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§1.5　基本不等式的综合应用
课标要求　1.掌握基本不等式及其常见变形.2.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.3.理解基本不等式在实际问题中的应用.4.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
题型一　基本不等式的常见变形应用
例1　(1)若a>1，b>1，且a≠b，则a2+b2，2ab，a+b，2中的最大值是(　　)
A.a2+b2 B.2ab
C.a+b D.2
答案　A
解析　因为a>1，b>1，所以a2+b2>a+b，
根据基本不等式可知a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立，
因为a≠b，所以a2+b2>2ab，
同理a+b>2，
综上所述，上述四个式子中的最大值为a2+b2.
(2)(2024·桂林模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
A.≥(a>0，b>0)
B.a2+b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
答案　D
解析　由题意知圆O的半径r=OF=AB=，
又由OC=OB-BC=-b=，
在Rt△OCF中，可得FC2=OC2+OF2=+=，
因为FO≤FC，所以≤，当且仅当a=b时取等号.
思维升华　基本不等式的常见变形
(1)ab≤≤(a，b∈R).
(2)≤≤≤(a>0，b>0).
跟踪训练1　(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　)
A.≥ B.≤
C.≤ D.ab≤
答案　BD
解析　A选项，由选项可知a与b同号，当a>0且b>0时，由基本不等式可知≥恒成立，当a<0且b<0时，<0，>0，该不等式不成立，故A选项错误；
B选项，当a+b>0时，>0，则-==≤0恒成立，即≤恒成立，当a+b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；
C选项，当a+b>0时，2ab-=≤0，即2ab≤≤恒成立，当a+b<0时，2ab-=≤0，即2ab≤≥，故C选项错误；
D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确.
题型二　与基本不等式有关的恒(能)成立问题
例2　(1)已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，则m的最大值为(　　)
A.4 B.6 C.8 D.9
答案　A
解析　因为a>0，b>0，≤恒成立，
即m≤==++2恒成立，即m≤，
又因为++2≥2+2=4，
当且仅当=，即a=b时取等号，
所以m≤4，所以m的最大值为4.
(2)若两个正实数x，y满足4x+y=2xy，且不等式x+A.(-1，2)
B.(-∞，-2)∪(1，+∞)
C.(-2，1)
D.(-∞，-1)∪(2，+∞)
答案　D
解析　由两个正实数x，y满足4x+y=2xy，
得+=2，
则x+=
=≥=2，
当且仅当=，即y=4x=4时取等号，
由不等式x+得m2-m>2，解得m<-1或m>2，
所以实数m的取值范围是(-∞，-1)∪(2，+∞).
思维升华　 x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；
x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
跟踪训练2　(1)已知a>0，若关于x的不等式x+≥3在x∈(-1，+∞)上恒成立，则a的最小值为(　　)
A.1 B.2 C.4 D.8
答案　C
解析　因为x>-1，x+1>0，
所以x+=x+1+-1
≥2-1=2-1，
当且仅当x+1=，即x=-1时取等号，
所以x+有最小值2-1，
因为不等式x+≥3在x∈(-1，+∞)上恒成立，所以2-1≥3，
解得a≥4，所以a的最小值为4.
(2)若存在x∈(0，2]，使不等式ax2-2x+3a<0成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.a< B.0≤a≤
C.a> D.a>
答案　A
解析　当x∈(0，2]时，由ax2-2x+3a<0，
可得a(x2+3)<2x，由题意得a<，
因为=≤=，当且仅当x=(x>0)，即x=时，等号成立，
所以当x∈(0，2]时，的最大值为，
故a<.
题型三 　基本不等式的实际应用
例3　随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)=0.002v2-0.04v+5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km的B地，出发前汽车电池存量为75 kW·h，汽车到达B地后至少要保留5 kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计).
(1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；
(2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充电量=充电功率×时间)，求到达B地的最少用时(行驶时间与充电时间总和).
解　(1)设匀速行驶速度为v km/h，耗电量为f(v)，则f(v)=P(v)·=v+-20(60≤v≤120)，
易知函数f(v)在区间[60，120]上单调递增，
所以f(v)min=f(60)=>75-5，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，
所以该车不能在不充电的情况下到达B地.
(2)设匀速行驶速度为v km/h，总时间为t h，行驶时间与充电时间分别为t1 h，t2 h.
若能到达B地，则初始电量+充电电量-消耗电量≥保障电量，
即75+15t2-f(v)≥5，
解得t2≥+-6.
所以t=t1+t2≥++-6=+-6≥2-6=.
当且仅当=，即v=100时取等号，
所以该汽车到达B地的最少用时为 h.
思维升华　利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
跟踪训练3　第33届奥运会于2024年7月26日—8月11日在巴黎举行，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15-0.1x)万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润=售价-供货价格.
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得的总利润是多少万元？
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
解　(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15-0.1×100=5(万套)，
供货单价为50+=52(元)，
总利润为5×(100-52)=240(万元).
所以能获得的总利润为240万元.
(2)每套会徽及吉祥物售价为x元时，销售量为(15-0.1x)万套，供货单价为元，
单套利润为x-50-=x-50-，
因为15-0.1x>0，所以0所以单套利润为
y=x-50-=-+100
≤100-2=80，
当且仅当150-x=10，即x=140时取等号.
所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元.
柯西不等式
柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy，1789-1857)发现的，故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题，借助柯西不等式可以达到事半功倍的效果.
1.二维形式的柯西不等式
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1)·≥|ac+bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).
(2)·≥|ac|+|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad=bc时，等号成立).
(3)(a+b)(c+d)≥(+)2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad=bc时，等号成立).
3.推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，
则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(当且仅当bi=0(i=1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai=kbi(i=1，2，…，n)时，等号成立).
典例　(1)已知x，y满足x+3y=4，则4x2+y2的最小值为　　　　　.
答案　
解析　(x+3y)2≤(4x2+y2)，
所以4x2+y2≥16×=，
当且仅当y=12x且x+3y=4，即x=，y=时等号成立，所以4x2+y2的最小值为.
(2)函数y=5+的最大值为　　　　　.
答案　6
解析　由题意得解得1≤x≤5，
y2=(5+)2=(5+·)2≤(52+2)(x-1+5-x)=108，当且仅当x=<5时等号成立，所以y≤6.
课时精练
(分值：80分)
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.已知F1，F2是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.13 B.12 C.9 D.4
答案　C
解析　因为|MF1|+|MF2|=6，
所以|MF1|·|MF2|≤==9，
当且仅当|MF1|=|MF2|=3时，等号成立，
所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.
2.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}是等差数列，且a5=b6，则(　　)
A.a3+a7≤b4+b8 B.a3+a7≥b4+b8
C.a3+a7≠b4+b8 D.a3+a7=b4+b8
答案　B
解析　a3+a7≥2=2=2a5=2b6=b4+b8，当且仅当a3=a7，即数列{an}的公比为1时取等号，所以a3+a7≥b4+b8.
3.已知a，b为正实数，则“≤2”是“ab≤16”的(　　)
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由a，b为正实数，∴a+b≥2，当且仅当a=b时等号成立，
若ab≤16，可得≤=≤=2，故必要性成立；
当a=2，b=10，此时≤2，但ab=20>16，故充分性不成立.
因此“≤2”是“ab≤16”的必要不充分条件.
4.(2025·长沙模拟)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S=求得，其中p为三角形周长的一半.已知△ABC的周长为12，c=4，则此三角形面积最大时，A等于(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　C
解析　由题可知a+b=8，c=4，p=6，
则S==≤×=4，
当且仅当a=b=4时取等号，
所以此时三角形为等边三角形，故A=60°.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2024·宜宾模拟)已知x>0，y>0，且2x+y=1，若≤x+2y恒成立，则实数m的可能取值为(　　)
A. B. C.3 D.
答案　ABC
解析　由x>0，y>0，得xy>0，
≤x+2y恒成立，
即≤=+恒成立，
又+=(2x+y)=5++≥5+2=9，
当且仅当x=y=时，等号成立，
故≤9，即-9=≤0，
即
解得m<1或m≥.
6.(2024·中山模拟)设a>0，b>0，已知M=，N=，则下列说法正确的是(　　)
A.M有最小值
B.M没有最大值
C.N有最大值为
D.N有最小值为
答案　ABD
解析　a>0，b>0，M==+≥2=2，当且仅当=，即a=b时等号成立，M有最小值，无最大值，故A正确，B正确；
又a>0，b>0，=≤，即≤，所以N=≥，当且仅当a=b时，等号成立，故C错误，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2025·南京模拟)若正实数x，y满足x+y=2，且≥M恒成立，则M的最大值为_____________.
答案　1
解析　∵正实数x，y满足x+y=2，
∴xy≤==1，∴≥1，
又≥M恒成立，∴M≤1，即M的最大值为1.
8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则角B的取值范围是　　　　　.
答案　
解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b=a+c，
所以cos B===≥=.
所以≤cos B<1，
又y=cos x在区间(0，π)上单调递减，
所以0四、解答题(共28分)
9.(13分)已知函数f(x)=x+(x>1).
(1)求f(x)的最小值；(6分)
(2)若a2+6a≤f(x)恒成立，求a的取值范围.(7分)
解　(1)f(x)=x+=x-1++1，
因为x>1，所以x-1>0，
所以x-1++1≥2+1=7，
当且仅当x-1=，即x=4时，等号成立，
所以f(x)的最小值为7.
(2)由(1)知函数f(x)的最小值为7，
因为a2+6a≤f(x)恒成立，
所以a2+6a≤7，解得-7≤a≤1，
所以a的取值范围是[-7，1].
10.(15分)随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来持续增长.某市一家医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且G(x)=由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润=销售收入-成本)；(7分)
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？(8分)
解　(1)由题意可得W(x)=
所以W(x)=
(2)当0当x=35时，W(x)取最大值，W(35)=2 050(万元)；
当40当且仅当x=60时，等号成立，
因为2 050>1 580，
故当该产品的年产量为35 台时，所获年利润最大，最大年利润为2 050(万元).
每小题5分，共10分
11.(2024·德阳模拟)设双曲线-=1(a>0)的离心率为e，则当e2+a2取最小值时，e等于(　　)
A. B.2 C. D.3
答案　C
解析　双曲线-=1(a>0)的离心率为e=，
e2+a2=+a2=2++a2
≥2+2=4，
当且仅当=a2，即a=1时取等号，
此时e==.
12.(2025·昆明模拟)已知正实数a，b满足ea-≥e1-b-，则a2+b2的最小值为　　　　　.
答案　
解析　因为函数f(x)=ex-在R上单调递增，
由f(a)≥f(1-b)，则a≥1-b，即a+b≥1.
因为a>0，b>0，所以a2+b2=(a+b)2-2ab≥(a+b)2-2=(a+b)2≥，
当且仅当a=b=时，a2+b2取得最小值.(共66张PPT)
第一章
§1.5　基本不等式的综合
应用
数学
大
一
轮
复
习
1.掌握基本不等式及其常见变形.
2.会求与基本不等式有关的恒(能)成立问题.
3.理解基本不等式在实际问题中的应用.
4.掌握基本不等式在其他知识中的应用.
课标要求
例1　(1)若a>1，b>1，且a≠b，则a2＋b2，2ab，a＋b，2中的最大值是
A.a2＋b2 B.2ab
C.a＋b D.2
√
基本不等式的常见变形应用
题型一
因为a>1，b>1，所以a2＋b2>a＋b，
根据基本不等式可知a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立，
因为a≠b，所以a2＋b2>2ab，
同理a＋b>2，
综上所述，上述四个式子中的最大值为a2＋b2.
(2)(2024·桂林模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有图形如图所示，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为
A.≥(a>0，b>0)
B.a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C.≤(a>0，b>0)
D.≤(a>0，b>0)
√
由题意知圆O的半径r＝OF＝AB＝，
又由OC＝OB－BC＝－b＝，
在Rt△OCF中，可得FC2＝OC2＋OF2＝，
因为FO≤FC，所以≤，当且仅当a＝b时取等号.
基本不等式的常见变形
(1)ab≤≤(a，b∈R).
(2)≤≤≤(a>0，b>0).
思维升华
跟踪训练1　(多选)已知a，b∈R，则下列不等式成立的是
A.≥ B.≤
C.≤ D.ab≤
√
√
A选项，由选项可知a与b同号，
当a>0且b>0时，由基本不等式可知≥恒成立，
当a<0且b<0时，<0，>0，该不等式不成立，故A选项错误；
B选项，当a＋b>0时，>0，
则≤0恒成立，
即≤恒成立，当a＋b≤0时，原不等式恒成立，故B选项正确；
C选项，当a＋b>0时，2ab－≤0，即2ab≤≤恒成立，当a＋b<0时，2ab－≤0，即2ab≤≥，故C选项错误；
D选项，由重要不等式可知，a，b∈R，ab≤恒成立，故D选项正确.
例2　(1)已知a>0，b>0，若不等式≤恒成立，则m的最大值为
A.4 B.6
C.8 D.9
√
与基本不等式有关的恒(能)成立问题
题型二
因为a>0，b>0，≤恒成立，
即m≤＋2恒成立，即m≤，
又因为＋2≥2＋2＝4，
当且仅当，即a＝b时取等号，
所以m≤4，所以m的最大值为4.
(2)若两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，且不等式x＋A.(－1，2)
B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C.(－2，1)
D.(－∞，－1)∪(2，＋∞)
√
由两个正实数x，y满足4x＋y＝2xy，
得＝2，
则x＋＝≥＝2，
当且仅当，即y＝4x＝4时取等号，
由不等式x＋得m2－m>2，解得m<－1或m>2，
所以实数m的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞).
x∈M，使得f(x)≥a，等价于f(x)max≥a；
x∈M，使得f(x)≤a，等价于f(x)min≤a.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知a>0，若关于x的不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，则a的最小值为
A.1 B.2 C.4 D.8
√
因为x>－1，x＋1>0，
所以x＋＝x＋1＋－1≥2－1＝2－1，
当且仅当x＋1＝，即x＝－1时取等号，
所以x＋有最小值2－1，
因为不等式x＋≥3在x∈(－1，＋∞)上恒成立，所以2－1≥3，
解得a≥4，所以a的最小值为4.
(2)若存在x∈(0，2]，使不等式ax2－2x＋3a<0成立，则实数a的取值范围是
A.a< B.0≤a≤
C.a> D.a>
√
当x∈(0，2]时，由ax2－2x＋3a<0，
可得a(x2＋3)<2x，由题意得a<，
因为≤，当且仅当x＝(x>0)，即x＝时，等号成立，
所以当x∈(0，2]时，，
故a<.
例3　随着环保意识的增强，电动汽车成为人们购车的热门选择.某型号的电动汽车经高速路段(汽车行驶速度不低于60 km/h)测试发现：①汽车每小时耗电量P(单位：kW·h)与速度v(单位：km/h)的关系满足P(v)＝0.002v2－0.04v＋5(60≤v≤120)；②相同路程内变速行驶比匀速行驶耗电量更大.现有一辆同型号电动汽车从A地经高速公路(最低限速60 km/h，最高限速120 km/h)匀速行驶到距离为500 km的B地，出发前汽车电池存量为
75 kW·h，汽车到达B地后至少要保留5 kW·h的保障电量(假设该电动汽车从静止加速到速度为v的过程中消耗的电量与路程都忽略不计).
(1)判断该车是否可以在不充电的情况下到达B地，并说明理由；
基本不等式的实际应用
题型三
设匀速行驶速度为v km/h，耗电量为f(v)，则f(v)＝P(v)·＝v＋－20(60≤v≤120)，
易知函数f(v)在区间[60，120]上单调递增，
所以f(v)min＝f(60)＝>75－5，
即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，
所以该车不能在不充电的情况下到达B地.
(2)若以该电动汽车的现存电量一定可以到达A地与B地间的服务区，服务区充电桩的功率为15 kW(充电量＝充电功率×时间)，求到达B地的最少用时(行驶时间与充电时间总和).
设匀速行驶速度为v km/h，总时间为t h，行驶时间与充电时间分别为t1 h，t2 h.
若能到达B地，则初始电量＋充电电量－消耗电量≥保障电量，
即75＋15t2－f(v)≥5，
解得t2≥－6.
所以t＝t1＋t2≥－6＝－6≥2－6＝.
当且仅当，即v＝100时取等号，
所以该汽车到达B地的最少用时为 h.
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
思维升华
跟踪训练3　第33届奥运会于2024年7月26日—8月11日在巴黎举行，某公益团队联系组委会举办一场纪念品展销会，并将所获利润全部用于社区体育设施建设.据市场调查，当每套纪念品(一个会徽和一个吉祥物)售价定为x元时，销售量可达到(15－0.1x)万套.为配合这个活动，生产纪念品的厂家将每套纪念品的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为50元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10.约定不计其他成本，即销售每套纪念品的利润
＝售价－供货价格.
(1)每套会徽及吉祥物售价为100元时，能获得
的总利润是多少万元？
每套会徽及吉祥物售价为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，
供货单价为50＋＝52(元)，
总利润为5×(100－52)＝240(万元).
所以能获得的总利润为240万元.
(2)每套会徽及吉祥物售价为多少元时，单套的利润最大？最大值是多少元？
每套会徽及吉祥物售价为x元时，销售量为(15－0.1x)万套，供货单价为元，
单套利润为x－50－＝x－50－，
因为15－0.1x>0，所以0所以单套利润为y＝x－50－＝－＋100≤100－2＝80，
当且仅当150－x＝10，即x＝140时取等号.
所以每套会徽及吉祥物售价为140元时，单套的利润最大，最大值是80元.
柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy，1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式.柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题，借助柯西不等式可以达到事半功倍的效果.
1.二维形式的柯西不等式
(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
柯西不等式
微拓展
2.二维形式的柯西不等式的变式
(1)·≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
(2)·≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
(3)(a＋b)(c＋d)≥()2(a，b，c，d≥0，当且仅当ad＝bc时，等号成立).
3.推广一般情形：设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn∈R，
则(＋…＋＋…＋)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立).
典例　(1)已知x，y满足x＋3y＝4，则4x2＋y2的最小值为　　　.
　
(x＋3y)2≤(4x2＋y2)，
所以4x2＋y2≥16×，
当且仅当y＝12x且x＋3y＝4，即x＝，y＝时等号成立，所以4x2＋y2的最小值为.
(2)函数y＝5的最大值为　　　　.
由题意得解得1≤x≤5，
y2＝(5)2＝(5·)2≤(52＋2)(x－1＋5－x)＝108，当且仅当x＝<5时等号成立，所以y≤6.
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课时精练
对一对
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B B C ABC ABD 1
题号 8 11 12 答案 C 1
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答案
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(1)f(x)＝x＋＝x－1＋＋1，
因为x>1，
所以x－1>0，
所以x－1＋＋1≥2＋1＝7，
当且仅当x－1＝，
即x＝4时，等号成立，
所以f(x)的最小值为7.
9.
答案
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(2)由(1)知函数f(x)的最小值为7，
因为a2＋6a≤f(x)恒成立，
所以a2＋6a≤7，
解得－7≤a≤1，
所以a的取值范围是[－7，1].
9.
答案
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(1)由题意可得W(x)＝
所以W(x)＝
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答案
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(2)当0W(x)＝－2x2＋140x－400，
当x＝35时，W(x)取最大值，
W(35)＝2 050(万元)；
当40W(x)＝－x－＋1 700＝－＋1 700≤－2＋1 700
＝1 580，
10.
答案
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当且仅当x＝60时，等号成立，
因为2 050>1 580，
故当该产品的年产量为35 台时，
所获年利润最大，
最大年利润为2 050(万元).
10.
一、单项选择题
1.已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为
A.13 B.12 C.9 D.4
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知识过关
答案
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答案
因为|MF1|＋|MF2|＝6，
所以|MF1|·|MF2|≤＝9，
当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立，
所以|MF1|·|MF2|的最大值为9.
2.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，数列{bn}是等差数列，且a5＝b6，则
A.a3＋a7≤b4＋b8 B.a3＋a7≥b4＋b8
C.a3＋a7≠b4＋b8 D.a3＋a7＝b4＋b8
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a3＋a7≥2＝2＝2a5＝2b6＝b4＋b8，当且仅当a3＝a7，即数列{an}的公比为1时取等号，所以a3＋a7≥b4＋b8.
答案
√
3.已知a，b为正实数，则“≤2”是“ab≤16”的
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
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答案
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答案
由a，b为正实数，∴a＋b≥2，当且仅当a＝b时等号成立，
若ab≤16，可得≤≤＝2，故必要性成立；
当a＝2，b＝10，此时≤2，但ab＝20>16，故充分性不成立.
因此“≤2”是“ab≤16”的必要不充分条件.
4.(2025·长沙模拟)中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半.已知△ABC的周长为12，c＝4，则此三角形面积最大时，A等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
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答案
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答案
由题可知a＋b＝8，c＝4，p＝6，
则S＝≤×＝4，
当且仅当a＝b＝4时取等号，
所以此时三角形为等边三角形，故A＝60°.
二、多项选择题
5.(2024·宜宾模拟)已知x>0，y>0，且2x＋y＝1，若≤x＋2y恒成立，则实数m的可能取值为
A. B. C.3 D.
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答案
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答案
由x>0，y>0，得xy>0，
≤x＋2y恒成立，
即≤恒成立，
又(2x＋y)＝5＋≥5＋2＝9，
当且仅当x＝y＝时，等号成立，
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答案
故≤9，即－9＝≤0，
即
解得m<1或m≥.
6.(2024·中山模拟)设a>0，b>0，已知M＝，N＝，则下列说法正确的是
A.M有最小值 B.M没有最大值
C.N有最大值为 D.N有最小值为
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答案
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答案
a>0，b>0，M＝≥2＝2，当且仅当，即a＝b时等号成立，M有最小值，无最大值，故A正确，B正确；
又a>0，b>0，≤≤，所以N＝≥，当且仅当a＝b时，等号成立，故C错误，D正确.
三、填空题
7.(2025·南京模拟)若正实数x，y满足x＋y＝2，且≥M恒成立，则M的最大值为_______.
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答案
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∵正实数x，y满足x＋y＝2，
∴xy≤＝1，∴≥1，
又≥M恒成立，∴M≤1，即M的最大值为1.
8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则角B的取值范围是　　　　　.
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答案
　
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因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c，
所以cos B＝≥.
所以≤cos B<1，
又y＝cos x在区间(0，π)上单调递减，
所以0答案
四、解答题
9.已知函数f(x)＝x＋(x>1).
(1)求f(x)的最小值；
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答案
f(x)＝x＋＝x－1＋＋1，
因为x>1，所以x－1>0，
所以x－1＋＋1≥2＋1＝7，
当且仅当x－1＝，即x＝4时，等号成立，
所以f(x)的最小值为7.
(2)若a2＋6a≤f(x)恒成立，求a的取值范围.
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答案
由(1)知函数f(x)的最小值为7，
因为a2＋6a≤f(x)恒成立，
所以a2＋6a≤7，解得－7≤a≤1，
所以a的取值范围是[－7，1].
10.随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来持续增长.某市一家医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，
且G(x)＝由市场调研知，该产品每台的
售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：台)的函数解析式(利润＝销售收入－成本)；
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答案
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答案
由题意可得W(x)＝
所以W(x)＝
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
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答案
当0当x＝35时，W(x)取最大值，W(35)＝2 050(万元)；
当40＋1 700＝1 580，
当且仅当x＝60时，等号成立，
因为2 050>1 580，
故当该产品的年产量为35 台时，所获年利润最大，最大年利润为2 050(万元).
11.(2024·德阳模拟)设双曲线＝1(a>0)的离心率为e，则当e2＋a2取最小值时，e等于
A. B.2 C. D.3
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答案
能力拓展
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答案
双曲线＝1(a>0)的离心率为e＝，
e2＋a2＝＋a2＝2＋＋a2≥2＋2＝4，
当且仅当＝a2，即a＝1时取等号，
此时e＝.
12.(2025·昆明模拟)已知正实数a，b满足ea－≥e1－b－，则a2＋b2的最小值为　　　.
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答案
　
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答案
因为函数f(x)＝ex－在R上单调递增，
由f(a)≥f(1－b)，则a≥1－b，即a＋b≥1.
因为a>0，b>0，所以a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2(a＋b)2≥，
当且仅当a＝b＝时，a2＋b2取得最小值.

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