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七宝中学高二第二学期期中考试数学试卷
一、填空题（1－6题每小题4分，7－12题每小题5分，共54分）
1. 二项式展开式中的常数项是______.
2. 如果，，，的方差是，则，，，的方差为______.
3. 小明在书店随机地选一本书，设事件：小明选的书是数学书，事件：小明选的书是中文版的书，事件：小明选的书是2024年或2024年以后出版的书，请写出表示的事件：______.
4. 已知函数在点处切线的斜率为，倾斜角为，则______.
5. 已知函数在区间上可导，则“函数在区间上是严格增函数”是“对任意的成立”的______条件.（请填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既非充分又非必要”中的一个）
6. 若曲线在点处的切线方程为，则的值为________．
7. 将一枚均匀的硬币投掷5次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率是______.
8. 已知函数的定义域为，值域为，则函数是偶函数的概率为__．
9. 在在展开式中，不含所有项的系数和为______（用数值作答）.
10. 已知袋中有个大小相同的编号球，其中黄球9个，红球个，从中任取两个球，取出的两球是一黄一红的概率为，则的最大值为______（用最简分数表示）.
11. 由所有连续且在定义域内导函数存在的全体函数构成的集合，记为.则以下命题为真命题的序号是______.
①对于任意的，若为奇函数，则为偶函数；
②存在，使得为非奇非偶函数，但为奇函数或偶函数：
③对于任意的，若为减函数，则为增函数；
④存在，使得在定义域上单调，但在定义域上不单调.
12. 已知集合，，是由函数，图像上两两不相同的点构成的点集，集合，其中、.若集合中的元素按照从小到大的顺序排列能构成公差为的等差数列，当时，则符合条件的点集的个数为______.
二、选择题（13－14题每小题4分，15－16题每小题5分，共18分）
13. 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷100次，第99次抛掷出现反面的概率是（ ）
A. B. C. D.
14. 现有两组数据，第1组数据为，，，，，，第2组数据为，其中，是正整数.给出如下结论：①当时，两组数据的平均数相等；②当时，第1组数据的平均数小于第2组数据的平均数；③当时，第1组数据的中位数小于第2组数据的中位数；④当时，第2组数据的方差大于第1组数据的方差.其中说法正确的是（ ）
A. ①②； B. ①③； C. ①④； D. ③④.
15. 我校共有1500名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在文夫楼的一楼或二楼的一个餐厅用餐，经统计，当天在一楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到二楼餐厅用午餐；而当天在二楼餐厅用午餐的学生中，有的学生第二天会到一楼餐厅用楼午餐，则一学期后，在一楼餐厅用午餐的学生数大约为（ ）
A. 700 B. 800 C. 900 D. 1000
16. 已知函数的定义域为，则下 列是“在处取不到极大值”的充分条件的是（ ）
A. 存在无穷多个，满足
B. 对任意有理数，均有
C. 函数在区间上为严格增函数，在区间上为严格减函数
D. 函数在区间上为严格减函数，在区间上为严格增函数
三、解答题（共78分）
17. 如图，某密码锁共有12位拨盘，包含0到9共10个数字和“*、#”两个特殊符号，某人知道开锁密码按顺序为“6位数字+1位特殊符号（6位数字可重复）”.已知，当拨盘依次是907856#时，锁才能打开.
1 2 3
4 5 6
7 8 9
* 0 #
（1）如果该人记不得密码所包含的6位数字和1位特殊符号，则一次打开锁的概率是多少？
（2）如果该人只记得密码的最后两位数字是56，则他一次打开锁的概率是多少？
18. 25年3月9日，在十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫健委主任雷海潮表示，将持续推进“体重管理年”行动.国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》显示，我国18岁及以上居民超重率、肥胖率分别达到和，居民肥胖率呈上升趋势.目前，国际上常用身体质量指数（BMI）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是
.
中国成人的BMI数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.
为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，根据年龄采用分层随机抽样方法抽取了50名员工的身高和体重数据，计算得到他们的BMI值如下：
老年组：218 18.2 25.2 28.1 21.5 19.1 25.7 24.4 17.6 20.8
中年组：20.5 20.2 17.4 21.6 18.4 20.3 30.8 23.6 23.3 22.8
20.8 16.8 19.0 16.4 18.7 26.1 20.2 17.6 15.4 21.5
19.5 31.6 19.1 20.4 13.9
青年组：18.6 16.6 15.9 18.3 18.1
29.7 18.9 16.9 25.8 19.8 18.5 16.0 17.6 19.1 26.5
根据上面的数据，请回答以下问题：
（1）请完成下表，并绘制25名中年组员工体重指数（BMI）的频率分布直方图；
（2）分别求出以上老年组和青年组员工体重指数（BMI）的第30百分位数（精确到小数点后一位数字），并比较老年组和青年组员工在肥胖状况上的差异；
（3）分析公司员工胖瘦程度的整体情况，并提出控制体重的至少两条建议.
25名员工的BMI值的频率分布表如下：
分组 频数 频率 频率／组距
19. 已知函数，.
（1）求的单调区间；
（2）若，曲线在，两点（不重合）处的切线互相垂直，垂足为，两切线分别交轴于，两点，设面积为，若恒成立，求的最小值.
20. 已知集合中的任一个元素都是整数，当存在整数、，且时，称为“间断整数集”.进一步地，若“间断整数集”中任意两个元素的差的绝对值最小为，则称为“－间断整数集”.已知集合.
（1）若集合的三元子集是“2－间断整数集”，求符合条件的元素所构成的集合；
（2）若集合的四元子集是“1－间断整数集”，求集合的个数；
（3）求集合的所有子集中，“间断整数集”的个数.
21. 我们把称为区间的长度.若函数是定义在区间上的函数，且存在，使得，则称为的自映射区间，函数称为自映射函数.已知函数，.
（1）判断时，函数是否为自映射函数.若是，请给出它一个自映射区间；若不是，请说明理由；
（2）若，任取的一个自映射区间，求其区间的长度的概率；
（3）若存在自映射区间，求的取值范围.
七宝中学高二第二学期期中考试数学试卷
一、填空题（1－6题每小题4分，7－12题每小题5分，共54分）
【1题答案】
【答案】
【2题答案】
【答案】
【3题答案】
【答案】选到一本2024年前出版的中文版的数学书
【4题答案】
【答案】##
【5题答案】
【答案】充分非必要
【6题答案】
【答案】2
【7题答案】
【答案】##
【8题答案】
【答案】
【9题答案】
【答案】
【10题答案】
【答案】##
【11题答案】
【答案】①②④
【12题答案】
【答案】
二、选择题（13－14题每小题4分，15－16题每小题5分，共18分）
【13题答案】
【答案】D
【14题答案】
【答案】B
【15题答案】
【答案】C
【16题答案】
【答案】B
三、解答题（共78分）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）答案见解析 （2）答案见解析 （3）答案见解析
【19题答案】
【答案】（1）当时，函数在单调递增；
当时，函数在单调递增，在单调递减.
（2）
【20题答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）.
【21题答案】
【答案】（1）答案见解析；
（2）；
（3）.

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