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2024-2025学年数学八年级下册人教版期中素养检测卷
一、单选题
1．若代数式在实数范围内有意义，则x的值可以是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
2．与的关系是（ ）
A．相等 B．互为相反数 C．互为倒数 D．乘积为－1
3．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A． B．0.3，0.4，0.5 C． D．3，4，5
4．已知实数在数轴上的对应点如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，与相交于点O，则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．，
6．如图，有一个圆柱形物体，一只蚂蚁要绕着圆柱外壁从点爬到点，圆周率取3，则蚂蚁爬行的最短路径长为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，，a、b、c分别为、、的对边，若，则的值为（ ）
A．2 B． C． D．
8．如图，菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，连接．则下列结论：①；②；③；④由点构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．若代数式有意义，则的取值范围为 ．
10．已知，则的平方根为 ．
11．如图，，，，，，则这个图形的面积为 ．
12．小明从A点出发，走到水平直线上P点，再回到到B点，若A、B到水平直线的距离分别是2，1，两点之间水平距离是4，则最小值为 ．
13．如图，中，，垂足为D，E为边的中点，，，，则 ．
14．荡秋千是深受大家喜爱的一项活动，某秋千垂直地面时踏板离地面的距离为米，将踏板水平推动3米（米），此时踏板与地面的距离为米，若推动过程中拉绳始终拉得很直，则秋千的拉绳的长度为 米．
15．如图，在数值转换机中输入，第1次输出的结果为；将第1次输出的结果再输入数值转换机中，第2次输出的结果为3；…；以此类推，则第6次输出的结果为 ．
16．如图，正方形的边长为，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
18．已知，是实数，且，求．
19．如图，在四边形中，，，，点D是外一点，连接，，且，．求四边形的面积．
20．如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点O，交于点F．
(1)求证：．
(2)连接，当与满足什么数量关系时，四边形是正方形？证明你的结论．
21．如图，四边形是菱形，对角线、交于点，点、是对角线所在直线上两点，且，连接、、、，．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若正方形的面积为，，求点到线段的距离．
22．如图，等边的边长为，动点M从点B出发，沿B→A→C→B的方向以的速度运动，动点N从点C出发，沿C→A→B→C方向以的速度运动．
(1)若动点M、N同时出发，经过几秒钟两点第一次相遇？
(2)若动点M、N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动．那么运动到第几秒钟时，点A、M、N以及的边上一点D恰能构成一个平行四边形？求出时间t并请指出此时点D的具体位置．
23．综合与实践
【情景再现】
如图，在中，分别是上的一点，则可知三条线段之间的关系．
【问题提出】
（）是的中点，连接．已知．试说明，四条线段的等量关系，并写出证明过程．
【数学感悟】
（）如图，若分别在的延长线上，（）中的结论是否成立，若成立，请写出理由；若不成立，请写出正确的结论．
【学以致用】
（）如图，已知是的中点，，请直接写出线段的长度．
24．【发现】
我们将称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将和中的“”去掉，于是二次根式除法可以这样解：如，像这样，通过分子，分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
【应用】
(1)的对偶式是 ，分母有理化得 ．
(2)①计算：
②已知：，求的值．
《2024-2025学年数学八年级下册人教版期中素养检测卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D C A A A A
1．C
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，判断即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
观察四个选项，的值可以是2，
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，相反数的定义，解题的关键是掌握二次根式的加减运算法则．
根据题意得到，即可判断．
【详解】
∴与的关系是互为相反数．
故选：B．
3．D
【分析】本题主要考查了勾股数的判断，满足，且a，b，c都是正整数的三个数是勾股数．
先根据勾股数是三个正整数组成的数组，判断A、B、C，不符合题意，根据，判断D符合题意．
【详解】因为A、B、C选项不是正整数，所以不符合题意；
因为，，可知，所以能组成一组勾股数，则D符合题意．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解．
【详解】解：由数轴可知，，
，，
；
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质逐项判断即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，，，
观察四个选项可知，结论不一定成立的是选项A，
故选：A．
6．A
【分析】根据题意，圆柱的侧面展开图的长方形的长为，长方形的宽等于圆柱的高，根据题意，爬行到对面的意义即为求图中的长，利用勾股定理解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，正确确定展开图中各线段的长度是解题的关键．
【详解】解：根据题意，设圆柱的侧面展开图为长方形，，，，
如图所示：，
故选：A．
7．A
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理直接计算即可．
【详解】解：，，
，
故选：A．
8．A
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质等，由“”可证，可得，进而由三角形中位线定理可得，，可得，即可判断①和②；由菱形的判定可证四边形是菱形，即可判断④；由全等三角形的性质和中线性质可得，，即得即可判断④，综上即可求解，掌握菱形的判定和性质是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，，，，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∴，故①和②正确；
连接，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，故③正确；
综上，正确的个数是个，
故选：．
9．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数非负是解题的关键．
根据被开方数是非负数，可得答案．
【详解】解：∵代数式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，平方根的定义，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键
根据被开方数大于等于0列式，得出x的值，再根据题目中y与x的关系式计算出y，代入代数式求值，再根据平方根的定义解答即可．
【详解】
，
，
，
把代入中
的平方根为，
∴的平方根为，
故答案为：．
11．24
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的运用，三角形面积的求法．关键是掌握勾股定理与逆定理．连接，在中，，，可求；在中，由勾股定理的逆定理可证为直角三角形，利用两个直角三角形的面积差求图形的面积．
【详解】解：连接，在中，，
，
在中，
，
为直角三角形；
图形面积为：
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题以及勾股定理．首先作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小；然后可得的最小值，再利用勾股定理求解，即可求得答案．
【详解】解：作A关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最小；
则，
∴，
过点B作于点C，
则，
∴，
∴，
∴最小值．
故答案为：．
13．/30度
【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出，再利用勾股定理的逆定理得出，从而由三角形的面积求得，从而可证明是等边三角形，得，即可由求解．
【详解】解：∵，E为边的中点，，
∴，，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴
∴．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，等边三角形的判定与性质，三角形的面积，证明是直角三角形是解题的关键．
14．5
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理．
假设未知数，利用勾股定理即可解答此题．
【详解】解：由图可知，四边形是矩形，
，
，
假设的长度为，则，，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，，
故答案为：5．
15．
【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算．直接按照程序规定的计算法则结合二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：第1次，；
第2次，；
第3次，；
第4次，；
第5次，；
第6次，；
故答案为：．
16．3.5/
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．如图，以为边作等边三角形，过点作于，于，可证四边形是矩形，可证，由“”可证，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，于，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∴点与点重合时，，
故答案为：．
17．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先根据二次根式的性质化简二次根式，再进行二次根式的加减运算即可；
（2）先根据二次根式的性质化简二次根式，再根据二次根式乘除法运算法则计算即可；
（3）先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再进行加减运算即可；
（4）先根据完全平方公式和平方差公式展开，再进行加减运算即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
（4）解：原式
18．1
【分析】根据题意可以求得x、y的值，从而可以解答本题；
本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
【详解】解：由题意，得，
，
解得，
∴，
∴
19．36
【分析】本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，，，
且，
∴，
∴四边形面积为：．
20．(1)见解析
(2)当时，四边形为正方形．理由见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质和垂直平分线的性质得到条件即可证明；
（2）先证明四边形是平行四边形，由得到四边形是菱形，再证明，即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵ 四边形是平行四边形
∴
∴
∵垂直平分
∴
在和中
∴
（2）当时，四边形为正方形．理由如下：
由（1）知，
∴ 四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形
∵
∴
在中
∵
∴
∴
∴ 菱形是正方形
【点睛】此题考查了菱形的判定、平行四边形的性质、正方形的判定、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关判定定理是解题的关键．
21．(1)证明见解析；
(2)点到线段的距离为．
【分析】（1）由菱形的性质可证，根据全等三角形的性质推得，，可证四边形是平行四边形，再结合对角线互相垂直、即可证四边形是正方形；
（2）先求出正方形的边长和对角线长，结合勾股定理求出的长，再结合菱形面积计算公式即可求得点到线段的距离．
【详解】（1）证：菱形中，，，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
又点、是对角线所在直线上两点，
，
平行四边形是菱形，
菱形中，平分，，
，
菱形是正方形．
（2）解：正方形的面积为，
正方形的边长为，正方形的对角线长为，
、互相垂直且平分，
，，
，
，
中，，
设点到线段的距离为，
则根据菱形面积计算公式可得：，
即，
解得，
点到线段的距离为．
【点睛】本题考查的知识点是菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、正方形的判定与性质、勾股定理解直角三角形，解题关键是熟练掌握菱形的判定与性质．
22．(1)秒
(2)当时间， ；当时间，
【分析】（1）设经过t秒钟两点第一次相遇，然后根据点M运动的路程+点N运动的路程列方程求解即可；
（2）分类讨论：当点M在线段上，点N在上时；当点M在线段上，点N在上时；当点M在线段上，点N在上时，利用等边三角形的性质和点M、N的运动规律列出关于t的方程，借助于方程解答即可．
【详解】（1）解：
第一次相遇时间（秒）；
答：若动点M、N同时出发，经过秒钟两点第一次相遇；
（2）如图2，当点M在线段上，点N在上时：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∵为等边三角形，
∵和是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
此时；
如图3，当点M在线段上，点N在上时：
同理和是等边三角形，
，
，
∴，
，
，
此时，
如图4，当点M在线段上，点N在上时，
同理和是等边三角形，
，
，
∴，
，
（不合题意，舍去）．
综上所述：当时间， ；当时间，．
【点评】本题主要考查的是平行四边形的性质和等边三角形的性质，利用平行四边形的性质和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键．
23．（），理由见解析；（）成立，理由见解析；（）
【分析】（）延长到点 ，使 ，连接，由线段垂直平分线的性质可得，再证明，得，，可得，即得，再由即可求证；
（）延长到，使，连接，由线段垂直平分线的性质得，再证明，得，，可得，即得，再由即可求证；
（）由已知得，设，则，由得，进而即可求解；
本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：（），证明如下：
延长到点，使，连接，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）成立，理由如下：
延长到，使，连接，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（）∵，
∴，
设，则，
∵是的中点，，
∴，
∴，
解得，
∴．
24．(1)，
(2)①；②
【分析】此题主要考查了二次根式的有理化因式，分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值等，解决问题的关键是熟练掌握阅读材料中二次根式的有理化因式的定义，分母有理化的定义及计算，二次根式的加减计算，完全平方公式，整体代入法求代数式的值．
（1）根根据材料中的方法即可求解；
（2）①原式各分母有理化，合并即可得到结果．
②将x与y分母有理化求得和的值，把化为，再整体代入计算即可得到结果．
【详解】（1）解：的对偶式是，分母有理化得：；
故答案为：，；
（2）解：①
；
②∵，
∴，
，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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