浙江省宁波市2024-2025学年第二学期高三数学模拟考试试题(PDF版,含答案)

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浙江省宁波市2024-2025学年第二学期高三数学模拟考试试题(PDF版,含答案)

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宁波市 2024学年第二学期高考模拟考试
高三数学试题卷
本试卷共 4页,19小题,满分 150分。考试用时 120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上。将条
形码横贴在答题卷右上角“贴条形码区”。
2.作答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑;
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试题卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位
置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要
求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卷的整洁,不要折叠、不要弄破。
选择题部分(共 58分)
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
要求的。
A = x Z | x21.已知集合 x 2 0 ,则 A =Z
A. 1,0,1,2 B. 0,1,2 C.{1,2} D.{ 1,0}
π
2.下列四个函数中,以 π为最小正周期,且在区间 ,π 上单调递减的是
2
x
A. y = cos x B. y = sin x C. y = tan x D. y = sin
2
3.已知向量 a , b满足 a = 2 , a (2a + b) = 9 ,则 a (2a b) =
A.3 B.4 C.6 D.7
1+ i
4.设 z = 2i,则 z =
1 i
1
A. 0 B. C.1 D. 2
2
5.已知数列 an 中, a2 =1,记 Sn 为 an 的前 n项和, 2Sn = nan ,则 a2025 的值为
A.2023 B.2024 C.2025 D.2026
6.已知点M (a,0), N(2,3)到同一直线的距离分别为 2,3,若这样的直线恰有 2 条,则 a的取值范围为
A. ( 2,0) B. ( 2,6) C. (0,6) D. (2,6)
7.一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为 10cm、8cm、15cm,内部装有 400 毫升墨水.将墨水瓶倾
斜,使其一条长边(10cm)置于水平地面,高边(15cm)所在直线与水平地面成 45 度角,则此时墨
水与墨水瓶接触部分的面积为
A.180 B.220 C.260 D.300
数学试题 第1页(共 4 页)
2
8.已知函数 f (x) = (x a)(x b) ,其中 a b ,5 为 f (x)的极小值点.若 f (x)在 (a,a + 3)内有最大值,
则 a的取值范围是
11 11
A. ( 4, 5) B. ( 4,5 C. 4, D. 4,
4 4
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分。
9.下面说法正确的是
A.若数据 2x1, 2x2,…, 2x16 的方差为 8,则数据 x1 , x2 ,…, x16 的方差为 4
B.若 a1,a2 , ,an 是等差数列,则这些数的中位数与平均数相等
2 2
C.已知 X 是随机变量,则 E (X ) E (X )
D.若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强,则线性相关系数 r 的值越接近于 1
10.国家知识产权局信息显示,华为技术有限公司申请一项名为“三进制逻辑门电路、计算电路、芯片
及其电子设备”的专利,该项专利可以实现大幅度减少二进制逻辑电路的晶体管数量,降低电路的功
耗,提高计算效率.该专利蕴含的数学背景是一种以 3 为基数,以 1,0,1 为基本数码的计数体系
(对称三进制):三进制数 (akak 1 a0 . b1b2 bt )3 对应的十进制数为 a 3
k
k + a
k 1
k 1 3 + + a1 3
1 +
a 30 + b 3 1 + b 3 20 1 2 + + bt 3
t ,其中 a0 ,a1, ,ak 1,b1,b2 , ,bt { 1,0,1}, ak { 1,1},为了记号的
0 1 2
方便,我们用 F 表示数码 1,比如 (11) 1 0 1. F =1 3 + 1 3 =3 =1 3 +1 3 = 4 , ( ) ( ) ,3 3
(FFF)3 = ( 1) 3
2 + ( 1) 31 + ( 1) 30 = 13.下面选项正确的是
A. (10F1)3 = 25
B. (101010)3 (10101) = (F0F0F )3 3
1
C.若 n = (0. b1b2 bm ) ,bi F ,0,1 3 , i =1,2, ,m,m

N ,则 n
2
D.存在唯一的 a1,a2 ,a3 ,a4 ,b1,b2 ,b3 ,b4 {0,1},使得 (1a4a3a2a1 ) (1b4b3b2b3 1 ) = 203 成立
11.如图,在平行六面体 ABCD A1B1C1D1 中, AB = 2 , AD ,1 = 2
BC = CC1 =1,CC1 ⊥ CD , ADC =120 , E 为CD中点, F 在
线段 BC 上(包含端点),则下列说法正确的是
A.存在点 F ,使得 A1F// 平面 AD1E
第 11 题图
B.存在点 F ,使得平面 AD1E ⊥平面 D1EF
C.不存在点 F ,使得 D1F + EF = 10
D.不存在点 F ,使得四棱锥 F CDD1C1有内切球
数学试题 第2页(共 4 页)
非选择题部分(共 92分)
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。
6
1
12. 2 x 的展开式中的常数项为 ▲ .
x
13.在△ABC 中, sin A = 8sin BsinC , cos A = 8cos BcosC ,则 tan A = ▲ .
14.关于 x的方程 ex + bx = 2 ( b 0 且b 1 )有唯一实数解,其中 e为自然对数的底数,则实数b 的取值范
围是 ▲ .
四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13 分)如图,在直三棱柱 ABC A1B1C1 中, BAC = 90 , AB = AC = 2,
AA1 = 2 2 . N 是 B1C1 的中点, P 是 BC1 与 B1C 的交点.
(1)若Q是 A PQ //1N 的中点,证明: 平面 A1BC ;
(2)求 A1P 与平面 A1BC 所成角的正弦值.
第 15 题图
16.(15 分)在1,2,3, ,7 这 7 个自然数中,任取 3 个数.
(1)求这 3 个数中恰有 1 个是偶数的概率;
(2)设 X 为这 3 个数中两数相邻的组数(例如:若取出的数为 1,2,3,则有两组相邻的数 1,2 和
2,3,此时 X 的值是 2).求随机变量 X 的分布列及其数学期望 E (X ).
2
17.(15 分)已知函数 f (x) = ln (x +1) + ax x ( a R ).
(1)当 a =1时,讨论 f (x)的单调性;
(2)当 x 0 时, f (x) 0恒成立,求 a的取值范围;
3 5 2n 1
(3)求证:当 n N 时,1+ + + + 2ln (n +1).
22 32 n2
数学试题 第3页(共 4 页)
x2 4 3
18.(17 分)已知椭圆 E : + y2 =1( m 0 ),点 P(0, 1)到椭圆 E 上点的距离的最大值为 .
m + 2 3
(1)求椭圆 E 的方程;
1
(2)若过定点 (0,2)的直线 l 交椭圆 E 于点 A, B ,设点Q 0, ,直线 AP 与直线 BQ交于直线
2
5
y = 上一点,求直线 AB 的方程.
4
19.(17 分)设 n维向量 a = (x1, x , ,定义运算: . 2 , , xn ) b = (y1, y2 , , yn ) a b = x1y1 + x2 y2 + + xn yn
(1)当 n = 2时,若 c = (y , y )且 x1 x2 , y1 y2 ,试比较2 1 a b与 a c 的大小;
(2)已知 n N*,记M (n) ={a b | a = (x1, x2 , , xn ),b = (y1, y2 , , yn )且x1, x2 , , x n和y1, y2 , , yn
均为1,2, ,n 的某一排列}.
(i)求M (3),M (4) ;
2 2 2 n(n +1)(2n +1)
(ii)若 n 4 ,求M (n) .(提示:1 + 2 + + n = .)
6
数学试题 第4页(共 4 页)
宁波市 2023 学年第二学期高考模拟考试
高三数学参考答案
一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的。
1.A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 7.C 8.D
二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要
求。全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分。
9.BC 10.ACD 11.ABD
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。
1
12.15 13.9 14. (1,+ )
e
四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(1)法一:连结 NP 交 BC 于点 R ,连结 A1R ,
点Q是 A1N 中点,点 P 是 NR 中点,
PQ 是△NRA1 的中位线,即 PQ // RA1 ,
又 PQ 平面 A1BC , RA1 平面 A1BC ,
PQ // 平面 A1BC .-------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
法二:取 A1B1中点M ,连结MQ , PM .
P为 B1C 的中点,M 为 A1B1中点, PM // A1C ,
又 PM 平面 A1BC , PM // 平面 A1BC ,
Q是 A1N 的中点, QM // BC ,
又 QM 平面 A1BC , QM // 平面 A1BC ,
又 PM QM = M , 平面 PQM //平面 A1BC ,
PQ // 平面 A1BC .-------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
法三:由题意,以 A原点,以 AC , AB , AA 所在直线分别为 x1
轴, y 轴, z 轴,建立如图所示空间直角坐标系 A xyz .
A (0,0,2 2) , B(0,2,0),C(2,0,0),1 B1(0,2,2 2) ,C1(2,0,2 2),
1 1
N (1,1,2 2), P(1,1, 2),Q , , 2 2 , A1B = (0,2, 2 2) ,
2 2
1 1
BC = (2, 2,0) , PQ = , , 2 ,
2 2
设平面 A1BC 的法向量 n = (x, y, z) ,
A 1B n = 0 2y 2 2z = 0
,不妨令 z =1,则 x = 2 , y = 2 , n = ( 2, 2,1), PQ n = 0,
BC n = 0 2x 2y = 0
PQ // 平面 A1BC .-------------------------------------------------------------------------------------------------5 分
(2)法一:由(1)可得 A P = (1,1, 2) ,设 A1P 与平面 A1BC 所成角为 , 1
A1P n 2 10 10
则 sin = cos A1P,n = = = ,即 A1P 与平面 A1BC 所成角的正弦值为 .
A P n 2 5 10 101
法二: A1C = A1B , R 为 BC 中点, A1R ⊥ BC ,
N , R 分别为 B1C1 和 BC 的中点, BB1// NR,
又 BB1 ⊥ BC , NR ⊥ BC ,
NR 平面 A1PR , A1R 平面 A1PR , NR A1R = R, BC ⊥平面 A1PR ,
BC 平面 A 1BC , 平面 A1PR ⊥平面 A1BC ,
过点 P 作 A1R 的垂线 PH ,
PH ⊥ A1R ,平面 A1PR 平面 A1BC = A1R ,
PH ⊥平面 A1BC ,即 PA1H = PA1R为 A1P 与平面 A1BC 所成角的平面角.
A1B1 = A1C1 = 2, N 是 B1C1 的中点, A1N = 2 ,
BB1= NR = 2 2 , NP = PR = 2 ,
由勾股定理,得 A1P = A1N
2 + NP2 = 2, A 21R = A1N + NR
2 = 10 ,
A P2 + A R2 PR2 4 +10 2 3 10 10
cos PA1H = cos PA1R =
1 1 = = , sin PA .
2A P A R 10 1
R =
1 1 2 2 10 10
10
即 A1P 与平面 A1BC 所成角的正弦值为 .------------------------------------------------------------------13 分
10
16.(1)从 7 个自然数中任意选三个共有C37 = 35种选择,恰有一个偶数的情况有C
2 1
4 C3 =18种,
18
故概率为 .-----------------------------------------------------------------------------------------------------------6 分
35
(2)当 X = 2时,共有 5 种;
当 X =1时,共有 20 种;
当 X = 0 时,共有 10 种;
X 的分布列如下:
X 0 1 2
2 4 1
P
7 7 7
4 1 6
所以 E(X ) = 1+ 2 = .----------------------------------------------------------------------------------------15 分
7 7 7
x 2x +1
17. (1)已知 f (x) = ln (x +1) 1 ( )+ x2 x ,则 f (x) = + 2x 1= , x 1,
x +1 x +1
1
所以当 x 1, 时, f (x) 0, f ( x)单调递增;
2
1
当 x ,0 时, f (x) 0, f ( x)单调递减;
2
当 x (0,+ )时, f (x) 0, f ( x)单调递增. -------------------------------------------------------------5 分
(2)法一:因为 f (x) = ln(1+ x)+ ax2 x
1 2ax2 + (2a 1)x x(2ax + 2a 1)
所以 f (x) = + 2ax 1= = .
1+ x 1+ x 1+ x
设 g(x) = 2ax + 2a 1,
当 a 0时, g(x) 0,所以 f (x) 0 ,所以 f (x) 在[0,+ ) 上单调递减,
所以 f (x) f (0) = 0 ,不合题意.
1 1 2a
当 0 a 时,令 g (x) = 0 ,得 x = ,
2 2a
1 2a 1 2a
所以当 x 0, 时, g (x) 0,即 f (x) 0 ,所以 f (x)在 0, 上单调递减,
2a 2a


1 2a
所以 f f (0) = 0,矛盾!
2a
1
当 a 时, g (x) 0, f (x) 0 ,所以 f (x)在[0,+ ) 上单调递增,
2
所以 f (x) f (0) = 0 .
1
综上, a ,+ .------------------------------------------------------------------------------------------------10 分
2
1 1
法二: f (x) = + 2ax 1, f (x) = + 2a2 ,
x +1 (x +1)
因为任意 x 0 ,都有 f (x) 0 恒成立,且 f (0) = f (0) = 0,
1
所以 f (0) = 2a 1 0,即 a ;
2
1 1 1
另一方面,当a 时, f (x) = + 2a 1 02 2 ,
2 (x +1) (x +1)
所以 f ( x)在 0,+ )上单调递增,所以 f (x) f (0) = 0,
所以 f ( x)在 0,+ )上单调递增,所以 f (x) f (0) = 0 ;
1
综上,a ,+ .------------------------------------------------------------------------------------------------10 分
2
1 1
(3)由(2)知,取a = ,则 f (x) = ln (x +1)+ x2 x 0 ,
2 2
1 1 1 1 2k 1
令 x = ,有 ln 1+ ,即 2 ln (k +1) ln k 2 , k k k 2k k 2
n n 2k 1 3 5 2n 1
所以 2 ln (k +1) ln k ,即1+ + + + 2ln (n +12 ) .----------------------------15 2 2 2 分
k=1 k=1 k 2 3 n
x2
18. (1)设椭圆上的点C(x, y) 满足 + y2 =1,
m + 2
2
CP = x2 + (y +1)2 = (1+m) y2 + 2y + (3+m),
设 f (y) = (1+m) y2 + 2y + (3+m), y 1,1 .
1
1 m 0,二次函数开口向下,对称轴 y = 1,
m +1
1
2
m + 4m + 4 16 2
f (y)max = f = = ,解得m = 2或m = ,
m +1 m +1 3 3
x2
m 0 , m = 2.即椭圆 E : + y2 =1.--------------------------------------------------------------------6 分
4
(2)法一:设直线 AB : y = kx + 2, A(x1, y1 ), B (x2 , y2 ),
由于对称性,不妨设 k 0,此时 x1 x ,直线 AP , BQ2 的斜率分别为 k1 , k2 .
y = kx + 2
2
联立椭圆方程得, (4k +1) x2 +16kx +12 = 0,
x2 2 + 4y = 4
3
= 256k 2 48(4k 2 +1) = 64k 2 48 0 k 2 ,
4
16k
x1 + x2 = , 4k 2 +1
由韦达定理得,
12x1x 2
= ,
4k
2 +1
y = k1x 1
1 k
AP : y = k1x 1, BQ : y = k2x + ,联立得 1 (k1 k2 ) y =
1 + k2 ,
2 y = k2x + 2
2
5
因为直线 AP 与直线 BQ交于直线 y = 上一点,
4
1
5 k y
所以 (k k ) = 1 + k ,化简得 k = 3k ,即 y1 +1 21 2 2 1 2
4 2 = 3
2 ,
x1 x2
kx1 + 3 6kx2 + 9
化简得 = 4kx1x2 + 9x1 6x2 = 0,
x1 2x2
8k + 2 4k 2 3
x1 =
4k 2 +1
由求根公式可得,
8k 2 4k
2 3
x2 = 2
4k +1
48k 8k + 2 4k 2 3 8k 2 4k 2 3
代入得, + 9 6 = 0 4k = 5 4k 2 3 ,
4k 2 +1 4k 2 +1 4k 2 +1
16k 2 = 25(4k 2两边平方得, 3)
2 25 5 7 5 7
解得 k = ,即 k = 或 (舍去),
28 14 14
5 7 5 7
当 k = 时, AB : y = x + 2,
14 14
5 7 5 7
由对称性可知当 k = 时,亦满足条件,此时 AB : y = x + 2.
14 14
5 7 5 7
综上所述,直线 AB 的方程为 y = x + 2或 y = x + 2.--------------------------------------------17 分
14 14
法二:同法一可得 4kx1x2 + 9x1 6x2 = 0 ,
16k
x1 + x2 = , 4k 2 +1 48k
又由 可得 4kx1x2 = = 3(x2 1 + x2 ),
12 4k +1x
1
x2 = ,
4k
2 +1
x 3
所以 4kx1x2 + 9x1 6x2 = 3(x1 + x2 ) + 9x
1 =
1 6x2 = 6x1 9x2 = 0 ,所以 ,
x2 2
2
x x (x + x ) 64k 22 1 1 2 13
所以 + = 2 = 2 = ,
x1 x2 x
2
1x2 3(4k +1) 6
2 25 5 7 5 7
解得 k = ,即 k = 或 (舍去),
28 14 14
5 7 5 7
当 k = 时, AB : y = x + 2,
14 14
5 7 5 7
由对称性可知当 k = 时,亦满足条件,此时 AB : y = x + 2.
14 14
5 7 5 7
综上所述,直线 AB 的方程为 y = x + 2或 y = x + 2.--------------------------------------------17 分
14 14
法三:设直线 AB : y = kx + 2,直线 AP , BQ的斜率分别为 k1 , k2 .
y = k1x 1
1 k
AP : y = k1x 1, BQ : y = k2x + ,联立得 (k
1
1 1 k2 ) y = + k2 ,
2 y = k2x + 2
2
5
因为直线 AP 与直线 BQ交于直线 y = 上一点,
4
5 k
所以 (k1 k2 ) =
1 + k2,化简得 k1 = 3k2 ,
4 2
y = 3k2 x 1
联立 AP 与椭圆方程,得 (36k 22 +1) x2 24k2 2 2x = 0 ,
x + 4y = 4
24k2 36k
2
2 1 y 2 12k
2
x x = A 2
+1
P = 0, A , y = 3k x 1= , k = = , 36k 22 +1
A 2 A
36k 22 +1 xA 8k2
y = kx + 2
12k2 44k
2 +1
联立直线 AB 与直线 BQ方程,得 2 1 xB = 2 , yB = ,
y = k2x + 20k
2
2 +1 40k2 + 2
2
12k 44k 2
2 2
+1 12k 44k 2 +1
点 B 2 ,
2
在椭圆 E 上, x
2 2
B + 4yB = 4,即
2
+ 4
2
= 4, 2
20k2 +1 40k
2 + 2 20k 2 +1 40k 22 2 2 + 2
4 2 2 1 7 7化简得,112k2 + 24k2 1= 0,解得 k2 = ,即 k2 = 或 . 28 14 14
7 12k
2
2 +1 5 7 5 7当 k2 = 时, k = = , AB : y = x + 2;
14 8k2 14 14
2
7 12k2 +1 5 7 5 7当 k2 = 时, k = = , AB : y = x + 2.
14 8k2 14 14
5 7 5 7
综上所述,直线 AB 的方程为 y = x + 2或 y = x + 2.--------------------------------------------17 分
14 14
5
法四:设直线 AP 与直线 BQ交点 R a, ,直线 AB : y = kx + 2, A(x1, y1 ), B (x2 , y2 ),
4
9 3 1
AP : y = x 1, BQ : y = x + ,
4a 4a 2
12a
y = kx + 2 x1 = 9 4ak
联立直线 AP 与直线 AB ,得 9 ,
y = x 1 18 + 4ak
4a y
1
=
9 4ak
6a
y = kx + 2 x 2
=
3 4ak
联立直线 BQ与直线 AB ,得 3 1 ,
y = x + 6 2ak 4a 2 y =
2 3 4ak
2 2 12a 18 + 4ak
+ 4 = 4
x
2
1 + 4y
2
1 = 4 9 4ak 9 4ak
点 A(x1, y1 ), B (x2 , y2 )在椭圆 E 上,可得 ,
x 2 2
2 2
2 + 4y2 = 4 6a 6 2ak
+ 4 = 4
3 4ak 3 4ak
144a2
2 2
+ 4(18 + 4ak ) = 4(9 4ak ) ①
化简得 ,
2 2 2
36a + 4(6 2ak ) = 4(3 4ak ) ②
15 3 2 63
① 4 ②得, (15 + 4ak )(3+ 4ak ) = 0 ak = 或 (舍去),代入①,解得 a =
4 4 4
3 7 3 7
a1 = a2 = 2 2
解得 或 ,
5 7 5 7
k1 = k2 = 14 14
5 7 5 7
当 k1 = 时, AB : y = x + 2;
14 14
5 7 5 7
当 k2 = 时, AB : y = x + 2.
14 14
5 7 5 7
综上所述,直线 AB 的方程为 y = x + 2或 y = x + 2.--------------------------------------------17 分
14 14
19. (1)a b a c = (x1y1 + x2 y2 ) (x y + x y . 1 2 2 1) = (x1 x2 )(y1 y2 ) 0,所以a b a c
---------------------------------------------------------------------------------3 分
(2)(i)先求M (3) ,不妨设a = (1,2,3),b = (y1, y , y ) ,其中 y , y , y 1, 2,32 3 1 2 3 为 的排列.
所以a b = y1 + 2y2 + 3y3 = 2(y1 + y2 + y3)+ (y3 y1) =12+ y3 y . 1
而 y y 可取的值为 2, 1,故M (3) ={10,11,13,14}3 1 .
再求M (4),不妨设a = (1,2,3,4),b = (y1, y2 , y3, y ),其中 y1, y2 , y , y 为1, 2,3, 44 3 4 的排列.
3
当 y = 4时,a b =16+ i yi =16+12+ (y y )4 3 1 ,而 y3 y1可取 2, 1,故a b 可取
i=1
26,27,29,30;
3
当 y4 = 3时,a b =12+ i yi = 26+ (y3 y1) ,而 y3 y1可取 3, 2, 1,a b 可取
i=1
23,24,25,27,28,29;
3
当 y = 2时,a b = 8+ i yi = 24+ (y y )4 3 1 ,而 y3 y1可取 3, 2, 1,故a b 可取
i=1
21,22,23,25,26,27;
3
当 y =1时,a b = 4+ i y = 22+ (y y )4 i 3 1 ,而 y3 y1可取 2, 1,故a b 可取20,21,23,24;
i=1
综上M (4) ={20,21, ,30} -----------------------------------------------------------------------------------------9 分
(ii)方法一:
由(1)可得,若存在 xi x j , yi y j ,则不妨交换 yi , y j ,则 a b会变大.
不妨设 a = (1,2,3, ,n),则
n(n +1)(n + 2) n(n +1)(2n +1)
b = (n,n 1, ,1)时, a b = 最小;b = (1,2, ,n)时, a b = 最大.
6 6
n(n +1)(n + 2) n(n +1)(2n +1)
所以M (n) 中的元素均属于集合 S(n) = , .
6 6
设 an 表示集合{x | x S(n)且x M (n)}的元素个数,即an =| S(n) | | M (n) |( | A |表示集合 A
的元素个数)
下证 an = 0(n 4) .
当 n = 4时,由(2)知 a4 = 0 .
我们考虑 a 及M (n +1)n+1 .
(n +1)(n + 2)(n +3) (n +1)(n + 2)(2n + 3)
因为M (n +1)中的最小元素为 ,最大元素为 ,即
6 6
M (n +1)中的元素均在 S(n +1)中.
设 a = (1,2, ,n,n +1),b = (y , y , y ,n +1) ,其中 y1, y2 , , yn 为1,2, ,n的任一排列, 1 2 n
则 a b 可能取值为B(n+1) ={x + (n+1)
2 | x M (n)},即 a b 恰好没有覆盖到集合
(n +1)(n2 +8n + 6) (n +1)(n + 2)(2n +3)
C(n +1) = , 中的an 个元素.
6 6
当 a = (1,2, ,n,n +1),b = (n +1, y , y , y ) ,其中 y1, y2 , , y 1,2, ,nn 为 的任一排列, 1 n 1 n
n n(n +1) n (n +1)(n + 2) n
则 a b = n +1+ (i +1)yi = n +1+ + i yi = + i yi
i=1 2 i=1 2 i=1
(n +1)(n + 2)
故 a b 可能取值为D(n +1) = x + | x M (n) ,即a b 恰好没有覆盖到集合
2
(n +1)(n + 2)(n + 3) (n +1)(n2 + 2n+3)
E(n +1) = , 中 an 个元素.
6 3
又因为当n 4时,
(n+1)(n+ 2)(n+3) (n+1)(n2 +8n+ 6) (n+1)(n2 + 2n+3) (n+1)(n+ 2)(2n+3)

6 6 3 6
(n +1)(n + 2)(n + 3) (n +1)(n + 2)(2n +3)
即C(n +1) E(n +1) = , = S(n +1) .
6 6
又 B(n +1) D(n +1) M (n +1) C(n +1) E(n +1) = S(n +1) ,
故M (n +1)不覆盖集合 S(n +1)的元素至多有 2 an 个,故an+1 2an ,又因为a4 = 0,所以
a5 = a6 = = an = 0 ,
n(n +1)(n + 2) n(n +1)(2n +1)
所以M (n) = k Z | k .-----------------------------------------------17 分
6 6
n(n +1)(n + 2) n(n +1)(2n +1)
(ii) 方法二:猜想M (n) = k Z | k
6 6
证明:(对 n进行归纳)当 n = 4时,命题成立,
k(k +1)(k + 2) k(k +1)(k + 2) k(k +1)(2k +1)
假设 n = k , k 4时,命题成立,即M (k) = , +1, , .
6 6 6
则 n = k +1时,不妨设 a = (1,2,3, ,k +1) ,
(k +1)(k + 2)(2k + 3)
同法一,可知当b = (1,2, ,k +1) 时, a b = 最大;
6
(k +1)(k + 2)(k + 3)
当 b = (k +1,k, ,1)时, a b = 最小.
6
(k +1)(k + 2)(k + 3) (k +1)(k + 2)(2k + 3)
下证:M (k +1) 中包含 , 中的所有整数.
6 6
当 b = (y , y y , y , , y 1,2, ,k . 1 2 , , yk ,k +1)时,其中 1 2 k 为 的任意排列
由归纳假设知,此时a b 可能取值为 A ={x + (k +1)
2 | x M (k)},
(k +1)(k 2 + 8k + 6) (k +1)(k + 2)(2k + 3)
即包含 , 内的所有整数.
6 6
当 b = (k +1, y1, y2 , , y )时,其中 y1, y2 , , yk 为1,2, ,kk 的任意排列,
k k(k +1) k
此时 a b = k +1+ (i +1)yi = k +1+ + i yi .
i=1 2 i=1
(k +1)(k + 2)
由归纳假设知,a b 可能取值为 B = x + | x M (k) ,
2
(k +1)(k + 2)(k + 3) (k +1)(k 2 + 2k+3)
即包含 , 内的所有整数.
6 3
(k +1)(k 2 + 2k+3) (k +1)(k 2 + 8k + 6)
而当 k 4时, ,所以n = k +1时,命题成立.
3 6
n(n +1)(n + 2) n(n +1)(2n +1)
所以 n 4时,M (n) = k Z | k .--------------------------------17 分
6 6

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