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求y=ax +bx+c的最值综合题典型题型 归纳练
2025年中考数学二轮复习备考
一、解答题
1．已知二次函数（t为常数）的图象经过的图象顶点．
(1)求的值．
(2)若二次函数的图象经过点，求的最小值．
(3)若二次函数在时，，求的取值范围．
2．在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线相交于P，点M的坐标为，．
(1)抛物线与x轴交点坐标分别为，，求a，b的值；
(2)求的最小值；
(3)若 （为常数且），抛物线与的顶点记作E、F，若存在轴，请直接写出n的取值范围．
3．我们常借助图象来探究二次函数的性质及其变化规律．
【初步探究】如图1，我们将二次函数的图象向上平移得到的图象．过上点作轴交于点．

（1）点在上运动的过程中，线段的长度是否会发生变化？若不变，请求出定值；若变化，请说明理由．
【拓展探究】如图2，线段分别交轴、轴于点，．平移得到，且使其顶点始终在线段上．过点作轴交于点．
（2）若的顶点横坐标为4，，求点的横坐标．
（3）若点的坐标为，的顶点横坐标为，的长为．
①求关于的函数解析式；
②求的最大值．
4．已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数解析式及其对称轴；
(2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值；
(3)当时，二次函数的最小值为，求的值．
5．规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数有两个零点，．
(1)当，时，求，的值．
(2)请用含，的代数式表示二次函数的最小值．
(3)已知二次函数的图象经过点，且．求证：．
6．已知二次函数，经过点，对称轴为直线．
(1)求二次函数的表达式；
(2)已知点，，连接，将向上平移3个单位长度，向右平移个单位长度后，恰好与的图象有交点，求m的取值范围；
(3)当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的值．
7．如图1，已知抛物线与轴交于点（点在点左边），与轴交于点，抛物线经过点，与轴的另一个交点为，与轴交于点．
(1)_______，______；
(2)点为线段上一点（不与点重合），横坐标为，过点作轴的平行线交于点，交于点，如图2．
①用含的式子表示的长，并求出的最大值；
②当时，求的值；
(3)点为线段上一点（不与点，重合），过点作轴的平行线交于点，（点在点左边），交于点（点在点左边）．记的横坐标分别为，设，直接写出之间的关系式．
8．定义：平面直角坐标系中，点、若满足，其中为常数，且，则称点与点互为“阶点”，例如点与点互为“阶点”．
(1)若抛物线的顶点与点互为“4阶点”，求的值；
(2)对于动点，若抛物线上只存在一个点与点互为“阶点”，求的值；
(3)已知点、是抛物线上的两点，且都与点互为“阶点”，是抛物线的顶点，是线段的中点，若与互为“阶点”，求的最小值．
9．已知二次函数．
(1)求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）；
(2)当时，二次函数的最小值为．求此时二次函数的解析式；
(3)已知点，，线段与二次函数的图象有公共点，直接写出a的取值范围．
10．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)若，．
①求抛物线的函数表达式；
②过点作的垂线，交抛物线于点，求线段的长．
(2)已知，当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求的值．
11．已知二次函数（为常数），
(1)当二次函数的图象经过点时，求二次函数的表达式；
(2)当时，的最小值为1，求的值；
(3)当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线过点，且，请求出的取值范围．
12．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如，…都是“平衡点”．
(1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标______．
(2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，求此时函数的关系式和顶点坐标．
(3)在（2）的条件中，当时，函数的最小值为，最大值为，直接写出的取值范围．
(4)设关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，关于的函数（为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点，点，点在点的左侧，且，直接写出的值．
参考答案
1．(1)
(2)的最小值为
(3)的取值范围是
本题主要考查二次函数的图象与性质.
（1）先求出的图象顶点坐标，再代入即可求出的值；
（2）将代入中，再利用二次函数的性质即可求出的最小值.
（3）先求出的对称轴，再根据时，即可求出的取值范围.
（1）解：∵，
的图象顶点坐标为，
的图象经过，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得
的图象经过，
，
，
∴的最小值为；
（3）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为.
∵时，，
∴，
当时， ，
解得，
∴，
∴的取值范围是．
2．(1)，
(2)
(3)
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）联立抛物线解析式求出交点P的坐标，根据两点间距离公式求出长，根据完全平方公式的非负性解题即可；
（3）先求出两抛物线的顶点坐标，然后根据题意得到，进而得到，由此求解即可．
（1）解：∵抛物线与x轴交点坐标分别为，，
，
；
（2）解：由题意，联立抛物线与抛物线，
把代入抛物线，得，
点M的坐标为，
，
，
当时，有最小值，最小值为2，
的最小值为
（3）解：抛物线的顶点E的坐标为，抛物线的顶点F的坐标为，
轴，
，
，
，
，
，
（当a，b同号取得等号），
的取值范围是
本题主要考查了二次函数图像的性质，求二次函数顶点坐标，求二次函数函数值的取值范围，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
3．（1）的长度不变，；（2）点的横坐标为或；（3）①当时，；当时，；②
本题主要考查二次函数的性质，涉及二次函数的平移、根据顶点坐标求函数解析式和二次函数的性质，解题的关键是熟悉二次函数的性质和分类讨论思想的应用．
（1）理由一：因为是由向上平移3个单位长度得到，相同的对应的函数值相差3．
理由二：作差求得，则．
（2）根据点的横坐标和直线，求得的顶点坐标，则的函数解析式为，设，，分点在点上方和点在点上方两种情况求解即可；
（3）①根据题意得顶点为，则的函数解析式为，进一步求得，当点和点重合时求得m，分当和时，分别求得；
②结合①利用二次函数的性质分别求得最大值即可；
解：（1）的长度不变，．
理由一：因为是由向上平移3个单位长度得到，相同的对应的函数值相差3．
理由二：∵，
∴．
（2）∵，的顶点横坐标为4，
∴的顶点坐标为，
∴的函数解析式为．
设，．
当点在点上方时，，则；
当点在点上方时，，则．
∴点的横坐标为或．
（3）①∵的顶点横坐标为，
∴顶点为．
∴的函数解析式为．
∵，
∴．
当点，重合时，，解得，．
当时，；
当时，．
②当时，．
∵，对称轴为直线，
∴当时，的最大值．
当时，．
∵，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增大，
∴当时，的最大值．
∵．
∴的最大值为．
4．(1)，对称轴为直线
(2)
(3)
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键．
（1）代入点B坐标计算，求出b，再根据求出对称轴即可；
（2）设点、，则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，通过对称轴不变来解出t，从而得出上移距离m．
（3）先求出抛物线的顶点为，再分和两种情况来讨论函数的最小值即可，注意求出的值和和得到的范围一致才是有解．
（1）解：将代入函数表达式得：，则，
即抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）解：当时，
设点、，
则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，则，
则点、的坐标分别为：、，
则新抛物线的表达式为：，
即；
（3）解：由（1）知，抛物线的顶点为，
当，即时，
抛物线在顶点处取得最小值，即，则；
当时，即时，
则抛物线在时取得最小值，即，
解得：（舍去）或6（舍去），
综上，．
5．(1)
(2)
(3)见解析
此题考查了二次函数的图象和性质、函数的最值、一元二次方程根与系数关系等知识，熟练掌握二次函数的性质和根与系数关系是关键．
（1）根据零点的定义列方程组并解方程组即可；
（2）根据根与系数关系得到，求出二次函数的最小值为．代入即可；
（3）由题意得到，根与系数关系得到，得到，则，由，得到，且，得到，即可证明结论．
（1）解：当，时，
，
解得，
（2）∵二次函数有两个零点，．
∴
即是的两个根，
∴，
∵二次函数的最小值为．
∴
即二次函数的最小值为．
（3）∵二次函数的图象经过点，
∴，
∵是的两个根，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，且，
∴
∴
6．(1)
(2)
(3)的值为或
（1）由题意可得，求出、的值即可得解；
（2）求出平移后点对应的坐标为，点对应的坐标为，结合题意得出当时，，即，求解即可；
（3）分三种情况：当，即时；当时；当时；分别根据二次函数的性质列出方程，解方程即可得解．
（1）解：∵二次函数，经过点，对称轴为直线，
∴，
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）解：∵点，，连接，将向上平移3个单位长度，向右平移个单位长度，
∴平移后点对应的坐标为，点对应的坐标为，
∵平移后，恰好与的图象有交点，
∴当时，，
∴，
解得：，
∴m的取值范围为；
（3）解：∵，
∴二次函数的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为，
∴当，即时，此时在上，随着的增大而减小，
当时，取得最大值为，当时，取得最小值为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
当时，当时，二次函数的最大值为或，最小值为，
∴或，
解得：或（不符合题意，舍去），或（不符合题意，舍去）
当时，此时在上，随着的增大而增大，当时，取得最小值为，当时，取得最大值为，
∴，
解得：（不符合题意，舍去），
综上所述，的值为或．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、平移的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
7．(1)
(2)①，；②1或
(3)
本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的最值等知识，熟练掌握数形结合思想是解答本题的关键．
（１）运用待定系数法求出ｃ的值，令解方程求出点Ａ的坐标，再把点Ａ的坐标代入，可求出；
（2）①根据题意得，表示出，根据二次函数的性质可得结论；
②由列方程求解即可；
（3）设过K且与x轴平行的直线为，则可得，，整理后由根与系数关系得由可得绪论．
（1）解：把点代入，得，
令，则，
解得，，，
∵点在点左边，
∴，
把点代入 中，得：
，
解得：；
（2）解：①由（1）得：，，
∵点为线段上一点（不与点重合），横坐标为，
∴，
∴，
∵
∴当时，有最大值，最大值为；
②∵，，
∴，
∵
∴
∴
解得，（舍去），或；
（3）解：设过K且与x轴平行的直线为，则可得，，
整理得，，，
由根与系数关系得，
而，
又，
∴．
8．(1)
(2)或
(3)最小值为
本题考查二次函数的图像和性质，根的判别式，二次函数的最值，掌握新定义是解题的关键．
（1）配方得到抛物线的顶点坐标，然后根据“4阶点”的定义解答即可；
（2）设这一点为，根据“阶点”的定义得到方程，然后根据根的判别式解题即可；
（3）设点A的坐标为，点B的坐标为，则可得到，是方程的两根，即，，然后求出M和N的坐标，即可得到，根据t的取值范围确定最值即可．
（1）解：，
∴顶点坐标为，
∵顶点与点互为“4阶点”，
∴，
解得：；
（2）解：设这一点为，
根据“阶点”的定义得：，
整理得：，
∵只存在一个点与点互为“阶点”，
∴，
解得：或；
（3）解：设点A的坐标为，点B的坐标为，
∵点、都与点互为“阶点”，
∴，，
整理得，，
∴，是方程的两根，
∴，，
又∵，
∴顶点M坐标为，
又∵是线段的中点，
∴点的坐标为，
∵与互为“阶点”，
∴，
整理得，
代入得：，
即，
当时，随k的增大而增大，
∴当时，最小，最小值为．
9．(1)顶点坐标为
(2)
(3)
本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，二次函数的性质；
（1）根据对称轴公式与顶点坐标公式，即可求解；
（2）根据题意得出时，最小为，待定系数法求解析式，即可求解；
（3）分抛物线经过，，求得的临界值，即可求解．
（1）解：
∴对称轴为直线，
当时，
∴顶点坐标为；
（2）解：∵，，在对称轴直线的左侧，随的增大而减小，
∴时，最小为
∴
解得：
又∵
∴
∴；
（3）解：∵点，，线段与二次函数的图像有公共点，
当抛物线经过时，，
解得：，
当抛物线经过时，，
解得：，
∴．
10．(1)①；②
(2)的值为或
（1）①利用待定系数法求解，即可解题；
②过点作轴于点，连接，交轴于点．由二次函数与坐标轴交点情况可知是等腰直角三角形，进而得到，是等腰直角三角形， 设点，结合等腰直角三角形性质建立等式求出点坐标，最后利用勾股定理求解，即可解题．
（2）根据题意得到二次函数的顶点坐标为，结合二次函数性质分以下三种情况，①当，即时，二次函数在处取最大值，在处取最小值，②当，即时，二次函数在处取最大值，在顶点处取最小值，③当，即时，二次函数在处取最大值，在顶点处取最小值求解，即可解题．
（1）解：①由题意，可得，
解得，
抛物线的函数表达式为．
②如图，过点作轴于点，设交轴于点．
由抛物线解析式可知，，
是等腰直角三角形．
，
，
．
轴，
，
，
．
设点，则，
，，
，
，
，
，则，
，解得或（不合题意，舍去），
点．
点，
．
（2）解：由题意，得二次函数的顶点坐标为．
当时，；当时，．
分以下三种情况：
①当，即时，二次函数在处取最大值，在处取最小值，
，解得（不合题意，舍去）；
②当，即时，二次函数在处取最大值，在顶点处取最小值，
，解得（不合题意，舍去），；
③当，即时，二次函数在处取最大值，在顶点处取最小值，
，解得（不合题意，舍去），．
综上所述，的值为或．
本题考查待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形性质和判定，勾股定理，二次函数与坐标轴交点，二次函数图象与性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
11．(1)
(2)或．
(3)
本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数的性质；
（1）由二次函数的图象经过点，再建立方程求解即可；
（2）分两种情况讨论：如图，当时，此时当时，时，取得最小值，而的最小值为1，当时，如图，当时，此时，函数取得最小值，再建立方程求解即可；
（3）先求解平移后的函数解析式为，把代入可得：，可得，再利用二次函数的性质求解即可．
（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得：；
∴二次函数为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
如图，当时，此时当时，时，取得最小值，而的最小值为1，
∴，
解得：，
当时，如图，当时，
此时，函数取得最小值，
∴，
解得：或（舍去）
综上：或．
（3）解：当时，抛物线为
把向下平移个单位长度得到新抛物线为，
把代入可得：
，
∴，
当时，的最小值为，
∵，
∴当时，，
当时，，
∵，
∴．
12．(1)或
(2)二次函数关系为，顶点坐标为
(3)
(4)
本题主要考查二次函数图象的性质，增减性，对称性质，最值的计算方法等知识，理解新定义的计算方法，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
（1）根据“平衡点”的定义，把代入计算即可求解；
（2）根据题意联立于得，，得到，则①，再根据“平衡点”的定义得到②，联立方程组求解得到，由此得到二次函数一般式，将一般式化为顶点式即可求解；
（3）根据题意得到，则二次函数图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为，根据函数的增减性，最值的计算方法即可求解；
（4）根据题意得到，整理得，，，解得，则得到，同理得到，结合题意得到，代入计算即可求解．
（1）解：∵点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”，
∴把代入得，，即，
解得，，
∴平衡点的坐标为或，
故答案为：或；
（2）解：二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”
∴联立于得，，
整理得，，
∴，则①，
∵“平衡点”为，
∴，整理得，②，
联立①②得，，
解得，，
∴二次函数关系为，
∴顶点坐标为；
（3）解：由（2）可得，，
∴，
∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为，顶点坐标为，如图，
当时，，
解得，，
当时，，
∴；
（4）解：关于的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点，
∴，整理得，，
∴，
解得，，
∴，
∴，整理得，，
解得，，
∴，
关于的函数（为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点，点，
∴，整理得，，
∴，
解得，，
∵，点在点的左侧，
∴，且，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理得，，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，
综上所述，．
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