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2024-2025学年数学八年级下册北师大版期中素养检测卷
一、单选题
1．地铁标志作为城市地铁的形象和符号，是城市与文化的缩影，下列图案分别为常州，北京，深圳，上海四个城市的地铁标志，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列能作为直角三角形三边长的是 （ ）
A．2，3，4 B．，，
C．3，4，5 D．，3，4
3．南昌市春季某日最高气温是，最低气温是，则济南当日气温的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，为边上的高，，若，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．要使函数的图象经过x、y轴的正半轴，则m与n的取值范围应为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．如图，由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，连接．若，则正方形与正方形的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，，，点是直角边上的一个动点，连结，以为边向外作等边，连结，在点运动的过程中，线段的最小值为（　　）
A． B．1 C． D．2
8．如图，一次函数与的图象交于点．下列结论中，①②③当时，④⑤，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．已知点与点关于原点对称，则的值为 ．
10．某品牌护眼仪进价200元，标价320元出售，商店规定可以打折销售，但其利润率不能低于，那么这种商品最多可以打 折．
11．如图，在中，，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，连结，则的周长为 ．
12．已知不等式组的解集为，则的值为 ．
13．如图，点是等边三角形边的中点，点是直线上一动点，连接，并绕点逆时针旋转，得到线段，连接，若运动过程中的最小值为，则的值为 ．
14．如图，在中，是它的角平分线，，，，则 ．
15．对于任意实数a，b，定义关于的一种运算如下：，例如，．若，则x的取值范围是 ．
16．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在线段上，且，直线与的平分线交于点，则点坐标为 ．
三、解答题
17．解不等式组：
18．如图，已知中，，平分，且，求证：．
19．如图，在中，，，，P，Q分别是边，上的两个动点，点P从点A出发，沿方向运动，且速度为，同时点Q从点B出发，沿方向运动，且速度为．设运动的时间为．
(1)连接，当时，求的长；
(2)若点Q从点B出发，沿折线运动，速度不变，则当t为何值时，点Q在边上，且是等腰三角形？
20．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，．
(1)将沿x轴向左平移4个单位长度得到，画出；
(2)将绕点逆时针旋转90°得到，画出；
(3)可由通过旋转得到，请直接写出旋转中心的坐标和旋转角的度数．
21．为贯彻落实2024年教育部提出的：保障学生每天1小时体育锻炼和充足的课间活动，着力解决小眼镜、小胖墩和学生心理健康问题，某校计划为学生购买一批羽毛球，甲、乙两商店的羽毛球拍均标价60元/副，羽毛球标价3元/个，现甲商店和乙商店各推出以下活动：
甲商店：羽毛球和羽毛球拍均打八折；
乙商店：羽毛球拍打八五折，买一副羽毛球拍送5个羽毛球，超出的羽毛球按原价购买．学校计划买副羽毛球拍和200个羽毛球，从甲商店购买的费用记为（元），从乙商店购买费用记为（元）．
(1)请直接写出、与之间的函数表达式；
(2)该校购买羽毛球拍的个数在什么范围时在乙商店购买费用更少？请说明理由．
22．如图1，和都是等腰直角三角形，，的顶点A在的斜边上．
(1)求证：；
(2)如图2，过点作，垂足为点O，交线段于点，连接，若，，求的长．
23．综合与探究：在中，，，，直角三角板中，将三角板的直角顶点D放在斜边中点处，并将三角板绕点D旋转，三角板的两边、分别与边、交于点M、N．
(1)如图1，在三角板旋转的过程中，当点A与点M重合时，
①判断的形状，并说明理由；
②求线段的长．
(2)如图2，在三角板旋转的过程中，线段、、之间存在着一定的数量关系，请你直接写出它们之间的数量关系．
《2024-2025学年数学八年级下册北师大版期中素养检测卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C D D B B A
1．C
【分析】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
绕着一点旋转180度后能够与原图形重合的图形即为中心对称图形，由此判断即可．
【详解】解：选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．
根据勾股定理逆定理逐一判断即可求解．
【详解】解：A．，不能构成直角三角形，A选项不符合题意．
B．，不能构成直角三角形，B选项不符合题意．
C．，能构成直角三角形，C选项符合题意．
D．，不能构成直角三角形，D选项不符合题意．
故选：C．
3．C
【分析】本题主要考查了将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答．
【详解】解：由题意得，，
∴济南当日气温的变化范围是，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了三角形的高，直角三角形的性质，由三角形的高可得，进而由直角三角形的性质即可求解，掌握直角三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵为边上的高，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：．
5．D
【分析】本题主要考查了一次函数的性质、解一元一次不等式，函数的图象经过x、y轴的正半轴，则应有，求解不等式即可．
【详解】解：∵函数的图象经过x、y轴的正半轴，
∴一次函数过一、二、四象限，
∴，
解得：，．
故选：D．
6．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质、等腰三角形的性质．先根据四边形是正方形，证明，再根据，证明，然后设，则，根据全等三角形的性质证明，在中，由勾股定理求出，最后根据正方形的面积公式求出答案即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴是边上的中线，
∴，
设，则，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴正方形与正方形的面积之比为：，
故选：B．
7．B
【分析】此题重点考查旋转的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，延长到点，使，连结，，由，，，得，可证明是等边三角形，因为是等边三角形，所以，，可证明，得，可知点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，由，求得的最小值为1，于是得到问题的答案．正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，延长到点，使，连结，，
，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
点在经过点且与垂直的射线上运动，
作交射线于点，则，
，
，
，
的最小值为1，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质判断系数大小、一次函数图象与性质判断式子正负、利用一次函数图象解不等式等知识，数形结合，灵活运用一次函数图像与性质逐项判断即可得到答案，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：由一次函数图象与轴交于正半轴上，则，
故①错误；
由一次函数图象是下降的，则；由一次函数的图象是上升的，则；
，故②错误；
由一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为，
当时，，
故③错误；
由一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为，
当时，，则当时，，
即，故④错误；
由一次函数的图象可知，当时，，则，
故⑤正确；
综上所述，结论正确的是⑤，只有1个，
故选：A．
9．
【分析】本题考查坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，进行求解即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴；
故答案为：．
10．7.5
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设这种商品可以打折，根据其利润率不能低于，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】解：设这种商品可以打折，
根据题意得：，
解得：，
即这种商品最多可以打7.5折，
故答案为：7.5．
11．/
【分析】此题重点考查旋转的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、等边三角形的判定与性质等知识．由，，得，则，，由旋转得，，，则是等边三角形，所以，，则是等边三角形，，所以，即可求得的周长为，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
∴，
由旋转得，，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：，
解不等式①：
，
，
，
解不等式②：
，
，
不等式组的解集为：，
不等式组的解集为，
，，
解得：，，
，
故答案为：．
13．4
【分析】连接，延长到，使得，连接，证明，得到，即点在与成的直线上运动，证明当时，有最小值为：，求出，即可得．
【详解】解：连接，延长到，使得，连接，
∵是等边三角形，点是的中点，
，
，
根据旋转可得，
，即，
在和中，
，
，
，
∴点在与成的直线上运动，
∴当时，有最小值为：，
即：，
，
，
故答案为：4．
【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质等知识点，解题的关键是证明当时，有最小值为：，即．
14．
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形面积公式，作于，于，由角平分线的性质定理可得，再表示出，，由此即可得解．
【详解】解：如图：作于，于，
，
∵平分，，，
∴，
∵，，，，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】根据定义列出不等式，解不等式即可．
本题考查了不等式的解法，新定义，熟练掌握解不等式是解题的关键．
【详解】解：根据题意，由得，
解得．
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键．先求出点A和点B的坐标，再求出的长，利用面积法求出边上的高，结合得出，过点D作的垂线，垂足为H，证，求出，设，则，列方程求出m值，进而求出点D坐标，即可解决问题．
【详解】解：将代入得，，
点的坐标为，
同理可得，点的坐标为，
，
则，
令边长的高为，
则，
则，
点在线段上，且，
，
，
过点D作的垂线，垂足为H，
，平分，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得：，
即点的坐标为，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解不等式的步骤是解题的关键．先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得
解不等式②得
所以，原不等式组的解集是 ．
18．见解析．
【分析】本题考查了角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．
过作于，由等腰直角三角形的性质得，然后证明，又平分，，，则，证明， 通过全等三角形的性质即可求证．
【详解】证明：过作于，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵又，
∴，
∴，
∴，
∵平分，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
19．(1)
(2)或6或
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的定义，能够正确分类讨论三种情况是解题的关键．
（1）根据题意可得出，，再根据线段的和差可得出，然后根据勾股定理即可得出答案；
（2）分三种情况讨论，利用勾股定理即可得出答案．
【详解】（1）当时，，．
．
在中，，由勾股定理，得．
（2）分以下三种情况：
①如图2，当，即时，
．
．
．
．
，
．
．
．
．
②如图3，当时，．
．
③如图4，当时，过点B作于点E．
，
．
．
，，
．
．
．
综上所述，当t的值为或6或时，点Q在边上，且是等腰三角形．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)旋转中心的坐标为，旋转角的度数为
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，则可由绕点P逆时针旋转得到，即可得出答案．
本题考查作图﹣旋转变换、作图﹣平移变换，熟练掌握旋转的性质、平移的性质是解答本题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）分别作线段，，的垂直平分线，相交于点P，
则可由绕点P逆时针旋转得到，
∴旋转中心的坐标为，旋转角的度数为．
21．(1)，
(2)该校购买羽毛球拍的个数在时在乙商店购买费用更少，见解析
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键．
（1）依据题意，由甲乙商店的优惠方案可得，甲商店购买的费用；乙商店购买的费用，进而可以判断得解；
（2）依据题意，要使得乙商店购买的费用少，则，从而，进而计算可以判断得解．
【详解】（1）解：由题意得，甲商店购买的费用；
乙商店购买的费用．
（2）解：由题意，要使得乙商店购买的费用少，
．
．
．
又，
．
答：该校购买羽毛球拍的个数在时在乙商店购买费用更少．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质：
（1）连接，利用等腰三角形的性质证明，求出，利用勾股定理即可得出结论；
（2）连接； 根据等腰直角三角形的性质易证垂直平分线段，设，则，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：连接，
∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵
∴，即；
在中，，
∵，，
∴；
（2）解：如图，连接；
∵是等腰直角三角形，，，
∴，
∴垂直平分线段，
∴；
设，则，
∵，，
∴，
∴；
∵，
∴，
即，
解得；
∴的长为．
23．(1)①为等边三角形，见解析；②
(2)
【分析】（1）①，则，而点D是的中点，则，即可求解；
②由①知，，，则，即可求解；
（2）证明，得到，则，即可求解．
【详解】（1）解：①为等边三角形，理由：
∵，则，
∵点D是的中点，则，
故为等边三角形；
②作于点H，
由①知，，，
∴，
∴，
设，则，则，
∴，
∴；
（2），理由：
延长至T使，连接、，
∵，，
∴，
∴，，，
∵中，，
∴，即，
∴ ，
即．
【点睛】本题为几何变换综合题，涉及到图形的旋转、三角形全等、勾股定理的运用等，正确作出辅助线是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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