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2025年中考数学二轮压轴题训练：四边形综合
1．如图，点为正方形内一点，连接交线段于点，过点的直线与线段、分别交于点、．
(1)如图1，若．
①求证：；
②求证：；
(2)如图2，若所在直线绕点顺时针旋转使得，正方形的边长，，求的长．
2．综合与探究
如图1，在边长为12的正方形中，是正方形内一点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．
(1)求证：．
(2)若点是的中点，连接，且．
①如图2，当A、、三点共线时，连接，求线段的长；
②连接，在运动的过程中，当最小时，直接写出四边形的面积．
3．问题发现
（1）小明在解决问题“如图（1），中，，E为的中点，于点D．求证：．”时，由E为的中点联想到构造三角形的中位线．如图（2），取的中点F，连接，，则是的中位线，故且，从而可得．要证，只需证即可．请你帮助小明完成证明过程．
深入探究
（2）如图（3），中，，，E为的中点，平分，交的延长线于点F，求的长．
拓展应用
（3）如图（4），中，，，将绕点A逆时针旋转α（）得到，连接，E为的中点，连接，请直接写出长度的取值范围．
4．综合与实践课上，老师让同学们结合“全等与相似”开展数学活动．
【初步探究】
（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在线段，上，且，则与的位置关系是________，数量关系是________；
【知识迁移】
（2）如图2，在矩形中，，点E，F分别为直线，上的动点，且，连接，．探究与存在的数量关系并说明理由；
【深入研究】
（3）如图3在（2）的条件下，若点E，F分别在边，的延长线上，的延长线与交于点H．点G为上的点，且，请用等式表示线段与的数量关系，并说明理由．
5．如图，点在菱形的对角线上，与边相切，切点为点，点在边的延长线上，且，将射线绕着点逆时针旋转一个角度后与边，直线分别交于，两点．
(1)当时，等于_____；
(2)若与相切于点，连接，如图2．
①求证：平分；
②求证：，，三点共线．
6．（1）如图1，正方形与正方形，点D在边上，连接，同学们通过观察可以得到如下解决办法：，，，证得“”．探究得出与的位置关系___________；
（2）如图2，正方形绕着点C顺时针旋转，当经过点D时，的度数是___________°；
（3）正方形继续旋转到如图3的位置，与相交于点M，连接．求证：．
7．综合与探究
问题情境
在“数学活动”课上，老师提出如下问题：将图1中两个全等的直角三角形纸板和重合放置，其中．将绕点顺时针旋转，旋转角为．如图2，当的直角顶点刚好落在边上时，的延长线交于点，试判断与的数量关系，并说明理由．
数学思考
（1）请你解答老师提出的问题．
深入探究
（2）老师将继续绕点顺时针旋转到图3位置，作射线交于点．此时“善思小组”的同学认为点是的中点．请判断“善思小组”的观点是否正确，并说明理由．
（3）在绕点顺时针旋转的过程中，连接，是否存在某一时刻，使得是一个以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出此时的长；若不存在，请说明理由．
8．如图1，在四边形中，是的中点，，垂足为，，．
(1)求证：；
(2)如图2，为的中点，交于点，若，求的值；
(3)在（2）的条件下，连接，若，求的值．
9．如图①，在矩形中，，为对角线上一点，以为边向上方作正方形，交于点，过点作于点．延长交于点．
(1)求证：．
(2)求的值．
(3)如图②，延长到点，使得，连接，猜想与的数量关系，并说明理由．
10．【中考新考法】综合与探究
【问题情境】“综合与实践”课上，老师让同学们准备了菱形纸片，并提出如下问题：将图1中的菱形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为和，将绕点按顺时针方向旋转，当时，延长交的延长线于，如图2，试判断四边形的形状，并说明理由．
【数学思考】（1）请你解答老师提出的问题．
【深入探究】（2）在完成老师提出的问题后，同学们进行了进一步的探究：
①“善思小组”在准备的菱形纸片中，将绕点按逆时针方向旋转，如图3，当点落在边上时，，，，四点共线，．若，请求出的长度．
②“智慧小组”准备的菱形纸片的对角线，，他们也将绕点按逆时针方向旋转，其点的对应点为，并过点作交直线于点，当时，请直接写出的长度．

11．综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动．
在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点，分别是点，的对应点．
(1)如图1，连接，，则的值为______．
(2)如图，当点恰好落在边上，连接交于点，连接，
①的长度为______．
②求证：，
(3)若直线，交于点，当时，请直接写出的长．
12．探究发现
（1）如图1，在正方形中，点P，Q分别在边，上，连接，．若，若，则线段和的数量关系是 ；线段和的数量关系是 ．
类比延伸
（2）如图2，在正方形中，点P是边上的一个动点，连接，作的垂直平分线分别交，于点E，F，过点P作交于点Q，猜想线段，，的数量关系，并证明．
拓展应用
（3）在（2）的条件下，若设的长为x，的长为，的长为，测量数据后画出的函数图象如图3所示，其中点M是图象的最高点．
①直接写出正方形的边长；
②在点P的运动过程中，当时，直接写出线段的长．
13．【问题提出】
（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值；
【问题探究】
（2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值；
【问题解决】
（3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值．
14．综合与探究
在数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究．如图1，在矩形中，，，点，分别是边上的点，连接，将矩形沿折叠，点的对应点为．
【初步探究】
（1）如图2，若点与点重合，点恰好落在边上，求证：四边形是正方形．
【深入探究】
（2）如图3，若点是的中点，改变点的位置，延长交于点，猜想与的数量关系，并说明理由．
（3）如图4，若点是的中点，改变点的位置，在折叠的过程中，若以为顶点的三角形是等腰三角形，直接写出线段的长．
15．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为（)．
【初步感知】
（1）如图1，将三角形纸片绕点B旋转，连接，，求的值；
【深入探究】
（2）如图2，在三角形纸片绕点B旋转过程中，当点D恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点G，求的长；
【拓展延伸】
（3）在三角形纸片绕点B旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，求线段的长度；若不能，请说明理由．
16．在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动．
【操作判断】
操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕；
操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为．根据以上操作，得 ．
【探究证明】
（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明．
（2）如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交于点．求证：．
【深入研究】若，直接写出的值．
17．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，进行了深入研究．
（1）如图1，在中，D为上一点，．求证：．
【拓展探究】
（2）如图2，在菱形中，E，F分别为，上的点，且，射线交的延长线于点M，射线交的延长线于点N．若，．求的长；
【学以致用】
（3）如图3，在菱形中，，，以点B为圆心作半径为3的圆，其中点P是圆上的动点，请直接写出的最小值．
18．如图1，在正方形中，点M，N分别是，上的点，，点E是上一点，将沿折叠，使点B落在N上的点F处．
(1)若，证明：点M是上的中点．
(2)如图2，延长与的延长线交于点G，交于点H，延长交于点P．
①求证：；
②当点E是的中点时，探究与的数量关系，并证明．
19．在正方形中，点是上一动点（不与点，重合），连接，将绕点在平面内按顺时针方向旋转至位置，连接，交于点．
(1)如图1，当点为的中点时，若正方形的边长为4，求的长．
(2)如图2，过点作于点，其延长线交于点．
①连接，求证：平分；
②当时，求的值．
《2025年中考数学二轮压轴题训练：四边形综合》参考答案
1．(1)①见解析；②见解析；
(2)．
【分析】（1）①作，证明，进而推出，即可得证；②平移线段，使得与重合，与重合，得到四边形为平行四边形，进而得到，连接，易得为等腰直角三角形，得到，连接，，根据三角形的三边关系即可得证；
（2）平移线段至，得到，，进而推出，将绕点顺时针旋转得，得到，再证明，得到，设，在中，勾股定理求出的值，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】（1）①证明：如图，作．
∵正方形，
∴，，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
又∵，
∴在与中，
，
∴
∴；
又∵，
∴，
∴，
∴；
②证明：平移线段，使得与重合，与重合，
由平移的性质，且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
连接，
由①知，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
连接，，
在中，由三角形的三边关系，得：
，
∴；
当、、三点共线时，，
∴；
（2）证明：平移线段至，
∴，，
∴，
∵，
∴
将绕点顺时针旋转得，
∴，
∴，，，
∴，、、三点共线，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
，
在中，
，
解得，；
∴．
【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造特殊图形和全等三角形，是解题的关键．
2．(1)见解析
(2)①，②88．
【分析】（1）根据正方形的性质及旋转的性质，利用可证明即可证明结论；
（2）①由（1）可知，则，结合正方形的性质及勾股定理得，过点F作延长线于H，可证，利用相似三角形的性质可得，，再利用勾股定理求解即可；②如图：连接，求得，由三角形三边关系可知，当点E在上时取等号，即：当最小时，，进而可得的面积，过点E作，则得，进而求得，可得的面积，进而求得即可．
【详解】（1）证明：在正方形中，，，
由旋转可知，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：①由（1）可知，，则，
在正方形中，，，则，
∵点是的中点，
∴，则，
∴，
如图：过点F作延长线于H，则，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴；
②如图：连接，则，
由三角形三边关系可知，，
当点E在上时取等号，即：当最小时，，
∴ ，
如图：过点E作，则，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理等知识点，正确添加辅助线、构造相似三角形是解题的关键．
3．（1）见解析；（2）；（3）
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理 ，三角形三边关系 ， 勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
（1）取的中点， 连接，则是的中位线，推出且，再由直角三角形斜边中线的性质求得，进而得到据此求解即可；
（2）延长交于点，证明，推出，再由三角形中位线定理求解即可；
（3）取的中点，连接，，由直角三角形斜边中线的性质以及三角形中位线定理结合三角形三边关系即可求解.
【详解】（1）证明： 如图（2）， 取的中点， 连接，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴且，
∴，
∵，
∴，
∵， 为的中点，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
(2)如图， 延长交于点，
，平分，
，又 ，
，
，
，
，
∵为的中点，，
；
（3），
如图（3）， 由题意知点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点，连接，
，
，
，
由旋转的性质可得
∵ 为的中点，为的中点，
，
∴
，
∴当在上时， 最小， 为；当在的延长线上时，最大，为
．
4．（1）；（2）；（3），理由见解析
【分析】（1）设交于T，证明，得到，再导角证明即可得到答案；
（2）证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可；
（3）过点B作于M，证明，得到，导角证明，则可证明，推出，则可证明，由勾股定理得．
【详解】（1）解：设交于T，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即；
（3）解：，理由如下；
如图所示，过点B作于M，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形得性质，正方形的性质，全等三角形的性质与判定等待，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键．
5．(1)
(2)① 见解析；② 见解析
【分析】（1）由菱形的性质可得：，，平分，根据得到，推出，由可得，推出，结合平分，可得，即可求解；
（2）① 点作于点，连接、，由 与相切于点和 与边相切，切点为点，可推出，，，根据平分，可得，推出，即可证明；②连接并延长交直线于点，由① 得 ：为的切线，结合，均为的切线，可得，，，设，，，，，，则，得到，即，根据菱形的性质和题意可得：为的中位线，且，得到，，推出，根据等腰三角形的额判定与性质可推出，得到与点重合，即可证明．
【详解】（1）解：当时，点与点重合，如图，
四边形是菱形，
，，平分，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，即，
，
故答案为：；
（2）① 如图，过点作于点，连接、，
与边相切，切点为点，
，
又平分，
，
与相切于点，
，，
，
又，，
平分；
② 由① 得 ：为的切线，
，均为的切线，
，，，
设，，，，，，
则，
解得：，
，
连接并延长交直线的延长线于点，
，，
，
为的中点，
为的中位线，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
点与点重合，
，，三点共线．
【点睛】本题考查了切线长定理，切线的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，菱形的性质，解题的关键是灵活运用相关知识正确添加辅助线．
6．（1）垂直（或）；（2）45；（3）见解析．
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质并结合条件作出辅助线构造合理的全等三角形是解题的关键．
（1）延长交于点，得出，进而利用，即可得出答案；
（2）由得出，进而证明即可求得答案；
（3）可分别证明以及，然后结合，，可得，进一步即可得证．
【详解】解：（1）延长交于点，如图：
，
，
四边形和是正方形，
，
，即；
故答案为：垂直（或）；
（2），
，
在和中，
，
，
；
故答案为：45；
（3）过作，交于点，如图：
由（2）知在和中，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
∵，，
，
，即．
7．（1），见解析；（2）正确，见解析（3）或
【分析】（1）解法1连接，证明即可；
解法2 根据勾股定理，得，得到，利用三角函数求得的长度，比较解答即可．
（2）过点E作，交的延长线于点G，则，根据旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，三角形全等的判定和性质，证明即可．
（3）当，根据旋转的性质，得，取的中点N，连接，交于点P，利用等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理，三角函数的应用解答即可；当，根据旋转的性质，得，取的中点M，连接，交于点Q，则，根据矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例定理解答即可．
【详解】（1）解：解法1：连接，
∵
∴，
∴．
解法2：根据题意，得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：过点E作，交的延长线于点G，
则，
∵继续绕点顺时针旋转到如图位置，作射线交于点．
∴，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点是的中点．
（3）解：当，
根据旋转的性质，得，
取的中点N，连接，交于点P，
则，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
解得；
当，
根据旋转的性质，得，
取的中点M，连接，交于点Q，
则，
∴，四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理的应用，三角函数的应用，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证明四边形为平行四边形，．证明垂直平分，得到，即可得到结论；
（2）证明，，由即可得到结论；
（3）过点作，垂足为．求出，，即可求出的值．
【详解】（1）证明：，，
．
又，
四边形为平行四边形，
．
为的中点，
为的中点，
垂直平分，
，
．
（2）解：为的中点，为的中点，
，
．
由（1）可知，，
，
，
，
，
∴
，
．
（3）解：如图，过点作，垂足为．
∴
∴
∴
由（2）可知，当时，，
，，
∴
．
设，则，．
在中，，
，解得，
，，
．
【点睛】此考查了平行线分线段成比例定理、勾股定理、三角形中位线定理、平行四边形的性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．
9．(1)证明见解析
(2)
(3)①，理由见解析
【分析】本题考查了四边形与相似、三角函数结合，三角形全等的判定，熟练掌握正方形、矩形中的角度相等证相似是解题的关键．
（1）利用直角与直角三角形的角度关系得出角度相等，再证明即可；
（2）证明即可；
（3）过点作于点，设，利用相似或三角函数分别得出和，再利用线段垂直平分线性质得出结论．
【详解】（1）解：∵在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：∵矩形中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：猜想：，理由如下：
过点作于点，
设，
∵，，
∴，，，
∵，，
设，，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴．
10．（1）四边形是菱形，理由见解析；（2）①；②17.6或1.6
【分析】（1）由题意得，再由菱形的性质得到，则先证明四边形为平行四边形，由菱形得到邻边相等，即可证明为菱形；
（2）①导角证明，则，设，而，则，解方程即可；
②可得，，则，设边上的高为，由面积法求得，当时，而菱形中，，故点共线，而，，则，即，由旋转得，，再分两种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：四边形为菱形，理由：
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形
由旋转的性质可知，
∴平行四边形为菱形；
（2）①解：由题意得可得，，
∴，
设，
∵菱形，
∴
∴在中，，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，（舍），
∴；
②∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
设边上的高为
则，
∴，
当时，而菱形中，，
∴点共线，
∵，，
∴，即
由旋转得，
当点在右侧时，如图：
∴；
当点在左侧时，如图：
∴，
综上所述：当时，的长度为17.6或1.6．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，勾股定理等知识点，难度较大，正确画出图形是解题的关键．
11．(1)
(2)①；②见解析
(3)或
【分析】（1）由旋转的性质得到，，，求得，根据相似三角形的性质得到；
（2）①根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到；
②如图1，过点作于点，由旋转可知，得到，根据平行线的性质得到，推出平分根据角平分线的性质得到由旋转可知，，根据全等三角形的性质得到；
（3）根据旋转的性质得到，，，求得，得到，得到为等边三角形，同理为等边三角形．如图，令与的交点为，根据三角函数的定义得到，如图，同理可得
【详解】（1）解：由旋转的性质知，，，
，
，
，
故答案为：；
（2）①解：四边形是矩形，
，，
，
，
故答案为：；
②证明：如图1，过点作于点，
由旋转可知，，
，
，
，
，
平分
又，，
由旋转可知，，
，，
，
；
（3）解：的长为或，理由如下，
由旋转得，，，
，
，
，
在四边形中，，
，
，
为等边三角形，
同理为等边三角形．
如图2，令与的交点为，
，，
，
，
如图3，同理可得，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题是相似形的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键．
12．（1）， （2）, 理由见解析 （3）①正方形的边长为 ②
【分析】本题为四边形综合题，涉及到正方形的性质、三角形全等和相似、中垂线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键.
（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论；
（2）证明， 则，即可求解；
（3）①由，即， 即， 即可求解；
②由（2）知，，则， 设， 则，则， 则， 则， 则， 由（2）知，则， 而， 则，即可求解.
【详解】（1）如图中， 设交于，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴， ，
故答案为： ，；
（2）， 理由：
连接交于点，
∵垂直平分， 则且，
∴为的中位线， 即，
∵，
∴，O，
，
则，
∴；
（3）①设， 则，
∵，，
∴，
∴， 即，
由图可得时， ， 即，
解得： ，
即正方形的边长为；
②作于点，
由（1）知，，则，，
设， 则，
∴，
∴，
∴，
则，
由（2）知，，
∴，
∵，
∴，
∴ ．
13．（1）；（2）；（2）
【分析】（1）作的外接圆，连接，过点O作于点E，先由圆周角定理和垂径定理得，可得，，设 ，结合 ，再进一步即可解决问题；
（2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形，将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线，由，当取得最小值时，取得最大值，，求出的最小值，即可解决问题；
（3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H．求出的面积的最小值，可得结论．
【详解】解：（1）如图①中，作的外接圆，连接，过点O作于点E，则，，，
∵
∴，
设，
则，
∵，，
∴，
解得：，
∴，
∴最小值为；
（2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形，
∵，，，
∴，，，
∴
；
∵，
∴将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线，
∴，
∵为定值，
∴当取得最小值时，取得最大值，
∵，
∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J．
设的外接圆半径为，则，
又∵，
∴，
∴，
当点O在上时，最短，此时，
∴，
∴．
（3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H．
∵，
∴，
同理可得：，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积的最小值为，
∴的面积的面积的最小值为，
∴五边形的面积的最大值，
∴种植乙花面积的最大值为．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形的外接圆，解直角三角形，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
14．（1）见解析；（2）；理由见解析；（3）或或
【分析】（1）根据矩形性质得出，，，根据折叠得出，，，，证明四边形是菱形，根据，四得出边形是正方形即可；
（2）连接，证明即可；
（3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可．
【详解】证明：（1）∵四边形为矩形，
∴，，，
根据折叠可知：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）；理由如下：
连接，如图所示：
∵E为中点，
∴，
根据折叠可知：，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）∵点F为的中点，
∴，
根据折叠可知：，，
当时，过点作于点G，延长，交于点H，过点F作于点M，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
同理得：四边形为矩形，
∴，，
∴，
根据勾股定理得：，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即此时；
当时，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：；
当时，过点F作，连接，交于点H，如图所示：
∵，，
∴，
根据勾股定理得：，
∵F为的中点，，
∴，
根据折叠可知：垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
即，
解得：．
综上分析可知：或或．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
15．（1） （2） （3）或
【分析】（1）证明即可解答；
（2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答；
（3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答．
【详解】解：（1）
∴，
由旋转得：，
，
，
∴；
（2）如图2， 延长交于，连接交于，
由（1）知：，
∴，
∵是中线，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∵， ，
∴，
，
，
，，
∴，
，
由勾股定理得：，即
解得，
；
（3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于，
，
∴四边形是矩形，
，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，即 ，
，
中，，
，
解得：(负值舍)，
∵，
即 ，
；
②如图，，过点作于，
，
∴四边形是矩形，
，
，
，
由勾股定理得：；
综上，的长是或．
【点睛】本题是三角形的综合题，考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握相关的性质是本题的关键．
16．[操作判断]；[ 探究证明]（1）等腰直角三角形，证明见解析；（2）见解析；[深入研究]
【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解；
[ 探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形；
（2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此；
[深入研究]
结合 [ 探究证明]（1）中，，根据勾股定理可求出，由[ 探究证明]（2）知：，则，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】[操作判断]
解：如图，
由题意得，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
故答案为：45；
[ 探究证明]
（1）解：是等腰直角三角形
理由：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴是等腰直角三角形；
（2）证明：如图，
由翻折得，，
∵四边形是正方形，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
[深入研究]
解：由[ 探究证明]（1）知：，，
∴，
由[ 探究证明]（2）知：，
∴，
由[ 探究证明]（1）知：，
∴，
由翻折得，
又，
∴，
∴，即，
解得．
【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
17．（1）见解析，（2），（3）
【分析】（1）由，，可得，进而有，根据比例的基本性质即可得出结论成立；
（2）连接，由菱形可得，进而证明，得即可求出的长；
（3）如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，，先利用勾股定理求出，，再证明得出，从而得出即可得出最小值．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：连接，
在菱形中，，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
（3）解：如图，过点D作垂直的延长线于点M，在上取一点Q，使得，连接，，
菱形中，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
即，
，
最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了圆的概念、三角形的两边之和大于第三边、勾股定理、相似三角形的性质和判定及菱形的性质，构造辅助线将求和的两条线段转入同一三角形中利用三角形的两边之和大于第三边求最小值是解题的关键．
18．(1)见详解
(2)①见详解；②，证明见详解
【分析】（1）由已知，根据“两直线平行，同位角相等”得，由已知，根据直角三角形中的边角关系得：，由折叠可知：，从而可得结论；
（2）①由折叠可知：，根据正方形的性质得：，，根据“两角对应相等的两个三角形相似”得：，从而可得，等量代换得出结论；
②设，则，从而根据直角三角形中的边角关系得，由折叠可知：，，从而得到，连接，由“”证明： ，得到：，根据平角的定义可得：，根据“同角的余角相等”得到：，从而得到：，即有，进而得到：，根据 “平行于三角形一边的直线，截其它两边或两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似”证明：，得到：，即可得出结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
，
若，
则，
由折叠可知：，
，
∴点是的中点；
（2）①证明：∵四边形是正方形，
∴，，
由折叠可知：，
，，
，
，
，
，
；
②解：当点是的中点时，与的数量关系是，
证明如下：
设，
则，
当点是的中点时，，
，
由折叠可知：，，
，
连接，如图：
在和中
，
，
，
，
而，
，
，
即有，
，
，
，
，
，
，
，
，
或．
【点睛】该题是几何综合题，主要考查了正方形的性质，折叠的性质，解直角三角形，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线，掌握以上知识点．
19．(1)
(2)①见解析；②.
【分析】本题主要考查了旋转、四边形和全等三角形综合，解题关键是构造K字形全等证明，.
（1）过点作于点，过点作于点，交于点,构造K字形全等，可得，，进而可得，再根据点为的中点时，可得，由此得出，进而可得，由此求出，再根据即可求出；
（2）①过点作于点，交于点,过点作于点，由（1）可证明四边形是正方形，再根据到角两边距离相等的点在角的平分线上即可得出结论；
②由已知可得，再根据，可得，由，即可得出．
【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点，交于点
由旋转可知：，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵在正方形中，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵当点为的中点时，正方形的边长为4，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）①过点作于点，过点作于点，交于点,过点作于点，
由（1）可知：，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴平分，
②当时，即，
∴，
∴
∴，
∵在正方形中，，
∴，
由（1）得，
∴．
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