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(共26张PPT)
专题八　半角模型
类型一 90°角夹45°角
　　（1）等腰直角三角形夹半角：如图，在△ABC中，AB＝AC，
∠BAC＝90°，∠DAE＝45°→将△ABD绕点A旋转至△ACF，使AB
与AC重合，连接EF→△AEF≌△AED.
（2）正方形夹半角：如图，在正方形ABCD中，∠EAF＝45°→
将△ADF绕点A旋转至△ABG，使AD与AB重合→△AEG≌△AEF.
1. 数学兴趣小组探究了以下几何图形.如图①，把一个含有45°角的三
角尺放在正方形ABCD中，使45°角的顶点始终与正方形的顶点C重
合，绕点C旋转三角尺时，45°角的两边CM，CN始终与正方形的边
AD，AB所在直线分别相交于点M，N，连接MN，可得△CMN.
（1）如图②，把△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，同时得到
点H在直线AB上，求证：∠CNM＝∠CNH；
证明：（1）∵△CDM绕点C逆时针旋转90°得到△CBH，
∴CM＝CH，∠DCM＝∠BCH.
∵四边形ABCD为正方形，∴DCB＝90°.∵∠MCN＝45°，
∴∠DCM＋∠BCN＝∠DCB－∠MCN＝45°，
∴∠BCH＋∠BCN＝45°，∴∠MCN＝∠HCN＝45°.
在△MCN和△HCN中，CM＝CH，∠MCN＝∠HCN，CN＝CN，
∴△MCN≌△HCN（SAS），∴∠CNM＝∠CNH.
（2）在图②中，连接BD，分别交CM，CN于点E，F，求证：
△CEF∽△CNM.
（2）由（1）可得∠CNM＝∠CNH. ∵四边形ABCD是正方形，BD是
对角线，∴∠FBN＝∠MCN＝45°，
∴△FBN∽△HCN∽△MCN，∴∠BFN＝∠CMN. ∵∠BFN＝
∠CFE，∴∠CFE＝∠CMN.
又∵∠FCE＝∠MCN，∴△CEF∽△CNM.
2. （1）如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E，F在
BC上，且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2＋CF2；
（1）证明：如图①，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACM，连
接MF，
则△ACM≌△ABE，
∴CM＝BE，AM＝AE，∠ACM＝∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠MCF＝90°，即△MCF为直角三角形.
又易得△AMF≌△AEF（SAS），∴MF＝EF.
在Rt△MCF中，MF2＝MC2＋CF2，∴EF2＝BE2＋CF2.
（2）如图②，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且
∠EAF＝∠CEF＝45°，若BE＝3，DF＝1，求EF的长.
（2）解：如图②，分别延长AD，AB与直线EF交于点M，N，将
△AFM绕点A顺时针旋转90°得到△AGN，连接EG.
∵∠CEF＝45°，四边形ABCD是矩形，∴△DMF，△BEN都是等腰
直角三角形，
∴MF＝ DF＝ ，NE＝ BE＝3 .
由（1）可得EF2＝EG2＝MF2＋NE2，∴EF2＝ ＋ ＝
20，EF＝2 .
3. 如图，在正方形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，且
∠MAN＝45°，AH⊥MN于点H.
（1）求证：MN＝BM＋DN，AH＝AB；
（1）证明：如图，将△ADN旋转至△ABE，则△ADN≌△ABE，
∴AE＝AN，∠BAE＝∠DAN，∠ABE＝∠D＝90°，∴∠ABE＋
∠ABM＝180°，
∴E，B，M三点共线.∵∠MAN＝45°，
∴∠DAN＋∠BAM＝45°，
∴∠BAE＋∠BAM＝45°，即∠MAE＝45°，
∴∠MAE＝∠MAN. 又∵AE＝AN，AM＝AM，∴△AEM≌△ANM
（SAS），
∴MN＝ME＝BM＋BE＝BM＋DN，∴S△AEM＝S△ANM，∴ MN·AH
＝ ME·AB，∵MN＝ME，∴AH＝AB.
（2）若BM＝2，DN＝3，求AH的长.
（2）解：设AH＝x.由（1）可得正方形的边长为x.∵BM＝2，DN＝
3，∴CM＝x－2，CN＝x－3.
由（1）可得MN＝BM＋DN＝2＋3＝5.∵CN2＋CM2＝MN2，即（x－
3）2＋（x－2）2＝25，
解得x1＝6，x2＝－1（舍去），∴AH的长为6.
类型二 120°角夹60°角
　　如图，AB＝AC＝BC，BD＝CD，∠BDC＝120°，∠EDF＝
60°→将△BDE绕点D旋转至△CDG，使DB与DC重合，连接
EF→△DFG≌△DFE.
1. 如图，D是等边三角形ABC外一点，且BD＝CD，∠BDC＝
120°，M，N分别是边AB，AC上一点，且∠MDN＝60°.
（1）探索线段BM，MN，CN之间的数量关系，并说明理由；
解：（1）MN＝BM＋CN. 理由如下：
如图，将△MDB绕点D旋转至△HDC，则△HDC≌△MDB，
∴DH＝DM，CH＝BM，∠HDC＝∠MDB，∠HCD＝∠MBD.
易得∠MBD＝∠NCD＝90°，
∴∠HCD＋∠NCD＝180°，∴N，C，H三点共线.
又∵∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，∴∠MDB＋∠NDC＝60°，∴∠HDC＋∠NDC＝60°，
∴∠HDN＝∠MDN＝60°.又∵DH＝DM，DN＝
DN，∴△HDN≌△MDN（SAS），
∴MN＝HN＝CH＋CN＝BM＋CN.
（2）求△AMN与△ABC的周长的比值.
解：（2）C△AMN＝AM＋MN＋AN＝AB－BM＋MN＋AC－CN＝
2AB＋MN－（BM＋CN）.
由（1）可得MN＝BM＋CN，∴C△AMN＝2AB，∴ ＝ ＝ .
2. [2024·龙东改编]如图，在△ABC中，AB＝AC，∠MAN＝
∠BAC，∠MAN在∠BAC内部，点M，N在BC上，点M在点N的左
侧.若∠BAC＝120°，探究线段BM，NC，MN之间的数量关系.
解：∵∠BAC＝120°，∴∠MAN＝60°，∠ABC＝∠C＝30°.
如图，将△ANC绕点A顺时针旋转120°得到△AGB，
连接GM，则△AGB≌△ANC，
∴AG＝AN，GB＝NC，∠GAB＝∠NAC，∠ABG＝∠C＝30°，
∴∠MAG＝∠GAB＋∠MAB＝∠NAC＋∠MAB＝120°－∠MAN＝60°，
∴∠MAG＝∠MAN. ∵AG＝AN，AM＝AM，
∴△AGM≌△ANM（SAS），∴MG＝MN.
过点G作GH⊥BC于点H（如图）.∵∠GBH＝60°，∴∠BGH＝30°，
∴BH＝ GB＝ NC，GH＝ GB＝ NC，MH＝BM－BH＝BM－ NC.
∵MG2＝MH2＋GH2，∴MN2＝ ＋ ，
整理可得MN2＝BM2＋NC2－BM·NC.
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