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2025年中考数学二轮压轴题训练：二次函数综合
1．如图，抛物线与轴交于点，（点在点右侧），与轴交于点，直线经过点，，点为抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在第一象限内直线上方的抛物线上运动，过点作垂直抛物线的对称轴于点，作于点，当时，求点的坐标；
(3)点在抛物线对称轴上运动，当点，关于直线对称时，请直接写出点的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线经过点，与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点．
(1)如图1，求的值；
(2)如图2，点在轴上，点在轴上，点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接，若面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量取值范围）；
(3)如图3，在（2）的条件下，当，时，连接，点是第二象限内的一点，连接的角平分线交抛物线于点，交轴于点，连接，若，求点的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，设的对称轴为直线．
(1)求的值；
(2)设与轴的交点为，，曲线是与关于轴对称的抛物线，若，求的解析式及顶点坐标；
(3)在（2）的条件下，设在的对称轴左侧有直线轴，且与和分别交于点，另有一条直线轴，且与和分别交于点，当四边形是正方形时，求点的坐标及正方形的边长．
4．如图，直线与抛物线：交于A、B两点（点A在点B的左侧），抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标为．
(1)若点A的横坐标为，求抛物线的解析式；
(2)在（1）条件下，点M为直线：上方的抛物线上一点，若，求点M的坐标；
(3)将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，直线交抛物线于P，Q两点，已知点H，直线分别交抛物线于另一点M，N．求证：直线恒过一个定点．
5．如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，作过、两点所在的直线，点是直线下方抛物线上一动点，过点作于点．点是过点的直线上的一个动点，点是轴上一个动点，连接，当线段取得最大值时，求点的坐标及周长的最小值；
(3)如图2，作过、两点所在的直线，将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，过点作交轴于点，点为平移后抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
6．如图1，二次函数与轴相交于点、（点A在点的左侧），与轴相交于点，抛物线的顶点为点．
(1)直接写出点、、的坐标；
(2)如图1，连接，点为抛物线上一点，使，求点的坐标；
(3)如图2，直线与抛物线相交于两点（点在轴左侧，点在轴右侧），过点与点的直线交抛物线于，若直线必与某条直线平行，求这条直线的函数解析式．
7．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点C，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点N的坐标．
(3)点D为抛物线的顶点，点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在点E、F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由．
8．【问题背景】
如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，于轴交于点，以为直角顶点，为腰作等腰直角三角形，恰好点落在抛物线上．
（1）直接写出点坐标，并求抛物线的函数表达式；
【初步探索】
（2）如图2所示，点为线段的中点，点为线段上一动点（点不与点，重合），连接，以为旋转中心将线段顺时针旋转得到线段，连接，求的最小值；
【深度探究】
（3）如图2所示，连接交于点，在满足（2）最值的条件下，求．
9．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是直线下方抛物线上一点，点A、E关于y轴对称，线段沿着射线平移．平移后的线段记为，当面积最大时，求的最小值．
(3)在（2）的基础上将抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线，在新抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接出点Q的横坐标，若不存在，请说明理由．
10．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，若，求的值；
(3)如图2，点为第一象限抛物线上一动点，连接，，将线段绕点逆时针旋转得到，点落在第一象限，连接，点关于的对称点为，连接，，分别交于点，点，请问，是定值吗？如果是，请分别求出定值；如果不是，请说明理由．
11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧）．与轴交于点，顶点为，抛物线：经过点．
(1)当点的坐标为时，求抛物线的表达式；
(2)在（）的条件下，在第二象限内抛物线上是否存在一点，使得的面积是的面积的一半？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由：
(3)若抛物线和抛物线构成的封闭图形内部（不包含边界）有个整点（横、纵坐标都是整数），请求出的取值范围．
12．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)点在线段上运动，过点作轴的垂线，与交于点，与抛物线交于点，连接、，求四边形的面积的最大值，并写出此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，点N是x轴上一动点，求当N点坐标为 时，的值最小，最小值为 ．
(4)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，抛物线与y轴交于A，B两点（点B在点A的右边），与y轴交于点C．点P是抛物线上的一个动点，且在第四象限，设点P的横坐标为m．
(1)点A，B的坐标分别为：A__________，B__________；
(2)如图1，作射线与y轴交于点M，连接与y轴交于点N，连接，求证：；
(3)如图2，连接，，两线段交于点E．在线段上取点F，使，连接，当达到最小值时，请求出此时的值．
14．定义：在平面直角坐标系中，若点，的坐标满足（m是常数，且），则称点A，B是一对“m阶差值点”．
(1)在点，，中，能与点构成一对“3阶差值点”的是________．
(2)若点A，是一对“2阶差值点”，且点A在函数的图像上，求点A的坐标；
(3)如图，抛物线交y轴于点C，点M在抛物线的对称轴上，点M的纵坐标为t，且．
①若点M与点C是一对“阶差值点”，求t的值；
②点Q为平面内一点，点P为抛物线上的动点，若四边形为正方形，则正方形的四个顶点中是否存在相邻的两个顶点是一对“1阶差值点”？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．
(4)点A，B是一对“m阶差值点”，且直线过点，当直线AB上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，请直接写出m的取值范围．
15．如图1，已知抛物线交轴于点，交轴于点．
(1)求的坐标；
(2)如图2，点是的中点，点、分别在线段、上，满足，作线段平行交轴于点，求证：；
(3)对于平面直角坐标系中的图形，给出如下定义：为图形上任意一点，为图形上任意一点，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形间的“闭距离”，记作，的圆心为，半径为，若，直接写出的取值范围．
16．如图Ⅰ，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，且，顶点为．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图Ⅱ，已知点在第四象限的抛物线上，连接交轴于点，连接交轴于点，连接，．若，求点的坐标；
(3)如图Ⅲ，将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线，新抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），顶点为．
请直接写出新抛物线的表达式，并直接判断点是否在新抛物线上（不必说明理由）；
过点作直线与新抛物线交于点（点异于新抛物线与轴的交点），与抛物线交于另一点．问是否存在直线，使得的内切圆的圆心在直线上？若存在，请求出直线的表达式：若不存在，请说明理由．
17．如图1，在平面直角坐标系中，二次函数与x轴交于A，B两点，对称轴为直线，与y轴交点为点，点D为抛物线上任意一点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)如图2，当点D为抛物线的顶点时，求的面积；
(3)如图3，当点D在直线下方的抛物线上时，连接交于点E，求最大值．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，抛物线的对称轴是直线，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴，交于点，点是轴上的动点，连接、，当的面积取得最大值时，求周长的最小值；
(3)点坐标为，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，在抛物线是否存在点，满足，若存在，直接写出点的坐标，若不存在请说明理由．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，求点的坐标．
20．平面直角坐标系中，抛物线．
(1)当抛物线过点时，求抛物线的解析式；
(2)如图，在（1）条件下，抛物线顶点为，点坐标为，动点从点开始沿边以的速度移动，动点从点开始沿边以的速度移动．，两点同时出发，经秒后，其中一点先到达终点，另一点也随之停止运动．连接，，，记四边形的面积为，当为何值时，为最大值？并求出此时点的坐标．
(3)若抛物线上存在两点和，若对于，，都有，直接写出的取值范围．
《2025年中考数学二轮压轴题训练：二次函数综合》参考答案
1．(1)
(2)
(3)点的坐标为或
【分析】（1）先由一次函数求出，，再用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）过点P作轴交直线于点F，求出，得到，设点P的坐标为，则，得到，求出抛物线的对称轴为直线，得到，则，解方程求出答案；
（3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接，分点P在直线上方和点P在直线下方两种情况分别画出图形，分别进行解答即可．
【详解】（1）解：当时，，解得，
当时，，
∴点，，
经过点，，

解得
抛物线的函数解析式为：
（2）过点P作轴交直线于点F，
∵
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
设点P的坐标为，则，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
解得（不合题意，舍去）
∴
（3）设对称轴与直线相交于点G，与x轴相交于点M，连接，
如图，当点P在直线上方时，
∵轴，
∴，
∵点，关于直线对称，
∴，
∴，
∴，
把代入得到，
则，
∴点P的纵坐标为1，
把代入得到，
解得（不合题意，舍去）
∴，
∴，
∴点Q的坐标为，
同理，如图，当点P在直线下方时，
∵，
∴点P的纵坐标为1，
把代入得到，
解得（不合题意，舍去），，
∴，
∴，
∴点Q的坐标为，
综上可知，点Q的坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、轴对称的性质、待定系数法求函数解析式、一次函数和二次函数的交点问题、解直角三角形等知识，综合性强，分情况讨论是解题的关键．
2．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将代入，即可求解；
（2）过点作轴于点，根据，即可求解；
（3）在轴上取点，连接，使得，过点作交的延长线于点，交于点，连接交于点，连接，根据（2）先求得的坐标，进而根据已知得出，则为等腰直角三角形，得出为平行四边形，求得的坐标，进而求得直线的解析式，联立抛物线解析式，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线经过点
∴
解得：
（2）解：如图所示，过点作轴于点，
∵点在第一象限的抛物线上，其横坐标为，
∴，
∵，
∴
∴
∴
（3）解：∵，，
∴
解得：或（舍去）
当时，
∴
设直线的解析式为，代入，
∴
解得：
∴
过点作交于点
∴
设
∵
∴
解得：或（舍去），
∴
∴,
∴
∴是直角三角形，
∴
∴
∵抛物线与轴负半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，与轴相交于点．
当时，，
解得：
∴，
当时，，则
∴
如图所示，在轴上取点，连接，使得，
∵
设，则
∴
∵
∴
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
在中，
∵，平分
∴
过点作交的延长线于点，交于点，连接交于点，连接，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
在中
∴
∴，
∴
又∵
∴
∴
∴四边形是平行四边形，
∴是的中点，
∵，
∴，
∵，
设直线的解析式为
代入，
解得：
∴直线的解析式为
联立
解得：或（舍去）
∴
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，面积问题，全等三角形的性质与判定，一次函数，勾股定理及其逆定理，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
3．(1)
(2)曲线顶点坐标为，解析式为
(3)，正方形的边长为
【分析】本题主要考查二次函数图象与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称的性质，二次函数与特殊图形求边长的计算是关键．
（1）根据抛物线过点，对称轴直线为，代入计算即可求解；
（2）根据对称轴直线为，结合可得，代入抛物线，运用待定系数法即可求解；
（3）根据四边形是正方形，得到，设，则，，，，代入计算即可求解．
【详解】（1）解：二次函数的图象过点，设的对称轴为直线，
∴，
∴，
解得，；
（2）解：∵设与轴的交点为，，抛物线的对称轴直线为，
∴，且，
∴解得，，
∴，
∴，且，
∴，
整理得，，
解得，，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∴，即抛物线顶点坐标为，
∵曲线是与关于轴对称的抛物线，则曲线图象开口向下，顶点坐标为，
∴曲线的解析式为；
（3）解：如图所示，
∵四边形是正方形，
∴，
∵点在抛物线的图象上，点在抛物线的图象上，
∴设，
∴，
∴，，
∵点关于对称，
∴，则，
∴，
∴，整理得，，
解得，（大于，不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，正方形的边长为．
4．(1)
(2)M的坐标为或
(3)见解析
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键：
（1）设出顶点式，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）先求出的坐标，分割法求出的面积，设点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则，利用分割法列出一元二次方程，进行求解即可；
（3）求出的解析式，令，根与系数的关系，得到，，设直线的解析式为，令，得到，同理得到，进而得到，进而推出，设直线的解析式为，得到，进而得到，推出，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为：，
∴设抛物线的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把A的坐标代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）由，解得或，
∴，
把代入，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线上方抛物线上的点M坐标为，过M点作y轴的平行线交直线于点N，则，
∴．
整理得，
解得 ，．
故M的坐标为或．
（3）证明：∵将抛物线平移使得顶点落在原点O得到抛物线，
∴抛物线的解析式为，
令，
∴，
∴，，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴直线经过定点．
5．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）利用的待定系数法求解即可；
（2）过点P作轴交于点Q，先求出点C的坐标，再求出直线的解析式，设，则，求出，根据平行线的性质可得，利用正弦的定义可得，利用勾股定理求出，从而得到的代数式，利用二次函数的性质即可求出的最大值，进而确定点P的坐标；作点P关于y轴的对称点，作点P关于直线的对称点，连接，由对称的性质得到，即可得到的周长为，当点四点共线时，有最小值，最小值为的长，再由对称的性质求出两点的坐标，即可求解；
（3）先求出平移后的抛物线解析式为：，过点K作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点G，如图，分当点N在右侧和左侧两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
∴抛物线的表达式为：；
（2）解：过点P作轴交于点Q，
将代入：，则，
∴，
设直线的解析式为，
∵，则，解得：，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最小值，
此时，，
∴；
作点P关于y轴的对称点，作点P关于直线的对称点，连接，
则，
∴由对称的性质得，
∴的周长为，
当点四点共线时，有最小值，最小值为的长，
设，
∴的中点坐标为，
由对称的性质可得的中点坐标在直线直线上，
则，即，
∴，
∴，
由对称的性质得，即，
∴，整理得：，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴周长的最小值为；
（3）解：∵，且，
∴将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
∵，
将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后的解析式为：，
过点K作轴的平行线，过点作轴的平行线，相交于点G，
如图，当点N在右侧时，
∵，轴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
由平移的方式得，
设，
∴，
∴，，
∴，
即，整理得：，
解得：或（点重合，舍去），
∴，
∴；
如图，当点N在左侧时，作点A关于y轴的对称点D，过点D作于点H，连接，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴（三线合一），
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
整理得：，
解得：或（点重合，舍去），
∴，
∴；
综上，符合条件的点的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键．
6．(1)，，
(2)或
(3)
【分析】（1）将解析式化为顶点式，当及时，即可求解；
（2）由待定系数法得直线的解析式为作点B关于y轴的对称点F，连接①当点P在x轴下方时，如图中点处，连接交于E，点B、点F关于y轴的对称，由对称的性质及等腰三角形的性质得，设点E坐标为，由勾股定理得，即可求出，由待定系数法得直线的解析式为，即可求解； ②当点P在x轴上方时，如图中点处， 与关于x轴对称，同理可求；
（3），，，由待定系数法得直线的解析为中，同理可得直线的解析为，可得， 联立，由根与系数的关系，同理可求，代入可求，即可求解．
【详解】（1）解：
，
，
当时，，
令，
，
解得：或，
，．
（2）解：∵，．
∴，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
∴直线的解析式为
作点B关于y轴的对称点F，连接，如图，
①当点P在x轴下方时，如图中点处，
连接交于E，
点B、点F关于y轴的对称，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
设点E坐标为，
∴，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
设直线的解析式为，则有
，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得：，（舍去）
∴；
②当点P在x轴上方时，如图中点处，
∵，
∴与关于x轴对称，
，
同理可求经过的直线的解析式为，
联立得，
解得：（舍去），，
∴
综上，点P的坐标为或．
（3）解：设，，，
，
，
，
，
设直线的解析为，则有
，
解得：，
，
设直线的解析为，
经过，
同理可求，
直线的解析为，
，
直线的解析为，
联立，
整理得：，
，
，
联立，
整理得：，
，
得：
，
，
，
直线的解析式为，
直线必与直线平行，
故这条直线的函数解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数综合应用中的角度问题，待定系数法，轴对称的性质，等腰三角形的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系；掌握二次函数综合应用中的角度问题的典型解法，并能熟练利用待定系数法及一元二次方程根与系数的关系进行求解是解题的关键．
7．(1)
(2)
(3)或或或或
【分析】（1）把代入中求出b，c的值即可；
（2）先求出，求出，，求出直线的解析式为，设，则，，则；再由得到，故当时，最大，最大值为，此时点P的坐标为；
（3）先求出顶点的坐标，设，分为菱形的对角线、为菱形的对角线和为菱形的对角线三种情况，画出图形，利用矩形的性质和勾股定理解答即可求解．
【详解】（1）解：把代入中，得
，
解得
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵二次函数与y轴交于点C，
∴，
∴；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
设，则，，
∴；
∵，
∴
，
∵，
∴当时，最大，最大值为，
∴此时点P的坐标为；
（3）解：存在．
∵，
∴，
设，
①当为菱的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
∴或；
②当为矩形的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得，
∴；
③当为矩形的对角线时，如图，
∴，
∴，
整理得，，
解得或，
∴或；
综上，存在E点坐标为或或或或使得以A、D、E、F为顶点的四边形是菱形．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数面积问题，勾股定理，菱形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8．
（1），抛物线解析式为
（2）
（3）
【分析】（1）令，则，得到，如图所示，过点作轴于点，证明，得到，，则，把代入抛物线中，运用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，连接，过点作于点，当点在线段（不含端点）上运动时，当，即点与点重合时，的值最小，根据等腰直角三角形，旋转的性质证明，得，，则，由此即可求解；
（3）由（2）可得，是等腰直角三角形，，则，如图所示，过点作于点，作于点，由，得是正方形，，，，，，，，由此即可求解．
【详解】解：（1）抛物线与轴交于，于轴交于点，
令，则，
∴，
∵以为直角顶点，为腰作等腰直角三角形，
∴，
∴，
如图所示，过点作轴于点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
把代入抛物线中得，
，
解得，，
∴抛物线解析式为；
（2）如图所示，连接，过点作于点，当点在线段（不含端点）上运动时，当，即点与点重合时，的值最小，
∵是等腰直角三角形，绕点顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴当点在线段（不含端点）上运动时，点在上与运动，
∴当时，的值最小，
∵，点是中点，
∴，
∵，
∴，
∴当点于点重合时，的值最小，最小值为；
（3）根据上述计算可得，，
由（2）可得，是等腰直角三角形，，则，
∴，
如图所示，过点作于点，作于点，由，得是正方形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，且，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，垂线段最短 ，相似三角形的判定和性质等综合，数形结合分析思想是解题的关键．
9．(1)
(2)最小值为
(3)存在，点Q的横坐标为或．
【分析】（1）对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．由根与系数关系可得：，，得到，即可得到答案；
（2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．过点E作交y轴于点F．求出．得到．当时，点M坐标为，面积最大．得到的最小值为；
（3）点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限，分情况进行解答即可．
【详解】（1）解：对于，令．
∴．
∴根据图象可知：点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为．
对于一元二次方程，根据二次函数和一元二次方程的关系，．
由根与系数关系可得：，
∴．
∴抛物线的解析式为．
（2）设点P坐标为，从点P向x轴作垂线，H为垂足，交于点G．
过点E作交y轴于点F．
根据题意，为等腰直角三角形．
故直线相当于直线向下平移了4个单位长度，根据平移性质直线的解析式为：．
∴点G坐标为．
∵，，
．
∴．
当时，点M坐标为，面积最大．
此时点H与点E重合，点M与点G重合，
当点M坐标为时，为和为的中位线，点F坐标为，点N的轨迹在与射线平行的射线上．
作点C关于直线对称点，根据为等腰直角三角形，可得点坐标为．
∴．
∵，
∴四边形在平移时始终为平行四边形，．
∴．
对于，，．
∴．
∴的最小值为．
故面积最大时，的最小值为2．
（3）根据题意，则，故抛物线沿射线方向平移个单位长度得新抛物线．相当于抛物线y先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到．如图，
根据平移性质可得．
由（2）知．
，则．
在和中，，
∴．
∴．
∵，
∴直线相当于直线向左平移了2个长度单位，
∴直线的解析式为．
如图，点Q有两个位置和，分别在第三象限和第四象限：
①点是和新抛物线y′的交点，满足．
结合直线和新抛物线的解析式：．
解得或，
由于在第三象限，所以的横坐标为．
②作出点A关于的对称点，然后作轴，T为垂足，再连接交抛物线右侧于点．
这样根据轴对称的性质，．
设交于点R．
∵，
∴．，
∵，即，
把，，代入比例式解得：
．
在中， ．
∴点的坐标为．
设直线的解析式为：，代入点P和点的坐标得：
，解得．
∴直线的解析式为：y．
结合抛物线可得： ，解得或．
由于点在第四象限，所以的横坐标为：．
综合①②可得，点Q的横坐标为或．
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数和一元二次方程的关系、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、函数的平移和对称等知识，分情况讨论是解题的关键．
10．(1)
(2)
(3)，都是定值，，
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得；
（2）设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，先结合函数图象判断出，，，，则，，，再利用二次函数与一元二次方程的关系可得，，联立两条直线的解析式可得，代入化简计算即可得；
（3）如图（见解析），过点作轴的垂线，交于点，连接，先求出，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，根据平行线的判定与性质可得，根据三角形的外角性质即可得；然后根据等腰三角形的判定可得，，设，，利用勾股定理可得，，最后求出的长，由此即可得．
【详解】（1）解：将点，代入抛物线得：，
解得，
则抛物线的解析式为．
（2）解：设点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，
将代入抛物线得：，即，
将代入一次函数得：，
一次函数与轴的交点坐标为，位于点的上方，
由函数图象可知，，
∴一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∵一次函数与抛物线交于，两点，与直线交于点，
∴点，，的横坐标均大于0，
∵分别过点，，作轴的垂线，其垂足依次为点，，，
∴，，，，，，
联立，得，
∴，，
∴，
联立，得，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得．
（3）解：如图，过点作轴的垂线，交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∴，
由轴对称的性质得：垂直平分，
∴，，
∴（等腰三角形的三线合一），
∴，
∵轴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，（等腰三角形的三线合一），
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
综上，，都是定值，，．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、二次函数与一元二次方程的关系、一元二次方程的根与系数的关系、旋转的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，较难的是题（3），通过作辅助线，构造等腰三角形，熟练掌握旋转和轴对称的性质是解题关键．
11．(1)
(2)存在，点的坐标为
(3)
【分析】（）利用待定系数法解答即可求解；
（）过点作 交轴于点，利用平行线间的面积处处相等，可将转化为，再根据和的关系，可得三角形底之比，从而确定点的坐标，再确定的解析式，最后求交点坐标即可得到结论；
（）根据抛物线经过抛物线的顶点，从而将点代入抛物线可得，由抛物线经过抛物线的顶点，可得个整点分布在 和上，从而可得的取值范围；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，三角形的面积等知识，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：把代入得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：存在，点的坐标为，理由如下：
过点作 交轴于点，则，
∵，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴为，
∴点和点的中点坐标为，
即点坐标为，
设过点和的直线解析式为,
则，
解，
∴的解析式为，
∵，
∴可设的解析式为，
把代入，得，
解得，
∴的解析式为，
联立，可得，
解得，，
∵点在第二象限，
∴点的横坐标为，
把代入， 得，
∴点的坐标为；
（3）解：把代入，得，
∴，
∴抛物线，
∴顶点的坐标为，
∵抛物线过点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线的顶点坐标为，
把代入抛物线，得，
∴点也在抛物线上，
即点为抛物线和抛物线的交点，
设抛物线与轴交于点，
过点作轴，交抛物线于点，则，，
又∵，，
∴，
∵抛物线和抛物线构成的封闭图形内部(不包含边界)有个整点，
∴，
∴．
12．(1)
(2)四边形的面积最大为16；点P的坐标为
(3)，
(4)点的坐标为或或或
【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键．
（1）把，代入，求出b和c的值，即可得出函数解析式；
（2）易得，设，则，求出，则，根据四边形的面积，结合二次函数的增减性，即可解答；
（3）作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N，此时的值最小，根据两点间距离公式即可求出的最小值，再求出直线的解析式为，即可得到点N的坐标；
（4）设，根据两点之间距离公式得出，，，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得：，
∴该二次函数的解析式；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴四边形的面积，
∵，
∴当时，四边形的面积最大为16，此时点P的坐标为；
（3）解：作C点关于x轴的对称点，连接与x轴相交于点N，
此时的值最小，，
设直线的解析式为，则，
解得：，
则直线的解析式为，
令，
解得：，
此时点；
（4）解：设，
∵，，
∴，，，
当斜边为时，，
即，整理得：，
解得：；
当斜边为时，，
即，
解得：；
∴
当斜边为时，，
即，
解得：；
∴
综上：点的坐标为或或或．
13．(1)
(2)见详解
(3)
【分析】（1）令，则，求出，即可得；
（2）先求出，根据点在第四象限的抛物线上，且，得到，待定系数法求出直线的解析式，再求出，待定系数法求出直线的解析式，再求出，即可得，，再根据即可证明．
（3）根据题意得出，在轴正半轴取一点，使，使，连接，在上取一点M使，连接，则，得出都是等腰直角三角形，，证明，得出，故，根据点为定点，点F为动点，得出当点C、F、M三点共线时，最小，根据，得出，即可得，证明，在中，，勾股定理求出，在中，，即可求解．
【详解】（1）解：令，则，
解得：，
，
故答案为：；
（2）证明：当时，，
，
∵在第四象限的抛物线上，且，
，
设直线的解析式为，
把代入得，
，
，
，
当时，，
，
设直线的解析式为：，
把，代入得，
，
解得：，
∴，
当时，，
，
，，
，
．
（3）解：令，则，
，
由（1）得：，，
，
在轴正半轴取一点，使，
使，连接，在上取一点M使，连接，
则，
，
都是等腰直角三角形，
，
在和中
，
，
，
，
，
∵点为定点，点F为动点，
∴当点C、F、M三点共线时，最小，如图，
∵，
∴，
，
，
，
在中，，
∴，
在中，，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，二次函数的图象和性质，一次函数解析式求解，一次函数的图象和性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，锐角三角函数等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确做出辅助线．
14．(1)；
(2)点A的坐标是或；
(3)①；②存在，a的值是1或；
(4)或．
【分析】（1）根据“m阶差值点”的定义，逐一分析判断即可；
（2）根据题意，可设，根据“2阶差值点”的定义可得关于的方程，整理并求解，即可获得答案；
（3）①首先确定点坐标，点坐标，结合“阶差值点”的定义，即可获得答案；
②根据题意，可知点C，M或点P，Q可以是一对“1阶差值点”，当点C，M是一对“1阶差值点”时，首先确定点坐标，过点P，M分别作y轴的垂线，垂足为，证明，结合全等三角形的性质可确定点坐标，进而确定的值；同理当点在点C上方时，求解a 的值，即可获得答案；
（4）首先根据题意确定直线的解析式为，结合直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，易知直线经过由组成的正方形区域（含边界），然后分和两种情况讨论，分别求解即可．
【详解】（1）解：对于点，，
∵，
∴点，不是一对“3阶差值点”；
对于点，，
∵，
∴点，是一对“3阶差值点”；
对于点，，
∵，
∴点 不是一对“3阶差值点”．
故答案为：；
（2）根据题意，可设，
∵点，是一对“2阶差值点”，
∴，整理可得，
解得，
经检验，是该方程的解，
∴点A的坐标为或；
（3）①∵抛物线的对称轴为，
∴，
将代入，可得，
∴点，
∵点M，C是一对阶差值点，
∴，解得，
②存在，
根据题意，可知点C，M或点P，Q可以是一对“1阶差值点”，
当点C，M是一对“1阶差值点”时，如下图，
则有，解得，
∴，
过点P，M分别作y轴的垂线，垂足为，如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
将点代入，
得；
同理当点在点C上方时，如下图，
可得，
将点代入，
得 ．
综上所述，a 的值是1或；
（4）若点，是一对“m阶差值点”，
则有，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，
又，可得，
∴，
又∵直线过点，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线上存在到两个坐标轴的距离都小于或等于1的点，
即直线经过由组成的正方形区域（含边界），如图，
当时，
令，则有，
此时，解得，即m的取值范围为；
当时，
令，则有，
此时，解得，即m的取值范围为．
综上所述，m的取值范围为或．
【点睛】本题主要考查了新定义“m阶差值点”、一次函数的图像与性质、二次函数的图像与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、反比例函数的应用等知识，综合性强，难度较大，综合运用相关知识是解题关键．
15．(1)，，
(2)见解析
(3)或或．
【分析】（1）分别令和再求解即可；
（2）先证明为直角三角形，且，得到，推出，再由得到，推出，再结合平行得到，即可证明全等；
（3）由的圆心为，半径为，得到在直线上移动，且上的点到轴最小距离为，即，再由，得到到、、三边的最小距离为，据此分情况讨论，利用三角函数求解即可．
【详解】（1）解：令，解得，
∴，，
令得到，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∵点是的中点，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵作线段平行交轴于点，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：∵的圆心为，半径为，
∴点在直线上移动，且上的点到轴最小距离为，即；
∵，
∴到、、三边的最小距离为，
当到的最小距离为时，过作与，设直线交于，则，
∴，
∴，
∵，，
∴设直线解析式为，把代入得，解得，
∴直线解析式为，
当时，，解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
同理求得当到的最小距离为时，，
∴当，的取值范围为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合，涉及求与坐标轴交点坐标，全等三角形，解直角三角形，勾股定理，圆与直线的位置关系等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
16．(1)；
(2)点P的坐标为；
(3)，点在新抛物线上；存在，．
【分析】（）由，得出点的坐标为，点的坐标为，然后利用待定系数法即可求解；
（）先求出直线的表达式为，得出，故有，然后由面积可得，
将代入抛物线中，得，（舍去），从而求解；
（）由二次函数的平移和二次函数的性质即可求解；
设直线的表达式为，然后将新抛物线的表达式与直线的表达式为联立和将抛物线的表达式与直线l的表达式为联立，求出点，点，分别过点，作轴于点，轴于点，证明，则，所以，解得，，再由点在直线的左侧，点在轴的右侧，则，最后代入即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴点的坐标为，点的坐标为，
将，，代入，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：由抛物线：，
∴顶点的坐标为，
当时，，
解得，，
∴与轴的交点的坐标为，
设直线的表达式为，
将，，
代入中，得，
解得，
∴直线的表达式为，
∴直线与轴的交点的坐标为，
∴，，
∴，
根据等底等高的三角形的面积相等得，
∴，
∵，
∴，
∴的边上的高与的边上的高的比，
∴，
将代入抛物线中，得，（舍去），
∴点的坐标为；
（3）解：∵将抛物线沿轴向左平移个单位长度得到一个新抛物线，
∴新抛物线的表达式：，
当时，，
∴点在新抛物线上；
存在，理由如下：
∵直线过点，
∴设直线的表达式为，
将新抛物线的表达式：与直线的表达式为联立，
得
解得（舍去），，
∴点坐标为，
将抛物线的表达式与直线l的表达式为联立，
得，
解得（舍去），，
所以，点坐标为，
如图，分别过点，作轴于点，轴于点，
∵的内切圆的圆心在直线上，
∴直线平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∵点在直线的左侧，点在轴的右侧，
∴，
∴，
∴，
∴直线的表达式为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，内切圆等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
17．(1)
(2)15
(3)
【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
（1）由题意得：，即可求解；
（2）由的面积，即可求解；
（3）证明，即，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得，
将代入得，
二次函数的表达式为．
（2）解：令得，，
解得，
．
当时，
．
设直线交对称轴于点的解析式为，
把代入解析式得：
解得：
直线的解析式为．
当时，，
．
．
（3）解：如图，过点作轴的垂线交于点，则轴，
．
，
设，则，
．
，
当时，有最大值，此时的最大值为．
18．(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）设点的坐标为，点的坐标为，根据题意可知，，进而可得点的坐标为，点的坐标为，再利用待定系数法即可求解；
（2）由题意可知点的坐标为，进而利用待定系数法求得直线的解析式为，设点的坐标为，得点的坐标为，则，可知，可得当时，的面积取得最大值，所以，此时点的坐标为，点的坐标为，，的周长，则只需取得最小值即可，作点关于轴对称的点，连接，，可知，当点在直线上时取得等号，利用勾股定理求得的长度即可求解；
（3）由题意可知新抛物线，由向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得，可知在新抛物线上，得，，，当点在下方时，连接交轴与，过点作，设，由，得，在、中解直角三角形，求得点的坐标为，得直线的解析式为，进而可得点的坐标；过点作轴交于点，解直角三角形求得点的坐标为，作关于直线的对称点，连接交抛物线于，由对称可知，，则也符合题意，可知为的中点，则点的坐标为，同上即可求得另一点的坐标．
【详解】（1）解： 设点的坐标为，点的坐标为，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴，
又∵，
∴，
可得：，，
即：点的坐标为，点的坐标为，
将，代入，
得，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）当时，，则点的坐标为，
设直线的解析式为，将，代入，
得，解得：，
即：直线的解析式为，
设点的坐标为，
∵轴，交于点，
∴点的坐标为，则，
∴，
当时，的面积取得最大值，
所以，此时点的坐标为，点的坐标为，，
的周长，则只需取得最小值即可，
作点关于轴对称的点，连接，，
则点的坐标为，，
∴，当点在直线上时取得等号，
∵，
∴的最小值为，
∴的周长的最小值为；
（3）∵点的坐标为，点的坐标为，
∴，
将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，
即：新抛物线，由向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，
∴，
当时，，则在新抛物线上，
∵点的坐标为，
∴，，，，，
则，，，
当点在下方时，连接交轴与，过点作，
设，
∵，则，
∴在中，，，
在中，，，
∴，则，
∴，即，
∴点的坐标为，
设直线的解析式为，
代入，，可得，解得：，
∴直线的解析式为，
得，解得：或（舍去），
∴点的坐标为；
过点作轴交于点，，
，，
∴，
∴点的坐标为，
作关于直线的对称点，连接交抛物线于，由对称可知，，则也符合题意，
∴为的中点，则点的坐标为，
同理，可得直线的解析式为，
得，得：或（舍去），
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，勾股定理，利用轴对称的性质求解，二次函数的平移，解直角三角形等知识点，构造直角三角形，解直角三角形得点的坐标是解决问题的关键．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可；
（3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分点Q在下方和上方两种情况讨论，计算即可求解．
【详解】（1）解：把，代入中得：，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：在中，当时，则，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴,
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴当,即时，有最大值，此时，
∴，
∴，，
∴，，
如图所示，连接，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当共线时，取最小值，即取最小值，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
∴的最小值为；
（3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得，
∴，
∵将该抛物线沿射线方向平移得到一个新的抛物线，且，
∴可设新抛物线由向左平移个单位，向下平移个单位得到，
∴新抛物线解析式为，
∵新抛物线经过点D，
∴，
解得或（舍去），
∴新抛物线解析式为，
联立，解得或，
∴；
同理可得直线解析式为；
过点作交抛物线于点，
∴，
同理求得直线的解析式为，
∵，
∴当点Q 在下方时，满足，
∴可设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵当点Q在上方时，，故此种情形不成立；
综上所述，.
【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键．
20．(1)
(2)时，S有最大值，点的坐标为．
(3)或
【分析】（1）将点B的坐标代入抛物线解析式即可解答
（2）可求，①当时，，可求最值；②当时，过点P作，垂足为点E，可证，，可求最值；比较的最值，即可求解
（3）由题可知，抛物线的对称轴为：，分别求当对称轴在y轴左侧；当对称轴在y轴右侧；抛物线的对称轴为y轴时，b的取值范围即可解答
【详解】（1）解：∵在抛物线上，
∴，，
∴抛物线的解析式为．
（2）∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴点运动到点B的时间为，点Q运动到点B的时间为，
∴，
∵抛物线的解析式为，
∴点C的坐标为，则点C到的距离为4，
①当时，
，
∴为何值时，S有最大值．
②当时，，
过点P作，垂足为点E，
则，
∴，
，
∴，
，
∴时，S有最大值．
综上所述，当时，S为最大值，
此时，
，
∵，
∴，
，，
∴，
点的坐标为．
（3）由题可知，抛物线的对称轴为：，
∵抛物线经过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∵，，都有，
∴当对称轴在y轴左侧，即时，
，
解得，
∴，
当对称轴在y轴右侧，即时，
，
解得，
∴，
当时，
抛物线的对称轴为y轴，
∵抛物线开口向上，
∴，，则，，
显然不符合题意，
综上所述，b的取值范围是：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，动点产生面积的最值问题，掌握待定系数法和“化动为静”的解法是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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