线求点的坐标，由待定系数法求直线的解析式，设，用代数式表示，进而求出的最大面积；②先确定，分两种情况讨论：当时，直接利用勾股定理建立方程即可求出的值；当时，过作轴于，作轴于，证明，根据列出方程即可求出的值；
（3）首先过C作于H点，则，然后分别从点M在左侧与M在右侧时去分析求解即可求得答案．
【详解】（1）解：∵抛物线，与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线为：；
（2）①过作轴交于，如图1，
在中，令得，
∴，而点和点，
设直线的解析式为，将代入得
直线解析式为
设
，
当时，的最大面积为；
②
当时，设，
∴，，，
∴，
解得：（舍去），；
当时，如下图
过作轴于，作轴于，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，而，
∴，
解得，（负根舍去）
∴，
综上所述，为1或．
（3）∵为抛物线的顶点，
∴，
∴，，而，
过C作于H点，则，
如图，当M在左侧时，
∵，
同理可得：，
∴， 设，则，
∴， 即，
由关于n的方程有解，可得，
得且；
当M与F重合时，；
如图，当M在右侧时，中，，，即，
作交x轴于点M，则，
∵，
∴， 即N为点E时，，
∴，
综上，m的变化范围为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．
32．（2024·四川成都·一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)的最大值为2，此时点P的坐标为
(3)点T在定直线上，该直线解析式为
【分析】（1）由题意易得，然后利用待定系数法可求解函数解析式；
（2）由（1）可得，则有直线的解析式为，连接，过点P作轴交于点M，设点，则，则，然后根据铅垂法及二次函数的性质可进行求解；
（3）由题意可知平移后的二次函数解析式为，则有，根据中点坐标公式可得，设点，然后可得直线的解析式为，直线的解析式为，直线的解析式为，进而可联立函数解析式进行求解．
【详解】（1）解：当时，则有，即；当时，则有；
∴，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为，
当时，则有，解得：，
∴，
由可设直线的解析式为，把点代入得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，则有，即，
连接，过点P作轴交于点M，如图所示：
设点，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，开口向下，
∴当时，则取得最大值，最大值为2，此时点P的坐标为；
（3）解：点T在某条定直线上，理由如下：
由题意可知平移后的二次函数解析式为，则联立方程得：，
解得：，
∴，
∵点H是线段的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，即，
设点，直线的解析式为，则有：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
代入点H得：，
∴，
同理可得直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立上述两个函数表达式得：
，
解得：，
∴代入直线的解析式得，
∴，
设点T在直线，则有：
∴，即，
整理得：，
比较系数得：，
∴当时，无论m、n为何值时，都符合题设条件，
∴点T在定直线上．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质、铅垂法及设而不求的思想是解题的关键．
33．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求面积的最大值；
(3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，面积有最大值，为
(3)、或
【分析】（1）根据抛物线对称性得到，再由得到，联立方程组求解得到，，利用待定系数法确定函数解析式即可得到答案；
（2）由（1）中所求解析式，得到，，求出直线：，根据在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线的交点为，分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；利用平面直角坐标系中三角形面积的表示方法，最后结合抛物线图象与性质求解即可得到答案；
（3）分两种情况：点在上方；点在下方；当点在上方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案；同理，当点在下方时，如图所示，，当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；利用相似比代值求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线，
对称轴为，
抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，
，，则，解得，
，，
将代入得，解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：由得：，
设直线：，将，代入得，解得，
直线：，
在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为，根据，，则分二种情况：①当在轴之间时；②当在轴右边时；
当在轴之间时，如图所示：
，，
，
，，
抛物线开口向下，当时，有最大值，为；
当在轴右边时，过作轴，如图所示：
，，
，
，对称轴为，，
抛物线开口向上，则当时，随着的增大而增大，即当时，有最大值，为；
，
当时，面积有最大值，为；
（3）解：由（1）知，当时，，解得或，
，
当在上方，即时，如图所示：
，
当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
当时，，
，
，即，解得（舍去）或（舍去）；
当在下方，即时，如图所示：
，
当以为顶点的三角形与相似时，分两种情况：①；②；
由（1）（2）可知，，，且，，
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
当时，，
，
，即，解得（舍去）或；
综上所述，存在点，使以为顶点的三角形与相似，此时，、或．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象与性质、抛物线与三角形面积问题、抛物线与三角形相似、解一元二次方程等知识，熟记二次函数图象与性质，掌握二次函数综合题型的解法，分类讨论是解决问题的关键．
题型02 四边形面积最值问题
34．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标；
(3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标.
【答案】(1)；
(2)的周长的最小值为，点P的坐标为；
(3)的最大值为，此时．
【分析】
题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）连接交对称轴于点，此时的周长最小，利用勾股定理以及待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可；
（3）连接，设，根据列得二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长，
令，则，
∴，
∵，，
∴，，
∴的周长的最小值为，
设直线的解析式为，
则，
解得,
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点P的坐标为；
（3）解：连接，设，
依题意得
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，此时．
35．（2024·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一点（点不与点B，C重合），过点作轴交直线于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段长的最大值；
(3)连接，请直接写出四边形的面积最大值为________．
【答案】(1)
(2)4
(3)36
【分析】此题分别考查了抛物线与轴的交点、待定系数法求解析式及抛物线上点的坐标特点，二次函数中套用二次函数，综合性比较强．
（1）利用待定系数法确定函数的解析式；
（2）设点的坐标为，则点的坐标为，然后利用坐标表示线段长即可求解．
（3）根据当取最大值时，四边形的面积最大即可求解；
【详解】（1）解：依题意将点和点代入，
得，
，
；
（2）当时，，
∴，
∴点坐标，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
故直线的解析式为，
设点的坐标为，
，
当时，线段有最大值，最大值为4．
（3）
四边形的面积
，
故当取最大值时，四边形的面积最大，
故四边形的面积的最大值．
36．（2024·山西运城·一模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作交直线于点Q，连接、、，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)，
(3)存在，或
【分析】（1）待定系数法进行求解即可；
（2）根据四边形的面积等于的面积加上的面积，转化为二次函数求最值即可；
（3）取的中点，连接，作，勾股定理求出的长，等积法求出的长，根据斜边上的中线和三角形的外角推出，进而求出，根据，得到，设，过点作于点，分点在的上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）把，代入解析式，得：
，解得，
∴；
（2）∵，当时，，解得：，
∴，
设直线的解析式为，则：
，解得：，
∴，
∵点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作交直线于点Q，
∴，
∴，
设与交于点，
则：四边形的面积
，
∴当时，四边形的面积最大，为；此时；
（3）存在；
∵，
∴当时，，
∴，
∵，
∴，
取的中点，连接，过点O作于点F，
则：，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，过点作于点，则：，，
∴，
当在下方时：，
解得：（舍去）或，经检验是原方程的解；
∴；
当在上方时：，
解得：（舍去）或，经检验是原方程的解；
∴；
综上：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式，分割法求面积，二次函数求最值，斜边上的中线，解直角三角形等知识点，综合性强，属于压轴题，正确的求出解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
37．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点．抛物线与轴交于两点，直线：与抛物线交于两点，且，．
(1)求的值；
(2)点是线段上的动点，点在轴上，，且点在的左边．过点作轴，交抛物线于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
当以为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
记以为顶点的四边形面积为，求的最大值．
【答案】(1)，，；
(2)或；．
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）由（）可得，抛物线解析式为，直线解析式为，设点（），则，，，，由点，由图象可知，点必在点的下方，得，，根据以为顶点的四边形是平行四边形，得到，解方程即可求解；
由图可知，四边形始终为梯形，得到，分别求出时和时函数的最大值即可求解；
本题考查了一次函数与二次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，函数的最值问题，正确画出图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
【详解】（1）解：把，代入抛物线得，
，
解得，
把代入直线得，
，
解得，
∴，，；
（2）解：由（）可得，抛物线解析式为，直线解析式为，
根据题意，可画出如下图形，
设点（），
则由题意可得，，，，
∵点，
由图象可知，点必在点的下方，
∴，，
∵轴，轴，
∴，
∴当以为顶点的四边形是平行四边形时，，
∴，
当时，
解得，
∴；
当时，
整理得，，
解得（不合，舍去）或，
∴；
综上，点的坐标为或；
由图可知，四边形始终为梯形，
∴,
当时，
，
∴当时，有最大值，；
当时，
，
∵，，
∴当，有最大值，；
综上，的最大值为．
38．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，已知直线与坐标轴相交于A、B，点C坐标是，抛物线经过A、B、C三点．点P 是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线交于点D，与x轴相交于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在第一象限时，连接交于点E，连接，如图2所示；
①求的值；
②设四边形的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②当点P在第一象限时，不存在S的最大值，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为，根据，求出，得出，求出，最后求出结果即可；
②根据，得出对称轴为 ，抛物线开口向上，根据，说明即可．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴点，
把代入得：，解得：
∴点，
又∵点，
∴可设此抛物线的解析式为，
把点A代入可得:，
解得：
∴，
即：此抛物线的解析式为．
（2）解：设点P的坐标为则点D的坐标为，点F的坐标为．
①在和中，，
∴，
∴，
∴，
由点D的坐标为得：，
∴；
②不存在．理由如下：
，
∴对称轴为 ，
，
∴抛物线开口向上，
又∵点P在第一象限，
∴，
∴当点 P 在对称轴左侧时，
S随m的减小而增大，且无限趋近时S的值，但无法等于；
当点P在对称轴右侧时，S随m的增大而增大，且无限趋近时S的值最大，但无法等于；
∴当点P在第一象限时，不存在S的最大值．
【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，二次函数的综合，求二次函数解析式，解直角三角形的相关计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握二次函数的性质．
39．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，过原点的二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数交于，与y轴交于点．
(1)分别求此二次函数与直线的解析式．
(2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为t．
①当时，求t的值；
②当点P在直线下方时，连接，过点B作轴于点Q，与交于点F，连接，求四边形面积的最大值．
【答案】(1)直线的函数表达式为，二次函数表达式为
(2)①的值为2或3或②面积最大值为
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的函数表达式，再求得点A的坐标，代入二次函数表达式求出即可；
（2）①分当点在直线上方和点在直线下方时，两种情况讨论，根据列一元二次方程求解即可；
②证明，推出，再证明四边形为矩形，利用矩形面积公式得到二次函数的表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：设直线的函数表达式为．
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴直线的函数表达式为．
将代入，得．
∴点A的坐标为；
将两点的坐标分别代入，
得，
解得，
∴二次函数表达式为；
（2）①解：点在第一象限内二次函数的图象上，且轴于点，与直线交于点，其横坐标为．
∴点的坐标分别为．
∴．
∵点的坐标为，
∴．
∵，
∴．
如图，当点在直线上方时，．

∵，
∴．
解得，
∵，
∴；
如图，当点在直线下方时，．

∵，
∴．
解得，
综上所述，的值为2或3或；
②解：如图，由（1）得，．

∵轴于点，交于点，点B的坐标为，
∴．
∵点在直线下方，
∴．
∵轴于点，
∴．
∴，，
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∵轴，
∴四边形为矩形．
∴．
即．
，
∵，
∴当时，S的最大值为．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第二问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含t的代数式表示出是解题的关键．
40．（2024·山东济南·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)，
(3)当或时，线段与抛物线只有一个公共点
【分析】（1）令，由，得点坐标，令，由，得点坐标，将、的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式；
（2）连接，设，求出，得到，再根据二次函数的性质求得最大值，便可得点的坐标；
（3）根据旋转性质，求得点和点的坐标，令点和点在抛物线上时，求出的最大和最小值便可．
【详解】（1）解：令，得，
∴，
令，得，解得，，
∴，
把、两点代入得，
，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）连接，如图，

设，
令，得，
解得：，或，
∴；
则
，
∴当时，四边形面积最大，其最大值为，
此时M的坐标为；
（3）∵将线段绕x轴上的动点顺时针旋转得到线段，如图，

∴，，
∴，，
当在抛物线上时，有，
解得，，
当点在抛物线上时，有，
解得，，
∴当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【点睛】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（3）关键是确定，点的坐标与位置．
41．（2024·四川广元·二模）如图，二次函数的图象与x 轴交于原点O 和点，经过点A的直线与该函数图象交于另一点，与y轴交于点C．
(1)求直线的函数解析式及点C的坐标．
(2)点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，过点B作轴于点F，连接，与交于点G，连接．求四边形面积的最大值．
(3)抛物线上是否存在这样的点Q，使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）利用待定系数法求出直线的解析式，然后计算出与x轴交点坐标即可；
（2）运用待定系数法求出二次函数的解析式，设点P的坐标为，可以得到四边形为矩形，然后根据配方找到顶点坐标即可解题；
（3）如图，连接，过点B作轴，垂足为N，过点A作轴，两线相交于点M，在线段上取点H，使，连接，，则与抛物线的交点即为所求点Q，得到，则有，且即可得到方程解题即可．
【详解】（1）设直线的函数解析式为．
将A，B两点的坐标分别代入中，
得解得
∴直线的函数解析式为
将代入，得，
∴点C的坐标为
（2）由题可知，抛物线过三点，
解得
,
设点P的坐标为，设直线的解析式为，
则，解得
∴直线的解析式为
∵直线为，
∴．
∵轴，交直线于点D，
∴．
∴．
∴轴．
∴四边形为矩形．
∴，
，
∵，对称轴为直线，
∴当时，最大为；
（3）存在．如图，连接，过点B作轴，垂足为N，过点A作轴，两线相交于点M，在线段上取点H，使，连接，，则与抛物线的交点即为所求点Q．理由如下：
∵点，
∴．
又点，
∴点．
∴．
又，，
∴．
∴，且．
∴．
∴与抛物线的交点Q即为所求的点．
∵，
∴点．
∴直线的解析式为．
令．
解得（舍去），．
．
∴点 Q的坐标为．
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形面积的综合，等腰直角三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
42．（2024·广东珠海·一模）如图，抛物线和直线交于，点，点B在直线上，直线与x轴交于点C．
(1)求的度数．
(2)点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．以为边作矩形，使点N在直线上．
①当t为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上．
【答案】(1)
(2)①，矩形面积的最小值为②、或2
【分析】（1）设直线与轴交于点，求出点坐标，得到，即可得出结果；
（2）①分别用t表示，证明，表示及，列出矩形面积与t的函数关系式问题可解；
②由①利用线段中点坐标公式，表示点坐标，分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况，并分别求出t值即可．
【详解】（1）解：设直线与轴交于点，如图：
当时，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）①如图，过点P作轴于点E，
∵，P点速度为每秒个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，
∴，，，
∵点为直线与x轴的交点，
∴，，
∴t秒时点E坐标为，Q点坐标为，
∴，
∵矩形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴矩形的面积，
∵，
∴，
当时，
矩形的面积最小：；
②由①点Q坐标为，，，
∵，
∴，
∴，
∴N点坐标为，
∵矩形对边平行且相等，Q，，N，
∴点M坐标为
当M在抛物线上时，则有
，
解得：，
当点Q到A时，Q在抛物线上，此时，
当N在抛物线上时，重合：
∴，
∴，
综上所述当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，二次函数求最值等知识点，综合性强，属于压轴题，熟练掌握相关知识以及应用数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键．
43．（2024·安徽宿州·二模）如图1，抛物线（a，b是常数且）与x轴交于点和点B（点B在点A的右侧），点D是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点.
(1)求a，b的值；
(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．
（i）如图2，连接，，，求四边形面积的最大值；
（ii）如图3，连接并延长交延长线于点Q，连接交于点E，求的值.
【答案】(1)
(2)（i）9；（ii）8
【分析】此题考查了二次函数综合题，还考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，数形结合是解题的关键．
（1）根据题意得到，解方程组即可得到答案；
（2）（i）求出点B的坐标是，则，过点P作轴，交线段于点Q，求出点的 D的坐标是，得到，可得，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，得到，得到四边形面积，由，即可得答案；
（ii）设点P的坐标为，求出直线的解析式为，求出，则，求出直线的解析式为，则点E的坐标是，求出，即可求出定值．
【详解】（1）解：把点代入得到，①
∵是抛物线的对称轴且交x轴于点.
∴，②
联立①②得，
解得
（2）（i）由（1）可得，，
当时，，
当时，，解得，，
∴点B的坐标是，
∴，
过点P作轴，交线段于点Q，
∵
∴点的 D的坐标是，
∴
∴，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
设点P的坐标为，则点Q的坐标为，
∴，
∴，
∴四边形面积，
∵点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．
∴，
∴当时，有最大值，最大值为9；
（ii）设点P的坐标为，
设设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
∴
∴，
设的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点E的坐标是，
∴，
∴
44．（2024·安徽·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，点在该抛物线上，横坐标为，将该抛物线两点之间（包括两点）的部分记为图象．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图象的最大值与最小值的差为4时，求的值；
(3)如图2，若点位于下方，过点作交拋物线于点，点为直线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)面积的最大值为18，
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据，求出点C的坐标，分为当时，时，时，三种情况讨论即可；
（3）根据，得到，求出直线的解析式，过点作轴交于点，设，则，根据，利用二次函数的性质求出的最大值即可．
【详解】（1）解：代入
得，解得
（2）解：，
当时，，
，
点关于直线的对称点为
①当时，，
，
，
的值不存在
②当时，，
，
，
，解得或（舍）
③当时，，
，
，
此时点与点重合，
综上所述，的值为或；
（3）解：，
，
，
设直线的解析式为，则，
解得，
过点作轴交于点，
设，则
，
，开口向下，对称轴为直线，
又，
当时，的最大值为8，
四边形面积的最大值为18，此时
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及运用铅垂法求与二次函数相关的面积最值，熟练掌握待定系数法与铅锤法是解题的关键．
45．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)四边形的面积最大为16；
(3)点的坐标为或．
【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式；
（2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答；
（3）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把，代入得∶
，
解得：，
∴该二次函数的解析式；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为16；
（3）解：设，
∵，，
∴，，，
当斜边为时，，
即，整理得：，
无解；
当斜边为时，，
即，
解得：；
∴
当斜边为时，，
即，
解得：；
∴
综上：点的坐标为或．
46．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）二次函数经过点，点，点C，点D分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，连接，过点作的平行线交二次函数于点，连接，，，．求四边形面积的最大值以及此时点的坐标；
(3)如图2，过点作轴，交于点（点不与点重合），过点作轴，交于点，当时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)四边形的面积有最大值18，此时
(3)或．
【分析】（1）用待定系数法即可求出函数解析式；
（2）求出直线的解析式，再由平行线的性质求出直线的解析式从而确定点坐标，再由直线的解析式求出直线与轴的交点坐标，从而求出的面积，过点作轴交直线于点，设，则，可得，从而求出四边形面积的最大值及点的坐标；
（3）求出，，设，则，则，，再由，求出（舍或或，即可求点坐标．
【详解】（1）解：将点，点代入，
，
解得，
二次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
，
∵点，
，
设的解析式为，代入，，
得，解得：，
直线的解析式为，
∵，，则设直线的解析式为，
代入，得，解得，
直线的解析式为，
当时，解得或，
，
设的直线解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
直线与轴的交点为，
，
过点作轴交直线于点，
设，则，
，
，
四边形的面积，
∵，
当时，四边形的面积有最大值18，此时；
（3）解：∵，
∴，
∵轴，则当时，，
∴，
设，则，
，，
∵，
，
解得（舍去）或或，
∴或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，两点间距离公式，平行线的性质，铅锤法求面积是解题的关键．
题型03面积比最值问题
47．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点．
(1)求a的值；
(2)点D为第四象限抛物线上一点
①求的面积最大值
②连接交于点E，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
【答案】(1)
(2)①4；②
【分析】
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出点C的坐标，进而求出直线解析式，如图所示，过点D作轴交于E，设，则，则，由，利用二次函数的性质求解即可；
②过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，证明，得到，则，求出，设，则，则，可得．则当时，有最大值，最大值是．
【详解】（1）解：把代入中得，
∴；
（2）解：①由（1）得抛物线解析式为，
∴点A和点B的坐标分别为，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
如图所示，过点D作轴交于E，
设，则，
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为4；
②过点作轴于点，交于点，过点作轴交的延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴
∴，
设，则，
∴，
∴．
∴当时，有最大值，最大值是．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，通过把求面积的最值问题转换成求线段的最值问题是解题的关键．
48．（2023·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】
（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）过点作，垂足为根据已知条件得出，进而列出方程，解方程，即可求解；
（3）先求得直线的解析式为，设，得出直线的解析式为，联立得出，根据等底两三角形的面积比等于高之比，得出，进而得出关于的二次函数关系，根据二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，对称轴过点，，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）解：如图所示，过点作对称轴的垂线，垂足为，

设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：或，
∵其中点在抛物线对称轴的左侧．
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴；
（3）解：依题意，点恰好在轴上，则，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
设，设直线的解析式为，
则，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，
∴，
∴
，
∴当时，取得最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数综合问题，平行线分线段比例，面积问题，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
49．（2024·湖北省直辖县级单位·一模）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为．
(1)求出点和点的坐标；
(2)如图①，连接，为轴的负半轴上的一点，当时，求点的坐标；
(3)如图②，是点关于抛物线的对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点，设和的面积分别为和，求的最大值．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）令，可求出点的坐标，将函数化为顶点式，可求出点的坐标；
（2）过点作轴于点，可得，推出，由点为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，可得，设，则，，根据勾股定理求出值，进而得到点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解；
（3）分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，则，，由点的横坐标为，可表达，利用二次函数的性质可得结论．
【详解】（1）解：令，
解得或，
；
，
顶点；
（2）如图，过点作轴于点，
，，
，
，
，
为轴的负半轴上的一点，设直线与轴交于点，则是等腰三角形，
，
设，则，，
在中，，
解得：，
，
设直线的解析式为：，将点、代入得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
令，则，
解得：，
；
（3）点与点关于对称轴对称，
，
如图，分别过点，作轴的平行线，交直线于点，，
，，
点横坐标为，
，，
，
，，
，
，
当时，的最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的性质，三角形的面积，一次函数，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用这些知识．
50．（2023·湖南永州·中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交于点，求的最大值；
(3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点式坐标公式和待定系数法分别求出，，值，即可求出抛物线解析式．
（2）利用抛物线的解析式可知道点坐标，从而求出直线的解析式，从而设，根据直线的解析式可推出，从而可以用表达长度，在观察图形可知，将其和长度代入，即可将面积比转化成二次函数的形式，根据横坐标取值范围以及此二次函数的图像性质即可求出的最大值．
（3）根据正方形的性质和可求出，再利用相似和可推出，设，即可求出直线的解析式，用表达点的横纵坐标，最后代入抛物线解析式，求出的值即可求出点横坐标．
【详解】（1）解：抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，
，，，
，
，
抛物线的解析式为：．
故答案为：．
（2）解：过点作轴于点，如图所示，

抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
，
，
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
在直线上，，
在直线上，的解析式为：，
，
．
，
．
，
．
，，
当时， 有最大值，且最大值为： ．
故答案为：．
（3）解:∵＋，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
．
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
，在直线上，
，
，
，
，
（十字相乘法），
由，得：，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
点横坐标为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合应用题，属于压轴题，解题的关键在于能否将面积问题和二次函数有效结合．
51．（2024·四川南充·一模）抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线对称轴为，点是抛物线在第一象限上动点，连接，．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图，连接，交于点，设的面积为，的面积为，求的最小值及此时点的坐标．
【答案】(1)抛物线的解析式为，直线的解析式为；
(2)的最小值为，．
【分析】（）利用待定系数法及二次函数对称轴公式即可求解；
（）作，交于，可证得，从而得出，设 ，表示出点的坐标，进而得出的表达式，利用二次函数的性质即可求解；
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的几何应用，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
解得，
∴抛物线的解析式为，
由得，
，，
∴，
设直线的解析式为，把、代入得，
，
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：如图，作，交于，
∴，
∴，
设，
由得，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，的最大值为，
∴的最小值为，
当时，，
∴．
52．（2024·湖北孝感·一模）如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．
(1)求，的值及直线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点，过作轴于点，交于点，
(ⅰ)若，求点P的坐标，
(ⅱ)连接，，记的面积为，的面积为，求的最大值；
(3)如图2，将抛物线位于轴下方面的部分不变，位于轴上方面的部分关于轴对称，得到新的图形，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与新的图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)(ⅰ)；(ⅱ)
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式，先求得抛物线解析式，得出点，然后待定系数法求一次函数解析式即可求解；
（2）（i）设 ，则，，得出，是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，建立方程，解方程，即可求解；
（ii）过作轴，交于点，则，得出，根据相似三角形的性质得出面积比，进而根据二次函数的性质，即可求解．
（3）先求得折叠部分的抛物线解析式为，观察函数图象，可得当经过点时，当与只有一个交点，直线与新的图形有三专题10二次函数中面积的最值问题（六大题型）
通用的解题思路：
二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：
1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：
一般步骤为：①设出要求的点的坐标；
②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；
③列出关系式求解；
④检验是否每个坐标都符合题意．
2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.
3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：
一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；
②通过已知点的坐标，求出直线解析式；
③求出题意中要求点的坐标；
④检验是否每个坐标都符合题意．
题型01 三角形面积最值问题
1．（2024·宁夏银川·一模）如图，二次函数的图象与x轴的正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数图象交于点，与y轴交于点C．
(1)求直线的函数表达式及点C的坐标；
(2)点P是二次函数图象上的一个动点，且在直线上方，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为m．
①当时，求m的值；
②设的面积为S，求S关于m的函数表达式，并求出S的最大值．
2．（2024·新疆克孜勒苏·二模）如图，抛物线（b，c 是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，，，点P为线段上的动点，过P作交于点Q．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求面积的最大值，并求此时P点坐标．
3．（23-24九年级下·湖北武汉·开学考试）如图，抛物线交轴于两点（点在点的左侧），交轴正半轴于点，点在抛物线上．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若，求点的横坐标．
(3)平面上有两点，求的面积的最小值．
4．（23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习）中，，，， 点 P从点C出发，沿射线方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点 B 出发，沿射线方向运动．设运动时间为x （且）秒， 的面积为S．
(1)当时， 如图①， 求S与x的函数关系式；
(2)当时， 如图②， 求S的最大值；
(3)若在运动过程中，存在两个时刻，，对应的点P和点Q分别记为 ，和，对应的和的面积分别记为和，且当时，，请求出的值．
5．（2023·山东聊城·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标．
6．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与坐标轴交于点、，抛物线的图象经过、两点．

(1)求二次函数的表达式；
(2)若点为抛物线上一动点，在直线上方是否存在点使的面积最大？若存在，请求出面积的最大值及点的坐标，请说明理由．
7．（2024·甘肃陇南·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴交于另一点，抛物线对称轴为直线l．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为直线下方抛物线上一点，当的面积最大时，求点M的坐标；
(3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点． 要使得以P，D，E为顶点的三角形与全等，请直接写出点P的坐标．
8．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知抛物线与x轴交于A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；
(2)如图1，点P为直线下方抛物线上一点，求的最大面积；
(3)如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线与直线的交点始终在直线上，求证：直线必经过一个定点，并求该定点坐标．
9．（2024·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x 轴交于点 B，，与y轴交于点．

(1)求直线和抛物线的解析式．
(2)若点 M 是抛物线对称轴上的一点，是否存在点 M，使得以 M，A，C三点为顶点的三角形是以为底的等腰三角形 若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)若点 P 是第二象限内抛物线上的一个动点，求 面积的最大值．
10．（2024·安徽安庆·一模）如图，抛物线与x轴交于点、两点，与y轴交于点C．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)点E为直线上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．
①若点E在第一象限，连接，求面积的最大值；
②此抛物线对称轴与直线交于点D，连接，若为直角三角形，请直接写出E点坐标．
11．（2024·安徽合肥·一模）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)直接写出当时，x的取值范围；
(3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作于点E，连接．求面积的最大值及此时点P的坐标．
12．（2024·天津西青·一模）已知抛物线（）与轴交于，两点（点在点左边），与轴交于点．
(1)若点在抛物线上．
①求抛物线的解析式及点的坐标；
②连接，若点是直线上方的抛物线上一点，连接，，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
(2)已知点的坐标为，连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．
13 ．（2024·山东临沂·二模）如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接，点D在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值；
(3)小明进一步探究点D位置时发现：如图2，点D在抛物线上移动，连接CD，存在，请帮助小明求出时点D的坐标．
14．（2024·广东深圳·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于A，B点，与y轴交于点，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标和面积的最大值；
(3)连接，并把沿翻折，那么是否存在点P，使四边形为菱形；若不存在，请说明理由．
15．（2024·湖北·模拟预测）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点．设P点在抛物线上运动，横坐标为m．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当P点位于第四象限时，求面积的最大值，并求出此时P点坐标；
(3)设此抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点的纵坐标之差为 h．
① 求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；
② 根据h的不同取值，试探索点P的个数情况．
16．（22-23九年级下·重庆·阶段练习）抛物线 经过点和点．该抛物线与直线 相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线轴，分别与x轴和直线交于点 M、N．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)连接，如图1，在点P运动过程中，的面积是否存在最大值？ 若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
(3)连接，过点 C作垂足为点 Q，如图2，是否存在点 P，使得与相似？ 若存在，求出满足条件的点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
17．（2024·江苏宿迁·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知点A的坐标为，点B的坐标为．
(1)求出这条抛物线的函数表达式；
(2)如图2，点D是第一象限内该抛物线上一动点，过点D作直线轴，直线l与的外接圆相交于点E．
①仅用无刻度直尺找出图2中外接圆的圆心P．
②连接、，与直线的交点记为Q，如图3，设的面积为S，在点D运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S的最大值；如果不存在，请说明理由．
18．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，在中，，于点D，，，点P从点B出发，在线段上以每秒的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于的直线m从底边出发，以每秒的速度沿方向匀速平移，分别交、、于E、F、H，当点P到达点C，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒．
(1)__________，__________（用含t的式子表示）．
(2)在整个运动过程中，所形成的的面积存在最大值，当的面积最大时，求线段的长；
(3)是否存在某一时刻t，使为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．
19．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，为线段上一动点，过点作交直线于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)在（2）中面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，是平移后的抛物线上一动点，连接，当与的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
20．（2024·湖南衡阳·一模）如图，已知抛物线经过三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D为第二象限内抛物线上一动点，求面积的最大值；
(3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点P的坐标．
21．（2024·甘肃天水·一模）如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与轴交于两点，是抛物线的顶点．为坐标原点．两点的横坐标分别是方程的两根，且．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)作交抛物线于点，求点的坐标及直线的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，在轴上方的抛物线上是否存在一点，使的面积最大？如果存在，请求出点的坐标和的最大面积；如果不存在，请说明理由．
22．（2024·山东聊城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)若点为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点的坐标；
(3)若点为抛物线上一点，点是线段上一点（点不与两端点重合），是否存在以、、为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2024·吉林长春·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于A、B两点，过点作轴垂线，垂足为，连接．现有动点同时从点出发，分别沿向终点和终点运动，若点的运动速度为每秒个单位长度，点的运动速度为每秒2个单位长度．设运动的时间为秒．
(1)求A、B两点的坐标；
(2)当时，__________；
(3)设的面积为，写出与的函数关系式，并求面积的最大值；
(4)当为轴对称图形时，直接写出的值．
24．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

(1)求b，c的值．
(2)点是抛物线上的动点
①当取何值时，的面积最大？并求出面积的最大值；
②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线的形状相同，且与轴交于点和．直线分别与轴、轴交于点，，与于点（点在点的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是直线上方抛物线上的任意一点，当时，求面积的最大值；
(3)若抛物线与线段有公共点，结合函数图象请直接写出的取值范围．
26．（2024·湖南长沙·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，顶点为D，直线交y轴于点E．
(1)求抛物线的解析式．
(2)设点P为线段上一点（点P不与B，D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接，，求面积的最大值．
(3)连接，在线段上是否存在点Q，使得？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2024·江西萍乡·一模）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知，，连接，．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以为顶点的三角形与相似，求出点P的坐标；
(3)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接，．设的面积为S，试求S的最大值．
28．（2024·四川广元·二模）如图1，抛物线与x轴交于两点，且点B的坐标为，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为．
(1)求抛物线和直线的解析式．
(2)在抛物线上是否存在点M，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为上的一个动点，连接，求面积的最大值．
29．（2023·山东青岛·中考真题）如图，在菱形中，对角线相交于点O，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点A出发，沿方向匀速运动，速度为．以为邻边的平行四边形的边与交于点E．设运动时间为，解答下列问题：

(1)当点M在上时，求t的值；
(2)连接．设的面积为，求S与t的函数关系式和S的最大值；
(3)是否存在某一时刻t，使点B在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
30．（2023·湖南怀化·中考真题）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；
(2)点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标；
(3)设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角．
31．（2024·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点，为抛物线的顶点．

图1 图2
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)如图1，点是第一象限内抛物线上一动点，连接，设点的横坐标为．
①当为何值时，的面积最大？并求出最大面积；
②当为何值时，是直角三角形？
(3)如图2，过作轴于，若是轴上一动点，是线段上一点，若，请直接写出实数的取值范围．
32．（2024·四川成都·一模）如图，直线分别交x轴，y轴于A，C两点，点B在x轴正半轴上．抛物线过A，B，C三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点B作交y轴于点D，交抛物线于点F．若点P为直线下方抛物线上的一动点，连接交于点E，连接，求的最大值及最大值时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线与新抛物线交于O，G两点，点H是线段的中点，过H作直线（不与重合）与新抛物线交于R，Q两点，点R在点Q左侧．直线与直线交于点T，点T是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．
33．（2024·江苏苏州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为，，其中（），且，与轴的交点为，直线轴，在轴上有一动点，过点E作直线轴，与抛物线、直线的交点分别为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当时，求面积的最大值；
(3)当时，是否存在点，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
题型02 四边形面积最值问题
34．（2024·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标；
(3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标.
35．（2024·山东临沂·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点是直线上方的抛物线上一点（点不与点B，C重合），过点作轴交直线于点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求线段长的最大值；
(3)连接，请直接写出四边形的面积最大值为________．
36．（2024·山西运城·一模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作交直线于点Q，连接、、，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求四边形面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
37．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点．抛物线与轴交于两点，直线：与抛物线交于两点，且，．
(1)求的值；
(2)点是线段上的动点，点在轴上，，且点在的左边．过点作轴，交抛物线于点．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．
当以为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标．
记以为顶点的四边形面积为，求的最大值．
38．（2024·安徽蚌埠·一模）如图1，已知直线与坐标轴相交于A、B，点C坐标是，抛物线经过A、B、C三点．点P 是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线交于点D，与x轴相交于点F．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点P在第一象限时，连接交于点E，连接，如图2所示；
①求的值；
②设四边形的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标； 若不存在，请说明理由．
39．（2024·安徽马鞍山·一模）如图，过原点的二次函数的图象与x轴正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数交于，与y轴交于点．
(1)分别求此二次函数与直线的解析式．
(2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，设点P的横坐标为t．
①当时，求t的值；
②当点P在直线下方时，连接，过点B作轴于点Q，与交于点F，连接，求四边形面积的最大值．
40．（2024·山东济南·一模）如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标；
(3)将线段绕轴上的动点顺时针旋转得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围．
41．（2024·四川广元·二模）如图，二次函数的图象与x 轴交于原点O 和点，经过点A的直线与该函数图象交于另一点，与y轴交于点C．
(1)求直线的函数解析式及点C的坐标．
(2)点P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作直线轴于点E，与直线交于点D，过点B作轴于点F，连接，与交于点G，连接．求四边形面积的最大值．
(3)抛物线上是否存在这样的点Q，使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
42．（2024·广东珠海·一模）如图，抛物线和直线交于，点，点B在直线上，直线与x轴交于点C．
(1)求的度数．
(2)点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒．以为边作矩形，使点N在直线上．
①当t为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积；
②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上．
43．（2024·安徽宿州·二模）如图1，抛物线（a，b是常数且）与x轴交于点和点B（点B在点A的右侧），点D是抛物线的顶点，是抛物线的对称轴且交x轴于点.
(1)求a，b的值；
(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．
（i）如图2，连接，，，求四边形面积的最大值；
（ii）如图3，连接并延长交延长线于点Q，连接交于点E，求的值.
44．（2024·安徽·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，交轴于点，点在该抛物线上，横坐标为，将该抛物线两点之间（包括两点）的部分记为图象．
(1)求抛物线的解析式；
(2)图象的最大值与最小值的差为4时，求的值；
(3)如图2，若点位于下方，过点作交拋物线于点，点为直线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点的坐标．
45．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
46．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）二次函数经过点，点，点C，点D分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，连接，过点作的平行线交二次函数于点，连接，，，．求四边形面积的最大值以及此时点的坐标；
(3)如图2，过点作轴，交于点（点不与点重合），过点作轴，交于点，当时，直接写出点的坐标．
题型03面积比最值问题
47．（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、 B两点，与y轴交于点．
(1)求a的值；
(2)点D为第四象限抛物线上一点
①求的面积最大值
②连接交于点E，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
48．（2023·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点，，对称轴过点，，直线过点，且垂直于轴．过点的直线交抛物线于点、，交直线于点，其中点、Q在抛物线对称轴的左侧．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，当时，求点的坐标；
(3)如图2，当点恰好在轴上时，为直线下方的抛物线上一动点，连接、，其中交于点，设的面积为，的面积为．求的最大值．
49．（2024·湖北省直辖县级单位·一模）抛物线与直线交于原点和点，与轴交于另一点，顶点为．
(1)求出点和点的坐标；
(2)如图①，连接，为轴的负半轴上的一点，当时，求点的坐标；
(3)如图②，是点关于抛物线的对称轴的对称点，是抛物线上的动点，它的横坐标为，连接，，与直线交于点，设和的面积分别为和，求的最大值．
50．（2023·湖南永州·中考真题）如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，直线交于点，求的最大值；
(3)如图2，四边形为正方形，交轴于点，交的延长线于，且，求点的横坐标．
51．（2024·四川南充·一模）抛物线与轴分别交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，抛物线对称轴为，点是抛物线在第一象限上动点，连接，．
(1)求抛物线和直线的解析式；
(2)如图，连接，交于点，设的面积为，的面积为，求的最小值及此时点的坐标．
52．（2024·湖北孝感·一模）如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接．
(1)求，的值及直线的解析式；
(2)如图1，点是抛物线上位于直线上方的一点，连接交于点，过作轴于点，交于点，
(ⅰ)若，求点P的坐标，
(ⅱ)连接，，记的面积为，的面积为，求的最大值；
(3)如图2，将抛物线位于轴下方面的部分不变，位于轴上方面的部分关于轴对称，得到新的图形，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与新的图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围．
题型04 面积和最值问题
53．（2024·吉林长春·一模）在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为．
(1)求a，b的值；
(2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围；
(3)当点D在第一象限时，求＋的最大值；
(4)当时，直接写出m的值．
题型05 面积差最值问题
54．（2024·安徽合肥·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且与轴相交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图2，点在轴上（在的右侧），且，过点，分别作轴的垂线交抛物线于点，连接，并延长交于点．
①求的长（用含的代数式表示）；
②若的面积记作的面积记作，记，则是否有最大值，若有请求出，若没有，请说明理由．
55．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线经过点A．
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若直线与抛物线的对称轴交于点E．
①若点E为抛物线的顶点，求a的值；
②若点E在第四象限并且在抛物线的上方，记的面积为，记的面积为，，求S与x的函数表达式，并求出S的最大值．
56．（2024·安徽淮北·模拟预测）已知抛物线（为常数，且）与轴交于两点（点在点的右侧），与轴交于点，经过点的直线与抛物线的另一交点为点，与轴的交点为点．
(1)如图1，若点的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若，试确定的值；
(3)如图3，在（1）的情形下，连接，点为抛物线在第一象限内的点，连接交于点，当取最大值时，试求点的坐标．
57．（2024·广东广州·一模）综合应用
如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)直线与抛物线在第二象限交于点，若动点在上运动，线段绕点顺时针旋转，点首次落在轴上时记为点，在点运动过程中，判断的大小是否发生变化？并说明理由．
(3)在（）的条件下，连接，记的外接圆的最小面积为，记的外接圆的最大面积为，试求的值（结果保留）．
58．（2023·湖北荆州·中考真题）已知：关于的函数．

(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
59．（2024·安徽·一模）已知抛物线为常数，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点．
(1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若，试确定a的值；
(3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标．
题型06 五边形面积最值问题
60．（2024·安徽宣城·一模）如图，已知抛物线与x轴的交点为，与y轴交点为C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设点C关于抛物线对称轴的对称点为点B，在抛物线的A~B段上存在点P，求五边形面积的最大值；
(3)问该抛物线上是否还存在与点P不重合的点Q，使以A、B、C、D、Q五点为顶点的凸五边形面积等于题（2）中五边形面积的最大值，若存在，直接写出所有满足条件的点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．

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