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选择性必修三测试卷（提升卷）
考试时间：120分钟 满分：150分
单选题（共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确）
1．（24-25高二上·上海·期末）6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（ ）
A．30 B．60 C．120 D．360
2 ．（24-25高二上·江西南昌·期末）某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（ ）
附：若，则，，.
A．8413 B．9772 C．9974 D．9987
3．（24-25高二下·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·山东·阶段练习）的展开式中的系数是（ ）
A．90 B．100 C．-40 D．
5．（24-25高二上·江西抚州·期末）若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25广东湛江·期中）已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25高二上·江西宜春·期末）下列说法正确的个数是（ ）．
①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
②若随机变量，则方差
③若随机变量，，则
④已如随机变量X的分布列为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（24-25江苏南京·期中）将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．与相互独立
多选题：（共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，不分选对得部分分，有选错的得0分）
9．（24-25高二上·江西新余·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则
B．若，则
C．被8除的余数为1
D．的展开式中含项的系数为5292
10．（24-25高二上·辽宁·期末）下列命题中真命题是（ ）
A．的展开式中含项的系数为
B．随机变量，若方差，则
C．若随机变量，且，则
D．甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有45种
11（24-25高二上·山东德州·期末）下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量X服从两点分布，也称分布，且，则
B．若随机变量X满足，则
C．若随机变量，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，若，则此人最有可能7次击中目标
填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12．（24-25高二上·江西九江·期末）若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为
13．（24-25高二上·四川绵阳·期末）甲、乙二人下围棋，根据规则，先确定第一局谁先落子.由乙随手抓一把白子，甲随机猜白子个数的奇偶，若甲猜正确，由甲先落子，否则乙先落子，之后每局由上一局负者先落子.若甲先落子，则甲胜的概率为0.5，若乙先落子，则乙胜的概率为0.6，采取三局两胜制（无平局情况），则乙通过前两局就获胜的概率为 .
14（24-25高二上·上海·期末）从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，则为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的 倍．
解答题（共5小题，77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（24-25高二上·辽宁·期末）从，，等8人中选出5人排成一排．
(1)必须在内，有多少种排法
(2)，都在内，且排在前面，有多少种排法
(3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法
(4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法
16．（2024浙江）某社区对随机抽取的120名居民进行“安全卫生服务满意度”问卷调查，其中对社区“安全卫生服务”满意的男性居民占抽取调查人数的．
满意 不满意 合计
男性居民 60
女性居民 20 60
合计 120
(1)请根据调查结果将上面的列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验分析居民对“安全卫生服务”的满意程度是否有差异；
(2)用分层随机抽样方法，从对社区“安全卫生服务”满意的居民中随机抽取9人，再从9人中随机抽取4人到其他社区交流学习，记这4人中女性居民的人数为，求的分布列与期望．
附：，其中．
0.100 0.050 0.025
2.706 3.841 5.024
17．（2024山东临沂·期中）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体.
(1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少
(2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望.
(3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据：若，则：；；.
18（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：
第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
旅游人数y（万人） 300 283 321 345 372 435 486 527 622 800
该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．
(1)根据表中数据，求模型②的回归方程．（a精确到个位，b精确到0.001）．
(2)根据下列表中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．
回归方程 ① ②
30407 14607
参考公式、参考数据及说明：
①，
②刻画回归效果的决定系数；
③参考数据： ， 表中．
5.5 449 6.05 83 4195 9.00
19．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲 乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲 乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为.
(1)求的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求的数学期望.
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选择性必修三测试卷（提升卷）
考试时间：120分钟 满分：150分
单选题（共8小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确）
1．（24-25高二上·上海·期末）6名同学到三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，A场馆安排1名，B场馆安排2名，C场馆安排3名，则不同的安排方法的个数有（ ）
A．30 B．60 C．120 D．360
【答案】B
【解析】首先安排C场馆的3名同学，即；
再从剩下的3名同学中来安排A场馆的1名同学，即；
最后安排2名同学到丙场馆，即.
所以不同的安排方法有：种.
故选：B
2 ．（24-25高二上·江西南昌·期末）某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为（ ）
附：若，则，，.
A．8413 B．9772 C．9974 D．9987
【答案】D
【解析】由可知，，，
则，
故单果质量不低于150g的脐橙个数约为10000×0.9987=9987.
故选：D
3．（24-25高二下·全国·课后作业）设是一个离散型随机变量，其分布列如下，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由离散型随机变量的性质可得，
即，解得或，
时，不合题意，.
.
故选：A.
4．（2025·山东·阶段练习）的展开式中的系数是（ ）
A．90 B．100 C．-40 D．
【答案】D
【解析】由的展开式的通项为，
则的展开式中的系数是.
故选：D.
5．（24-25高二上·江西抚州·期末）若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】对于A，取，得，A错误；
对于B，展开式中项的系数为，B错误；
对于C，二项式展开式中各项系数均为正，取，
得，C正确；
对于D，取，得，取，得，
联立解得，因此，D错误.
故选：C
6．（24-25广东湛江·期中）已知某条线路上有两辆相邻班次的（快速公交车），若准点到站的概率为，在B准点到站的前提下准点到站的概率为，在准点到站的前提下B不准点到站的概率为，则B准点到站的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设事件为“准点到站”，事件为“准点到站”，
依题意，，
而，解得，
而，
则，而，解得.
故选：B
7．（24-25高二上·江西宜春·期末）下列说法正确的个数是（ ）．
①从10名男生，5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
②若随机变量，则方差
③若随机变量，，则
④已如随机变量X的分布列为，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】设至少有一名女生为事件 ，则，则，①错误；
因为随机变量，所以，，②正确；
根据正态分布的性质，，所以，，③正确；
，得，
可得，解得，所以，④正确；
综上，正确命题的个数为3.
故选：C.
8．（24-25江苏南京·期中）将一枚均匀的骰子掷两次，记事件为“第一次出现偶数点”，事件为“两次出现的点数和为”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．与相互独立
【答案】D
【解析】对于A：将一枚均匀的骰子掷两次基本事件共有个，
事件包括，2个基本事件，所以，故A错误；
对于B：因为不互斥，，，
所以，故B错误；
对于C：事件包括4个基本事件，所以，
，故C错误；
对于D：事件为“第一次出现偶数点”， ，，
，与相互独立，故D正确；
故选：D.
多选题：（共3小题，每题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，不分选对得部分分，有选错的得0分）
9．（24-25高二上·江西新余·期末）下列说法正确的是（ ）
A．若二项式的展开式中，第3项的二项式系数最大，则
B．若，则
C．被8除的余数为1
D．的展开式中含项的系数为5292
【答案】BD
【解析】对A：若第2,3项的二项式系数相等且最大，则；若只有第3项的二项式系数最大，则；
若第3,4项的二项式系数相等且最大，则.故A错误；
对B：令可得；令可得，
所以，故B正确；
对C：因为，
所以被8除的余数为7，故C错误；
对D：因为
.
所以的系数为，故D正确.
故选：BD
10．（24-25高二上·辽宁·期末）下列命题中真命题是（ ）
A．的展开式中含项的系数为
B．随机变量，若方差，则
C．若随机变量，且，则
D．甲、乙、丙、丁4名同学参加，，三项工作，若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有45种
【答案】ABC
【解析】对于A项，展开式的通项公式为，，，…，，
所以展开式中含项的系数为，故A项正确；
对于B项，，解得，则，故B项正确；
对于C项，因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称，
由，得，
所以，故C项正确；
若恰有一项工作无人参加，则先选出无人参加的工作，然后计算出剩余两项工作都有人参加的方法数，
则不同的安排方法共有种，故D项错误.
故选：ABC.
11（24-25高二上·山东德州·期末）下列选项正确的是（ ）
A．若随机变量X服从两点分布，也称分布，且，则
B．若随机变量X满足，则
C．若随机变量，则
D．某人在10次射击中，击中目标的次数为，若，则此人最有可能7次击中目标
【答案】BCD
【解析】若随机变量X服从两点分布，且，则，，
则，故A错；
若随机变量X满足，
则，故B正确；
若随机变量，，则，故C正确；
某人在10次射击中，击中目标的次数为，若，
则，
由得，
即，即，解得，
所以，即最大，此人最有可能7次击中目标，故D正确；
故选：BCD
填空题（共3小题，每题5分，共15分）
12．（24-25高二上·江西九江·期末）若的二项展开式中常数项为160，则实数的值为
【答案】2
【解析】展开式的通项为，令，得，则，解得.
13．（24-25高二上·四川绵阳·期末）甲、乙二人下围棋，根据规则，先确定第一局谁先落子.由乙随手抓一把白子，甲随机猜白子个数的奇偶，若甲猜正确，由甲先落子，否则乙先落子，之后每局由上一局负者先落子.若甲先落子，则甲胜的概率为0.5，若乙先落子，则乙胜的概率为0.6，采取三局两胜制（无平局情况），则乙通过前两局就获胜的概率为 .
【答案】/
【解析】乙随手抓一把白子，甲随机猜白子个数的奇偶，则甲猜正确的概率为，
即甲先落子的概率为，乙先落子的概率为，
若甲先落子，则乙通过前两局就获胜的概率为；
若乙先落子，则乙通过前两局就获胜的概率为，
所以乙通过前两局就获胜的概率为.
故答案为：.
14（24-25高二上·上海·期末）从边长为1的正八边形的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，则为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的 倍．
【答案】2
【解析】在八边形中，以为顶点的等腰三角形有3个，
分别为，
故为等腰三角形的情况数共个，
故为等腰三角形的概率为，
从棱长为2的正方体的顶点中随机选3个点作为三角形的顶点，
不是直角三角形的情况，如下图中的等边三角形，这样的等边三角形共8个，
分别为，，，，，，，，
所以为直角三角形的概率为，
由于，故为直角三角形的概率是为等腰三角形的概率的2倍.故答案为：2
解答题（共5小题，77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（24-25高二上·辽宁·期末）从，，等8人中选出5人排成一排．
(1)必须在内，有多少种排法
(2)，都在内，且排在前面，有多少种排法
(3)，，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法
(4)不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法
【答案】(1)4200
(2)1200
(3)240
(4)4440
【解析】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，
再将这4人与进行全排列有种不同的排法，
故由乘法原理可知共有种不同排法.
（2）由题意，先从余下的6人中选3人共有种不同结果，
再将这3人与、的进行全排列有种不同的排法，
故由乘法原理可知共有种不同排法，
又、之间的排列有，
所以排在前面，有种不同排法.
（3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，
，必须相邻，有种不同排法，
由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法，
再将、这个整体与插入到选出的2人所产生的3个空位中有种不同排法，
由乘法原理可得共有种不同排法.
（4）分四类：第一类：所选的5人无、，共有种排法；
第二类：所选的5人有、无，共有种排法；
第三类：所选的5人无、有，共有种排法；
第四类：所选的5人有、，若A排中间时，有种排法，
若不排中间时，有种排法，
共有种排法；
综上，共有种不同排法.
16．（2024浙江）某社区对随机抽取的120名居民进行“安全卫生服务满意度”问卷调查，其中对社区“安全卫生服务”满意的男性居民占抽取调查人数的．
满意 不满意 合计
男性居民 60
女性居民 20 60
合计 120
(1)请根据调查结果将上面的列联表补充完整，依据小概率值的独立性检验分析居民对“安全卫生服务”的满意程度是否有差异；
(2)用分层随机抽样方法，从对社区“安全卫生服务”满意的居民中随机抽取9人，再从9人中随机抽取4人到其他社区交流学习，记这4人中女性居民的人数为，求的分布列与期望．
附：，其中．
0.100 0.050 0.025
2.706 3.841 5.024
【答案】(1)列联表见解析，有差异
(2)分布列见解析，
【解析】（1）因为对社区“安全卫生服务”满意的男性居民占抽取调查人数的，
所以对社区“安全卫生服务”满意的男性居民有（人），
所以列联表如下：
满意 不满意 合计
男性居民 50 10 60
女性居民 40 20 60
合计 90 30 120
零假设为：居民对“安全卫生服务”满意程度无差异．
根据题表中的数据可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断成立，
因此可以认为不成立，
即认为居民对“安全卫生服务”的满意程度有差异，此推断犯错误的概率不大于0.05．
（2）由（1）知对社区“安全卫生服务”满意的男性居民有50人，女性居民有40人，
用分层随机抽样的方法随机抽取9人，
则男性居民应抽取5人，女性居民应抽取4人，
再从9人中随机抽取4人到其他社区交流学习，记这4人中女性居民的人数为，
所以的所有可能取值为，
所以，，
，，
，
所以随机变量的分布列为
0 1 2 3 4
所以．
17．（2024山东临沂·期中）某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节.2022年报考该试点高校的学生的笔试成绩近似服从正态分布.其中，近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，s的近似值为5.5，以样本估计总体.
(1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少
(2)若笔试成绩高于76.5进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，设其中进入面试学生数为，求随机变量的期望.
(3)现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为、、、.设这4名学生中通过面试的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
参考数据：若，则：；；.
【答案】(1)分；
(2)5；
(3)分布列详见解析；
【解析】（1）由，
又的近似值为76.5，的近似值为5.5，
所以该校预期的平均成绩大约是（分）
（2）由，可得，
即从所有报考该试点高校的学生中随机抽取1人，
该学生笔试成绩高于76.5的概率为
所以随机变量服从二项分布，故
（3）X的可能取值为，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以
18（23-24高二下·宁夏银川·阶段练习）某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后，旅游的人数不断地增加，不仅带动了该市淡季的旅游，而且优化了旅游产业的结构，促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变．下表是从2009年至2018年，该景点的旅游人数y（万人）与年份x的数据：
第x年 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
旅游人数y（万人） 300 283 321 345 372 435 486 527 622 800
该景点为了预测2021年的旅游人数，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘法公式求得y与x的线性回归方程；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线的附近．
(1)根据表中数据，求模型②的回归方程．（a精确到个位，b精确到0.001）．
(2)根据下列表中的数据，比较两种模型的决定系数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测2021年该景区的旅游人数（单位：万人，精确到个位）．
回归方程 ① ②
30407 14607
参考公式、参考数据及说明：
①，
②刻画回归效果的决定系数；
③参考数据： ，
5.5 449 6.05 83 4195 9.00
表中．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）对取对数，得，设，，先建立关于的线性回归方程．
，，
，
模型②的回归方程为．
（2）由表格中的数据，有3040714607，即，
即，，
模型①的相关指数小于模型②的，说明回归模型②的拟合效果更好．
2021年时，，预测旅游人数为（万人）．
19．（23-24高二下·江苏宿迁·阶段练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从'一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲 乙两口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲 乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋重复进行次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为恰有1个黑球的概率为.
(1)求的值；
(2)求的值（用表示）；
(3)求的数学期望.
【答案】(1)，
(2)
(3)1
【解析】（1）根据题意可设恰有2个黑球的概率为，
所以可得恰有0个黑球的概率为，
根据古典概型可得
所以
（2）由题意得，
进一步整理可以得到下式：
又
故可以确定是以首项为，公比为的等比数列，
所以
（3）由题意可得
①，
②，
①-②，得，
因为，所以.所以，的概率分布列为：
0 1 2
所以的数学期望为定值1.
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