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第三节　单　摆
(分值:100分)
选择题1~10题,每小题9分,共90分。
基础对点练
题组一　单摆及其运动规律
1.(多选)下列有关单摆的说法,正确的是 (　　)
一根橡皮筋一端系在悬点,另一端连接一个小球,可以构成一个单摆
单摆的摆动一定是简谐运动
若单摆在同一平面内摆动,且偏角小于5°,可以认为该单摆的运动是简谐运动
单摆做简谐运动时,摆长越长,其运动周期越大
2.如图所示,将摆球拉离平衡位置O后从图中位置P由静止释放,摆球沿圆弧做往复运动。若图中摆线与竖直方向的夹角θ很小,摆球质量为m,摆长为l,重力加速度为g,忽略空气阻力,则摆球从P运动到O的过程中 (　　)
摆球的回复力是由摆球的重力与绳子拉力的合力提供
若摆球的位移为x,则此时摆球的回复力为F=x
摆球的回复力不断减小
摆球在O点时的回复力与摆球所受的合外力相等
题组二　单摆的周期
3.(2024·江苏南京高二月考)如图所示,一轻质漏斗装满沙子,用细线悬挂该漏斗做成一单摆。在漏斗小角度摆动沙子缓慢漏出时,沿O2O1方向匀速拉动木板,漏出的沙子在木板上会形成图示曲线,不计摆动时所受空气阻力,则下列说法正确的是 (　　)
由于漏斗中沙子重心降低,摆动的周期增大
由于漏斗中沙子重心降低,摆动的周期减小
由于漏斗中沙子质量减少,摆动的周期增大
由于漏斗中沙子质量减少,摆动的周期减小
4.一摆钟由甲地移到乙地后,发现走时变快了,其变快的原因及调整的方法是 (　　)
g甲>g乙,将摆长缩短 g甲g甲g乙,将摆长放长
5.(2024·辽宁大连高二月考)质量相同的甲、乙两小球用细线系于同一根水平杆上,两小球做简谐运动的图像如图所示,则 (　　)
两小球经过平衡位置时速度一样大
运动过程中最大切向加速度甲的大
两小球摆动过程中最大摆角乙的大
运动过程中甲的机械能小于乙的机械能
6.如图所示,一小球用细线悬挂于O点,细线长为L,O点正下方L处有一铁钉。将小球拉至A处无初速度释放(摆角很小),这个摆的周期是 (　　)
2π
(+1)π (+1)π
7.一单摆做简谐振动,如图为摆绳对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像,则该单摆的摆长为(重力加速度g取10 m/s2) (　　)
0.4 m 1.6 m
4 m 16 m
8.A、B两个小球放在一段光滑圆弧曲面上,它们与圆弧最低点O之间的弧长OA>OB,OA、OB均远小于圆弧半径。C球位于圆弧的圆心处,三个小球同时从静止开始运动,则到达O点所需时间的大小关系为 (　　)
tA>tB>tC tC>tA>tB
tA=tB>tC tC>tA=tB
综合提升练
9.将一个摆长为l的单摆放在一个光滑且倾角为α的斜面上,其摆角为θ(θ<5°),如图所示。小球质量为m,重力加速度为g,下列说法正确的是 (　　)
摆球做简谐运动的回复力为mgsin θsin α
摆球做简谐运动的回复力为mgsin θ
摆球做简谐运动的周期为2π
摆球在运动过程中,经过平衡位置时,摆线的拉力为FT=mgsin α
10.(多选)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示,根据振动图像可以判定 (　　)
若甲、乙两单摆在同一地点摆动,甲、乙两单摆摆长之比是9∶4
甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
若甲、乙两单摆在不同地点摆动,但摆长相同,则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4
培优加强练
11.(10分)(2024·金华十校调研)如图甲所示,摆球在竖直平面内做简谐运动,通过力传感器测量摆线拉力F,F的大小随时间t变化规律如图乙所示,摆球经过最低点时的速度大小v= m/s,忽略空气阻力,取g=10 m/s2,π2≈10,求:
(1)(3分)单摆的摆长l;
(2)(3分)摆球的质量m;
(3)(4分)摆线拉力的最小值。
第三节　单　摆
1.CD　[一根不可伸长的细绳一端系在悬点,另一端连接一个质量较大且可以看成质点的小球可以构成一个单摆,而橡皮筋受到拉力时形变量较大,连接小球构成的装置不可看成单摆,A错误;若单摆在同一平面内摆动,且偏角小于5°,可以认为该单摆的运动是简谐运动,B错误,C正确;根据单摆的周期公式T=2π可知,单摆做简谐运动时,摆长越长,其运动周期越大,D正确。]
2.C　[摆球重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsin θ充当回复力,A错误;若摆球的位移为x,由于θ很小,则sin θ≈θ=,又回复力F与位移x反向,则F=-mg,B错误;从P运动到O的过程中,摆球逐渐衡位置,摆球的位移减小,回复力大小不断减小,C正确;摆球在O点时速度不为零,则指向悬点的合外力不为零,而在O点的回复力为零,故二者不相等,D错误。]
3.A　[细线悬点到沙子重心的距离是单摆摆长,由于漏斗中沙子重心降低,单摆的摆长l变大,由单摆周期公式T=2π可知,单摆周期T变大,故A正确,B错误;由单摆周期公式T=2π可知,漏斗中沙子的质量对单摆周期没有影响,故C、D错误。]
4.B　[根据单摆的周期公式T=2π,知摆钟变快了,即周期变短了,说明乙地的重力加速度大于甲地的重力加速度,即g乙>g甲,为了增大周期,可以增大摆长,B正确。]
5.B　[由题图可知,甲、乙周期之比,甲、乙的振幅之比,根据单摆周期公式T=2π可知,甲、乙的摆长之比,甲的摆长短,振幅大,所以摆动过程中甲的最大摆角大,故C错误;x-t图像中,斜率表示速度,由题图可知,甲在平衡位置的速度比乙大,故A错误;最高点切向加速度最大,所以运动过程中最大切向加速度a=gsin α,因为甲的最大摆角大,所以甲的最大切向加速度大,故B正确;因为甲的摆长短,最大摆角大,所以甲速度为0时,位置更高,重力势能更大,机械能更大,故D错误。]
6.D　[以摆长为L的单摆运动的半个周期为t1=×2π,以摆长为L的单摆运动的半个周期为t2=×2π,则这个摆的周期为T=t1+t2=(+1)π,故A、B、C错误,D正确。]
7.B　[因为一个周期内两次经过平衡位置,经过平衡位置时拉力最大,可知小球摆动的周期为0.8π s,由T=2π得,该单摆的摆长为l= m=1.6 m,故B正确。]
8.C　[设圆弧轨道半径为R,C球做自由落体运动,则有R=,可得tC=,A、B球是等效单摆,从静止运动到O点的时间为tA=tB=×2π,则有tA=tB>tC,故C正确。]
9.A　[回复力由重力沿斜面向下的分力的切向分量提供,重力沿斜面向下的分力为mgsin α,沿斜面向下的分力的切向分量为mgsin αsin θ,故A正确,B错误;该模型为单摆模型,等效重力加速度为gsin α,故周期为T=2π,故C错误;摆球在运动过程中,经过平衡位置时,摆线的拉力和重力沿斜面向下的分力的合力提供向心力,可知FT-mgsin α=m,可知FT>mgsin α,故D错误。]
10.BCD　[根据题图可知,单摆振动的周期关系为T甲=T乙,所以周期之比为,所以频率之比,故B、C正确;若甲、乙两单摆在同一地点摆动,则重力加速度相同,根据周期公式T=2π,可得摆长之比为4∶9,故A错误;若甲、乙两单摆在不同地点摆动,摆长相同,根据T=2π得重力加速度之比为9∶4,故D正确。]
11.(1)1 m　(2)0.1 kg　(3)0.99 N
解析　(1)由题图乙可知单摆周期为T=2 s
根据单摆周期公式T=2π
解得l=1 m。
(2)当拉力最大时,即Fmax=1.02 N
摆球处在最低点,由牛顿第二定律得
Fmax-mg=m
解得m=0.1 kg。
(3)从最低点到最高点,由动能定理得
-mgl(1-cos θ)=0-mv2
解得cos θ=0.99
在最高点摆线的拉力最小,最小值为Fmin=mgcos θ=0.99 N。第三节　单　摆
学习目标　1.知道什么是单摆,了解单摆的构成。2.掌握单摆振动的特点,知道单摆回复力的来源,理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。3.知道单摆的周期跟什么因素有关,了解单摆的周期公式,并能用来进行有关计算。4.知道用单摆可测定重力加速度。
知识点一　单摆及其运动规律
如图所示,生活中,在不同的地点我们能够观察到很多的机械振动,风铃的摆动、钟摆的摆动、秋千的摆动,它们与弹簧振子的结构不同,试着从三种摆动的共性出发,抽象出一种物理模型。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.单摆的定义:忽略悬挂小球细线长度的　　　　和　　　　,且线长比球的直径　　　　的装置,叫作单摆。
2.单摆的回复力
(1)单摆的回复力是由重力沿圆弧　　　　方向的分力G1=mgsin θ 提供的。
(2)如图所示,在偏角很小的条件时(θ为5°左右),sin θ≈tan θ≈,其中x为摆球偏离平衡位置O点的位移,l为摆长。
(3)单摆的回复力F=-x,令k=,则F=-kx,负号表示回复力 F与位移x的方向相反。
3.单摆的运动特点
在偏角较小的情况下,单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成　　　　,这与弹簧振子受的回复力形式相同。因此单摆在偏角很小时的振动是　　　　　　。
思考 1.单摆在做简谐运动时,在平衡位置的回复力是否为零 合外力是否为零
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.单摆的摆动只要在同一竖直面内,其运动即可看作简谐运动,这种说法是否正确。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.单摆是理想化模型,建立模型中保留的主要因素忽略次要因素,忽略的次要因素有什么
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 图中O点为单摆的固定悬点,现将摆球(可视为质点)拉至A点,此时细线处于张紧状态,释放摆球,摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动,B点为运动中的最低位置,则在摆动过程中 (　　)
A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用
B.摆球在A点和C点处,速度为零,合力与回复力也为零
C.摆球在B点处,速度最大,细线拉力也最大
D.摆球在B点处,速度最大,回复力也最大
单摆的受力分析
(1)单摆受力:如图所示,摆球受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源:细线拉力和重力沿径向分力的合力。
(3)回复力来源:重力沿圆弧切线方向的分力F=mgsin θ。
训练1 (多选)如图所示为一单摆的振动图像,则 (　)
A.t1和t3时刻摆线的拉力等大
B.t2和t3时刻摆球速度相等
C.t3时刻摆球速度正在减小
D.t4时刻摆线的拉力正在减小
知识点二　单摆的周期
一条短绳系一个小球,它的振动周期较短。悬绳较长的秋千,周期较长。单摆的周期可能与哪些因素有关 如何来探究单摆周期与它们的关系
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法:　　　　　　法。
(2)实验结论:①单摆振动的周期与摆球质量　　　　。
②单摆振动的周期与振幅　　　　。
③单摆振动的周期与摆长有关。摆长越长,周期　　　　;摆长越短,周期　　　　。
2.周期公式
(1)提出:由荷兰物理学家　　　　首先提出。
(2)公式:T=　　　　,即单摆做简谐运动的周期T与摆长l的二次方根成　　　,与重力加速度g的二次方根成　　　　,跟振幅、摆球的质量无关。
3.对周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时(θ≤5°)成立。
(2)公式中l是摆长,即悬点到摆球球心的距离l=l线+r球。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度,由单摆所在的空间位置决定。
(4)周期T只与l和g有关,与摆球的质量m及振幅无关,所以单摆的周期也叫固有周期。
思考 1.单摆从赤道处移至两极处时,要保证单摆的周期不变,应如何调整摆长
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.如图所示,某同学家的摆钟走慢了,他认为是摆锤过轻造成的,因此,他在摆锤下方紧挨摆锤绑了一金属块。试分析他的做法是否正确。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　角度1　单摆周期公式的应用
例2 周期是2 s的单摆叫秒摆,秒摆的摆长是多少 把一个地球上的秒摆拿到月球上去,它在月球上做50次全振动要用多长时间 已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2,月球表面的自由落体加速度为1.6 m/s2。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
不同星球表面的重力加速度g不同,不能认为公式中的g一定为9.8 m/s2。
训练2 (教科版教材P61,T7改编)已知单摆a完成10次全振动的时间内,单摆b完成6次全振动,两摆长之差为1.6 m,则两单摆的摆长la与lb分别为 (　　)
A.la=2.5 m,lb=0.9 m
B.la=0.9 m,lb=2.5 m
C.la=2.4 m,lb=4.0 m
D.la=4.0 m,lb=2.4 m
角度2　等效摆长和等效重力加速度
例3 如图所示,三根细线在O点处打结,A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上,使∠AOB=90°,∠BAO=30°,已知OC线长是l,下端C点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动)。求:
(1)小球在纸面内摆动的周期;
(2)小球在垂直纸面内摆动的周期。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
对“等效摆长”的理解
(1)图(a)中,甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来效果是相同的,甲摆的等效摆长为lsin α,其周期T=2π。
(2)图(b)中,乙在垂直纸面方向摆动时,其等效摆长等于甲摆的摆长;乙在纸面内小角度摆动时,等效摆长等于丙摆的摆长。
例4 如图所示的几个相同单摆在不同条件下摆动,关于它们的周期关系,下列判断正确的是 (　　)
A.T甲>T乙>T丙>T丁 B.T甲C.T甲>T乙=T丙>T丁 D.T甲不同系统中的等效重力加速度
在不同的运动系统中,单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度,其大小等于单摆相对系统静止在平衡位置时的摆线拉力与摆球质量的比值。
情景 等效重力加速度 情景 等效重力加速度
g等效=g-a g等效=
g等效=g+a g等效=g
g等效= g等效=g
随堂对点自测
1.(单摆及其运动规律)关于单摆,下列说法正确的是 (　　)
A.单摆的摆长即悬点到摆球最下端的长度
B.振动过程中,单摆在平衡位置所受摆线的拉力最小
C.振动过程中,摆球所受的合力就是回复力
D.振动过程中,摆球的机械能守恒
2.(单摆周期公式及应用)将秒摆(周期为2 s)的周期变为1 s,下列措施可行的是(　　)
A.将摆球的质量减半 B.振幅减半
C.摆长减半 D.摆长减为原来的
3.(单摆周期公式及应用)同一地点有甲、乙两个单摆,摆球质量之比m甲∶m乙=1∶2,它们都在做简谐运动。甲摆动4次时,乙恰好摆动5次。可以判断这两个单摆摆长之比l甲∶l乙为(　　)
A.25∶16 B.16∶25
C.8∶5 D.2∶5
4.(等效摆长)如图所示,在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略),组成了双线摆,若细线长均为l,两线与天花板的夹角均为α,重力加速度为g,当小球垂直纸面做简谐运动时,周期为 (　　)
A.2π
C.2π
第三节　单　摆
知识点一
导学
提示　三种摆动都可以抽象为一根轻绳悬挂一个质点在竖直面内做往复运动。
知识梳理
1.微小变化　质量　大得多
2.(1)切线
3.正比　简谐运动
[思考] 1.提示　在平衡位置回复力为零,但合外力不是零。
2.提示　不正确。
3.提示　次要因素:细线的质量,小球的直径,空气的阻力等。
例1 C　[摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用,A错误;摆球在最高点A、C处速度为零,回复力最大,合力不为零,在最低点B处,速度最大,回复力为零,细线的拉力最大,C正确,B、D错误。]
训练1 AD　[由题图可知,t1和t3时刻摆球的位移相等,根据对称性可知单摆振动的速度大小相等,摆线拉力大小相等,故A正确;t2时刻摆球在负的最大位移处,速度为零,t3时刻摆球向平衡位置运动,速度不为0,故B错误;t3时刻摆球正衡位置,速度增大,故C错误;t4时刻摆球正远离平衡位置,速度正在减小,摆线拉力也减小,故D正确。]
知识点二
导学
提示　可能与摆长有关,另外还可能与摆动幅度、物体的质量等因素有关。可用控制变量法探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响。
知识梳理
1.(1)控制变量　(2)①无关　②无关　③越大　越小
2.(1)惠更斯　(2)2π　正比　反比
[思考] 1.提示　两极处重力加速度大于赤道处重力加速度,由T=2π知,应增大摆长,才能使周期不变。
(2)提示　不正确。摆钟走得快慢与摆锤的质量无关,绑了金属块之后,使摆锤的重心下移,摆长增大,由单摆周期公式T=2π,可知周期进一步增加,摆钟走得更慢。
例2 0.99 m　247.5 s
解析　根据周期公式T=2π
代入数据解得l= m≈0.99 m
秒摆搬到月球上后,与在地球上时的周期之比为
它在月球上做50次全振动所用的时间为
t=50T'=50T=50×2×s≈247.5 s。
训练2 B　[设两个单摆的周期分别为Ta和Tb,由题意,10Ta=6Tb,则Ta∶Tb=3∶5。根据单摆周期公式T=2π,可知l=T2,可得la∶lb==9∶25,又lb-la=1.6 m,则la=0.9 m,lb=2.5 m,故B正确。]
例3 (1)2π　(2)2π
解析　(1)让小球在纸面内摆动,在偏角很小时,单摆做简谐运动,摆长为l,周期T=2π。
(2)让小球在垂直纸面内摆动,在偏角很小时,单摆做简谐运动,摆长为,周期T=2π。
例4 C　[题图甲中,当摆球偏离平衡位置时,重力沿斜面的分力mgsin θ为等效重力,即单摆的等效重力加速度g甲=gsin θ;题图乙中,两个带电小球的斥力总与运动方向垂直,不影响回复力,等效重力加速度g乙=g;题图丙为标准单摆;题图丁中,摆球处于超重状态,等效重力增大,故等效重力加速度增大,即g丁=g+a,由单摆做简谐运动的周期公式T=2π,知T甲>T乙=T丙>T丁,选项C正确。]
随堂对点自测
1.D　[单摆的摆长即摆线悬点到摆球球心的距离,故A错误;设某时刻摆线和竖直方向的夹角为θ,则对摆球,有FT-mgcos θ=m,则摆球所受摆线的拉力FT=mgcos θ+m,在最低点时,θ=0,cos θ=1,最大,由单摆的特点知,此时单摆速度也最大,则此时摆球所受摆线的拉力最大,故B错误;振动过程中,重力沿圆弧切线方向的分力充当摆球的回复力,在平衡位置,回复力为零,摆球的合力并不为零,故C错误;振动过程中,只有摆球的重力做功,故其机械能守恒,故D正确。]
2.D　[由周期公式T=2π可知,周期与振幅和摆球质量无关,故A、B错误;在重力加速度g相同的情况下,可通过缩短摆长来改变周期,要使周期减半,摆长需变为原来的,故D正确,C错误。]
3.A　[相同时间内甲摆动4次,乙摆动5次,则T甲∶T乙=5∶4,根据T=2πT2∝T2,所以l甲∶l乙=25∶16,故A正确。]
4.D　[由题意知,小球的运动可等效为单摆,此单摆的等效摆长为lsin α,由单摆周期公式T=2π,可得周期为T=2π,故D正确。](共56张PPT)
第三节　单　摆
第二章 机械振动
1.知道什么是单摆，了解单摆的构成。
2.掌握单摆振动的特点，知道单摆回复力的来源，理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。
3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关计算。
4.知道用单摆可测定重力加速度。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　单摆的周期
知识点一　单摆及其运动规律
知识点一　单摆及其运动规律
如图所示，生活中，在不同的地点我们能够观察到很多的机械振动，风铃的摆动、钟摆的摆动、秋千的摆动，它们与弹簧振子的结构不同，试着从三种摆动的共性出发，抽象出一种物理模型。
提示　三种摆动都可以抽象为一根轻绳悬挂一个质点在竖直面内做往复运动。
1.单摆的定义：忽略悬挂小球细线长度的__________和______，且线长比球的直径________的装置，叫作单摆。
2.单摆的回复力
(1)单摆的回复力是由重力沿圆弧______方向的分力G1＝mgsin θ 提供的。
微小变化
质量
大得多
切线
3.单摆的运动特点
在偏角较小的情况下，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成______，这与弹簧振子受的回复力形式相同。因此单摆在偏角很小时的振动是__________。
正比
简谐运动
【思考】 1.单摆在做简谐运动时，在平衡位置的回复力是否为零？合外力是否为零？
提示　在平衡位置回复力为零，但合外力不是零。
2.单摆的摆动只要在同一竖直面内，其运动即可看作简谐运动，这种说法是否正确。
提示　不正确。
3.单摆是理想化模型，建立模型中保留的主要因素忽略次要因素，忽略的次要因素有什么？
提示　次要因素：细线的质量，小球的直径，空气的阻力等。
C
例1 图中O点为单摆的固定悬点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　　)
A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用
B.摆球在A点和C点处，速度为零，合力与回复力也为零
C.摆球在B点处，速度最大，细线拉力也最大
D.摆球在B点处，速度最大，回复力也最大
解析　摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，A错误；摆球在最高点A、C处速度为零，回复力最大，合力不为零，在最低点B处，速度最大，回复力为零，细线的拉力最大，C正确，B、D错误。
单摆的受力分析
(1)单摆受力：如图所示，摆球受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向分力的合力。
(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F＝mgsin θ。　　　　
训练1 (多选)如图所示为一单摆的振动图像，则 (　　)
AD
A.t1和t3时刻摆线的拉力等大
B.t2和t3时刻摆球速度相等
C.t3时刻摆球速度正在减小
D.t4时刻摆线的拉力正在减小
解析　由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知单摆振动的速度大小相等，摆线拉力大小相等，故A正确；t2时刻摆球在负的最大位移处，速度为零，t3时刻摆球向平衡位置运动，速度不为0，故B错误；t3时刻摆球正衡位置，速度增大，故C错误；t4时刻摆球正远离平衡位置，速度正在减小，摆线拉力也减小，故D正确。
知识点二　单摆的周期
一条短绳系一个小球，它的振动周期较短。悬绳较长的秋千，周期较长。单摆的周期可能与哪些因素有关？如何来探究单摆周期与它们的关系？
提示　可能与摆长有关，另外还可能与摆动幅度、物体的质量等因素有关。可用控制变量法探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响。
1.探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响
(1)探究方法：__________法。
(2)实验结论：①单摆振动的周期与摆球质量______。
②单摆振动的周期与振幅______。
③单摆振动的周期与摆长有关。摆长越长，周期______；摆长越短，周期______。
控制变量
无关
无关
越大
越小
2.周期公式
(1)提出：由荷兰物理学家________首先提出。
惠更斯
反比
3.对周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆偏角很小时(θ≤5°)成立。
(2)公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l＝l线＋r球。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。
(4)周期T只与l和g有关，与摆球的质量m及振幅无关，所以单摆的周期也叫固有周期。
【思考】 1.单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？
2.如图所示，某同学家的摆钟走慢了，他认为是摆锤过轻造成的，因此，他在摆锤下方紧挨摆锤绑了一金属块。试分析他的做法是否正确。
角度1　单摆周期公式的应用
例2 周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，它在月球上做50次全振动要用多长时间？已知地球表面的重力加速度为9.8 m/s2，月球表面的自由落体加速度为1.6 m/s2。
不同星球表面的重力加速度g不同，不能认为公式中的g一定为9.8 m/s2。　　　　
B
训练2 (教科版教材P61，T7改编)已知单摆a完成10次全振动的时间内，单摆b完成6次全振动，两摆长之差为1.6 m，则两单摆的摆长la与lb分别为(　　)
A.la＝2.5 m，lb＝0.9 m B.la＝0.9 m，lb＝2.5 m
C.la＝2.4 m，lb＝4.0 m D.la＝4.0 m，lb＝2.4 m
角度2　等效摆长和等效重力加速度
例3 如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，已知OC线长是l，下端C点系着一个小球(可视为质点且做小角度摆动)。求：
(1)小球在纸面内摆动的周期；
(2)小球在垂直纸面内摆动的周期。
例4 如图所示的几个相同单摆在不同条件下摆动，关于它们的周期关系，下列判断正确的是(　　)
C
A.T甲＞T乙＞T丙＞T丁 B.T甲＜T乙＝T丙＜T丁
C.T甲＞T乙＝T丙＞T丁 D.T甲＜T乙＜T丙＜T丁
不同系统中的等效重力加速度
在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度，其大小等于单摆相对系统静止在平衡位置时的摆线拉力与摆球质量的比值。
随堂对点自测
2
D
1.(单摆及其运动规律)关于单摆，下列说法正确的是(　　)
A.单摆的摆长即悬点到摆球最下端的长度
B.振动过程中，单摆在平衡位置所受摆线的拉力最小
C.振动过程中，摆球所受的合力就是回复力
D.振动过程中，摆球的机械能守恒
D
2.(单摆周期公式及应用)将秒摆(周期为2 s)的周期变为1 s，下列措施可行的是(　　)
A
3.(单摆周期公式及应用)同一地点有甲、乙两个单摆，摆球质量之比m甲∶m乙＝1∶2，它们都在做简谐运动。甲摆动4次时，乙恰好摆动5次。可以判断这两个单摆摆长之比l甲∶l乙为(　　)
A.25∶16 B.16∶25
C.8∶5 D.2∶5
D
4.(等效摆长)如图所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)，组成了双线摆，若细线长均为l，两线与天花板的夹角均为α，重力加速度为g，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为(　　)
课后巩固训练
3
CD
题组一　单摆及其运动规律
1.(多选)下列有关单摆的说法，正确的是(　　)
A.一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆
B.单摆的摆动一定是简谐运动
C.若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐
运动
D.单摆做简谐运动时，摆长越长，其运动周期越大
基础对点练
C
2.如图所示，将摆球拉离平衡位置O后从图中位置P由静止释放，摆球沿圆弧做往复运动。若图中摆线与竖直方向的夹角θ很小，摆球质量为m，摆长为l，重力加速度为g，忽略空气阻力，则摆球从P运动到O的过程中(　　)
A
题组二　单摆的周期
3.(2024·江苏南京高二月考)如图所示，一轻质漏斗装满沙子，用细线悬挂该漏斗做成一单摆。在漏斗小角度摆动沙子缓慢漏出时，沿O2O1方向匀速拉动木板，漏出的沙子在木板上会形成图示曲线，不计摆动时所受空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A.由于漏斗中沙子重心降低，摆动的周期增大
B.由于漏斗中沙子重心降低，摆动的周期减小
C.由于漏斗中沙子质量减少，摆动的周期增大
D.由于漏斗中沙子质量减少，摆动的周期减小
B
4.一摆钟由甲地移到乙地后，发现走时变快了，其变快的原因及调整的方法是(　　)
A.g甲>g乙，将摆长缩短 B.g甲C.g甲g乙，将摆长放长
B
5.(2024·辽宁大连高二月考)质量相同的甲、乙两小球用细线系于同一根水平杆上，两小球做简谐运动的图像如图所示，则(　　)
A.两小球经过平衡位置时速度一样大
B.运动过程中最大切向加速度甲的大
C.两小球摆动过程中最大摆角乙的大
D.运动过程中甲的机械能小于乙的机械能
D
B
7.一单摆做简谐振动，如图为摆绳对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像，则该单摆的摆长为(重力加速度g取10 m/s2)(　　)
A.0.4 m B.1.6 m C.4 m D.16 m
C
8.A、B两个小球放在一段光滑圆弧曲面上，它们与圆弧最低点O之间的弧长OA>OB，OA、OB均远小于圆弧半径。C球位于圆弧的圆心处，三个小球同时从静止开始运动，则到达O点所需时间的大小关系为(　　)
A.tA＞tB＞tC B.tC＞tA＞tB
C.tA＝tB＞tC D.tC＞tA＝tB
A
9.将一个摆长为l的单摆放在一个光滑且倾角为α的斜面上，其摆角为θ(θ＜5°)，如图所示。小球质量为m，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
综合提升练
BCD
10.(多选)甲、乙两个单摆的振动图像如图所示，根据振动图像可以判定(　　 )
A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，甲、乙两单摆摆
长之比是9∶4
B.甲、乙两单摆振动的频率之比是3∶2
C.甲、乙两单摆振动的周期之比是2∶3
D.若甲、乙两单摆在不同地点摆动，但摆长相同，
则甲、乙两单摆所在地点的重力加速度之比为9∶4
培优加强练
(1)单摆的摆长l；
(2)摆球的质量m；
(3)摆线拉力的最小值。
答案　(1)1 m　(2)0.1 kg　(3)0.99 N

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