资源简介

2024-2025学年上海市黄浦区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）.
1．（3分）下列函数中，是一次函数的是　　
A． B．
C．、是常数） D．
2．（3分）下列方程中，属于二项方程的是　　
A． B． C． D．
3．（3分）在下列方程中，有实数根的是　　
A． B． C． D．
4．（3分）甲乙两个工程队修建某段公路．如果甲乙两队合作，16天可以完成；如果甲队独做5天后，乙队加入，两队继续工作了10天，共完成了总工作量的．设单独完成这项工程甲队需要天，乙队需要天，那么根据题意可列出方程组　　
A． B．
C． D．
5．（3分）函数与函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是　　
A． B．
C． D．
6．（3分）小文家与学校相距1000米，某天小文上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是小文与家的距离（米关于时间（分钟）的函数图象，下列说法错误的是　　
A．小文走了200米后返回家拿书
B．小文在家停留了3分钟
C．小文以每分钟200米的速度加速赶到学校
D．小文在第10分钟的时候赶到学校
二、填空题（共12题，每题2分，满分24分）.
7．（2分）直线在轴上的截距是　　 ．
8．（2分）方程的根是 　　．
9．（2分）直线可由直线向　　 平移　　 个单位得到．
10．（2分）已知一次函数与轴的交点坐标的横坐标是3，且平行于函数，那么这个一次函数解析式是　　 ．
11．（2分）若点、在直线上，则、的大小关系是　　．（填“”、“ ”或“”
12．（2分）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是　　．
13．（2分）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是　　 ．
14．（2分）方程的根是　　 ．
15．（2分）用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米，设另外一条直角边长为厘米，根据题意列出的方程是　　 ．
16．（2分）已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为 　　．
17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将△沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为 　　．
18．（2分）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为 　　．
三、简答题：（本大题共6题，每题6分，满分36分）
19．（6分）解关于的方程：．
20．（6分）解方程：．
21．（6分）解方程：
22．（6分）解方程组：．
23．（6分）用换元法解方程组：．
24．（6分）已知，点是第一象限内的点，直线交轴于点，交轴负半轴于点．联结，．
（1）求的面积；
（2）求点的坐标和的值；
四、解答题：（本大题共3题，25题6分，26题8分，27题8分，满分22分）
25．（6分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个数学问题：“良马日行二百四十里，舞马日行一百五十里，母马先行一十二日，问良马几何追及之．”它的大意是：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马需要多少天才能追上劣马？”如图，是良马与劣马行走路程（单位：里）关于行走时间（单位：日）的函数图象，
（1）射线记为，射线记为那么良马行走路程关于行走时间的函数图象是 　　；（填或
（2）两图象交点的坐标是 　　；
（3）求良马行走路程关于行走时间的函数解析式．
26．（8分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同．
（1）问：、两款的进货单价分别是多少元？
（2）小洋决定将款玩偶的销售单价定为12元，将款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进、两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，请你根据计算说明，当、两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？
27．（8分）探究活动
【模型构建】
如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】
（1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角△，直接写出第三个点的坐标是　　 ；
（2）如图1，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式；
【模型拓展】
（3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若△是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
参考答案
一、选择题（共6题，每题3分，满分18分）.
1．（3分）下列函数中，是一次函数的是　　
A． B．
C．、是常数） D．
解：、分母中含有未知数，不是一次函数，不合题意；
、自变量次数为2，故不是一次函数，不合题意；
、当时不是一次函数，不合题意；
、是一次函数，符合题意．
故选：．
2．（3分）下列方程中，属于二项方程的是　　
A． B． C． D．
解：，符合二项方程的结构特点，故属于二项方程；
，由于等号左边没有常数项，故不属于二项方程；
，该方程共三项不是两项，故不属于二项方程；
，由于该方程不是整式方程，故不属于二项方程．
故选：．
3．（3分）在下列方程中，有实数根的是　　
A． B． C． D．
解：（A）原方程化为：，故无解；
（B）原方程化为：，
解得：，
解得：，
，故由实数解，
（C）原方程化为：，
，故无解，
（D）去分母可得：，
经验可知：是该方程的增根，故无解，
故选：．
4．（3分）甲乙两个工程队修建某段公路．如果甲乙两队合作，16天可以完成；如果甲队独做5天后，乙队加入，两队继续工作了10天，共完成了总工作量的．设单独完成这项工程甲队需要天，乙队需要天，那么根据题意可列出方程组　　
A． B．
C． D．
解：甲乙两队合作，16天可以完成，
；
甲队独做5天后，乙队加入，两队继续工作了10天，共完成了总工作量的，
，即．
根据题意可列出方程组．
故选：．
5．（3分）函数与函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是　　
A． B．
C． D．
解：由函数知直线必过这一点，
故选：．
6．（3分）小文家与学校相距1000米，某天小文上学时忘了带了一本书，走了一段时间才想起，于是返回家拿书，然后加快速度赶到学校，图中是小文与家的距离（米关于时间（分钟）的函数图象，下列说法错误的是　　
A．小文走了200米后返回家拿书
B．小文在家停留了3分钟
C．小文以每分钟200米的速度加速赶到学校
D．小文在第10分钟的时候赶到学校
解：、小文走了200米后返回家拿书，正确，不合题意；
、小文在家停留了3分钟，错误，从回家到拿到书，一共用3分钟，故符合题意；
、小文以每分钟：米的速度加速赶到学校，正确，不合题意；
、小文在第10分钟的时候赶到学校，正确，不合题意；
故选：．
二、填空题：（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）直线在轴上的截距是　　 ．
解：令，得，
直线在轴上的截距是．
故答案为：．
8．（2分）方程的根是 　．　．
解：，
，
，
，
，
故答案为：．
9．（2分）直线可由直线向　下　 平移　　 个单位得到．
解：由题意，原直线解析式为，新直线为，即，
将直线向下平移1个单位长度得到直线．
故答案为：下；1．
10．（2分）已知一次函数与轴的交点坐标的横坐标是3，且平行于函数，那么这个一次函数解析式是　　 ．
解：一次函数平行于函数，
，
一次函数与轴的交点坐标的横坐标是3，
与轴的交点坐标为，
，
解得，
这个一次函数解析式是．
故答案为：．
11．（2分）若点、在直线上，则、的大小关系是　　．（填“”、“ ”或“”
解：，
随的增大而减小．
又，
．
故答案为：．
12．（2分）一次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是　　．
解：由图象可知当时，，且随的增大而减小，
当时，，
故答案为．
13．（2分）用换元法解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是　　 ．
解：设，则原方程可化为：，
方程两边乘以得，
整理得．
故答案为．
14．（2分）方程的根是　　 ．
解：由原方程可得或，
当时，
，
解得：；
当时，
，
解得：；
检验：当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去，
故原方程的根为，
故答案为：．
15．（2分）用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米，设另外一条直角边长为厘米，根据题意列出的方程是　　 ．
解：设另外一条直角边长为厘米，则斜边长为厘米，
根据勾股定理可得，．
故答案为：．
16．（2分）已知二元二次方程组有一组解是，写出一个符合上述条件的二元二次方程组为 　　．
解：把，的值代入符合要求；
故答案为：．
17．（2分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将△沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处，则点的坐标为 　　．
解：当时，，
解得：，
点的坐标为，
；
当时，，
解得：，
点的坐标为，
．
在△中，，，，
．
由折叠得：，．
设点的坐标为，则．
在△中，，，，，
，
即，
解得：，
点的坐标为．
故答案为：．
18．（2分）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为 　　．
解：轴，
与的横坐标相同，
，
轴，
的纵坐标纵坐标，
在直线的图象上，
，解得，
，即的横坐标为，
同理，的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标为，
的横坐标，
的横坐标，，
，
的横坐标为，
的横坐标为．
故答案为：．
三、简答题：（本大题共6题，每题6分，满分36分）
19．（6分）解关于的方程：．
解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
当，即时，方程的解是；
当，即时，方程无解．
20．（6分）解方程：．
解：原方程移项得：，
两边同时平方得：，
整理得：，
两边同时平方得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，是原方程的解，不是原方程的解，
故原方程的解为．
21．（6分）解方程：
解：方程两边都乘以得：
，
，
解得：，，
经检验：是原方程的解，不是原方程的解，
所以原方程的解为．
22．（6分）解方程组：．
解：由②得：，
或，
原方程组可转化为：（1）或（2）；
解方程组（1）得：，解方程组（2）得：，
方程组的解为，．
23．（6分）用换元法解方程组：．
解：，
设，，可得方程组，
再设，，可得方程组，
②，得③，
①③，得，
解得：，
把代入①，得，
解得：，
，，
，，
，
解得：，
方程组的解为．
24．（6分）已知，点是第一象限内的点，直线交轴于点，交轴负半轴于点．联结，．
（1）求的面积；
（2）求点的坐标和的值；
解：（1）的面积；
（2），，
，
，即，解得，
点坐标为；
设直线的解析式为，
把、代入得，解得，
直线的解析式为，
把代入得．
四、解答题：（本大题共3题，25题6分，26题8分，27题8分，满分22分）
25．（6分）元朝朱世杰的《算学启蒙》一书记载了一个数学问题：“良马日行二百四十里，舞马日行一百五十里，母马先行一十二日，问良马几何追及之．”它的大意是：“良马每天行240里，劣马每天行150里，劣马先行12天，良马需要多少天才能追上劣马？”如图，是良马与劣马行走路程（单位：里）关于行走时间（单位：日）的函数图象，
（1）射线记为，射线记为那么良马行走路程关于行走时间的函数图象是 　　；（填或
（2）两图象交点的坐标是 　　；
（3）求良马行走路程关于行走时间的函数解析式．
解：（1）根据题意，良马行走路程关于行走时间的函数图象是，
故答案为：；
（2）（天，（天，（里，
两图象交点的坐标是；
故答案为：；
（3）根据题意，，
良马行走路程关于行走时间的函数解析式为．
26．（8分）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．小洋在网上开设相关周边专卖店，一次，小洋发现一张进货单上的一个信息是：款哪吒玩偶的进货单价比款哪吒玩偶少5元，花500元购进款哪吒玩偶的数量与花750元购进款哪吒玩偶的数量相同．
（1）问：、两款的进货单价分别是多少元？
（2）小洋决定将款玩偶的销售单价定为12元，将款玩偶的销售单价定为20元，小洋打算要花费1000元购进、两款玩偶若干个，且款的数量不小于款的一半，请你根据计算说明，当、两款各购进多少时，小洋获得的总利润最高，最高为多少？
解：（1）设款的进货单价是元，则款的进货单价是元，
，
解得，
经检验，是该方程的解，
，
答：单价是10元，则单价是15元；
（2）设购进款个，则购进款个，
由题意可得：，
，
设总利润为，则，
，
随的增大而增大，
当取得最大整数解50时，取得最大值，最大值为，
此时，则，
答：购进款25个，购进款50个时，获得的总利润最高，最高为300元．
27．（8分）探究活动
【模型构建】
如图，将含有的三角板的直角顶点放在直线上，过两个锐角顶点分别向直线作垂线，这样就得到了两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这模型在数学解题中被广泛使用．
【模型应用】
（1）在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第一象限内构造等腰直角△，直接写出第三个点的坐标是　　 ；
（2）如图1，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点．将直线绕点逆时针旋转得到直线，求直线对应的函数表达式；
【模型拓展】
（3）如图2，点在轴负半轴上，，过点作轴交直线于点，是直线上的动点，是轴上的动点，若△是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
解：（1）直线与轴，轴分别交于，两点，则点、的坐标分别为：、，
过点作轴于点，
，，
，
，，
则△△，
则，，
则点，
故答案为：；
（2）如图，过点作交直线于点，过点作轴．
．
，
．
．
．
，
，．
．
，，
△△．
，．
当时，，
．
当时，，，
．
．
由点、的坐标得，直线的表达式为：；
（3）①当，，在轴的上方，
如图1：过作轴，交于，交轴于，
，，
，
又，，
△△，
，；
直线，
设，，
，，
①，
，
，即②，
①②联立解得：，，
；
②当，，在轴的下方，
如图
同法可证：△△，
，；
直线，
设，，
，，
①，
，
，即②，
①②联立解得：，，
；
③当，，在轴的上方，
如图3：易证△△，
，；
直线，
设，，
，，
①，
，，
②，
①②联立解得：，，
；
④当，，在轴的下方，
如图：易证△△，
，；
直线，
设，，
，，
①，
，，
②，
①②联立解得：，，
，，
综上，点的坐标为或或或，．
(
1
)

展开更多......

收起↑