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合肥 45 中九年级数学阶段练习（一）
注意事项：
1.你拿到的试卷满分为 150 分（其中卷面书写占 5分），考试时间为 150 分钟。
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分。请在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
一、选择题（本题共 10小题，每小题 4分，满分 40分）
1． 2的倒数是（ ）
1 1
A． 2 B． C． D．2
2 2
2．2025 首届逍遥津新春灯会圆满落幕，入园客流量超过 213 万人次，斩获合肥热门景点排行榜第一。“213
万”这个数据用科学记数法表示为（ ）
A 0.213 107 B 0.213 108 C 2.13 106 D 2.13 107． ． ． ．
3．如图所示，几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
4．下列运算正确的是（ ）
A． ( 2a4 )3 8a12 B． 2a6 a2 a4 C． a6 a2 a3 D． a3 a3 a9
5．下列各点在如图所示的一次函数 y kx b(k 0) 图象上的是（ ）
A．（-3，1） B．（-1，2） C．（1，3） D．（2，5）
6．2025 年春节档热映多部精彩电影．小明、小亮分别从《哪吒 2》、《唐探 1900》、《封神榜 2》三部
影片中随机选择一部观看，则小明、小亮选择的影片相同的概率为（ ）
A 1 B 1． ． C 1 1． D．
9 6 5 3
7．已知，AB是⊙O的直径，AB=4 ⌒，C、D是⊙O上两点，连接 BD、CD，若∠D=20°，则BC的长为（ ）
2 4 2 8A． B． C． D．
9 9 3 9
第 5 题图 第 7 题图 第 9 题图
8．已知三个实数 a，b，c满足 a≥0，b≥0，a +b＝3，2a +b﹣c＝0，则下列结论中错．误．的是（ ）
A．a﹣c＝﹣3 B．b+c＝6 C．0≤a≤3 D．3≤c≤5
9．如图，菱形 ABCD的边长是 2，∠ADC=120°，E为与点 D不重合的动点，以 DE为边作菱形 DEFG，
且∠EDG=120°，连接 CF、CG，则△CFG的周长的最小值是（ ）
A．2 B． 2 3 C． 3 2 D．4
10 2．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线 y ax bx c(a 0)经过点 A（-3，0）、B（1，0），
与 y轴交于点 C，连接 AC、BC，抛物线对称轴交 AC于点 D，E为抛物线顶点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线对称轴是直线 x=1
B DE 3．
OC 2
1
C．将线段 AB向上平移 2 个单位得线段 MN，若抛物线与线段 MN有两个交点，则 a
2
3
D．若 AC⊥BC，则 a
3
二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，满分 20分）
11．不等式3x 2 1的解集是 ．
12．若 x＝ 2是关于 x的方程 ax2+bx＝4 的解，则 2025 2a b的值为 ．
k
13．如图，点 A（-3，2）是反比例函数 y (k 0)图象上一点，连接 OA，点 C是线段 OA上一点，过
x
3
点 C 作 y 轴的平行线分别交反比例函数图象、x 轴于 B、D 两点，若 S OCD ，则点 B 的坐标4
是 ．
14．如图，在Rt△ABC中， C 90 ，BC 2，AC 4，点 D为 AC边上一个动点，以 BD为边在 BD的上
方作正方形 BDEF.
（1）过 E作 EG⊥AD于 G，当 EG=1 时，AE的值为 ；
（2）当△ADE为等腰三角形时，CD的值为 ．
第 13 题图 第 14 题图
三、（本题共 2小题，每小题 8分，满分 16分）
15．计算： 9 2 3cos 60 (3 )0 ．
16．九年级举行读书活动．学校要求各班班长根据学生阅读需求，统计需采购的书籍类型和数量，如下表
所示．
文学类（本/人） 科普类（本/人）
九（1）班 3 2
九（2）班 2 5
共计（本） 246 340
请你根据以上信息，求九（1）班和九（2）班各有多少人．
四、（本题共 2小题，每小题 8分，满分 16分）
17．如图，在由边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均为格点（网格线的交点）．
（1）将线段 AB向右平移 2 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，得到线段 DE，画出线段 DE；
（2）以点 O为旋转中心，将△ABC旋转 180°，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（3）在线段 DE上画点 F，使 B1F的长度最短．（要求： 借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出
画法，保留作图痕迹）
18．【问题情景】
探究“ am an(其中m n 10) ”（ am表示一个两位数，十位数字是 a，个位数字是 m，）的计算规
律：①19 11 209 ；② 25 25 625；③ 34 36 1224 ……
通过上述计算发现：
将十位数字 a与 a+1 相乘，所得结果作为积的前两位数字；
将个位数字 m与 n相乘，所得结果作为积的后两位数字，若结果为一位数，则在其前面加 0．
【规律探究】
（1）按此规律计算： 45 45 ，87 83 = ；
（2）用含 a，m，n的等式归纳上述规律，请完成填空：
(10a m) (10a n) 100 ( ) ( ) （其中m n 10）．
【问题解决】
（3）请运用上述规律计算： 41 49 42 48 43 47 44 46 45 45 95 ．
五、（本题共 2小题，每小题 10分，满分 20分）
19．为测量学校窗户（矩形 DEFG）的高度（直接测量存在安全隐患），数学兴趣小组用所学的数学知识
设计了一种测量仪器．如下图所示，在△ABC中，∠CAB=45°，∠B=30°，AB=50cm，测量时，把测量
仪点 C 与点 D 重合，且 AB∥DE，再用激光笔测得∠GAB=80°，请计算出窗户高 DG的长度．（结果保
留整数，参考数据：tan80°≈5， 3 1.73）
20．如图，四边形 ABCD内接于⊙O，BC为直径，BA、CD的延长线交于点 E，连接 BD．
（1）若点 A为 BE 的中点，∠C＝52°，求∠BDA的度数；
（2）若点 A ⌒是BD的中点，BC=8，BA=3，求 CD的长．
六、（本题满分 12分）
21．随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，现从豆包、DeepSeek 两款人工智能软件调查得分
中分别随机抽取了 10 个用户的得分数据进行整理、描述和分析（得分用 x表示），共分为四组，
A：60 x 70，B：70 x 80，C：80 x 90，D：90 x 100，下面给出了部分信息．
豆包人工智能软件得分数据：
64，75，78，85，85，90，92，93，98，100．
DeepSeek 人工智能软件在 C 组内（80 x 90）的所有得分数据：88，88，89，90．
两款人工智能软件得分统计表： DeepSeek 人工智能软件得分扇形统计图：
软件 平均数 中位数 众数 方差
豆包 86 87.5 b 111.2
DeepSeek 86 a 88 89.8
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空： a _______，b ______，m ______；
（2）根据以上数据，你认为哪款人工智能软件更受用户欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若本次调查有 900 名用户对豆包人工智能软件进行了调查评分，有 1100 名用户对 DeepSeek 人工智
能软件进行了评分，估计其中对两款人工智能软件非常满（90 x 100）的总用户数．
七、（本题满分 12分）
22．如图 1，在四边形 ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，连接 AC、BD交于点 P，且满足 PA PC PB PD．
（1）求证：∠ABD=∠ACD；
2 2 CD 3（ ）如图 ，已知 ，过点 P作 PE⊥AB于点 E．
AD 4
①求 PE 的值；
BC
②如图 3，连接 DE，若 S AED 8，求 BD的长．
图 1 图 2 图 3
八、（本题满分 14分）
23．合肥作为“大湖名城，创新高地”，凭借科技创新实力享誉全国．庐智高新技术企业研发部门针对新型
产品的资金投入与生产利润关系展开生产模拟，设定投入资金为 x（万元）（0元）的关联机制如下：
第一阶段（技术卵化期）：当 0第二阶段（规模扩张期）：当 x≥3时为，受多重成本因素影响，该阶段生产利润 y 遵循二次函数 y=－
0.2x2+bx+c．并且 x=5时，y=20.6，
第三阶段（稳定产出期）：当 x≥18时启动第三阶段生产模式，发现投入资金每增加 1 万元，生产利润
同步增加 1 万元．
（1）求 b、c的值；
（2）按当前模拟环境，求最大生产利润；
（3）生产部门发现在当前模拟环境下，会出现一段投入资金增多而生产利润下降的情况，决定提前进入
第三阶段，即在 x≥5时，进入第三阶段生产模式．请帮助生产部门确定 x为何值时进入第三阶段可以获
得生产利润最大？最大生产利润为多少？
合肥 45 中九年级数学阶段练习（一）
数学学科答案
一、选择题
1-5 BCDAB 6-10 DBDBC
二、填空题
3 3
11. x＞1； 12. 2027 1 3. ,4 14. （1） 2 ; （2）2 或
2 2
3
三、15. 原式=
2
16. 九（1）班和九（2）班各有 50、48人
17. 略
18. （1）2025，7221
2
（2） a a，mn
（3）10000
19. DG的长度为 73m.
20. （1）∠BDA=26°
CD 23（2）
4
21. （1） a __88_____，b ___85___，m __20____；
（2）合理即可
（3）对两款人工智能软件非常满（90 x 100）的总用户数为 580名.
22. （1）证△ABP∽△DCP
得∠ABP=∠ACD
（2）先证△ABP∽△DCP，△BPC∽△APD
得∠ADP=∠ACB=45°，得∠CDP=∠BAP=45°
得∠ADC=90°
PE AD 4
则 tan∠ACD=tan∠ABP，则 ,
BE CD 3
AE 4
又∵AE=PE，∴
AB 7
PE AE 4
∴
BC AB 7
（3）过点 A 作 AF⊥BD 交于点 F，连接 EF
AF 4
由∠ABP=∠ACD,得 ,
BF 3
又∵BF=DF
BF BE 4
∴ ,
BD AB 7
可证得 EF∥AD
∴ S AEB S AFD 8，
1
∴ 4k 4k 8，k=1
2
∴BD=7
（此图中覆盖相似大部分基础图形，有 A 字形，双高，旋转相似，反 8 字形）
23.（1）y2 = 0.2x2 +4.4x+3.6
5
（2）y= 0.2 2 + 4.4 + 3.6

y1最大值 15 万元
y2最大值 27.8 万元
y3最大值 30 万元
∴当投入 30 万元时最大生产利润 30 万元。
（3）
当 x≥5 时在抛物线上 P 点时进入进入第三阶段生产模式
设 P 点横坐标为 t，则 P 点纵坐标为 0.2t2 +4.4t+3.6,
当 t≤x30 时函数值随 x 的增大而增大
Q点纵坐标值为 0.2t2 +3.4t+33.6 即为最大生产利润 w。
w = 0.2t2 + 3.4t + 33.6 = 0.2(t 8.5)2+48.05
∴当 t=8.5 万元时，生产利润最大为 48.05 万元。
答：（略）

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