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第8章 函数应用——高中数学苏教版（2019）必修第一册单元测试
本试卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项:
1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。
答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
2.擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．某科研小组培育一种水稻新品种,由第1代1粒种子可以得到第2代120粒种子,以后各代每粒种子都可以得到下一代120粒种子,则第10代得到的种子数为( )参考数据：,
A. B. C. D.
2．溶液的酸碱度是用来衡量溶液酸碱性强弱程度的一个指标,在化学中,常用值来表示溶液的酸碱度.的计算公式为其中表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升.甲同学在径流咸阳的渭河中取出一定的水溶液,经测定其中氢离子的浓度摩尔/升,则渭河咸阳段水溶液的值约为( )（参考数据：,）
A. B. C. D.
3．某班研究性小组的同学为了研究活性炭对污水中某种污染物的吸附能力，设计了一种活性炭污水净化装置.现污水中该种污染物含量为（单位：），测得污水通过长度为l（单位：m）的净化装置后污染物的含量W如下表：
l 0 1 2 3
W
研究小组的同学根据表格数据建立了W关于l的函数模型.则与表格中数据吻合的函数模型是( )
A. B.
C. D.
4．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为( )（参考数据：）
A.72 B.73 C.74 D.75
5．数学建模,就是根据实际问题建立数学模型,对数学模型进行求解,然后根据结果去解决实际问题.小明和他的数学建模小队现有这样一个问题:提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,那么,怎样才可以提高呢 我们理想化地建立这样一个关系,在一般情况下,大桥上的车流速度单位:千米/小时是车流密度单位:辆/千米的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明,当时,车流速度v是车流密度x的一次函数.问:当车流密度多大时,车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时可以达到最大 ( )
A.60 B.100 C.140 D.180
6．已知函数在内有一个零点,且求得的部分函数值如下表所示:
x 0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.
1 0.1719 0.01245
若用二分法求零点的近似值（精确度为0.1）,则对区间等分的最少次数和零点的一个近似值分别为( )
A.4,0.7 B.5,0.7 C.4,0.65 D.5,0.65
7．某公司2024年全年投入某项技术的研发资金为120万元,并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长,则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是( )
参考数据.
A.2028年 B.2029年 C.2030年 D.2031年
8．下列函数中，不能用二分法求其零点近似值的是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．如图,某池塘里浮萍的面积y（单位:）与时间t（单位:月）的关系为,则( )
A. B.第4个月时,浮萍面积超过
C.浮萍每月增加的面积都相等 D.浮萍每月的增长率为2
10．某同学求函数的零点时,用计算器算得部分函数值如表所示：
则方程的近似解（精确度0.1）可取为( )
A.2.62 B.2.56 C.2.531 D.2.75
11．已知函数，则方程的根的个数可能为( )
A.2 B.6 C.5 D.4
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运,据市场解题思路,每辆客车营运的总利润y（单位：万元）与营运年数x的关系如图所示（抛物线的一段）,则为使其营运年平均利润最大,每辆客车营运年数为________________.
13．用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时,所需二分区间的次数最少为______________.
14．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表：
那么方程的一个近似根精确到为____________.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．茶是中华民族的举国之饮,发于神农,闻于鲁周公,始于唐朝,兴于宋代,中国茶文化起源久远,历史悠久,文化底蕴深厚,是我国文化中的一朵瑰宝！我国人民历来就有“客来敬茶”的习惯,这充分反映出中华民族的文明和礼貌.现代研究成果显示,茶水的口感与水的温度有关.经实验表明,用的水泡制,待茶水温度降至时,饮用口感最佳.东雅中学利用课余时间开设了活动探究课《中国茶文化》,某实验小组为探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间,每隔1min测量一次茶水温度,得到茶水温度随时间变化的数据如下表：
时间 0 1 2 3 4 5
水温 100 91 82.9 78.37 72.53 67.27
设茶水温度从经过后温度变为,现给出以下三种函数模型：
①;
②;
③.
(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型,并根据前3组数据求出该解析式;
(2)根据(1)中所求函数模型,求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：）;
(3)考虑到茶水温度降至室温就不能再降的事实,求进行实验时的室温约为多少.
16．如图，某校有一块形如直角三角形的空地，其中为直角，长40米，长50米现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，P在边AC上，求该健身房的最大占地面积.
17．2024年1月11日,我国太原卫星发射中心在山东海阳附近海域使用引力一号遥一商业运载火箭,将搭载的云遥一号18-20星3颗卫星顺利送入预定轨道,飞行试验任务获得圆满成功,引力一号运载火箭首飞即采用难度较高的海上发射,刷新了全球运力最大固体运载火箭、我国运力最大民营商业运载火箭纪录,进一步丰富了我国运载火箭型谱.1903年前苏联（俄罗斯）航天之父齐奥尔科夫斯基推导出火箭的理想速度公式为:其中为火箭初始质量,为火箭燃烧完毕熄火后剩余质量,称为火箭质量比,为火箭发动机喷气速度.至今多年来所有大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式基本规律.现已知某型号火箭的发动机的喷气速度为7900m/s.
（1）当该型号火箭的质量比为10时,求该型号火箭的理想速度;
（2）经过改进后,该火箭发动机喷气速度变为原来2倍,火箭质量比变为原来的,若使火箭的理想速度增加3950m/s,求该火箭在技术和材料改进前的质量比.（两问结果均保留一位小数,参考数据:,,）
18．某文旅企业准备开发一个新的旅游景区,前期投入200万元,若该景区开业后的第一年接待游客x万人,则需另投入成本万元,且该景区门票价格为64元/人.
(1)求该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式.（利润=收入-成本）
(2)当该景区开业后的第一年接待游客多少人时,获得的利润最大？最大利润为多少？
19．把物体放在空气中冷却,如果物体原来的温度为,空气的温度为,那么后物体的温度（单位：）可由公式求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为,把水放在空气中冷却,水的温度从冷却到需要.
(1)求;
(2)小王想喝的温水,发现水的温度为,如果他等待水温自然冷却,至少需要等待多少？
(3)某电热水壶会自动检测壶中水温,如果水的温度高于,电热水壶不加热,水的温度冷却到,电热水壶开始加热,直至水的温度达到才停止加热,且水的温度从加热到需要8min.现该电热水壶中水的温度为,经过后,此时壶中水的温度是多少？
参考答案
1．答案：C
解析：由题意,第10代得到的种子数为
故第10代得到的种子数约为
故选：C.
2．答案：D
解析：由题意可知,渭河咸阳段水溶液的值为.
故选：D.
3．答案：D
解析：由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为；
第二，在定义域单调递减且单位减少率变慢；
第三，函数图像过.
函数和图像不过，不符合条件，故BC错误；
函数单调递增，故A错误；
D选项：满足上述条件，故D正确.
故选：D.
4．答案：B
解析：由题，，
所以，
又由题当时，，
即，
所以，令
即即，
解得，
故，
所以学习率衰减到0.2以下（不含0.2）
所需的训练迭代轮数至少为73.
故选：B.
5．答案：B
解析：当时,设,则,解得,,
于是,
设车流量为q,则车流量,
当时,;
当时,,当且仅当取等号,
所以当时,车流量最大,最大值约为3333辆.
故选:B
6．答案：C
解析：由题意可知,对区间内,设零点为,
因为,,,所以,精确度为,
又,,,精确度为,
又,,,精确度为
又,,,精确度为,
需要求解,,,的值,
然后达到零点的近似值精确到0.1,所以零点的近似解为0.65,共计算4次.
故选:C
7．答案：D
解析：设第年投入y元（2024年为第1年）,则,
令,即,
所以,
则,
则第12年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元,
即年该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元.
故选：D.
8．答案：B
解析：对于A，函数在R上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，函数，
故函数有唯一零点，且函数值在零点两侧同号，
故不能用二分法求零点；
对于C，当时，，
当且仅当时，等号成立，无零点；
当时，，当且仅当时，等号成立，
函数在上单调递减，在上单调递增，
此时有两个零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于D，函数在R上单调递增，有唯一零点，
所以函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.
故选：B
9．答案：ABD
解析：由图可知,函数过点,将其代入解析式,可得,A正确;
所以,可得第4个月的浮萍面积为,超过了,B正确;
前3个月的浮萍面积,分别为,,,
从前3个月浮萍面积可看出,每月增加的面积不相等,C不正确;
每月增长率为,故每月增长率为2,D正确.
故选:ABD
10．答案：BC
解析：因为函数在其定义域内单调递增,
结合表格中数据：
可知方程的近似解所在区间可以是
根据区间的长度计算分别为1,,,,
根据精确度为,可知方程的近似解在区间上,
根据精确度为的要求,可在区间上任选一个值作为该方程的近似解,
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：画出的图像如图所示：
令，则，则，
当，即时，，
此时，由图与的图像有两个交点，
即方程的根的个数为2个，A正确；
当时，即时，
，则
故，，
当时，即，则x有2解，
当时，若，
则x有3解；若，则x有2解，
故方程的根的个数为5个或4个，CD正确；
故选：ACD
12．答案：5
解析：根据图象,设.代入点,解得.
.
因此,年平均利润.
, ,当且仅当,即时,等号成立.
故要使平均利润最大,则客车营运年数为5.
故答案为：5.
13．答案：7
解析：根据题意,原来区间的长度等于1,
每经过二分法的一次操作,区间长度变为原来的一半,
则经过n次操作后,区间的长度为,若,
即;故最少为7次.
故答案为：7.
14．答案：1.4
解析：因为,所以在内函数必有零点,
因为,所以函数零点在内,
因为,所以函数零点在内,
因为,所以函数零点在内,
因为,所以函数零点在内,
而,
所以方程的一个近似根精确到为1.4,
故答案为：1.4.
15．答案：(1)选模型②,且
(2)
(3)约为10℃
解析：(1)由表格数据知：函数单调递减且递减速度逐渐变慢,故模型①③不符合,
选模型②,则,即,可得,
所以且.
(2)令,则.
所以泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间为.
(3)由,即,所以进行实验时的室温约为.
16．答案：500
解析：如图，设矩形为，长为x米，
其中，健身房占地面积为y平方米，
因为，
所以，即，
求解，
从而
，
当且仅当时，等号成立，
即该健身房的最大占地面积为500平方米.
17．答案：（1）18170m/s;
（2）6.6
解析：（1）依题意,;
（2）技术改进前的理想速度,
技术改进后的理想速度,
要使火箭的理想速率至少增加3950m/s,
则,即,
,,
所以,
所以该火箭在技术和材料改进前的质量比为6.6
18．答案：(1)
(2)游客人数为万时利润最大,最大利润为万元
解析：(1)该景区的门票收入为万元,
则利润,即,
故该景区开业后的第一年的利润（万元）关于人数x（万人）的函数关系式;
(2)当时,,
当时,二次函数开口向下,对称轴为,故,
当时,,当且仅当,即时等号成立,
,
综上,游客人数为20万时利润最大,最大利润为万元.
19．答案：(1)
(2)至少需要等待
(3)
解析：(1)已知空气的温度为,把水放在空气中冷却,水的温度从冷却到需要,
则,即,所以.
(2)由题意可知：,,,,
可得,解得,
所以至少需要等待.
(3)设水的温度由冷却到,需要,
则,解得,
此时电热水壶开始加热,需要加热至,且,
若水的温度由冷却到,可知需要,
显然,则,
所以经过后,此时壶中水的温度是.
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