资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年中考数学二轮压轴题训练：一次函数综合
1．如图，在中，，是的中点，动点从点出发，沿着折线（含端点和）运动，速度为每秒1个单位长度，到达点停止运动．设点的运动时间为秒，点到的距离为个单位长度．
(1)直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)在直角坐标系中画出与的函数图象，并写出它的一条性质；
(3)根据图象直接写出当时的取值范围．
2．如图①所示，李华的家、公园、超市依次在同一条直线上，公园距离李华家，超市距离李华家．李华从家里出发，匀速步行了到公园，他在公园停留了一段时间，之后他匀速步行了到超市，在超市停留购买商品后，再匀速骑行了返回家．下面图②中（单位：）表示李华离开家的时间，（单位：）表示李华离家的距离．图象反映了这个过程中李华离家的距离与他离开家的时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)填表：
李华离开家的时间（单位：） 4 8 34 52
李华离家的距离（单位：km） 0
(2)填空：
①超市到公园的距离为_____km；
②李华在公园停留的时间为_____；
③李华从超市返回家的速度为_____；
④当时，请直接写出李华离家的距离关于时间的函数解析式；
(3)当李华离开家时，他的妈妈从超市出发匀速步行了直接返回家中，那么妈妈在回家途中，两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）
3．某校对教室采用药薰法进行灭蚊．根据药品使用说明，药物燃烧时，室内每立方米空气中含药量与药物点燃后的时间成正比例，药物燃尽后，y与x成反比例（如图）．已知药物点燃后燃尽，此时室内每立方米空气中含药量为．
(1)求药物燃烧时，y与x之间函数的表达式；
(2)求药物燃尽后，y与x之间函数的表达式；
(3)根据灭蚊药品使用说明，当空气中每立方米的含药量低于时，对人体是安全的．那么从开始药薰，至少经过多少时间，学生才能进入教室？
(4)根据灭蚊药品使用说明，当每立方米空气中含药量不低于且持续时间不低于时，才能有效杀灭室内的蚊虫，那么此次灭蚊是否有效？为什么？
4．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与轴交于点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)设为线段上的一个动点（不包括两点），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积是3时，求点的坐标．
5．如图1，光滑桌面的长为，两端竖直放置挡板和，小球P（看作一点）从挡板出发，匀速向挡板运动，撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，过程中小球和挡板的距离与时间的关系图象如图2所示．（注：小球和挡板的厚度忽略不计，撞击和反弹时间忽略不计）
(1)图中______，______，小球的速度为______．
(2)求图2中直线的函数解析式．
(3)若小球从挡板向挡板运动的过程中，同时，挡板以的速度匀速向挡板运动，运动过程中（小球与挡板撞击前），当小球恰好位于这两个挡板中点处时，运动时间为，请直接写出t的值．
6．周末小佳和小乐相约去农庄游玩．小佳从甲小区骑电动车出发，同时，小乐从乙小区开车出发．途中，小乐去超市购物后，按原来的速度继续去农庄．甲、乙小区，超市和农庄之间的路程如图1所示，图2中线段和折线分别表示小佳和小乐离甲小区的路程（千米）与时间（分钟）的函数关系的图象，且两人行车速度均保持不变．根据图中信息，解答下列问题：
(1)求小佳骑电动车的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)小乐离开超市去农庄的行程中，求两人相遇时他们距离农庄的路程．
7．某学校与部队联合开展红色之旅研学活动，已知营地、学校、仓库、基地依次在同一条直线上，仓库距离营地，基地距离营地．部队官兵乘坐军车从营地出发，匀速行驶到达仓库，部队官兵下车领取研学物资，在仓库停留后乘坐军车按原速度继续匀速前行到达基地．下面图中x表示时间，y表示离营地的距离．图象反映了这个过程中军车离营地的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
(1)①填表：
军车离开营地的时间/h
军车离营地的距离/km 80
②填空：军车行驶的速度为______km/h；
③填空：a的值为______；
④请直接写出军车离营地的距离y与所用时间x的函数解析式；
(2)学校距离营地20km，军车离开营地的同时，学校师生乘坐大巴从学校出发匀速直接前往基地，与部队同时到达基地，那么学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间？（直接写出结果即可）
8．甲、乙两地相距360千米，快、慢两车从甲地同时出发，匀速行驶，快车到达乙地后，停留1小时，然后按原路原速返回，慢车到达乙地后结束行程，快、慢两车距甲地的路程(千米)与出发后所用的时间x(小时)的关系如图所示．
(1)分别求和的y关于x的函数解析式；（不必写出自变量的取值范围）
(2)求点C的坐标；并说明点C的实际意义；
(3)直接写出在慢车到达乙地前，快、慢两车相距的路程不超过150千米的时长．
9．某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量y（套）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．所获的利润w（元）与销售单价x（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价x（元） … 20 30 40 50 60 …
周销量y（套） … 40 30 20 10 0 …
所获利润w（元） … 0 300 400 300 0 …
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)①请在下面的平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上的三个格点，再画出二次例函数的图象；
②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？
10．综合与实践
问题情境
如图1，物理活动课上，同学们做了一个小球弹射实验．小球从斜坡点O处以一定的方向弹出，小球的飞行路线近似地看作是抛物线的一部分，首先落到斜坡上的点A处．
建模分析
第一步：如图2，根据小球飞行路线，以过点O的水平直线为x轴，过点O的铅垂直线为y轴建立平面直角坐标系．
第二步：分析图象得出，小球飞行的水平距离与小球飞行的高度的变化规律如下表：
0 1 2 3 4 5 …
0 2.5 4 4.5 4 2.5 …
第三步：在平面直角坐标系中，斜坡的函数表达式为．
问题解决
(1)求小球飞行的高度与水平距离的函数表达式（不要求写自变量的范围）．
(2)如图3，在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，树的高度为米．若小球恰好经过树的最高点，求点B的坐标．
(3)求小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度．
11．如图，在平面直角坐标系中，菱形的一个顶点在原点处，顶点在轴正半轴上，且点的横，纵坐标是方程的两个实数根（横坐标大于纵坐标），将菱形绕原点逆时针旋转得到菱形，点，，的对应点分别为，，．
(1)求点的坐标；
(2)动点从点出发以每秒个单位长度的速度沿折线运动，设运动时间为秒，的面积为，求与的关系式；
(3)为直线上一点，在直线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与交于点，点为轴上正半轴一动点，过点作轴的垂线与直线，分别相交于，两点，过点作轴的直线交于点．
(1)求的值及的函数表达式；
(2)当，求点的坐标；
(3)以，为边作长方形，当点在运动过程中，试探究的运动轨迹是否为一条直线中的一部分？若是，直接写出该直线解析式；若不是，请说明理由．
13．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．
任务一：建立函数模型
（1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
任务二：设计销售方案
（2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请求出最大日销售利润．
14．如图，矩形的边、的长分别是方程的两个根（），折叠矩形，使边落在x轴上，点B与点E重合．
(1)求折痕所在直线解析式．
(2)将直线沿x轴负方向以每秒1个单位长度的速度平移，直接写出直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式．
(3)点P是直线上一点，试在平面内确定一点M，使得以A、B、P、M为顶点的四边形是菱形，直接写出点M的坐标．
15．在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点．已知点的横坐标是1，点的纵坐标是．
(1)求，的值；
(2)根据图像，直接写出当时自变量的取值范围；
(3)若直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上找一点，使得以、为顶点的三角形与相似，请直接写出点坐标．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴的正半轴上，顶点C，D在第一象限内，正比例函数的图象经过点D，反比例函数的图象经过点D，且与边交于点E，连接，已知．
(1)点D的坐标是_____；
(2)求的值；
(3)观察图象，请直接写出满足的x的取值范围；
(4)连接，在线段上取一点P，使，过点P作垂直x轴，交双曲线于点Q，请求出线段的长．
17．如图1，抛物线经过点、，对称轴为直线，直线与x轴所夹锐角为，与y轴交于点E．
(1)求抛物线和直线的表达式；
(2)将抛物线沿二、四象限的角平分线平移，使得平移后的抛物线与直线恰好只有一个交点，求抛物线平移的距离；
(3)如图2，将抛物线沿直线翻折，得到新曲线，与y轴交于M、N两点，请直接写出点坐标．
18．如图，已知抛物线经过和两点，将该抛物线位于轴下方的部分沿轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“W”，图象交轴于点．
(1)①求抛物线的解析式；
②求二次函数的最小值．
(2)①直接写出图象的解析式；
②求当图象所对应的函数随增大而增大时的取值范围．
(3)若直线与图象有3个交点时，请结合图象，直接写出的值．
19．【背景阅读】图中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是一种传统的木制凳子，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观其中，榫眼的设计很有讲究，其形状为长方形，且长与宽分别与凳面的长与宽平行；木工先沿凳面的一条对称轴画一条线（如图中虚线），再以这条线为基准向两边各取相同的长度，以确定榫眼的位置，其结构设计体现了数学的对称美．
【数据收集】小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为，凳面的宽度为：
以对称轴为基准向两边各取相同的长度/
凳面的宽度/
【数据分析】该数学兴趣小组以对应的一组，的值分别作为一个点的横、纵坐标，并在平面直角坐标系中描出了相应的多个点，发现这些点都在同一条直线上．
【建模应用】
（1）求与之间满足的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度有什么范围要求？
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，点在点左侧，与轴交于点，抛物线的顶点为，作直线，点是抛物线上的一个动点，且点在抛物线对称轴左侧，过点作轴的垂线，与直线交于点，点关于直线的对称点为，连接，设点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点的纵坐标与顶点的纵坐标相等时，求的值；
(3)当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大或随的增大而减小时，求的取值范围；
(4)连接，当与相等时，直接写出的值．
《2025年中考数学二轮压轴题训练：一次函数综合》参考答案
1．(1)
(2)函数图象见详解；
性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
(3)或
【分析】本题主要考查一次函数和三角形的结合，涉及勾股定理、解直角三角形和解不等式，解题的关键是熟悉关键是分情况讨论．
（1）根据勾股定理求得，结合题意可得，依据，即可求得点M在线段上；当点M在线段上时，结合和，即，求得y即可；
（2）根据描点连线作图即可，结合图象写出性质即可；
（3）结合解不等式的方法和分情况求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵点到的距离，动点从点出发，沿着折线（含端点和）运动，速度为每秒1个单位长度，
∴当点M在线段上时，，此时，，
∴，即，，
当点M在线段上时，如图，
∵，
∴，此时，，
∵，
∴，即，
∴，，
则
（2）解：画函数图象如图所示：
性质：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小．
（3）解：当时，解得，则；
当时，，解得，则；
故或
2．(1)见解析
(2)①；②12；③；
(3)两人相遇时离家的距离或．
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，求函数的解析式，列一元一次方程解决实际问题，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）结合函数图象即可得出结果；
（2）①根据图象作答即可；
②根据图象作答即可；
③根据图象作答即可；
④分段求解，，可得出，当时，；当时，设一次函数解析式为：，把，代入，用待定系数法求解即可；
（2）李华妈妈距家的路程与李华离开家的时间的关系式，然后分两种情况分析求解即可．
【详解】（1）解：∵公园距离李华家，匀速步行了到公园，
∴离开家时，离家的距离为：，
由函数图象得：离开家时，离家的距离为，
填表如下：
李华离开家的时间（单位：） 4 8 34 52
李华离家的距离（单位：） 0
（2）解：①根据图象得：超市到公园的距离为：，
故答案为：
②根据图象得：，
故答案为：12．
③根据图象得：，
故答案为：；
④当时，李华的匀速骑行速度为，
∴；
当时，；
当时，设一次函数解析式为：，
把，代入，可得出：
，
解得：，
∴，
综上：．
（3）解：设李华妈妈距家的路程与李华离开家的时间的关系式为，
则，解得：，
∴
当李华从公园到超市的途中相遇时，
，
解得：，
∴；
当时，设一次函数解析式为：，
把，代入，可得出：
，
解得：，
∴，
当李华从超市返回的途中相遇时，
，
解得：，
∴；
综上可得：两人相遇时离家的距离或．
3．(1)
(2)
(3)从药薰开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室
(4)能有效杀灭室内的蚊虫，见解析
【分析】本题主要考查了反比例函数和正比例函数的应用，正确数形结合得出函数解析式是解题关键．
（1）依据题意，利用待定系数法可得出答案；
（2）依据题意，利用待定系数法可得出答案；
（3）依据题意，当时，求得反比例函数的值，可得出答案；
（4）依据题意，将分别代入两个解析式，得出答案．
【详解】（1）解：由题意，设药物燃烧时y关于x的函数关系式是，将点代入，
，
，
药物燃烧时y关于x的函数关系式是，自变量 x的取值范围是；
（2）解：由题意，设药物燃烧后y关于x的函数关系式是，把代入，
，
药物燃烧后y与x的函数关系式为，自变量 x的取值范围是；
（3）解：由题意，当时，代入，
，
从药薰开始，至少需要经过30分钟后，学生才能回到教室；
（4）解：此次灭蚊有效，将分别代入，，
和，
持续时间是，
能有效杀灭室内的蚊虫．
4．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，灵活运用这些性质解决问题是解题关键．
（1）先求出，再利用待定系数法即可求解；
（2）设点的坐标为，则，由，即可求解．
【详解】（1）解：把代入中，得：
，
又∵在一次函数的图象上，
，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：当时，，
∴，
设点的坐标为，则，
，
∴，
解得：，（不合题意，舍去），
．
5．(1)120，24，10；
(2)
(3)
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求函数解析式，线段的中点，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据函数图象可知，小球到达时，进而可求出m和小球的速度；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）根据中点的定义列方程求解即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，小球到达时，
∴小球的速度为．
∵撞击挡板后反弹，以原速返回挡板，
∴．
故答案为：120，24，10；
（2）解：直线的函数解析式为，把代入，得
，
解得，
∴；
（3）解：设挡板运动后的位置为，由题意，得
，
∵小球恰好位于这两个挡板中点，
∴，
解得，
∴t的值为．
6．(1)
(2)；
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
（1）根据题意可知小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，进而可得出答案；
（2）求出B，C坐标，然后用待定系数法求出函数解析式；
（3）先求出两人相遇时所走的路程，再用总路程减去所走路程．
【详解】（1）解：∵小佳从甲小区骑电动车去农庄，总路程为，时间为，
∴小佳骑电动车的速度；
（2）根据题意，点E坐标为，A点坐标为，
则点B坐标为，
∵乙小区到超市，用时6分钟，
∴小乐的速度为，
∴小乐从超市到农庄所用时间为，
∴点C坐标为，
设线段的函数表达式为，
把，，代入解析式得，
解得：，
∴线段的函数表达式为；
（3）线段的函数解析式为
把点代入解析式得：，
解得，
∴线段的函数解析式为，
当小乐离开超市后追上小佳时，距离农庄的距离相同，
∴，
解得，
∴．
∴小乐离开超市去农庄的行程中，两人相遇时他们距离农庄的路程
7．(1)①表格见详解；②60；③2；④
(2)学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间
【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；
（1）①根据图象可直接进行求解；②由图象可根据得出军车的速度；③由②可知军车的速度为，然后根据时间=路程÷速度可进行求解；④由题意可分当时，当时和当时，然后可得函数关系式；
（2）由题意易得学校离基地的距离为，然后可得学校师生乘坐大巴车的速度，然后根据相遇问题可进行求解．
【详解】（1）解：①由图象可补充表格如下：
军车离开营地的时间/h
军车离营地的距离/km 80 80
②由图象得：
军车行驶的速度为；
故答案为60；
③由②得：；
故答案为2；
④由题意可分：当时，设y与x的关系式为，则有，
，解得：，
∴y与x的关系式为，
当时，此期间路程没有发生变化，所以y与x的关系式为，
当时，设y与x的关系式为，则有，
，解得：，
∴y与x的关系式为，
综上所述：y与x的关系式为；
（2）解：由题意得：学校离基地的距离为，
∴学校师生乘坐大巴车的速度为，
∴学校师生前往基地的途中遇到部队时的时间为，
答：学校师生前往基地的途中遇到部队时军车离开营地的时间．
8．(1)：；：
(2)；点C表示：两车出发小时后，在距离甲地280千米的地方相遇
(3)小时
【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求出和的y关于x的函数解析式；
（2）根据和的函数解析式，求出点C的坐标即可；
（3）先求出的解析式为，分别求出快、慢两车相距的路程不超过150千米的时间段，然后再求出时长即可．
【详解】（1）解：根据图象可知，快车的速度为：
（千米/时），
，
∴点B的坐标为，
设的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴的解析式为：；
设的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴的解析式为：；
（2）解：联立，
解得：，
∴点C的坐标为．
点C表示两车出发小时后，在距离甲地280千米的地方相遇．
（3）解：设的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴的解析式为：，
令，
解得：，
令，
解得：，
令，
解得：，
∴当或时，快、慢两车相距的路程不超过150千米，
（小时），
答：快、慢两车相距的路程不超过150千米的时长为小时．
【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及函数交点坐标求法等知识，根据已知图象得出点的坐标是解题关键．
9．(1)
(2)①见解析 ②当销售单价定为36元/件时，每周的销售利润最大，最大利润是384元．
【分析】（1）设，根据题意，得，解方程组解答即可；
（2）①求得二次函数的解析式，再描点画图即可；
②利用二次函数的图象和性质即可解答．
【详解】（1）解：设，
根据题意，得，
解得，
故．
（2）①解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，不妨设抛物线的解析式为，
把代入，得，
解得，
故，用描点法画图象画图如下：
②解：由，
∵，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，且在对称轴的左侧y随x的增大而增大，
∵文具店打算销售单价不能高于进价的倍，
∴，
∴当时，w取得最大值，最大值为．
答：当销售单价定为36元/件时，每天的销售利润最大，最大利润是384元．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，描点法画图象，二次函数求最值，抛物线的增减性，熟练根据题意求得二次函数的解析式，利用函数的最值，增减性解题是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的实际应用，正确理解题意，求出函数解析式是解题的关键．
（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设，则小树顶端点的坐标为，将其代入解方程即可；
（3）建立新的函数，设铅直高度为，由题意得，再利用二次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设小球飞行的高度与水平距离的函数表达式为，
由表格得：，
解得：，
∴函数表达式为；
（2）解：由题意得，设，
∴小树顶端点的坐标为，
将其代入得，，
解得：，
∵在斜坡点B（靠近点O）位置处种了一棵树，，
∴不符合题意，舍去，
∴；
（3）解：设铅直高度为，由题意得，
∴；
∵，
∴当时，取得最大值为，
∴小球在飞行过程中距坡面的最大铅直高度为．
11．(1)；
(2)当点在上时，；当点在上时，；
(3)存在，点的坐标为或或．
【分析】（）先解出方程，，，则有，所以，再由菱形的性质得，，从而求出点的坐标；
（）分两种情况：当点在上时，即，过作轴于点，则，当点在上时，即，过作轴于点，过作轴于点；
（）先求出解析式，解析式，设，，再分当以为对角线的平行四边形，当以为对角线的平行四边形，当以为对角线的平行四边形三种情况分析即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴点的坐标；
（2）解：如图，当点在上时，即，过作轴于点，则，
由（）得：，
∵四边形是菱形，
∴，
∵菱形绕原点逆时针旋转得到菱形，
∴，
∴的纵坐标与的横坐标值相同，
∴，
∴；
如图，当点在上时，即，过作轴于点，过作轴于点，
则，
由勾股定理得：，
∵，
∴，
∴，
由题意得：，
∴，
∴；
综上，；
（3）解：由上得：，，，
∴，，，
设解析式为，解析式为，
∴，，
解得：，，
∴解析式为，解析式为，
设，，
如图，当以为对角线的平行四边形，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
如图，当以为对角线的平行四边形，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
如图，当以为对角线的平行四边形，
∴，
解得：，
∴点的坐标为；
综上可知：点的坐标为或或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，勾股定理，解一元二次方程，平行四边形的性质，解直角三角形等知识，掌握这些知识点的应用是解题的关键．
12．(1)，；
(2)；
(3)是，．
【分析】本题考查了求一次函数的图象及性质的应用等知识，熟练掌握其性质并能灵活运用数形结合分析问题是解决此题的关键．
（1）根据直线过点得出a的值，将B，C两点坐标代入，进一步得出结果；
（2）设点，则，，根据列出，进一步得出结果；
（3）设点，则，，可得出，，根据得出，从而，进一步得出结果；
【详解】（1）解：直线过点，
，
直线与x轴交于点A，与y轴交于点，与交于点，
，
，
直线的解析式为：；
（2）解：设点，则，，
由得，，
舍去或，
；
（3）解：M的运动轨迹是一条直线中的一部分，理由如下，
设点，则，，
四边形是长方形，
，，
由得，，
，
由得，，
点M在直线上运动．
13．（1），；（2）能，18元
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设y与x的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可；
（2））根据题意，可得，整理可得，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案．
【详解】解：（1）设y与x的函数表达式为，
将点代入，
可得，解得，
∴y与x的函数表达式为，
∵销售单价不低于成本价，
∴，
又∵，
∴，
∴自变量的取值范围为；
（2）根据题意，可得
，
∵，
∴该函数图像开口向下，且对称轴为，
又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，
∴当时，日销售利润取最大值，
此时（元），
这种蔬菜的销售能获得日销售利润8600元，蔬菜的销售单价应定为18元．
14．(1)
(2)
(3)M的坐标为或或或
【分析】先解方程得到，，再求出D点坐标，最后由待定系数法求解析式即可；
分为：当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，分别列面积表达式求解即可；
由点P是直线上一点，设，从而，，再分别判定以A、B、P三点的三角形为等腰三角形，列方程得到P点坐标，再由平行四边形性质推出点M的坐标，注意分类讨论即可．
【详解】（1）解：，
解得，，
、的长分别是方程的两个根，
，
由折叠可知，，
，
则由待定系数法可得直线的直线解析式为
（2）解：当时，直线扫过矩形的区域为等腰直角三角形，
故；
当时，直线扫过矩形的区域为一个等腰直角三角形加平行四边形，
故；
当时，直线扫过矩形的区域面积为矩形的面积减去底部未扫过三角形的面积，
即
综上，直线扫过矩形的面积S与运动的时间t的关系式为
（3）解：点P是直线上一点，设，
又，，
，，
，
①当时，即，解得，
，，
此时可得，
②当时，即，解得或与A重合，舍去，
即，此时可得
③当时，即，解得，
即，此时可得
综上，M的坐标为或或或
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，动点引出的几何图形面积与函数问题，两点间距离公式，一元二次方程，菱形的判定，等腰三角形的判定，掌握以上内容是解题关键．
15．(1)，
(2)或
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，解题的关键是：
（1）由待定系数法求出函数解析式，即可求解；
（2）观察函数图象即可求解；
（3）分两种情况：或讨论，然后根据相似三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：对于，
当时，，
∴，
代入，得，
∴，
∴，
当时，，解得，
∴
代入，得，
解得；
（2）解：观察函数图象知：当时，自变量x的取值范围为或；
（3）解：由（1）知：，
当时，，
∴，
当时，，解得，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴；
当时，如图，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴；
综上，点P的坐标为或．
16．(1)
(2)
(3)
(4)的长为或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．
（1）根据题意写出点D坐标即可；
（2）先求出点E坐标即可得到的值；
（3）根据图象直接写出不等式解集即可；
（4）先求出解析式与x轴的交点G坐标，再根据面积在线段上取一点F，使，则，继而求出的解析式得到点P坐标，最后得到长，注意点P有两个位置满足条件．
【详解】（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
在函数中，当时，，
∴点D的坐标为，
故答案为：；
（2）解：∵点D的坐标为且在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∵正方形的边长为3，
∴，
把代入函数中，得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵在函数中，当时，，
∴由图象可知的x的取值范围为；
（4）解：设直线的解析式为，代入点和得：
，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
在上取点F，使，则，
∴，
∴，
∴，
直线的解析式为，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
∴；
当点P在点B右侧时，点P与点关于点G对称，，
∴，
在反比例函数中，当时，，
∴，
∴，
综上可知的长为或．
17．(1)和
(2)若抛物线向右下方平移单位
(3)
【分析】本题考查二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，一元二次方程，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键；
（1）根据题意，可得抛物线对称轴为直线，再将，，代入表达式，根据题意，再求解一次函数解析式，即可求解；
（2）根据题意，分情况若抛物线向左上方平移，若抛物线向右下方平移分别讨论，即可求解；
（3）根据题意，设，进而求解的坐标，将代入，求解即可
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，经过点，
∴抛物线 经过点，
设抛物线表达式为，
将，，代入表达式，
，
∴抛物线为，
∵直线 与轴所夹锐角为，
，
，
设直线表达式为，把，代入，
得，
解得
直线：，
∴抛物线和直线的表达式分别为：和；
（2）解：①若抛物线向左上方平移，则抛物线与直线始终有两个交点，不合题意；
②若抛物线向右下方平移，
∵二四象限角平分线表达式：，
∴抛物线向右平移单位的同时向下平移单位，
∵原抛物线 为，
∴其顶点为，
∴平移后顶点为，
∴平移后抛物线表达式为，
令，
若平移后抛物线与直线只有一个交点，
则,
，
平移的距离为；
（3）解：设，
则点关于的对称点为，
，
则的横坐标为：，
则的解析式为：，
因为该点在直线上，
则；
将代入，
可得：，
解得：或（舍去）；
点坐标为：
18．(1)①；②
(2)①；②或
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意数形结合是解题的关键．
（1）①根据待定系数法直接求解即可；②根据二次函数的图象性质即可求解；
（2）①先根据反转的性质求出点坐标，再根据待定系数法求解析式即可；②根据的图象性质求解即可；
（3）结合图像，分两种情况分别求解即可．
【详解】（1）解：①∵抛物线经过和两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式，
②，
∵，
∴抛物线开口向上，
∴二次函数的最小值为．
（2）解： ①当时，，由对称性可得，
当时，，
解得，，
，，
设图象的解析式为，
将代入，得，
，
，
图象位于线段上方部分对应的函数关系式为，
∴图象的解析式为；
②对于，对称轴为，时，随增大而增大；
对于，对称轴为，时，随增大而增大，
∴随增大而增大时的取值范围是或．
（3）解：如图，直线与图象有个交点时，有两种情况，
一种情况是直线过点，把代入，得，解得；
另一种情况是直线与相切，
联立方程，消去得，即，
令判别式，解得；
综上所述，或．
19．（1）与之间的函数关系式为；（2）当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度的范围
【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知函数值范围求自变量取值范围等．
（1）根据题意设与之间的函数关系式为、为常数，且，将两个已知的点坐标代入求出即可；
（2）根据已知信息求出对应的范围即可．
【详解】解：（1）由题意可知，与之间为一次函数关系．
设与之间的函数关系式为、为常数，且，
将，和，分别代入，
得，
解得，
与之间的函数关系式为；
（2）当时，即，
解得：，
当凳面宽度不小于时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度的范围．
20．(1)抛物线的解析式为；
(2)；
(3)或；
(4)的值为或．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）先求出顶点的坐标为，再根据题意得点的纵坐标为，然后代入解析式即可求解；
（）时，时，时三种情况分析即可；
（）先求出直线的表达式为，过作轴于点，设与轴交于点，设，求出，则，，又，故有，然后得出方程，然后求解并检验即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，，
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：由（）得：抛物线的解析式为，
∴顶点的坐标为，
∵点的纵坐标与顶点的纵坐标相等，
∴点的坐标为，
∴点的纵坐标为，
当时，，
解得：或，
∵点在对称轴左侧，
∴，
∴；
（3）解：由题意可知，点在对称轴左侧，
∴，
当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而增大；
当时，在内部不存在抛物线图象；
当时，抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小；
综上可知：的取值范围为或；
（4）解：设直线的表达式为，
由，当时，，
解得：，，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为，
如图，过作轴于点，设与轴交于点，
∴，，
设，
∵轴，
∴点纵坐标为，
∵点在直线上，
∴，解得：，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：或或或，
∵点在对称轴左侧，
∴，
∴或，
∴的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，解一元二次方程，三角函数，熟练掌握以上内容并能运用分类讨论的数学思想和数形结合的思想是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑