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2024年四川省成都市高新区中考数学一诊试题
1．（2024九下·成都模拟）在数轴上，点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点A表示的数为5，则点B表示的数是（　　）
A． B． C．5 D．
2．（2024九下·成都模拟）空气，无色无味，无形无质，却承载着生命的呼吸，它的密度约为0.00129g/cm3，将0.00129用科学记数法表示应为（　　）
A．12.9×10﹣4 B．1.29×10﹣3
C．1.29×10﹣4 D．0.129×10﹣2
3．（2024九下·成都模拟）用一个平面去截下列几何体，截面可能是矩形的几何体是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九下·成都模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九下·成都模拟）已知一个多边形的内角和等于900 ，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
6．（2024九下·成都模拟）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·成都模拟）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，问人数和物品价格各是多少？设有人．根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·成都模拟）如图，，在射线上取一点C，使，以点O为圆心，的长为半径作，交射线于点D，连接，以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点E（不与点C重合），连接．以下结论错误的是（　　）
A． B．
C．的长为π D．扇形的面积为12π
9．（2024九下·成都模拟）因式分解 =　 　．
10．（2024九下·成都模拟）如图，的一边为平面镜，点在射线上，从点射出的一束光线经上一点反射后，反射光线恰好与平行．现测得入射光线与反射光线的夹角，则的度数为．
11．（2024九下·成都模拟）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面进行测试，将学历、能力和态度三项成绩按2：4：4的比例确定最终成绩．某面试者学历、能力和态度三项测试成绩分别为80分，85分，90分，则该面试者的最终成绩为 　 　分．
12．（2024九下·成都模拟）若点，都在二次函数的图象上，则　 　．（填“＞”，“＝”或“＜”）
13．（2024九下·成都模拟）如图，在中，，点为上一点，过、两点分别作射线的垂线，垂足分别为点，点．若点为中点，，则的长为．
14．（2024九下·成都模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
15．（2024九下·成都模拟）为学习新时代榜样，某校准备组织师生开展“点亮人生灯塔”的社会实践活动，活动项目有“环境保护”“敬老服务”“文明宣传”“义卖捐赠”四项，每名参加活动的师生只参加其中一项．为了解各项活动参与情况，该校随机调查了部分师生的参与意愿，并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
项目 人数
环境保护 6
敬老服务 a
文明宣传 8
义卖捐赠 b
（1）分别计算出表中a，b的值；
（2）该校共有1200名师生参加活动，请估计选择参加“环境保护”项目的师生人数；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两人担任联络员，请利用画树状图或列表的方法，求出恰好选中甲、乙两人的概率．
16．（2024九下·成都模拟）近几年，中国新能源汽车凭借其创新技术、智能化特性和独特设计赢得了全球的关注．某品牌新能源汽车的侧面示意图如图所示，当汽车后背箱门关闭时，后备厢门与水平面的夹角，顶端A和底端B与水平地面的距离分别为和．现将后背箱门绕顶端A逆时针旋转至，若，求此时的后备厢门底端到地面的距离．（参考数据：）
17．（2024九下·成都模拟）如图，是外接圆，，直线，的延长线交于点，交直线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的半径及的长．
18．（2024九下·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）过点的直线与轴交于点，与轴负半轴交于点．若，求的面积；
（3）点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等．点关于原点的对称点为点．平面内是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
19．（2024九下·成都模拟）已知，则代数式的值为　 　．
20．（2024九下·成都模拟）待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[]加热分解的化学方程式为：，其中x，y为正整数，则　 　．
21．（2024九下·成都模拟）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影部分的概率是　 　．
22．（2024九下·成都模拟）如图，中，，，点E，F分别在，上，将沿所在直线翻折，点C的对应点D恰好在边上，过点D作的垂线，交的延长线于点G，设，则的值为　 　．（用含x的代数式表示）
23．（2024九下·成都模拟）对于平面直角坐标系中的图形M和图形N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N间的“捷径距离”，记为d（图形M，图形N）．已知三个顶点的坐标分别为，，，将三角形绕点逆时针旋转得到，若上任意点都在半径为4的内部或圆上，则与的“捷径距离”的最小值是　 　，最大值是　 　．
24．（2024九下·成都模拟）年月日是联合国教科文组织确定的第个“世界读书日”．在世界读书日来临之际，某书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，已知每本甲种图书的进价比每本乙种图书的进价多元，用元购买甲种图书的数量与用元购买乙种图书的数量相同．
（1）求每本甲种图书与乙种图书的进价；
（2）如果该书店决定用不超过元购买本甲种图书和若干本乙种图书，则乙种图书最多能购买多少本？
25．（2024九下·成都模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F．若，求线段的长；
（3）直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
26．（2024九下·成都模拟）已知，在菱形中，，分别是，边上的点，线段，交于点．
（1）如图1，，点与点重合，连接；
（i）求证：；
（ⅱ）若为直角三角形，求的值；
（2）如图2，，．当时，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，
∴点A与点B表示的数互为相反数，
又∵点A表示的数为5，
∴点B表示的数是，
故选D．
【分析】本题考查数轴上的点表示的数.根据点A与点B位于原点的两侧，利用相反数的定义可推出点A与点B表示的数互为相反数，再根据点A表示的数为5，据此可表示出点B表示的数．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】
故选B.
【分析】对于绝对值大于0小于1的数表示成科学记数法为：，其中n取从左边数第一个非零数前0的个数，.
3．【答案】A
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：用一个平面去截棱柱，截面可能是矩形．
故选A．
【分析】本题考查截一个几何体：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．根据截面可能是矩形，据此可选出答案.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、与，不是同类项，不能合并，A选项不符合题意，A错误；
B、，B选项不符合题意，B错误；
C、，C选项符合题意，C正确；
D、，D选项不符合题意，D错误．
故选：C．
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、单项式除以单项式、平方差公式．根据与，不是同类项，不能合并，据此可判断A选项；利用同底数幂的乘法运算可得：，据此可判断B选项；利用同底数幂的除法运算可得：，据此可判断C选项；利用平方差公式进行计算可得：，再进行计算可判断D选项.
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】多边形的内角和公式为（n－2）×180°，根据题意可得：（n－2）×180°=900°，解得：n=7.
【分析】根据多边形的内角和等于（n-2）可列方程求解。
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
即，
解得：．
故选：B．
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．根据当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，根据 一元二次方程有两个相等的实数根， 可列出方程，解方程可求出m的值，据此可选出答案．
7．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有人，
则．
故选：A．
【分析】本题考查一元一次方程的应用．设有人，根据每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，并结合钱数相等可列出方程，据此可选出答案.
8．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算；弧长及其计算；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：A.连接，由题意可知，
，
是等边三角形，
，
以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，
，
，
是等边三角形，
，
，故A正确，不合题意，A错误；
B.，
，故B正确，不合题意，B错误；
C.，，
的长为：，故C错误，符合题意，C正确；
D.，，
扇形的面积为：，故D正确，不合题意，D错误．
故选：C．
【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，弧长和扇形面积的计算．根据题意得出是等边三角形，是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再利用圆周角定理可得出，据此可判断A选项；根据， 利用等腰三角形三线合一的性质可得出，据此可判断B选项；利用弧长公式可得的长为：，再进行计算可判断C选项；利用扇形面积公式可得扇形的面积为：，再进行计算可判断D选项．
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： = = ，故答案为： ．
【分析】提取公因式2，然后利用完全平方公式分解即可.
10．【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
【分析】本题考查平行线的性质．根据，，利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等及入射角等于反射角，可得，再结合平角的定义可得：，再代入数据进行计算可求出答案．
11．【答案】86
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】该面试者的最终成绩为：
故答案为86.
【分析】本题考查的是加权平均数的定义，利用其定义进行计算即可.
12．【答案】
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
∴，
故答案为：．
【分析】把x=1与x=4分别代入二次函数解析式解析式算出对应的函数值y1与y2，比较大小即可．
13．【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在中，，
在中，，
在中，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵点为中点，，
∴，
在中，，
在中，．
故答案为：．
【分析】本题考查直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先根据直角三角形中两锐角互余和等角的余角相等得出，，再结合AB=AC，利用全等三角形的判定定理ASA可证明， 利用全等三角形的性质可得：，进而可求出，再利用勾股定理可求出，，据此可求出答案．
14．【答案】解：（1）
；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的运算，解一元一次不等式组，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值；
（1）先计算出绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值可得：原式，再利用有理数的加减法进行计算可求出答案.
（2）按照解一元一次不等式组的步骤求出两个不等式的解集分别为，，进而可求出不等式组的解集．
15．【答案】（1）(人)，∴参加调查的一共人，
(人)；
(人)
∴的值为，的值为；
（2）解：(人)，
答：估计选择参加“环境保护”项目的师生人数是人；
（3）根据题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，恰好选中甲、乙两人的有种，
∴.恰好选中甲、乙两人的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】本题考查列树状图求概率，扇形统计图和统计表．
（1）先利用“文明宣传”项目的人数和所占的百分比求出总人数，用总人数乘以“敬老服务”所占的百分比可求出a的值，再利用总人数减去其他项目人数可求出“义卖捐赠”的人数即可求出b；
（2）用样本百分比乘以学校人数可求出选择参加“环境保护”项目的师生人数；
（3）画出树状图，进而可找出等可能的结果数，再找出恰好选中甲、乙两人的结果数，利用概率公式进行计算可求出概率．
（1）(人)，
∴参加调查的一共人，
(人)；
(人)
∴的值为，的值为；
（2）解：(人)，
答：估计选择参加“环境保护”项目的师生人数是人；
（3）根据题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，恰好选中甲、乙两人的有种，
∴.恰好选中甲、乙两人的概率是
16．【答案】解：如图所示，过点作于Q，过点A作于P，则四边形是矩形，
∴，
由题意得，四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
答：此时的后备厢门底端到地面的距离为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的性质.过点作于Q，过点A作于P，则四边形是矩形，利用矩形的性质可得，由题意得，四边形是矩形，利用矩形的性质可得：，利用线段的运算可得，解，利用正弦的定义可求出，则，再求出，解得到，利用矩形的性质可得，据此可求出答案．
17．【答案】（1）证明：连接、，如图：
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线．
（2）解：设的半径为，延长交于点，如图：
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质.（1）连接、，根据同圆中，等弧所对的弦相等可得，根据等边对等角可得，根据，，，利用全等三角形的判定定理SSS可证明，利用全等三角形的性质可得，根据，利用两直线平行，内错角相等可得，，进而可得，求得，利用垂直的定义可得：，利用圆切线的判定定理可证明结论.
（2）设的半径为，延长交于点，根据等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线重合可得，，利用正切的定义可得：，据此可求出，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出半径，根据，
利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，代入数据进行计算可求出．
（1）证明：连接、，如图：
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线．
（2）解：设的半径为，延长交于点，如图：
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：将代入得：，
，
把代入得：，
反比例函数的表达式为；
联立，
解得或，
点的坐标为
（2）解：过作轴于，过作轴交于，如图：
，
，
，
，，
，
，，
由，得直线的解析式为，
在中，令得，令得，
，，
，
；
（3）解：平面内存在点，使得，理由如下：
如图：
在中，令得：，
解得或，
点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等，
，
点关于原点的对称点为点，
，
，，
，，，，
，
，即，
，，
设，
，
解得或，
的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查反比例函数的综合应用，待定系数法，相似三角形判定与性质，三角形面积.（1）将代入可列出方程：，解方程可求出a的值，据此可得，把代入可求出k的值，据此可得反比例函数的表达式为；联立，解方程组可求出点的坐标为；
（2）过作轴于，过作轴交于，由，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，再根据，，可得，，进而可得直线的解析式为，令x=0，y=0可求出，，利用两点间的距离公式可得，利用三角形的面积公式进行计算可得；
（3）由点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等，据此在中，令，通过计算可得，而点关于原点的对称点为点，利用对称性可求出，利用勾股定理可求出，，，，根据，利用相似三角形的性质可得，，，设，可得，解方程组可得或，据此可求出的坐标为，或，．
（1）解：将代入得：，
，
把代入得：，
反比例函数的表达式为；
联立，
解得或，
点的坐标为；
（2）解：过作轴于，过作轴交于，如图：
，
，
，
，，
，
，，
由，得直线的解析式为，
在中，令得，令得，
，，
，
；
（3）解：平面内存在点，使得，理由如下：
如图：
在中，令得：，
解得或，
点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等，
，
点关于原点的对称点为点，
，
，，
，，，，
，
，即，
，，
设，
，
解得或，
的坐标为或．
19．【答案】
【知识点】分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】本题考查代数式求值、分式的混合运算．先根据已知等式可得，再将代数式进行通分，利用平方差公式进行因式分解可得：原式，再进行化简可得：原式，再进行计算可求出答案.
20．【答案】
【知识点】解二元一次方程组
21．【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为，则总面积为，其中阴影部分的面积为，
∴飞镖落在阴影部分的概率是．
故答案为：．
【分析】本题考查几何概率的求法．先求出总面积，阴影部分的面积，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值，代入数据进行计算可求出飞镖落在阴影部分的概率．
22．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；正切的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】∵，
∴，，
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴，
∴，
，
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，翻折的性质，轴对称的性质.利用勾股定理可求出AB的长度，利用翻折的性质可得，利用全等三角形的性质可得：，进而可得. 利用角的运算可得，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得利用直角三角形的边角关系定理得到；再利用相似三角形的边角关系定理求得线段利用正切的定义可得：，再代入数据进行计算可求出答案.
23．【答案】；
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题可知，点在直线上移动，中在直线上移动，点在直线上移动，
如图，当点在点的下方时，距离最小，这时最小值为2；
如图，当点在上时，距离最小的是线段，
连接，过点作轴于点E，过点作轴交的延长线于点F，
则，
∴，，
∴，
∴与的“捷径距离”的最小值是，最大值是．
故答案为：，．
【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，新定义的运算.根据旋转可得中在直线上移动，点在直线上移动，根据图形可得当点在点的下方时，距离最小，这时最小值为2；连接，过点作轴于点E，过点作轴交的延长线于点F，利用勾股定理可求出OE，CF，C'F'，进而可求出CC'，进而可求出最大值，求出答案.
24．【答案】（1）解：设每本乙种图书的进价为元，每本甲种图书的进价为元，由题可得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
∴元，
即每本甲种图书的进价为元，每本乙种图书的进价为元．
（2）解：设能购买本乙种图书，由题可得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的最大值为，
故最多还能购买本乙种图书．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用．
（1）设每本乙种图书的进价为元，则每本甲种图书的进价为元，根据 用元购买甲种图书的数量与用元购买乙种图书的数量相同．可列出方程，解方程可求出x的值，再进行检验可求出答案；
（2）设能购买本乙种图书，根据 该书店决定用不超过元购买本甲种图书和若干本乙种图书， 可列出不等式，解不等式可求出y的取值范围，进而可求出答案.
（1）解：设每本乙种图书的进价为元，每本甲种图书的进价为元，
由题可得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
∴元，
即每本甲种图书的进价为元，每本乙种图书的进价为元．
（2）解：设能购买本乙种图书，
由题可得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的最大值为，
故最多还能购买本乙种图书．
25．【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点，设直线的表达式为，代入得：
，解得
则直线的表达式为：
设点则点，
则 ，
由题意知，为等腰直角三角形，
∴，则，
由直线的表达式知，其和轴的夹角为，
则，
同理可得：，
，
则
解得：(舍去)或，
当时，则；
（3）的面积是定值， 理由：
设点的坐标分别为：，
由点的坐标得，直线的表达式中的值为：
则
由点的坐标得，直线的表达式为：，
同理可得，的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得：，
，
则，
则的面积为定值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形的面积的综合.（1）根据抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为．可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，据此可求出抛物线的表达式；
（2）点，设直线的表达式为，代入可列出方程组：，解方程组可求出k和b的值，据此可求出直线的表达式为：，设点则点，利用两点间的距离公式可求出，利用等腰直角三角形的性质可得：直线的表达式知，其和轴的夹角为，进而可求出，根据，可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出DF的长度.
（3）设点的坐标分别为：，由点Q的坐标得，直线的表达式中的值为：则再求出直线的表达式为：的表达式为：，求出再结合可求出，利用三角形的面积公式进行计算可求出的面积.
（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点，
设直线的表达式为，代入得：
，解得
则直线的表达式为：
设点则点，
则 ，
由题意知，为等腰直角三角形，
∴，则，
由直线的表达式知，其和轴的夹角为，
则，
同理可得：，
，
则
解得：(舍去)或，
当时，则；
（3）的面积是定值， 理由：
设点的坐标分别为：，
由点的坐标得，直线的表达式中的值为：
则
由点的坐标得，直线的表达式为：，
同理可得，的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得：，
，
则，
则的面积为定值．
26．【答案】（1）（i）证明：设，∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
（ⅱ）①若，如图：
∵四边形是菱形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
故；
②若，如图：
则四边形为正方形，
∴点与点重合，
∴．
（2）解：过点作交延长线于点，连接，分别过点别过点、作、垂足为、，如图：
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
过点作，在中，设，则，，
∵，
∴，
∴点与点重合，
则；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
即，
解得：，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质.（1）（i）设，根据菱形的性质可得，，推得，根据三角形的外角性质可得，再根据，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，据此可证明结论；
（ⅱ）①若，根据菱形的性质可得，，，再根据DG=DG，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，根据，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，据此可得，结合（i）中结论可求得，，利用正弦的定义可求出；
②若，则四边形为正方形，得出点与点重合，据此可求得．
（2）过点作交延长线于点，连接，分别过点别过点、作、垂足为、，根据，，利用平行四边形的判定定理可证明四边形是平行四边形，，进而可得，，利用余弦的定义可得：，过点作，在中，设，根据题意和勾股定理可得，，推得点与点重合，求得，结合三角形的外角性质可得，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，设，，根据等腰直角三角形的性质可得，利用正弦的定义可求得，，根据，列出方程，解方程可求出m的值，利用线段的运算可求出BE的长度．
（1）（i）证明：设，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
（ⅱ）①若，如图：
∵四边形是菱形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
故；
②若，如图：
则四边形为正方形，
∴点与点重合，
∴．
（2）解：过点作交延长线于点，连接，分别过点别过点、作、垂足为、，如图：
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
过点作，在中，设，则，，
∵，
∴，
∴点与点重合，
则；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
即，
解得：，
∴．
1 / 12024年四川省成都市高新区中考数学一诊试题
1．（2024九下·成都模拟）在数轴上，点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点A表示的数为5，则点B表示的数是（　　）
A． B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：∵点A与点B位于原点的两侧，且到原点的距离相等，
∴点A与点B表示的数互为相反数，
又∵点A表示的数为5，
∴点B表示的数是，
故选D．
【分析】本题考查数轴上的点表示的数.根据点A与点B位于原点的两侧，利用相反数的定义可推出点A与点B表示的数互为相反数，再根据点A表示的数为5，据此可表示出点B表示的数．
2．（2024九下·成都模拟）空气，无色无味，无形无质，却承载着生命的呼吸，它的密度约为0.00129g/cm3，将0.00129用科学记数法表示应为（　　）
A．12.9×10﹣4 B．1.29×10﹣3
C．1.29×10﹣4 D．0.129×10﹣2
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】
故选B.
【分析】对于绝对值大于0小于1的数表示成科学记数法为：，其中n取从左边数第一个非零数前0的个数，.
3．（2024九下·成都模拟）用一个平面去截下列几何体，截面可能是矩形的几何体是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】截一个几何体
【解析】【解答】解：用一个平面去截棱柱，截面可能是矩形．
故选A．
【分析】本题考查截一个几何体：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．根据截面可能是矩形，据此可选出答案.
4．（2024九下·成都模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、与，不是同类项，不能合并，A选项不符合题意，A错误；
B、，B选项不符合题意，B错误；
C、，C选项符合题意，C正确；
D、，D选项不符合题意，D错误．
故选：C．
【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、单项式除以单项式、平方差公式．根据与，不是同类项，不能合并，据此可判断A选项；利用同底数幂的乘法运算可得：，据此可判断B选项；利用同底数幂的除法运算可得：，据此可判断C选项；利用平方差公式进行计算可得：，再进行计算可判断D选项.
5．（2024九下·成都模拟）已知一个多边形的内角和等于900 ，则这个多边形是（　　）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】多边形的内角和公式为（n－2）×180°，根据题意可得：（n－2）×180°=900°，解得：n=7.
【分析】根据多边形的内角和等于（n-2）可列方程求解。
6．（2024九下·成都模拟）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
即，
解得：．
故选：B．
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．根据当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，根据 一元二次方程有两个相等的实数根， 可列出方程，解方程可求出m的值，据此可选出答案．
7．（2024九下·成都模拟）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中《盈不足》卷记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买某物品，每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，问人数和物品价格各是多少？设有人．根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设有人，
则．
故选：A．
【分析】本题考查一元一次方程的应用．设有人，根据每人出钱，则多钱；每人出钱，则差钱，并结合钱数相等可列出方程，据此可选出答案.
8．（2024九下·成都模拟）如图，，在射线上取一点C，使，以点O为圆心，的长为半径作，交射线于点D，连接，以点D为圆心，的长为半径作弧，交于点E（不与点C重合），连接．以下结论错误的是（　　）
A． B．
C．的长为π D．扇形的面积为12π
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算；弧长及其计算；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：A.连接，由题意可知，
，
是等边三角形，
，
以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，
，
，
是等边三角形，
，
，故A正确，不合题意，A错误；
B.，
，故B正确，不合题意，B错误；
C.，，
的长为：，故C错误，符合题意，C正确；
D.，，
扇形的面积为：，故D正确，不合题意，D错误．
故选：C．
【分析】本题考查圆周角定理，等边三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，弧长和扇形面积的计算．根据题意得出是等边三角形，是等边三角形，利用等边三角形的性质可得，再利用圆周角定理可得出，据此可判断A选项；根据， 利用等腰三角形三线合一的性质可得出，据此可判断B选项；利用弧长公式可得的长为：，再进行计算可判断C选项；利用扇形面积公式可得扇形的面积为：，再进行计算可判断D选项．
9．（2024九下·成都模拟）因式分解 =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： = = ，故答案为： ．
【分析】提取公因式2，然后利用完全平方公式分解即可.
10．（2024九下·成都模拟）如图，的一边为平面镜，点在射线上，从点射出的一束光线经上一点反射后，反射光线恰好与平行．现测得入射光线与反射光线的夹角，则的度数为．
【答案】
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即．
故答案为：．
【分析】本题考查平行线的性质．根据，，利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等及入射角等于反射角，可得，再结合平角的定义可得：，再代入数据进行计算可求出答案．
11．（2024九下·成都模拟）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、能力和态度三个方面进行测试，将学历、能力和态度三项成绩按2：4：4的比例确定最终成绩．某面试者学历、能力和态度三项测试成绩分别为80分，85分，90分，则该面试者的最终成绩为 　 　分．
【答案】86
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】该面试者的最终成绩为：
故答案为86.
【分析】本题考查的是加权平均数的定义，利用其定义进行计算即可.
12．（2024九下·成都模拟）若点，都在二次函数的图象上，则　 　．（填“＞”，“＝”或“＜”）
【答案】
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：当时，，
当时，，
∴，
故答案为：．
【分析】把x=1与x=4分别代入二次函数解析式解析式算出对应的函数值y1与y2，比较大小即可．
13．（2024九下·成都模拟）如图，在中，，点为上一点，过、两点分别作射线的垂线，垂足分别为点，点．若点为中点，，则的长为．
【答案】
【知识点】勾股定理；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：在中，，
在中，，
在中，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵点为中点，，
∴，
在中，，
在中，．
故答案为：．
【分析】本题考查直角三角形的性质，等角的余角相等，全等三角形的判定和性质，勾股定理．先根据直角三角形中两锐角互余和等角的余角相等得出，，再结合AB=AC，利用全等三角形的判定定理ASA可证明， 利用全等三角形的性质可得：，进而可求出，再利用勾股定理可求出，，据此可求出答案．
14．（2024九下·成都模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）
；
（2）
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的运算，解一元一次不等式组，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值；
（1）先计算出绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值可得：原式，再利用有理数的加减法进行计算可求出答案.
（2）按照解一元一次不等式组的步骤求出两个不等式的解集分别为，，进而可求出不等式组的解集．
15．（2024九下·成都模拟）为学习新时代榜样，某校准备组织师生开展“点亮人生灯塔”的社会实践活动，活动项目有“环境保护”“敬老服务”“文明宣传”“义卖捐赠”四项，每名参加活动的师生只参加其中一项．为了解各项活动参与情况，该校随机调查了部分师生的参与意愿，并根据调查结果绘制成不完整的统计图表．
项目 人数
环境保护 6
敬老服务 a
文明宣传 8
义卖捐赠 b
（1）分别计算出表中a，b的值；
（2）该校共有1200名师生参加活动，请估计选择参加“环境保护”项目的师生人数；
（3）现拟从甲、乙、丙、丁四人中任选两人担任联络员，请利用画树状图或列表的方法，求出恰好选中甲、乙两人的概率．
【答案】（1）(人)，∴参加调查的一共人，
(人)；
(人)
∴的值为，的值为；
（2）解：(人)，
答：估计选择参加“环境保护”项目的师生人数是人；
（3）根据题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，恰好选中甲、乙两人的有种，
∴.恰好选中甲、乙两人的概率是
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】本题考查列树状图求概率，扇形统计图和统计表．
（1）先利用“文明宣传”项目的人数和所占的百分比求出总人数，用总人数乘以“敬老服务”所占的百分比可求出a的值，再利用总人数减去其他项目人数可求出“义卖捐赠”的人数即可求出b；
（2）用样本百分比乘以学校人数可求出选择参加“环境保护”项目的师生人数；
（3）画出树状图，进而可找出等可能的结果数，再找出恰好选中甲、乙两人的结果数，利用概率公式进行计算可求出概率．
（1）(人)，
∴参加调查的一共人，
(人)；
(人)
∴的值为，的值为；
（2）解：(人)，
答：估计选择参加“环境保护”项目的师生人数是人；
（3）根据题意画树状图如下：
共有种等可能的结果，恰好选中甲、乙两人的有种，
∴.恰好选中甲、乙两人的概率是
16．（2024九下·成都模拟）近几年，中国新能源汽车凭借其创新技术、智能化特性和独特设计赢得了全球的关注．某品牌新能源汽车的侧面示意图如图所示，当汽车后背箱门关闭时，后备厢门与水平面的夹角，顶端A和底端B与水平地面的距离分别为和．现将后背箱门绕顶端A逆时针旋转至，若，求此时的后备厢门底端到地面的距离．（参考数据：）
【答案】解：如图所示，过点作于Q，过点A作于P，则四边形是矩形，
∴，
由题意得，四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
答：此时的后备厢门底端到地面的距离为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的性质.过点作于Q，过点A作于P，则四边形是矩形，利用矩形的性质可得，由题意得，四边形是矩形，利用矩形的性质可得：，利用线段的运算可得，解，利用正弦的定义可求出，则，再求出，解得到，利用矩形的性质可得，据此可求出答案．
17．（2024九下·成都模拟）如图，是外接圆，，直线，的延长线交于点，交直线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的半径及的长．
【答案】（1）证明：连接、，如图：
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线．
（2）解：设的半径为，延长交于点，如图：
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】切线的判定；相似三角形的判定；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质.（1）连接、，根据同圆中，等弧所对的弦相等可得，根据等边对等角可得，根据，，，利用全等三角形的判定定理SSS可证明，利用全等三角形的性质可得，根据，利用两直线平行，内错角相等可得，，进而可得，求得，利用垂直的定义可得：，利用圆切线的判定定理可证明结论.
（2）设的半径为，延长交于点，根据等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线重合可得，，利用正切的定义可得：，据此可求出，利用勾股定理可列出方程，解方程可求出半径，根据，
利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，代入数据进行计算可求出．
（1）证明：连接、，如图：
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线．
（2）解：设的半径为，延长交于点，如图：
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
则，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
18．（2024九下·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，点．
（1）求反比例函数的表达式及点的坐标；
（2）过点的直线与轴交于点，与轴负半轴交于点．若，求的面积；
（3）点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等．点关于原点的对称点为点．平面内是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将代入得：，
，
把代入得：，
反比例函数的表达式为；
联立，
解得或，
点的坐标为
（2）解：过作轴于，过作轴交于，如图：
，
，
，
，，
，
，，
由，得直线的解析式为，
在中，令得，令得，
，，
，
；
（3）解：平面内存在点，使得，理由如下：
如图：
在中，令得：，
解得或，
点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等，
，
点关于原点的对称点为点，
，
，，
，，，，
，
，即，
，，
设，
，
解得或，
的坐标为或
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查反比例函数的综合应用，待定系数法，相似三角形判定与性质，三角形面积.（1）将代入可列出方程：，解方程可求出a的值，据此可得，把代入可求出k的值，据此可得反比例函数的表达式为；联立，解方程组可求出点的坐标为；
（2）过作轴于，过作轴交于，由，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，再根据，，可得，，进而可得直线的解析式为，令x=0，y=0可求出，，利用两点间的距离公式可得，利用三角形的面积公式进行计算可得；
（3）由点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等，据此在中，令，通过计算可得，而点关于原点的对称点为点，利用对称性可求出，利用勾股定理可求出，，，，根据，利用相似三角形的性质可得，，，设，可得，解方程组可得或，据此可求出的坐标为，或，．
（1）解：将代入得：，
，
把代入得：，
反比例函数的表达式为；
联立，
解得或，
点的坐标为；
（2）解：过作轴于，过作轴交于，如图：
，
，
，
，，
，
，，
由，得直线的解析式为，
在中，令得，令得，
，，
，
；
（3）解：平面内存在点，使得，理由如下：
如图：
在中，令得：，
解得或，
点在第三象限内的反比例函数图象上，横坐标和纵坐标相等，
，
点关于原点的对称点为点，
，
，，
，，，，
，
，即，
，，
设，
，
解得或，
的坐标为或．
19．（2024九下·成都模拟）已知，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】本题考查代数式求值、分式的混合运算．先根据已知等式可得，再将代数式进行通分，利用平方差公式进行因式分解可得：原式，再进行化简可得：原式，再进行计算可求出答案.
20．（2024九下·成都模拟）待定系数法是确定函数表达式的常用方法，也可用于化学方程式配平．石青[]加热分解的化学方程式为：，其中x，y为正整数，则　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程组
21．（2024九下·成都模拟）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同，任意投掷飞镖次（假设每次飞镖均落在游戏板上），击中阴影部分的概率是　 　．
【答案】
【知识点】几何概率；概率公式
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为，则总面积为，其中阴影部分的面积为，
∴飞镖落在阴影部分的概率是．
故答案为：．
【分析】本题考查几何概率的求法．先求出总面积，阴影部分的面积，根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值，代入数据进行计算可求出飞镖落在阴影部分的概率．
22．（2024九下·成都模拟）如图，中，，，点E，F分别在，上，将沿所在直线翻折，点C的对应点D恰好在边上，过点D作的垂线，交的延长线于点G，设，则的值为　 　．（用含x的代数式表示）
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；正切的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】∵，
∴，，
∵将沿所在直线翻折得到，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴，
∴，
，
由题意得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
【分析】本题考查直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，翻折的性质，轴对称的性质.利用勾股定理可求出AB的长度，利用翻折的性质可得，利用全等三角形的性质可得：，进而可得. 利用角的运算可得，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得利用直角三角形的边角关系定理得到；再利用相似三角形的边角关系定理求得线段利用正切的定义可得：，再代入数据进行计算可求出答案.
23．（2024九下·成都模拟）对于平面直角坐标系中的图形M和图形N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，则称这个最小值为图形M，N间的“捷径距离”，记为d（图形M，图形N）．已知三个顶点的坐标分别为，，，将三角形绕点逆时针旋转得到，若上任意点都在半径为4的内部或圆上，则与的“捷径距离”的最小值是　 　，最大值是　 　．
【答案】；
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：由题可知，点在直线上移动，中在直线上移动，点在直线上移动，
如图，当点在点的下方时，距离最小，这时最小值为2；
如图，当点在上时，距离最小的是线段，
连接，过点作轴于点E，过点作轴交的延长线于点F，
则，
∴，，
∴，
∴与的“捷径距离”的最小值是，最大值是．
故答案为：，．
【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，新定义的运算.根据旋转可得中在直线上移动，点在直线上移动，根据图形可得当点在点的下方时，距离最小，这时最小值为2；连接，过点作轴于点E，过点作轴交的延长线于点F，利用勾股定理可求出OE，CF，C'F'，进而可求出CC'，进而可求出最大值，求出答案.
24．（2024九下·成都模拟）年月日是联合国教科文组织确定的第个“世界读书日”．在世界读书日来临之际，某书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，已知每本甲种图书的进价比每本乙种图书的进价多元，用元购买甲种图书的数量与用元购买乙种图书的数量相同．
（1）求每本甲种图书与乙种图书的进价；
（2）如果该书店决定用不超过元购买本甲种图书和若干本乙种图书，则乙种图书最多能购买多少本？
【答案】（1）解：设每本乙种图书的进价为元，每本甲种图书的进价为元，由题可得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
∴元，
即每本甲种图书的进价为元，每本乙种图书的进价为元．
（2）解：设能购买本乙种图书，由题可得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的最大值为，
故最多还能购买本乙种图书．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用．
（1）设每本乙种图书的进价为元，则每本甲种图书的进价为元，根据 用元购买甲种图书的数量与用元购买乙种图书的数量相同．可列出方程，解方程可求出x的值，再进行检验可求出答案；
（2）设能购买本乙种图书，根据 该书店决定用不超过元购买本甲种图书和若干本乙种图书， 可列出不等式，解不等式可求出y的取值范围，进而可求出答案.
（1）解：设每本乙种图书的进价为元，每本甲种图书的进价为元，
由题可得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，
∴元，
即每本甲种图书的进价为元，每本乙种图书的进价为元．
（2）解：设能购买本乙种图书，
由题可得：，
解得：，
∵为正整数，
∴的最大值为，
故最多还能购买本乙种图书．
25．（2024九下·成都模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，连接，点D在直线上方的抛物线上，过点D作的垂线交于点E，作y轴的平行线交于点F．若，求线段的长；
（3）直线与抛物线交于P，Q两点（点P在点Q左侧），直线与直线的交点为S，的面积是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点，设直线的表达式为，代入得：
，解得
则直线的表达式为：
设点则点，
则 ，
由题意知，为等腰直角三角形，
∴，则，
由直线的表达式知，其和轴的夹角为，
则，
同理可得：，
，
则
解得：(舍去)或，
当时，则；
（3）的面积是定值， 理由：
设点的坐标分别为：，
由点的坐标得，直线的表达式中的值为：
则
由点的坐标得，直线的表达式为：，
同理可得，的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得：，
，
则，
则的面积为定值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与几何图形的面积的综合.（1）根据抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，对称轴为．可列出方程组，解方程组可求出a和b的值，据此可求出抛物线的表达式；
（2）点，设直线的表达式为，代入可列出方程组：，解方程组可求出k和b的值，据此可求出直线的表达式为：，设点则点，利用两点间的距离公式可求出，利用等腰直角三角形的性质可得：直线的表达式知，其和轴的夹角为，进而可求出，根据，可列出方程，解方程可求出x的值，据此可求出DF的长度.
（3）设点的坐标分别为：，由点Q的坐标得，直线的表达式中的值为：则再求出直线的表达式为：的表达式为：，求出再结合可求出，利用三角形的面积公式进行计算可求出的面积.
（1）解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：；
（2）由抛物线的表达式知，点，
设直线的表达式为，代入得：
，解得
则直线的表达式为：
设点则点，
则 ，
由题意知，为等腰直角三角形，
∴，则，
由直线的表达式知，其和轴的夹角为，
则，
同理可得：，
，
则
解得：(舍去)或，
当时，则；
（3）的面积是定值， 理由：
设点的坐标分别为：，
由点的坐标得，直线的表达式中的值为：
则
由点的坐标得，直线的表达式为：，
同理可得，的表达式为：，
联立上述两式得：，
解得：，
，
则，
则的面积为定值．
26．（2024九下·成都模拟）已知，在菱形中，，分别是，边上的点，线段，交于点．
（1）如图1，，点与点重合，连接；
（i）求证：；
（ⅱ）若为直角三角形，求的值；
（2）如图2，，．当时，求线段的长．
【答案】（1）（i）证明：设，∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
（ⅱ）①若，如图：
∵四边形是菱形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
故；
②若，如图：
则四边形为正方形，
∴点与点重合，
∴．
（2）解：过点作交延长线于点，连接，分别过点别过点、作、垂足为、，如图：
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
过点作，在中，设，则，，
∵，
∴，
∴点与点重合，
则；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
即，
解得：，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】 本题考查菱形的性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，解直角三角形，等腰直角三角形的性质.（1）（i）设，根据菱形的性质可得，，推得，根据三角形的外角性质可得，再根据，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得：，据此可证明结论；
（ⅱ）①若，根据菱形的性质可得，，，再根据DG=DG，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可得：，根据，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，据此可得，结合（i）中结论可求得，，利用正弦的定义可求出；
②若，则四边形为正方形，得出点与点重合，据此可求得．
（2）过点作交延长线于点，连接，分别过点别过点、作、垂足为、，根据，，利用平行四边形的判定定理可证明四边形是平行四边形，，进而可得，，利用余弦的定义可得：，过点作，在中，设，根据题意和勾股定理可得，，推得点与点重合，求得，结合三角形的外角性质可得，利用相似三角形的判定定理可证明，利用相似三角形的性质可得，设，，根据等腰直角三角形的性质可得，利用正弦的定义可求得，，根据，列出方程，解方程可求出m的值，利用线段的运算可求出BE的长度．
（1）（i）证明：设，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即．
（ⅱ）①若，如图：
∵四边形是菱形，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
即，
∴，
∴，
故；
②若，如图：
则四边形为正方形，
∴点与点重合，
∴．
（2）解：过点作交延长线于点，连接，分别过点别过点、作、垂足为、，如图：
∵，，
∴四边形是平行四边形，，
∴，
∵，
∴，
过点作，在中，设，则，，
∵，
∴，
∴点与点重合，
则；
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，
在中，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，
即，
解得：，
∴．
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