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广西壮族自治区崇左市扶绥县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求的．）
1．（2024七下·扶绥期中）16的算术平方根是（　　）
A． 16 B．4 C．-4 D．±4
2．（2024七下·扶绥期中）有下列实数：3.14，，，0，，，，0.01001001（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），其中无理数的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2024七下·扶绥期中）某种流感病毒的直径大约为0.0000000905米，用科学记法表示为（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024七下·扶绥期中）下列运算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·扶绥期中）下列等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·扶绥期中）如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·扶绥期中）已知，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024七下·扶绥期中）若，，，则下列大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·扶绥期中）如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（　　）
A．或 B．或
C． D．
10．（2024七下·扶绥期中）对于任意的整数n，能整除代数式的整数是（　　）
A．4 B． C． D．2
11．（2024七下·扶绥期中）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（　　）
A． B． C． D．
12．（2024七下·扶绥期中）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2.已知min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024七下·扶绥期中）“x的2倍与3的差是非负数．”用不等式表示为：　 　．
14．（2024七下·扶绥期中）比较大小：　 　2（填“>”、“<”或“=”）．
15．（2024七下·扶绥期中），则　 　．
16．（2024七下·扶绥期中）已知=　 　
17．（2024七下·扶绥期中）若的积中不含的一次项，则的值为　 　．
18．（2024七下·扶绥期中）若，则　 　．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（2024七下·扶绥期中）计算：
（1）；
（2）．
20．（2024七下·扶绥期中）解不等式：．
21．（2024七下·扶绥期中）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
22．（2024七下·扶绥期中）先化简、再求值：，其中x，y满足，．
23．（2024七下·扶绥期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和．
（1）求x的值；
（2）若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值．
24．（2024七下·扶绥期中）“云健身”火了，也带动了小型居家健身器材的热销，某网店A，B两种健身器材的销量最高．已知售出2件A种健身器材和3件B种健身器材所得利润为700元，售出每件A种健身器材的利润是每件B种健身器材利润的2倍．
（1）求每件A种健身器材的利润？
（2）由于需求量大，A，B两种健身器材很快售完，该店决定再一次购进A，B两种健身器材共80件．如果将这80件健身器材全部售完后所得利润不低于10000元，那么该店至少需购进多少件A种健身器材？
25．（2024七下·扶绥期中）在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系：
例如：由，可得与互为倒数，即，．
类似地，，；
，；…．
根据小腾发现的规律，解决下列问题：
（1）______，______；（n为正整数）
（2）计算：．
26．（2024七下·扶绥期中）我们学习了完全平方公式，把它适当变形，可解决很多数学问题．
例如：若，求的值．
解∶
又
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）①若，则___________；
②若，则________________；
（3）如图点C是线段上的一点，以为边向线段的两侧作正方形，已知，两正方形的面积和20，求图中阴影部分的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ，所以16的算术平方根是4.
故答案为：B
【分析】由一个正数的平方等于16，则这个正数就是16的算术平方根即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，3.14，，0，都是有理数，
，，0.01001001是无理数，共3个，
故选：A．
【分析】本题考查无理数的识别，无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比；若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环； 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等，据此定义逐个分析判断，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由科学记数法，可得
故选：B．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中a为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可作答．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A中，由，故A不符合题意；
B中，由，故B不符合题意；
C中，由，故C符合题意；
D中，由，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方，根据同底数幂的乘除法则、积的乘方法则、幂的乘方运算法则，分别进行判断，即可求解．
5．【答案】D
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A中，由，故A错误；
B中，由，故B错误；
C中，由，故C错误；
D中，由，故D正确．
故选：D.
【分析】本题主要考查了实数的性质，根据选项，直接利用算术平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质，分别化简、计算，即可得出答案．
6．【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：若不等式的解集为，
则，
解得，
故答案为：D.
【分析】根据不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，所以即可解答.
7．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
故A不符合题意；
当时，，
故B不符合题意；
，
，
故C符合题意；
，
，
，
故D不符合题意，
故选：C.
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，分别判断，即可得到答案．
8．【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
即，
故选：C．
【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的运算，根据题意，先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行有理数的大小比较，即可得到答案．
9．【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由数轴知，该数轴表示的是不等式组的解集，
，
故答案为：D．
【分析】结合数轴上不等式组的解集直接求解即可。
10．【答案】C
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：原式
，
则对于任意的整数，能整除代数式的整数是．
故选：C
【分析】本题考查了整式的除法，平方差公式，原式利用平方差公式化简，去括号，合并同类项，进行计算，即可得到答案.
11．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由得：，
由得：，
不等式组恰好有3个整数解，
不等式组的整数解为3、4、5，
，解得，
故选：A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解，先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，结合不等式组有3个整数解，得出关于的不等式，求得a的范围，即可得到答案.
12．【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ .
∴a＜ ，b＞ .
∵a，b是两个连续的正整数.
∴a＝5，b＝6.
∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4.
故答案为：D.
【分析】由题意可得a＜，b＞，然后根据a，b是两个连续的正整数可得a、b的值，进而求得2a-b的值.
13．【答案】2x-3≥0
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：由题意得：2x-3≥0．
故答案为：2x-3≥0．
【分析】先表示出x的2倍与3的差为2x-3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2x-3≥0．
14．【答案】
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了实数大小比较，根据，得到，即可得到答案.
15．【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴a+1=0，b-2=0，
∴a=-1，b=2，
∴1.
故答案为：1.
【分析】本题考查了非负数的性质，根据偶次根式和偶次方的非负性，得到a+1=0，b-2=0，求得a和b的值，将其代入代数式，进行计算，即可得到答案.
16．【答案】19.020
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】∵，
∴=19.020.
故答案为19.020.
【分析】将
的被开方数的小数点向右移动三位，则立方根的小数点向右移动一位。
17．【答案】2
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：由由于其中不含一次项，则，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，先将展开，再令一次项的系数为0，求得的值，即可得到答案．
18．【答案】8
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：8．
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂除法运算，根据幂的乘方，化成同底数幂的除法，结合同底数幂的除法的运算法则，准确计算，即可得到答案.
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算；求算术平方根
20．【答案】解：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】本题主要考查了解不等式，根据题意，先去括号，然后再移项，合并同类项，最后将x的系数化为1，即可得到答案.
21．【答案】解：由，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上，即可得到答案．
22．【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题考查整式的混合运算化简求值，根据完全平方公式和平方差公式，化简题目中的式子为，然后将、的值代入化简后的式子，计算求值，即可得到答案．
23．【答案】（1）解∶一个正数的两个平方根分别是和，
解得∶，
则，
那么；
（2）解：为的算术平方根，为的立方根，，∴，
则．
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的实际应用
24．【答案】（1）解：设每件B种健身器材的利润为x元，则每件A种健身器材的利润为2x元，由题意得，
解得，
∴，
答：每件A种健身器材的利润为200元；
（2）解：设购进m件A种健身器材，则购进件B种健身器材，由题意得，
解得，
∵m为整数，
∴m的最小值为20.
答：该店至少需购进20件A种健身器材．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设售出每件A种健身器材所得利润为x元，得出关于x的一元一次方程，求得方程的解，即可得到答案；
（2）设购进m件A种健身器材，则购进件B种健身器材，根据总利润售出每件商品的利润销售数量结合总利润不低于元，得出关于m的一元一次不等式，取其中的最小整数值，即可得出结论．
25．【答案】（1），
（2）解：由
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算；探索规律-等式类规律
26．【答案】（1）解：
；
（2）①；②
（3）解：设，
则，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
故图中阴影部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：①，
，
，
，
；
②
.
故答案为：①；②
【分析】（1）运用完全平分公式：，结合，即可求得的值，得到答案；
（2）①根据完全平分公式：，结合，进而求得的值，得到答案；
②由，得到，利用完全平方公式，进行计算，即可解答；
（3）设，根据正方形面积公式，得到，结合完全平方公式变形，即可得到答案．
1 / 1广西壮族自治区崇左市扶绥县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求的．）
1．（2024七下·扶绥期中）16的算术平方根是（　　）
A． 16 B．4 C．-4 D．±4
【答案】B
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： ，所以16的算术平方根是4.
故答案为：B
【分析】由一个正数的平方等于16，则这个正数就是16的算术平方根即可得出答案.
2．（2024七下·扶绥期中）有下列实数：3.14，，，0，，，，0.01001001（相邻两个1之间0的个数逐次增加1），其中无理数的个数是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】无理数的概念；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，3.14，，0，都是有理数，
，，0.01001001是无理数，共3个，
故选：A．
【分析】本题考查无理数的识别，无理数也称为无限不循环小数，不能写作两整数之比；若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环； 常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等，据此定义逐个分析判断，即可求解.
3．（2024七下·扶绥期中）某种流感病毒的直径大约为0.0000000905米，用科学记法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：由科学记数法，可得
故选：B．
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中a为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可作答．
4．（2024七下·扶绥期中）下列运算，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A中，由，故A不符合题意；
B中，由，故B不符合题意；
C中，由，故C符合题意；
D中，由，故D不符合题意．
故选：C．
【分析】本题考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方，根据同底数幂的乘除法则、积的乘方法则、幂的乘方运算法则，分别进行判断，即可求解．
5．（2024七下·扶绥期中）下列等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A中，由，故A错误；
B中，由，故B错误；
C中，由，故C错误；
D中，由，故D正确．
故选：D.
【分析】本题主要考查了实数的性质，根据选项，直接利用算术平方根的性质、立方根的性质以及绝对值的性质，分别化简、计算，即可得出答案．
6．（2024七下·扶绥期中）如果不等式的解集为，则必须满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】不等式的解及解集；不等式的性质
【解析】【解答】解：若不等式的解集为，
则，
解得，
故答案为：D.
【分析】根据不等式两边同时除以一个负数，不等号的方向改变，所以即可解答.
7．（2024七下·扶绥期中）已知，则下列各式中一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
，
故A不符合题意；
当时，，
故B不符合题意；
，
，
故C符合题意；
，
，
，
故D不符合题意，
故选：C.
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，分别判断，即可得到答案．
8．（2024七下·扶绥期中）若，，，则下列大小关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
即，
故选：C．
【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂的运算，根据题意，先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再进行有理数的大小比较，即可得到答案．
9．（2024七下·扶绥期中）如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（　　）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集
【解析】【解答】解：由数轴知，该数轴表示的是不等式组的解集，
，
故答案为：D．
【分析】结合数轴上不等式组的解集直接求解即可。
10．（2024七下·扶绥期中）对于任意的整数n，能整除代数式的整数是（　　）
A．4 B． C． D．2
【答案】C
【知识点】整式的混合运算；多项式除以单项式
【解析】【解答】解：原式
，
则对于任意的整数，能整除代数式的整数是．
故选：C
【分析】本题考查了整式的除法，平方差公式，原式利用平方差公式化简，去括号，合并同类项，进行计算，即可得到答案.
11．（2024七下·扶绥期中）关于x的不等式组恰好有3个整数解，则a满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：由得：，
由得：，
不等式组恰好有3个整数解，
不等式组的整数解为3、4、5，
，解得，
故选：A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、不等式组的整数解，先分别求出每一个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，结合不等式组有3个整数解，得出关于的不等式，求得a的范围，即可得到答案.
12．（2024七下·扶绥期中）对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2.已知min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ ，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵min{ ，a}＝a，min{ ，b}＝ .
∴a＜ ，b＞ .
∵a，b是两个连续的正整数.
∴a＝5，b＝6.
∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4.
故答案为：D.
【分析】由题意可得a＜，b＞，然后根据a，b是两个连续的正整数可得a、b的值，进而求得2a-b的值.
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13．（2024七下·扶绥期中）“x的2倍与3的差是非负数．”用不等式表示为：　 　．
【答案】2x-3≥0
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：由题意得：2x-3≥0．
故答案为：2x-3≥0．
【分析】先表示出x的2倍与3的差为2x-3，再表示非负数是：≥0，故可得不等式2x-3≥0．
14．（2024七下·扶绥期中）比较大小：　 　2（填“>”、“<”或“=”）．
【答案】
【知识点】无理数的大小比较；无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查了实数大小比较，根据，得到，即可得到答案.
15．（2024七下·扶绥期中），则　 　．
【答案】1
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴a+1=0，b-2=0，
∴a=-1，b=2，
∴1.
故答案为：1.
【分析】本题考查了非负数的性质，根据偶次根式和偶次方的非负性，得到a+1=0，b-2=0，求得a和b的值，将其代入代数式，进行计算，即可得到答案.
16．（2024七下·扶绥期中）已知=　 　
【答案】19.020
【知识点】计算器在数的开方中的应用
【解析】【解答】∵，
∴=19.020.
故答案为19.020.
【分析】将
的被开方数的小数点向右移动三位，则立方根的小数点向右移动一位。
17．（2024七下·扶绥期中）若的积中不含的一次项，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
【解析】【解答】解：由由于其中不含一次项，则，
解得：，
故答案为：．
【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加，先将展开，再令一次项的系数为0，求得的值，即可得到答案．
18．（2024七下·扶绥期中）若，则　 　．
【答案】8
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
．
故答案为：8．
【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，同底数幂除法运算，根据幂的乘方，化成同底数幂的除法，结合同底数幂的除法的运算法则，准确计算，即可得到答案.
三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．（2024七下·扶绥期中）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算；求算术平方根
20．（2024七下·扶绥期中）解不等式：．
【答案】解：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】本题主要考查了解不等式，根据题意，先去括号，然后再移项，合并同类项，最后将x的系数化为1，即可得到答案.
21．（2024七下·扶绥期中）解不等式组：，并将解集在数轴上表示出来．
【答案】解：由，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴表示在数轴上为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，然后表示在数轴上，即可得到答案．
22．（2024七下·扶绥期中）先化简、再求值：，其中x，y满足，．
【答案】解：
，
当，时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题考查整式的混合运算化简求值，根据完全平方公式和平方差公式，化简题目中的式子为，然后将、的值代入化简后的式子，计算求值，即可得到答案．
23．（2024七下·扶绥期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和．
（1）求x的值；
（2）若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值．
【答案】（1）解∶一个正数的两个平方根分别是和，
解得∶，
则，
那么；
（2）解：为的算术平方根，为的立方根，，∴，
则．
【知识点】平方根的概念与表示；求算术平方根；立方根的实际应用
24．（2024七下·扶绥期中）“云健身”火了，也带动了小型居家健身器材的热销，某网店A，B两种健身器材的销量最高．已知售出2件A种健身器材和3件B种健身器材所得利润为700元，售出每件A种健身器材的利润是每件B种健身器材利润的2倍．
（1）求每件A种健身器材的利润？
（2）由于需求量大，A，B两种健身器材很快售完，该店决定再一次购进A，B两种健身器材共80件．如果将这80件健身器材全部售完后所得利润不低于10000元，那么该店至少需购进多少件A种健身器材？
【答案】（1）解：设每件B种健身器材的利润为x元，则每件A种健身器材的利润为2x元，由题意得，
解得，
∴，
答：每件A种健身器材的利润为200元；
（2）解：设购进m件A种健身器材，则购进件B种健身器材，由题意得，
解得，
∵m为整数，
∴m的最小值为20.
答：该店至少需购进20件A种健身器材．
【知识点】一元一次方程的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设售出每件A种健身器材所得利润为x元，得出关于x的一元一次方程，求得方程的解，即可得到答案；
（2）设购进m件A种健身器材，则购进件B种健身器材，根据总利润售出每件商品的利润销售数量结合总利润不低于元，得出关于m的一元一次不等式，取其中的最小整数值，即可得出结论．
25．（2024七下·扶绥期中）在学习二次根式的过程中，小腾发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系：
例如：由，可得与互为倒数，即，．
类似地，，；
，；…．
根据小腾发现的规律，解决下列问题：
（1）______，______；（n为正整数）
（2）计算：．
【答案】（1），
（2）解：由
．
【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算；探索规律-等式类规律
26．（2024七下·扶绥期中）我们学习了完全平方公式，把它适当变形，可解决很多数学问题．
例如：若，求的值．
解∶
又
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若，求的值；
（2）①若，则___________；
②若，则________________；
（3）如图点C是线段上的一点，以为边向线段的两侧作正方形，已知，两正方形的面积和20，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：
；
（2）①；②
（3）解：设，
则，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以．
故图中阴影部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；数形结合
【解析】【解答】解：①，
，
，
，
；
②
.
故答案为：①；②
【分析】（1）运用完全平分公式：，结合，即可求得的值，得到答案；
（2）①根据完全平分公式：，结合，进而求得的值，得到答案；
②由，得到，利用完全平方公式，进行计算，即可解答；
（3）设，根据正方形面积公式，得到，结合完全平方公式变形，即可得到答案．
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