资源简介

绝密★启用前
宁波市 2024学年第二学期高考模拟考试
高三数学试题卷
本试卷共 4页，19小题，满分 150分。考试用时 120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上。将条
形码横贴在答题卷右上角“贴条形码区”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑；
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要
求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破。
选择题部分(共 58分)
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
A = x Z | x21．已知集合 x 2 0 ，则 A =Z
A． 1,0,1,2 B． 0,1,2 C．{1,2} D．{ 1,0}
π
2．下列四个函数中，以 π为最小正周期，且在区间 ,π 上单调递减的是
2
x
A． y = cos x B． y = sin x C． y = tan x D． y = sin
2
3．已知向量 a , b满足 a = 2 ， a (2a + b) = 9 ，则 a (2a b) =
A．3 B．4 C．6 D．7
1+ i
4．设 z = 2i，则 z =
1 i
1
A． 0 B． C．1 D． 2
2
5．已知数列 an 中， a2 =1，记 Sn 为 an 的前 n项和， 2Sn = nan ，则 a2025 的值为
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
6．已知点M (a,0)， N(2,3)到同一直线的距离分别为 2，3，若这样的直线恰有 2 条，则 a的取值范围为
A． ( 2,0) B． ( 2,6) C． (0,6) D． (2,6)
7．一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为 10cm、8cm、15cm，内部装有 400 毫升墨水．将墨水瓶倾
斜，使其一条长边（10cm）置于水平地面，高边（15cm）所在直线与水平地面成 45 度角，则此时墨
水与墨水瓶接触部分的面积为
A．180 B．220 C．260 D．300
数学试题 第1页(共 4 页)
2
8．已知函数 f (x) = (x a)(x b) ，其中 a b ，5 为 f (x)的极小值点．若 f (x)在 (a,a + 3)内有最大值，
则 a的取值范围是
11 11
A． ( 4, 5) B． ( 4,5 C． 4, D． 4,
4 4
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．下面说法正确的是
A．若数据 2x1， 2x2，…， 2x16 的方差为 8，则数据 x1 ， x2 ，…， x16 的方差为 4
B．若 a1,a2 , ,an 是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等
2 2
C．已知 X 是随机变量，则 E (X ) E (X )
D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 r 的值越接近于 1
10．国家知识产权局信息显示，华为技术有限公司申请一项名为“三进制逻辑门电路、计算电路、芯片
及其电子设备”的专利，该项专利可以实现大幅度减少二进制逻辑电路的晶体管数量，降低电路的功
耗，提高计算效率．该专利蕴含的数学背景是一种以 3 为基数，以 1，0，1 为基本数码的计数体系
（对称三进制）：三进制数 (akak 1 a0 . b1b2 bt )3 对应的十进制数为 a 3
k
k + a
k 1
k 1 3 + + a1 3
1 +
a 30 + b 3 1 + b 3 20 1 2 + + bt 3
t ，其中 a0 ,a1, ,ak 1,b1,b2 , ,bt { 1,0,1}， ak { 1,1}，为了记号的
0 1 2
方便，我们用 F 表示数码 1，比如 (11) 1 0 1. F =1 3 + 1 3 =3 =1 3 +1 3 = 4 ， ( ) ( ) ，3 3
(FFF)3 = ( 1) 3
2 + ( 1) 31 + ( 1) 30 = 13．下面选项正确的是
A． (10F1)3 = 25
B． (101010)3 (10101) = (F0F0F )3 3
1
C．若 n = (0. b1b2 bm ) ，bi F ,0,1 3 ， i =1,2, ,m,m

N ，则 n
2
D．存在唯一的 a1,a2 ,a3 ,a4 ,b1,b2 ,b3 ,b4 {0,1}，使得 (1a4a3a2a1 ) (1b4b3b2b3 1 ) = 203 成立
11．如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中， AB = 2 ， AD ，1 = 2
BC = CC1 =1，CC1 ⊥ CD ， ADC =120 ， E 为CD中点， F 在
线段 BC 上（包含端点），则下列说法正确的是
A．存在点 F ，使得 A1F// 平面 AD1E
第 11 题图
B．存在点 F ，使得平面 AD1E ⊥平面 D1EF
C．不存在点 F ，使得 D1F + EF = 10
D．不存在点 F ，使得四棱锥 F CDD1C1有内切球
数学试题 第2页(共 4 页)
非选择题部分(共 92分)
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
6
1
12． 2 x 的展开式中的常数项为 ▲ ．
x
13．在△ABC 中， sin A = 8sin BsinC ， cos A = 8cos BcosC ，则 tan A = ▲ ．
14．关于 x的方程 ex + bx = 2 ( b 0 且b 1 )有唯一实数解，其中 e为自然对数的底数，则实数b 的取值范
围是 ▲ ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， BAC = 90 ， AB = AC = 2，
AA1 = 2 2 ． N 是 B1C1 的中点， P 是 BC1 与 B1C 的交点．
（1）若Q是 A PQ //1N 的中点，证明： 平面 A1BC ；
（2）求 A1P 与平面 A1BC 所成角的正弦值．
第 15 题图
16．（15 分）在1,2,3, ,7 这 7 个自然数中，任取 3 个数．
（1）求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率；
（2）设 X 为这 3 个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为 1，2，3，则有两组相邻的数 1，2 和
2，3，此时 X 的值是 2）．求随机变量 X 的分布列及其数学期望 E (X )．
2
17．（15 分）已知函数 f (x) = ln (x +1) + ax x ( a R )．
（1）当 a =1时，讨论 f (x)的单调性；
（2）当 x 0 时， f (x) 0恒成立，求 a的取值范围；
3 5 2n 1
（3）求证：当 n N 时，1+ + + + 2ln (n +1)．
22 32 n2
数学试题 第3页(共 4 页)
x2 4 3
18．（17 分）已知椭圆 E : + y2 =1( m 0 )，点 P(0, 1)到椭圆 E 上点的距离的最大值为 ．
m + 2 3
（1）求椭圆 E 的方程；
1
（2）若过定点 (0,2)的直线 l 交椭圆 E 于点 A， B ，设点Q 0, ，直线 AP 与直线 BQ交于直线
2
5
y = 上一点，求直线 AB 的方程．
4
19．（17 分）设 n维向量 a = (x1, x ， ，定义运算： . 2 , , xn ) b = (y1, y2 , , yn ) a b = x1y1 + x2 y2 + + xn yn
（1）当 n = 2时，若 c = (y , y )且 x1 x2 ， y1 y2 ，试比较2 1 a b与 a c 的大小；
（2）已知 n N*，记M (n) ={a b | a = (x1, x2 , , xn ),b = (y1, y2 , , yn )且x1, x2 , , x n和y1, y2 , , yn
均为1,2, ,n 的某一排列}.
（i）求M (3)，M (4) ;
2 2 2 n(n +1)(2n +1)
（ii）若 n 4 ，求M (n) .（提示：1 + 2 + + n = .）
6
数学试题 第4页(共 4 页)
宁波市 2023 学年第二学期高考模拟考试
高三数学参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.D
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.BC 10.ACD 11.ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1
12.15 13.9 14. (1,+ )
e
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（1）法一：连结 NP 交 BC 于点 R ，连结 A1R ，
点Q是 A1N 中点，点 P 是 NR 中点，
PQ 是△NRA1 的中位线，即 PQ // RA1 ，
又 PQ 平面 A1BC ， RA1 平面 A1BC ，
PQ // 平面 A1BC ．-------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
法二：取 A1B1中点M ，连结MQ ， PM ．
P为 B1C 的中点，M 为 A1B1中点， PM // A1C ，
又 PM 平面 A1BC ， PM // 平面 A1BC ，
Q是 A1N 的中点， QM // BC ，
又 QM 平面 A1BC ， QM // 平面 A1BC ，
又 PM QM = M ， 平面 PQM //平面 A1BC ，
PQ // 平面 A1BC ．-------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
法三：由题意，以 A原点，以 AC ， AB ， AA 所在直线分别为 x1
轴， y 轴， z 轴，建立如图所示空间直角坐标系 A xyz ．
A (0,0,2 2) ， B(0,2,0)，C(2,0,0)，1 B1(0,2,2 2) ，C1(2,0,2 2)，
1 1
N (1,1,2 2)， P(1,1, 2)，Q , , 2 2 ， A1B = (0,2, 2 2) ，
2 2
1 1
BC = (2, 2,0) ， PQ = , , 2 ，
2 2
设平面 A1BC 的法向量 n = (x, y, z) ，
A 1B n = 0 2y 2 2z = 0
，不妨令 z =1，则 x = 2 ， y = 2 ， n = ( 2, 2,1)， PQ n = 0，
BC n = 0 2x 2y = 0
PQ // 平面 A1BC ．-------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
（2）法一：由（1）可得 A P = (1,1, 2) ，设 A1P 与平面 A1BC 所成角为 ， 1
A1P n 2 10 10
则 sin = cos A1P,n = = = ，即 A1P 与平面 A1BC 所成角的正弦值为 ．
A P n 2 5 10 101
法二： A1C = A1B ， R 为 BC 中点， A1R ⊥ BC ，
N ， R 分别为 B1C1 和 BC 的中点， BB1// NR，
又 BB1 ⊥ BC ， NR ⊥ BC ，
NR 平面 A1PR ， A1R 平面 A1PR ， NR A1R = R， BC ⊥平面 A1PR ，
BC 平面 A 1BC ， 平面 A1PR ⊥平面 A1BC ，
过点 P 作 A1R 的垂线 PH ，
PH ⊥ A1R ，平面 A1PR 平面 A1BC = A1R ，
PH ⊥平面 A1BC ，即 PA1H = PA1R为 A1P 与平面 A1BC 所成角的平面角.
A1B1 = A1C1 = 2， N 是 B1C1 的中点， A1N = 2 ，
BB1= NR = 2 2 ， NP = PR = 2 ，
由勾股定理，得 A1P = A1N
2 + NP2 = 2， A 21R = A1N + NR
2 = 10 ，
A P2 + A R2 PR2 4 +10 2 3 10 10
cos PA1H = cos PA1R =
1 1 = = ， sin PA .
2A P A R 10 1
R =
1 1 2 2 10 10
10
即 A1P 与平面 A1BC 所成角的正弦值为 ．------------------------------------------------------------------13 分
10
16.（1）从 7 个自然数中任意选三个共有C37 = 35种选择，恰有一个偶数的情况有C
2 1
4 C3 =18种，
18
故概率为 .-----------------------------------------------------------------------------------------------------------6 分
35
（2）当 X = 2时，共有 5 种；
当 X =1时，共有 20 种；
当 X = 0 时，共有 10 种；
X 的分布列如下：
X 0 1 2
2 4 1
P
7 7 7
4 1 6
所以 E(X ) = 1+ 2 = .----------------------------------------------------------------------------------------15 分
7 7 7
x 2x +1
17. （1）已知 f (x) = ln (x +1) 1 ( )+ x2 x ，则 f (x) = + 2x 1= , x 1，
x +1 x +1
1
所以当 x 1, 时， f (x) 0， f ( x)单调递增；
2
1
当 x ,0 时， f (x) 0， f ( x)单调递减；
2
当 x (0,+ )时， f (x) 0， f ( x)单调递增. -------------------------------------------------------------5 分
（2）法一:因为 f (x) = ln(1+ x)+ ax2 x
1 2ax2 + (2a 1)x x(2ax + 2a 1)
所以 f (x) = + 2ax 1= = .
1+ x 1+ x 1+ x
设 g(x) = 2ax + 2a 1，
当 a 0时， g(x) 0，所以 f (x) 0 ，所以 f (x) 在[0,+ ) 上单调递减，
所以 f (x) f (0) = 0 ，不合题意.
1 1 2a
当 0 a 时，令 g (x) = 0 ，得 x = ，
2 2a
1 2a 1 2a
所以当 x 0, 时， g (x) 0，即 f (x) 0 ，所以 f (x)在 0, 上单调递减，
2a 2a


1 2a
所以 f f (0) = 0，矛盾！
2a
1
当 a 时， g (x) 0， f (x) 0 ，所以 f (x)在[0,+ ) 上单调递增，
2
所以 f (x) f (0) = 0 .
1
综上， a ,+ .------------------------------------------------------------------------------------------------10 分
2
1 1
法二: f (x) = + 2ax 1， f (x) = + 2a2 ，
x +1 (x +1)
因为任意 x 0 ，都有 f (x) 0 恒成立，且 f (0) = f (0) = 0，
1
所以 f (0) = 2a 1 0，即 a ；
2
1 1 1
另一方面，当a 时， f (x) = + 2a 1 02 2 ，
2 (x +1) (x +1)
所以 f ( x)在 0,+ )上单调递增，所以 f (x) f (0) = 0，
所以 f ( x)在 0,+ )上单调递增，所以 f (x) f (0) = 0 ；
1
综上，a ,+ .------------------------------------------------------------------------------------------------10 分
2
1 1
（3）由（2）知，取a = ，则 f (x) = ln (x +1)+ x2 x 0 ，
2 2
1 1 1 1 2k 1
令 x = ，有 ln 1+ ，即 2 ln (k +1) ln k 2 ， k k k 2k k 2
n n 2k 1 3 5 2n 1
所以 2 ln (k +1) ln k ，即1+ + + + 2ln (n +12 ) .----------------------------15 2 2 2 分
k=1 k=1 k 2 3 n
x2
18. （1）设椭圆上的点C(x, y) 满足 + y2 =1，
m + 2
2
CP = x2 + (y +1)2 = (1+m) y2 + 2y + (3+m)，
设 f (y) = (1+m) y2 + 2y + (3+m)， y 1,1 ．
1
1 m 0，二次函数开口向下，对称轴 y = 1，
m +1
1
2
m + 4m + 4 16 2
f (y)max = f = = ，解得m = 2或m = ，
m +1 m +1 3 3
x2
m 0 ， m = 2．即椭圆 E : + y2 =1．--------------------------------------------------------------------6 分
4
（2）法一：设直线 AB : y = kx + 2， A(x1, y1 )， B (x2 , y2 )，
由于对称性，不妨设 k 0，此时 x1 x ，直线 AP ， BQ2 的斜率分别为 k1 ， k2 ．
y = kx + 2
2
联立椭圆方程得， (4k +1) x2 +16kx +12 = 0，
x2 2 + 4y = 4
3
= 256k 2 48(4k 2 +1) = 64k 2 48 0 k 2 ，
4
16k
x1 + x2 = , 4k 2 +1
由韦达定理得，
12x1x 2
= ,
4k
2 +1
y = k1x 1
1 k
AP : y = k1x 1， BQ : y = k2x + ，联立得 1 (k1 k2 ) y =
1 + k2 ，
2 y = k2x + 2
2
5
因为直线 AP 与直线 BQ交于直线 y = 上一点，
4
1
5 k y
所以 (k k ) = 1 + k ，化简得 k = 3k ，即 y1 +1 21 2 2 1 2
4 2 = 3
2 ，
x1 x2
kx1 + 3 6kx2 + 9
化简得 = 4kx1x2 + 9x1 6x2 = 0，
x1 2x2
8k + 2 4k 2 3
x1 =
4k 2 +1
由求根公式可得，
8k 2 4k
2 3
x2 = 2
4k +1
48k 8k + 2 4k 2 3 8k 2 4k 2 3
代入得， + 9 6 = 0 4k = 5 4k 2 3 ，
4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1
16k 2 = 25(4k 2两边平方得， 3)
2 25 5 7 5 7
解得 k = ，即 k = 或 （舍去），
28 14 14
5 7 5 7
当 k = 时， AB : y = x + 2，
14 14
5 7 5 7
由对称性可知当 k = 时，亦满足条件，此时 AB : y = x + 2．
14 14
5 7 5 7
综上所述，直线 AB 的方程为 y = x + 2或 y = x + 2．--------------------------------------------17 分
14 14
法二：同法一可得 4kx1x2 + 9x1 6x2 = 0 ，
16k
x1 + x2 = , 4k 2 +1 48k
又由 可得 4kx1x2 = = 3(x2 1 + x2 )，
12 4k +1x
1
x2 = ,
4k
2 +1
x 3
所以 4kx1x2 + 9x1 6x2 = 3(x1 + x2 ) + 9x
1 =
1 6x2 = 6x1 9x2 = 0 ，所以 ，
x2 2
2
x x (x + x ) 64k 22 1 1 2 13
所以 + = 2 = 2 = ，
x1 x2 x
2
1x2 3(4k +1) 6
2 25 5 7 5 7
解得 k = ，即 k = 或 （舍去），
28 14 14
5 7 5 7
当 k = 时， AB : y = x + 2，
14 14
5 7 5 7
由对称性可知当 k = 时，亦满足条件，此时 AB : y = x + 2．
14 14
5 7 5 7
综上所述，直线 AB 的方程为 y = x + 2或 y = x + 2．--------------------------------------------17 分
14 14
法三：设直线 AB : y = kx + 2，直线 AP ， BQ的斜率分别为 k1 ， k2 ．
y = k1x 1
1 k
AP : y = k1x 1， BQ : y = k2x + ，联立得 (k
1
1 1 k2 ) y = + k2 ，
2 y = k2x + 2
2
5
因为直线 AP 与直线 BQ交于直线 y = 上一点，
4
5 k
所以 (k1 k2 ) =
1 + k2，化简得 k1 = 3k2 ，
4 2
y = 3k2 x 1
联立 AP 与椭圆方程，得 (36k 22 +1) x2 24k2 2 2x = 0 ，
x + 4y = 4
24k2 36k
2
2 1 y 2 12k
2
x x = A 2
+1
P = 0， A ， y = 3k x 1= ， k = = ， 36k 22 +1
A 2 A
36k 22 +1 xA 8k2
y = kx + 2
12k2 44k
2 +1
联立直线 AB 与直线 BQ方程，得 2 1 xB = 2 ， yB = ，
y = k2x + 20k
2
2 +1 40k2 + 2
2
12k 44k 2
2 2
+1 12k 44k 2 +1
点 B 2 ,
2
在椭圆 E 上， x
2 2
B + 4yB = 4，即
2
+ 4
2
= 4， 2
20k2 +1 40k
2 + 2 20k 2 +1 40k 22 2 2 + 2
4 2 2 1 7 7化简得，112k2 + 24k2 1= 0，解得 k2 = ，即 k2 = 或 ． 28 14 14
7 12k
2
2 +1 5 7 5 7当 k2 = 时， k = = ， AB : y = x + 2；
14 8k2 14 14
2
7 12k2 +1 5 7 5 7当 k2 = 时， k = = ， AB : y = x + 2．
14 8k2 14 14
5 7 5 7
综上所述，直线 AB 的方程为 y = x + 2或 y = x + 2．--------------------------------------------17 分
14 14
5
法四：设直线 AP 与直线 BQ交点 R a, ，直线 AB : y = kx + 2， A(x1, y1 )， B (x2 , y2 )，
4
9 3 1
AP : y = x 1， BQ : y = x + ，
4a 4a 2
12a
y = kx + 2 x1 = 9 4ak
联立直线 AP 与直线 AB ，得 9 ，
y = x 1 18 + 4ak
4a y
1
=
9 4ak
6a
y = kx + 2 x 2
=
3 4ak
联立直线 BQ与直线 AB ，得 3 1 ，
y = x + 6 2ak 4a 2 y =
2 3 4ak
2 2 12a 18 + 4ak
+ 4 = 4
x
2
1 + 4y
2
1 = 4 9 4ak 9 4ak
点 A(x1, y1 )， B (x2 , y2 )在椭圆 E 上，可得 ，
x 2 2
2 2
2 + 4y2 = 4 6a 6 2ak
+ 4 = 4
3 4ak 3 4ak
144a2
2 2
+ 4(18 + 4ak ) = 4(9 4ak ) ①
化简得 ，
2 2 2
36a + 4(6 2ak ) = 4(3 4ak ) ②
15 3 2 63
① 4 ②得， (15 + 4ak )(3+ 4ak ) = 0 ak = 或 （舍去），代入①，解得 a =
4 4 4
3 7 3 7
a1 = a2 = 2 2
解得 或 ，
5 7 5 7
k1 = k2 = 14 14
5 7 5 7
当 k1 = 时， AB : y = x + 2；
14 14
5 7 5 7
当 k2 = 时， AB : y = x + 2．
14 14
5 7 5 7
综上所述，直线 AB 的方程为 y = x + 2或 y = x + 2．--------------------------------------------17 分
14 14
19. （1）a b a c = (x1y1 + x2 y2 ) (x y + x y . 1 2 2 1) = (x1 x2 )(y1 y2 ) 0，所以a b a c
---------------------------------------------------------------------------------3 分
（2）（i）先求M (3) ，不妨设a = (1,2,3)，b = (y1, y , y ) ，其中 y , y , y 1, 2,32 3 1 2 3 为 的排列.
所以a b = y1 + 2y2 + 3y3 = 2(y1 + y2 + y3)+ (y3 y1) =12+ y3 y . 1
而 y y 可取的值为 2, 1，故M (3) ={10,11,13,14}3 1 .
再求M (4)，不妨设a = (1,2,3,4)，b = (y1, y2 , y3, y )，其中 y1, y2 , y , y 为1, 2,3, 44 3 4 的排列.
3
当 y = 4时，a b =16+ i yi =16+12+ (y y )4 3 1 ，而 y3 y1可取 2， 1，故a b 可取
i=1
26,27,29,30；
3
当 y4 = 3时，a b =12+ i yi = 26+ (y3 y1) ，而 y3 y1可取 3， 2， 1，a b 可取
i=1
23，24，25，27，28，29；
3
当 y = 2时，a b = 8+ i yi = 24+ (y y )4 3 1 ，而 y3 y1可取 3， 2， 1，故a b 可取
i=1
21，22，23，25，26，27；
3
当 y =1时，a b = 4+ i y = 22+ (y y )4 i 3 1 ，而 y3 y1可取 2， 1，故a b 可取20，21，23，24；
i=1
综上M (4) ={20,21, ,30} -----------------------------------------------------------------------------------------9 分
（ii）方法一：
由（1）可得，若存在 xi x j ， yi y j ，则不妨交换 yi ， y j ,则 a b会变大.
不妨设 a = (1,2,3, ,n)，则
n(n +1)(n + 2) n(n +1)(2n +1)
b = (n,n 1, ,1)时， a b = 最小；b = (1,2, ,n)时， a b = 最大.
6 6
n(n +1)(n + 2) n(n +1)(2n +1)
所以M (n) 中的元素均属于集合 S(n) = , .
6 6
设 an 表示集合{x | x S(n)且x M (n)}的元素个数，即an =| S(n) | | M (n) |（ | A |表示集合 A
的元素个数）
下证 an = 0(n 4) .
当 n = 4时，由（2）知 a4 = 0 .
我们考虑 a 及M (n +1)n+1 .
(n +1)(n + 2)(n +3) (n +1)(n + 2)(2n + 3)
因为M (n +1)中的最小元素为 ，最大元素为 ，即
6 6
M (n +1)中的元素均在 S(n +1)中.
设 a = (1,2, ,n,n +1),b = (y , y , y ,n +1) ，其中 y1, y2 , , yn 为1,2, ,n的任一排列， 1 2 n
则 a b 可能取值为B(n+1) ={x + (n+1)
2 | x M (n)}，即 a b 恰好没有覆盖到集合
(n +1)(n2 +8n + 6) (n +1)(n + 2)(2n +3)
C(n +1) = , 中的an 个元素.
6 6
当 a = (1,2, ,n,n +1),b = (n +1, y , y , y ) ，其中 y1, y2 , , y 1,2, ,nn 为 的任一排列， 1 n 1 n
n n(n +1) n (n +1)(n + 2) n
则 a b = n +1+ (i +1)yi = n +1+ + i yi = + i yi
i=1 2 i=1 2 i=1
(n +1)(n + 2)
故 a b 可能取值为D(n +1) = x + | x M (n) ，即a b 恰好没有覆盖到集合
2
(n +1)(n + 2)(n + 3) (n +1)(n2 + 2n+3）
E(n +1) = , 中 an 个元素.
6 3
又因为当n 4时，
(n+1)(n+ 2)(n+3) (n+1)(n2 +8n+ 6) (n+1)(n2 + 2n+3） (n+1)(n+ 2)(2n+3)
，
6 6 3 6
(n +1)(n + 2)(n + 3) (n +1)(n + 2)(2n +3)
即C(n +1) E(n +1) = , = S(n +1) .
6 6
又 B(n +1) D(n +1) M (n +1) C(n +1) E(n +1) = S(n +1) ，
故M (n +1)不覆盖集合 S(n +1)的元素至多有 2 an 个，故an+1 2an ，又因为a4 = 0，所以
a5 = a6 = = an = 0 ，
n(n +1)(n + 2) n(n +1)(2n +1)
所以M (n) = k Z | k .-----------------------------------------------17 分
6 6
n(n +1)(n + 2) n(n +1)(2n +1)
(ii) 方法二：猜想M (n) = k Z | k
6 6
证明：（对 n进行归纳）当 n = 4时，命题成立，
k(k +1)(k + 2) k(k +1)(k + 2) k(k +1)(2k +1)
假设 n = k ， k 4时，命题成立，即M (k) = , +1, , .
6 6 6
则 n = k +1时，不妨设 a = (1,2,3, ,k +1) ，
(k +1)(k + 2)(2k + 3)
同法一，可知当b = (1,2, ,k +1) 时， a b = 最大；
6
(k +1)(k + 2)(k + 3)
当 b = (k +1,k, ,1)时， a b = 最小.
6
(k +1)(k + 2)(k + 3) (k +1)(k + 2)(2k + 3)
下证：M (k +1) 中包含 , 中的所有整数.
6 6
当 b = (y , y y , y , , y 1,2, ,k . 1 2 , , yk ,k +1)时，其中 1 2 k 为 的任意排列
由归纳假设知，此时a b 可能取值为 A ={x + (k +1)
2 | x M (k)}，
(k +1)(k 2 + 8k + 6) (k +1)(k + 2)(2k + 3)
即包含 , 内的所有整数.
6 6
当 b = (k +1, y1, y2 , , y )时，其中 y1, y2 , , yk 为1,2, ,kk 的任意排列，
k k(k +1) k
此时 a b = k +1+ (i +1)yi = k +1+ + i yi .
i=1 2 i=1
(k +1)(k + 2)
由归纳假设知，a b 可能取值为 B = x + | x M (k) ，
2
(k +1)(k + 2)(k + 3) (k +1)(k 2 + 2k+3）
即包含 , 内的所有整数.
6 3
(k +1)(k 2 + 2k+3） (k +1)(k 2 + 8k + 6)
而当 k 4时， ,所以n = k +1时，命题成立.
3 6
n(n +1)(n + 2) n(n +1)(2n +1)
所以 n 4时，M (n) = k Z | k .--------------------------------17 分
6 6

展开更多......

收起↑