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2025年中考数学二轮压轴题训练：反比例函数综合
1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，菱形的顶点的坐标为，点在反比例函数的图象上，连接，过点作交轴于点，延长交反比例函数的图象于点，连接．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)直接写出的面积．
2．一次函数与反比例函数的图象相交于点，两点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)如图1，若点为线段上一点，且，连接，求；
(3)直线与的图象交于点，与的图象交于，若点在直线的下方，且满足，求的取值范围．
3．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点在线段的延长线上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)如图1，过点作轴的平行线，与的图象交于点，与轴交于点，当线段时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，如图2，连接并延长，与轴交于点，点为轴上一点，且满足，求点的坐标．
4．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2．
(1)求k和b的值；
(2)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标；
(3)若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标．
5．新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若，请直接写出的解集；
(3)已知二次函数与反比例函数的图象交于（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标．
6．复习完“数与代数”的内容后，数学学习小组的同学想用“函数图象”的角度解决下面实际问题．
如图，计划围成一个面积为的矩形花园，花园一边靠墙，另外三边用栅栏围住． 问题1：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？若能围成，请你写出两边的长； 问题2：若栅栏总长为，能否围出矩形花园？
【问题探究】
学习小组思路：设为，为．由矩形花园面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，两个函数图象交点的坐标可以同时满足题目中的两个条件．
（1）学习小组的同学已经画出了图象，请你根据上面的分析思路，利用画好的图象解决问题1．
（2）请类比问题1的解决方法，解决问题2并说明理由．
【拓展应用】
（3）从探究中发现当栅栏总长为时，“能否围成矩形花园的问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在性问题”．其中一次函数的图象可以看成是直线平移得到的．若要围成矩形花园，且和的长均不小于，求a的取值范围．
7．如图1，反比例函数（）的图象过点，直线：与轴交于点．
(1)求和的值．
(2)点，点均在第一象限，且满足，直接写出的取值范围．
(3)如图2，若直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点．连接，，求证：．
8．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，点在轴正半轴上，点，连接，四边形为菱形．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
(3)在直线上是否存在点，且，若存在求点的坐标，若不存，请说明理由．
9．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点．
(1)求的值；
(2)直接写出点的坐标；
(3)将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线，若直线分别交的图象、轴于，两点，求的面积．
10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点和点，且与x轴交于点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)如图1，将直线向上平移个单位，平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求平移距离；
(3)如图2，是第二象限内一点，，连接，将绕点顺时针旋转，点的对应点恰好落在该反比例函数图象上，求点的坐标．
11．如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A，B 两点，其中点A 的坐标为．以点为圆心，长为半径作弧，分别交y 轴正半轴、x轴正半轴 于点G，H．在扇形中作正方形，使点C 在圆弧上，点D 在上，点E，F 在上．同样，在第 四象限的扇形内作正方形，使点P 在圆弧上，点N在上，点M，Q 在上．
(1)求a，k 的值；
(2)判断点B是否在圆弧上，并说明理由；
(3)直接写出图中阴影部分的面积之和
12．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的横、纵坐标之和为，则称该点为“基准偶和点”．例如：、、都是“基准偶和点”．
(1)下列函数图象上只有一个“基准偶和点”的是_____________；（填序号）
① ② ③ ④
(2)在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，求反比例函数的解析式；
(3)已知抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，求抛物线的解析式；
(4)抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，令，是否存在一个常数，使得当时，有最小值恰好等于，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
13．某教育测量专家研究初中生在数学课堂上听课注意力指标数与上课时间的函数关系时，用如下表格和图象来表示这两个变量的变化规律．
上课时间 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 24 32 40
指标数 28.8 33.6 38.4 43.2 48 48 48 48 48 48 40 30
(1)由表格和图象可知，当时，是的 函数；当时，是的 函数；（填“一次”“二次”或“反比例”）
(2)求的值并补全图象；
(3)科学研究表明，当注意力指标数不低于30时，学生学习解综合题的效果会更好．为了了解一线教育的真实情况，该教育测量专家到一线听了某老师上的一节解题课，听完后，该专家对这堂课进行了点评：“这堂课刚开始进行了3分钟预热，然后开始剖析数学综合题，上到31分钟时，结束对数学综合题的探究，这段时间，学生注意力较集中，学生学习解综合题的效果很显著．”请你根据图表中给出的信息，结合测量学，解释该教育专家点评的合理性．
14．如图1，在矩形中，点为中点，连接，，点沿着的方向运动，到点时停止运动，连接，设点运动的路程为，的面积为．
(1)直接写出的解析式及自变量的取值范围；
(2)在图2中画出的图象，并写出一条的性质；
(3)反比例函数如图所示，请直接写出时，自变量的取值范围（结果保留1位小数，误差不超过）．
15．如图，直线 的图象与反比例函数 的图象交于，两点．

(1)求一次函数的解析式；
(2)请写出不等式的解集： ；
(3)将直线 向右平移 3 个单位长度得直线，顺次连接两直线与坐标轴的交点得到四边形，请判断它的形状，并说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数过第一象限的点且与一次函数交于A，B两点，
(1)求反比例函数的表达式并写出点A的坐标；
(2)若一次函数经过点A、C，求一次函数的解析式，请直接写出当时x的取值范围；
(3)点P是反比例函数图像上位于第一象限异于C的一点，在平面内是否存在点Q使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形为矩形，若存在请求出点P的坐标并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
17．在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”．
(1)如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的函数表达式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”；
(2)矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A，且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”．
①如图3，当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值；
②设矩形的周长为y，求y关于k的函数表达式；
③在②的条件下，当矩形的周长时，设矩形的面积为；当矩形的周长时，设矩形的面积为，请直接写出的值．
18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数图象交于A、B，与y轴交于点C，点A的横坐标为1．求：
(1)k的值；
(2)利用图象求出时x的取值范围；
(3)如图2，将直线沿y轴向下平移6个单位，与函数的图象交于点D，与y轴交于点E，再将函数的图象沿平移，使点A、D分别平移到C、F处，求图中阴影部分的面积．
19．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，过某一点分别向、轴作垂线，若这一点与坐标轴围成的矩形周长和面积相等，则这个点叫做“和谐点”，这个矩形称为“和谐矩形”．如，如图①，点，过点分别作、垂线，与坐标轴围成的矩形周长和面积都是18，则点为“和谐点”，矩形为“和谐矩形”．
(1)若点是第四象限的“和谐点”，求点的坐标；
(2)若反比例函数图象上存在“和谐点”，求k的取值范围；
(3)如图②，一次函数与轴、轴分别交于点、，点P是的外接圆上一点，且四边形为“和谐矩形”，点为弧的中点，点是的外接圆上任意一点（与不重合），连接，过点作的垂线交直线于点，求的最大值．
《2025年中考数学二轮压轴题训练：反比例函数综合》参考答案
1．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由的坐标求出菱形的边长，利用平移规律确定出的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）先证明可得得出，再设直线的解析式为，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式
（3）先求直线解析式为：，再联立方程组得： ，求出，再求解即可．
【详解】（1）解：的坐标为，
，
四边形是菱形，
，
，
顶点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数的解析式为；
（2）解：四边形是菱形，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
过，，
，
解得，
直线解析式为：；
（3）解：设直线的解析式为，
过，
，
解得，
直线解析式为：，
联立方程组得： ，解得：或，
，
．
【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，待定系数法求反比例函数解析式与一次函数解析式，一次函数、反比例函数的性质，以及一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
2．(1)
(2)3
(3)或
【分析】（1）将代入，求得，再代入即可求解；
（2）连接，令与轴交于点，由函数解析式得，利用，而，则，即可求解；
（3）令于轴交于点，得，结合勾股定理可得，即，利用数形结合，考虑点从下方往上运动，找到相应临界位置求得对应的值即可求解．
【详解】（1）解：将代入，得，
解得：，
∴，
将代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）将代入，得，即，
连接，令与轴交于点，
由一次函数的表达式知，当时，即，可得，
∴，
则，
，
则；
（3）令于轴交于点，
当时，，解得：，即，
当时，，即在直线上，
∵，，，
∴，即，
当点与点重合时，，此时与重合，代入，得，
当点在点下方时，显然，符合题意，此时；
当点在点与点之间时，显然，故不符合题意；
当点与点重合时，代入，得，此时不存在，故不符合题意；
当时，此时，但此时与无交点，故不符合题意；
由此可知，当时，与交点在上方，故不符合题意；
当时，与交点在下方，符合题意；
综上，点在直线的下方，且满足时，或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数上点的坐标特点，勾股定理的逆定理，解题关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来解决相关问题．
3．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合正比例函数先求出点，再利用待定系数法求解，即可解题；
（2）根据题意设，进而得到，，再结合建立方程求解，即可解题；
（3）方法一：根据坐标得到，结合等腰直角三角形性质证明，利用相似三角形性质进而求出，即可解题； 方法二：根据坐标得到，结合等腰直角三角形性质证明，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到，最后利用相似三角形性质进而求出，即可解题．
【详解】（1）解：∵正比例函数过点，
∴，
∴点，
∵反比例函数过点，
∴，
∴ ，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：∵点是在线段的延长线上，
∴设，
∵轴，且与的图象交于点，与x轴的交点为点，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
解得（负值舍去），
∴；
（3）解：方法一：由（2）得，，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴ ，
解得，
∴；
方法二：由（2）得得，，
，
∵，
∴，
∵，，
∴ ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴ ，
解得，
解得，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标与图形，一元一次方程的应用，等腰直角三角形性质，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
4．(1)，
(2)点C的坐标为或
(3)点C的坐标为或
【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
（1）设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式可得点B的坐标为，将点A，B的坐标分别代入，即可得到结论；
（2）由（1）得，求得直线的函数表达式为，设．①当点M在线段上时；②当点M在线段的延长线上时；③，知，则点M不在线段的延长线上，于是得到结论；
（3）设点C的坐标为，①当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，②当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：设点A的坐标为，代入反比例函数的表达式，得，
∴点B的坐标为，
将点A，B的坐标分别代入，得，
解得，
∴；
（2）解：由（1），得，，
∴直线的函数表达式为，
∵直线与直线交于点M，
∴点M在直线上，
设，
①如图1，当点M在线段上时，
∵，
∴，
由相似比及线段长度与坐标的关系，得，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
此时直线的函数表达式为x，
由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
②如图2，当点M在线段的延长线上时，
∵，
∴同①，得，
∴，
解得，
∴点M的坐标为，
∴直线的解析式为，由得（负值舍去），
∴点C的坐标为；
③由，知，则点M不在线段的延长线上，
综上所述，点C的坐标为 或；
（3）设点C的坐标为，且，
①如图3，当为矩形的边时，过点B作x轴的平行线，
分别过点A，C作这条平行线的垂线，垂足分别为M，N，
则，
∴，
即，
化简，得，
解得，（（与点B重合，舍去），
∴点C ；
②如图4，当为矩形的对角线时，过点C作y轴的平行线，分别过点A，B作这条平行线的垂线，垂足分别为P，Q，
则，
∴，
∴，
化简，得，
解得，（负值舍去），（负值舍去），（与点B重合，舍去）；
∴点C的坐标为 ，
综上所述，点C的坐标为 或 ．
5．(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键．
（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）根据函数图象找到反比例函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可；
（3）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点距离计算公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
．
反比例函数的解析式为．
设反比例函数上的“和六点”为．
．
解得，
经检验，都是原方程的解，
反比例函数图象上的“和六点”为．
二次函数的图象经过，．
解得
二次函数的解析式为．
（2）解：由函数图象可知，当时，的解集为或．
（3）解：由（1）可知，抛物线解析式为．
抛物线对称轴为．
点在抛物线对称轴上，
∴可设．
点的横坐标小于点的横坐标，
．
是以为顶点的等腰三角形，
．
，
，
．
解得．
点的坐标为或．
6．（1）能围成矩形花园，，或，；（2）不能围出矩形花园，理由见解析；（3）
【分析】（1）观察图象，联立解方程组得，求解即可得到另一个交点坐标为，进而可求解；
（2）联立，得，根据判别式得到与函数图象没有交点即可求解；
（3）联立，得及．因为AB和BC的长均不小于1m，求得当时；当时．要使方程有解，则，且，所以a的取值范围是．
【详解】（1）由，得，
∴，
∴，
∴，
解得，．
当时，；当时，．
所以能围成矩形花园，，或，．
（2）由，得，
∴，
∴，
∵，
所以方程无解，不能围出矩形花园．
（3）由，得，，．
因为和的长均不小于，
当时，，代入得，；
当时，，，代入得，．
要使方程有解，则，且．
解得．所以a的取值范围是．
【点睛】本题考查了实际应用题的函数直观解释，比较新颖，实质是函数图象的平移，一次函数和反比例图象的交点问题以及解一元二次方程．
7．(1)，
(2)
(3)见解析
【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合运用，正确运用待定系数法求函数解析式是解答本题的关键．
（1）把点代入反比例函数解析式和一次函数的解析式中可求出和的值，
（2）先判断出点，点分别在反比例函数和直线上，得出交点坐标，根据可得结论．
（3）联立和，根据直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点求出，求出C点和B点的坐标，根据两点间距离公式求出，，从而可得结论．
【详解】（1）解：把点代入反比例函数解析式和一次函数的解析式中可得：
，，
解得，，；
（2）解：由（1）知，
∴点，点，
∴点P在反比例函数的图象上，点Q在直线上，
∴由（1）知两函数图象交点坐标为，
∴当，的取值范围是．
（3）解：由（1）知直线的解析式为，
联立方程组得，，
整理得，，
∵直线与反比例函数（）的图象只有一个公共点，
∴，
解得，，
∴反比例函数的解析式为；
∵与轴交于点，
∴令，则
∴，
联立方程组，
解得，，
∴，
∵，
∴，，
∴．
8．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
(2)或；
(3)存在，点的坐标为或．
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数与几何的综合应用，待定系数法求函数解析式、菱形的性质及三角形的面积，利用数形结合的思想和分类讨论的思想是解题的关键．
（）连接，交轴于点，由菱形的性质可知关于轴对称，可求得点坐标，把点坐标分别代入两函数解析式可求得和值；
（）求出点坐标，再根据图象即可得出不等式的解集；
（）根据菱形的性质可求得点坐标，可求得菱形面积，设点坐标为，根据条件可得到关于的方程，可求得点坐标．
【详解】（1）解：如图，连接，交轴于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵点，
∴，，
∴，，
∴，
将代入直线可得，解得；
将代入反比例函数可得，解得：；
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）解：由（）得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
联立得：，
解得：或，
∴点，
∴不等式的解集为或；
（3）解：存在，理由如下，
∵，，
∴，
∵，
∴，S△OAP＝2，
设点坐标为，与轴相交于，则，
∴，
∴，
当在的左侧时，，
∴，，
∴；
当在的右侧时，，
∴，，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
9．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求函数解析式，一次函数的平移，一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）将代入反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据反比例函数的图象是中心对称图形，经过原点的直线的两个交点关于原点对称求解即可；
（3）：设正比例函数的解析式为，利用待定系数法求出，进而得到直线解析式为，利用反比例函数解析式求出，进而得出，再求出，即可得到答案．．
【详解】（1）解：将代入反比例函数解析式，
则；
（2）解：根据反比例函数的对称性可知，的坐标为；
（3）解：设正比例函数的解析式为，
将代入可得，
解得：，
则将正比例函数的图象向上平移个单位长度得到直线解析式为，
将代入反比例函数解析式，解得，
将代入，
解得：，
∴直线解析式为，
令，则，
∴，
∴，
∴．
10．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先将点代入一次函数，求得一次函数解析式，再求出点，即可求出把比例函数解析式；
（2）法1：作轴交直线于点，根据，即可求．
法2：设直线平移前后与轴分别交于两点，连接，根据与同底等高，，即可求；
（3）连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于，由旋转的性质可证明，得，设，则，得点的坐标为，列方程，解方程进而可求点的坐标．
【详解】（1）解：点在一次函数上，
，
一次函数的表达式为；
点在直线上，
，
．
，
把代入得，
解得：，
反比例函数的表达式为；
（2）解：法1：作轴交直线于点，
，
，
，
，
．
法2：设直线平移前后与轴分别交于两点，
连接，
与同底等高，
，
，
，
，
；
（3）解：连接，设点的对应点为点，过点作轴于，过点作轴于，
由旋转的性质可知：，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
点，
为等腰直角三角形．
设，则，
，
点的坐标为，
点在反比例函数的图象上，
，
解得：（不合题意，舍去），
当时，，
点的坐标为．
【点睛】本题主要涉及一次函数与反比例函数的性质及应用，还包括图形的旋转等知识，解题的关键在于利用函数图像上点的坐标满足函数解析式这一性质，求出函数中的未知参数，进而确定函数解析式；对于三角形面积问题，通过合理设点坐标利用面积公式求解；对于图形旋转问题，根据旋转的性质得到对应点坐标的关系，再结合反比例函数解析式求解．
11．(1)，；
(2)点B在圆弧上，理由见详解；
(3)
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数与几何综合，解题的关键是掌握一次函数、反比例函数的性质及扇形面积的公式．
（1）将点A 的坐标代入，求得a，进而可求k；
（2）根据一次函数及反比例函数图象的中心对称性质即可得结论；
（3）把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差即可．
【详解】（1）解：将代入，
得，
，
将代入，
得；
（2）解：点B在圆弧上，
理由：一次函数、反比例函数的图象均关于原点O对称，
它们的交点A、B关于原点O对称，
，
点B在圆弧上；
（3）解：连接，
在直线上，
，，，
设，则，，
，
，
，
，，
，
．
12．(1)①④
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）利用“基准偶和点”的概念作答即可；
（2）依题意得方程组只有一组解，继而推出有两个相等的实数根，利用根的判别式即可得出答案；
（3）由题意得，得，由抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，列立方程组求解即可；
（4）抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，可得，进而可得，再根据二次函数的性质即可求得答案．
【详解】（1）解：依据“基准偶和点”定义知：，
①联立得：，
解得：，
∴直线只有一个“基准偶和点”；
②联立得：，
∴，
∵，
∴方程无实数根，
∴此方程组无解；
③联立得：，
此方程组无解；
④联立得：，
解得：；
∴函数图象上只有一个“基准偶和点”的是①④，
故答案为：①④；
（2）依据“基准偶和点”定义知：，
联立得：，
∴，即，
∵在反比例函数上的图象上有且只有一个“基准偶和点”，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（3）依据“基准偶和点”定义知：，
联立得：，
解得：，
∵抛物线（、均为常数）与直线只有一个交点，且该点是“基准偶和点”，
∴，即，
∴，
∴，
联立得：，
∴，
即，
∴，
解得：，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（4）依据“基准偶和点”定义知：，
联立得：，
∴，即，
∵抛物线（、均为常数，）的图象上有且只有一个“基准偶和点”，
∴，即，
∴，
①当时，即时，在时取得最小值，
∴，
解得：或（舍去）；
②当，在时取得最小值，
∴，即；
③当时，在时取得最小值，
∴，
解得：或（舍去），
综上所述，的值为或．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法，点的坐标和二次函数的最值，新定义“基准偶和点”的理解和运用，能够根据题干当中的定义灵活运用二次函数的相关知识是解题的关键．
13．(1)一次，反比例
(2)
(3)见详解
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的运用，理解表格信息，函数图象信息，掌握一次函数，反比例函数的计算是解题的关键．
（1）根据表格，函数图象分析即可；
（2）运用待定系数法求解即可；
（3）根据函数解析式，分别求出时的时间，进行比较即可求解．
【详解】（1）解：根据表格信息可得，当时，是的一次函数，当时，是的反比例函数，
故答案为：一次，反比例；
（2）解：当时，是的一次函数，设解析式为，当时，，当时，，
∴，
解得，，
∴一次函数解析式为，
∴当时，；
当时，是的反比例函数，当时，，
∴设反比例函数解析式为，
∴，
解得，，
∴反例函数解析式为，
当时，；
综上所述，，
补全图形如下，
；
（3）解：当时，一次函数解析式为，
当时，，
解得，，
∵这堂课刚开始进行了3分钟预热，
∴符合学生听课注意力指标数与上课时间的函数关系，合理；
当时，反例含解析式为，
当时，，
解得，，
∵上到31分钟时，结束对数学综合题的探究，
∴这段时间，学生注意力较集中，学生学习解综合题的效果很显著；
综上所述，该教育专家点评的合理．
14．(1)
(2)作图见解析，性质见解析（答案不唯一）
(3)或 （答案不唯一）
【分析】（1）当点沿着的方向运动时，，则，从而得到；当点沿着的方向运动时，，过点作，如图所示，由列比例式求出即可由三角形面积公式求出的解析式及自变量的取值范围；
（2）由（1）中求得的解析式及自变量的取值范围直接作图即可得到答案；
（3）由（2）中所在图象，求出两个函数图象的交点横坐标，数形结合求解即可得到答案．
【详解】（1）解：当点沿着的方向运动时，设点运动的路程为，
，
在矩形中，，则，
；
当点沿着的方向运动时，设点运动的路程为，
，
过点作，如图所示：
，
在矩形中，，，，则，，
，即，
点为中点，
，
在中，，则由勾股定理可得，
，解得，
；
当点与点重合时，不存在，没有面积；
综上所述，；
（2）解：如图所示：
性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大（答案不唯一）；
（3）解：由（2）可知， 、的图象如下：
当时，函数图象在函数图象的上方，
过图象交点作轴的垂线，如图所示：
联立，则，即，解得，
或；
联立，则，即，解得，
或（负值舍去）；
当时，或．
【点睛】本题考查函数综合，涉及矩形性质、相似三角形的判定与性质、求函数表达式、勾股定理、作函数图象、解一元二次方程、利用图象解不等式等知识，数形结合是解决问题的关键．
15．(1)
(2)或
(3)四边形是菱形，见解析
【分析】（1）将点代入反比例函数解析式可求m的值，再用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）根据函数图象的交点坐标可求得不等式的解集；
（3）先求解平移后的解析式为，再分别求解两个一次函数与坐标轴的交点坐标，再结合菱形的判定可得结论．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
，
将点，代入中，
得，
解得 ，
一次函数的解析式为；
（2）解：点，，
由图象可得不等式的解集为或；
（3）解：四边形为菱形．理由如下：
如图，连接，，

由向右平移 3 个单位长度得直线，
∴的函数解析式为：，
当，则，当，则，
∴，，
同理可得：，，
∴，，
∵，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用函数图象解不等式，菱形的判定，掌握一次函数与反比例函数的基础知识是解本题的关键．
16．(1)，
(2)，或
(3)P点坐标为，Q点坐标
或P点坐标为，Q点坐标．
【分析】（1）根据反比例函数过第一象限的点，确定反比例函数的解析式，联立反比例函数的解析式与构成的方程组，计算即可．
(2)把，分别代入，解方程组，求得交点的横坐标，即可写出解集即可．
（3）分，为对角线两种情况讨论解答即可．
【详解】（1）解：将点代入反比例函数，
得，
∴，
∵，
解得或，
∵A在第三象限，
∴，．
（2）解：把，分别代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
故关于x的不等式的解集是：或．
（3）存在
分类讨论：
解：①为矩形对角线时，如图
∵，，，
设，则，
，
，
时，为矩形的边，此时为矩形，
，
代入解得或
P点坐标为，
设Q点坐标为，
，
解得
得到Q点坐标．
P点坐标为，Q点坐标
②为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标，
∵，，，
设，，
当为矩形的对角线时，对角线的交点的坐标，
∴，
则Q点坐标：，
此时为矩形，得，
代入得到，
解得，，，
则P点坐标为，Q点坐标．
【点睛】本题是一次函数与反比例涵函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，矩形的性质，已知两点求距离，熟练掌握这些知识点是解题的关键，注意分类讨论．
17．(1)是矩形的“友好函数”
(2)①；②；③
【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论；
（2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k；
分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可；
分四种情况讨论，当，且时，当，且时，当，且时，当，且时，根据矩形面积公式，求出，即可求出的值．
【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：，
反比例函数的表达式为：，
当时，，
点D在反比例函数图像上，
该函数为矩形的“友好函数”；
（2）解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得，
正比例函数表达式为，
正比例函数是矩形的“友好函数”，
点C在直线上，
设点， 则，
；
将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上，
，，，
延长交y轴于F，
四边形是矩形，
，，
轴，
，，
，
，
，
，
轴，
，，
，
，
在中，，
，
解得：或，
,
，
，
，
当时，，
把代入反比例函数得，；
②当时，即，
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，，
，
，
，
当时，，
当时，即时，如图，
设点， 则，
；
将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ，
，
当时，，
综上所述，，
③当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，则，
，
，
当，且时，解得，不符合题意，
当，且时， 解得，则，
，
，
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键；
18．(1)
(2)或．
(3)
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：
（1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可；
（2）图象法求不等式的解集即可；
（3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可．
【详解】（1）解：点在的图像上，
当时，．
∴，
将点代入，得．
（2）由（1）知：，
联立，
解得：或，
∴；
由图像可得：时的取值范围为：或．
（3）∵，
∴当时，，
∴，
∵将直线沿轴向下平移6个单位，
∴，
直线的解析式为：，设直线与轴交于点H
∴当时，，当时，，
∴，，
如图，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∴，
∵，，
．
连接，
∵平移，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴阴影部分面积等于的面积，即．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据“和谐点”的定义和第四象限的范围即可求解；
（2）根据“和谐点”的定义列出方程，化简之后是关于的一元二次方程，因为存在，所以方程有解，利用，即可求解；
（3）先根据“和谐点”的定义求出值，从而得到直径和半径的长度，利用等角转化求出的正切值，所以当最大时也最大，最大为直径，进而求解即可．
【详解】（1）解：是第四象限的“和谐点”，
，
，
由“和谐点”定义可得，，
解得，
．
（2）设“和谐点”坐标为，
，
“和谐点”在第一象限或第三象限，
由“和谐点”定义可得，
当时，整理得，
当时，整理得，
存在“和谐点”，
，
解得或（舍，
．
（3）与轴交于点，与轴交于点，
分别令，得，，，
由“和谐点”定义可得，，
解得或（舍去），
，，
，
设的外接圆圆心为，
，
是直径，圆心为中点，
如图连接、，连接与交于点，
，
是弧中点，
垂直平分，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
当有最大值时，也有最大值，
和在圆上，
最大时为直径，此时，
．
即的最大值为．
【点睛】本题主要考查“和谐点”的新定义、矩形的性质、反比例函数点的坐标特征、圆周角定理、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识和理解题意是解题的关键．
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