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2024年广东省湛江市廉江市中考一模数学试题
1．（2024九下·廉江模拟）下列四个数中，负整数是（　　）
A．2024 B． C．0 D．
2．（2024九下·廉江模拟）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·廉江模拟）九（2）班大部分学生的年龄都是15周岁，这里的15周岁指的是九（2）班全体学生年龄的（　　）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
4．（2024九下·廉江模拟）如图，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·廉江模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九下·廉江模拟）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·廉江模拟）一元一次不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·廉江模拟）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
9．（2024九下·廉江模拟）如图，四边形是菱形，过点作交对角线于点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·廉江模拟）如图，在正方形中，．则下列结论：①；②；③连接，若的面积为，则的长为5．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
11．（2024九下·廉江模拟）因式分解： =　 　．
12．（2024九下·廉江模拟）如图1，这是某公园里采用的六角形空窗，其轮廓是一个正六边形，图2是该六角形空窗的示意图，则它的内角和为　 　．
13．（2024九下·廉江模拟）若，则以为边长的等腰三角形的周长为　 　．
14．（2024九下·廉江模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则点的坐标为　 　．
15．（2024九下·廉江模拟）如图，是的直径，，是外的一点，是线段的中点，连接交于点，且满足四边形是矩形，则阴影部分的面积为　 　．
16．（2024九下·廉江模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
17．（2024九下·廉江模拟）如图，在中，，．
（1）用尺规作图法作的平分线，交于点，交的延长线于点．（标明字母，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，求的长．
18．（2024九下·廉江模拟）安铺镇是广东四大古镇之一，它始建于明代1444年，迄今为止已有500多年的历史．九（1）班的小明要测量安铺镇文阁塔的高度，如图，小明在文阁塔前的平地上选择一点A，在点A和文阁塔之间选择一点，测得，用测角仪在处测得文阁塔顶部的仰角为，在处测得仰角为，已知测角仪的高．请你帮小明计算出文阁塔的高度．（结果保留根号）
19．（2024九下·廉江模拟）在美丽的泉州，流行一种簪花，色彩绚丽美观，展现了人们的朴素美与对生活的热爱，簪花文化的传播，也带动了簪花的销售．某商店购进一批成本为每件30元的簪花，销售时单价不低于成本价，且不高于50元，据市场调查分析发现，该簪花每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，且当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件．
（1）求出y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价定为多少时，才能使销售该种簪花每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？
20．（2024九下·廉江模拟）综合与实践
主题：研究旋转的奥妙．
素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍．
步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端A与等边三角形的顶点重合，点在上（不与点重合），将木棍绕点顺时针方向旋转，得到线段，点A的对应点为，连接．
猜想与证明：
（1）直接写出线段与线段的数量关系．
（2）证明（1）中你发现的结论．
21．（2024九下·廉江模拟）环保是当今社会人们最关注的话题之一，某校为了解碳中和、食品安全等知识的普及情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：A．不了解；B．了解较少；C．了解；D．非常了解．并将调查结果绘制成了以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图，回答下列问题．
（1）本次共抽取了______名学生，并根据调查信息补全条形统计图．
（2）若该校共有1600名学生，估计“非常了解”的学生共有______名．
（3）在被调查的“非常了解”的学生中，有四名学生（2名男生和2名女生）来自九（1）班，班主任想从这四名学生中任选两名去参加环保知识竞赛．请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
22．（2024九下·廉江模拟）综合探究
如图1，是的内接三角形，是上的一点，连接交于点，点在上，满足，交于点，，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，为的直径，设，当的长为2时，求的长．
23．（2024九下·廉江模拟）已知抛物线．
（1）写出抛物线的对称轴：______．
（2）将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，且抛物线经过点和点（点在点的左侧），若的面积为4，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，，分別过点，的两条直线，交于点，且，与轴不平行，当直线，与抛物线均只有一个公共点时，请说明点在一条定直线上．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解：A、2024是正整数，故A不符合题意；
B、-3.14是负分数，故B不符合题意；
C、0既不是正数也不是负数，故C不符合题意；
D、-3是负整数，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用正整数、负整数和0统称为整数，观察各选项中的数字，可得答案.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：∵九（2）班大部分学生的年龄都是15周岁，
∴这里的15周岁指的是九（2）班全体学生年龄的众数.
故答案为：B.
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此可得答案.
4．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a5-a3不能合并，故A不符合题意；
B、a4·a3=a7，故B符合题意；
C、a6÷a2=a4，故C不符合题意；
D、（a2）3=a6，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对C作出判断；利用幂的乘方法则，可对D作出判断.
6．【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：、根据数轴可知，此选项判断错误，不符合题意；
、根据数轴可知，，则，此选项判断错误，不符合题意；
、根据数轴可知，，则，此选项判断错误，不符合题意；
、根据数轴可知，，则，此选项判断正确，符合题意；
故答案为：．
【分析】根据数轴分别判断各选项的正负，然后比较即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得：2x＜4，
解之：x＜2；
由②得：x≥-1，
∴不等式组的解集为-1≤x＜2.
故答案为：C.
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集.
8．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程有实数根，
∴
解之：，
∴k的取值范围为k≥-1且k≯0.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程的定义可得到k≠0，再根据此方程有两个实数根，可得到b2-4ac≥0，可得到关于k的不等式组，然后求出k的取值范围.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理求得的长，然后利用等面积法可求得的长，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
．
，即，
，
，
，故①正确；
在与中，
，
，故②正确；
设，则，
，
，解得或，
或．
，
或，故③错误．
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质得到，，即可证明，进而判断①；证明出，即可判断②；设，则，然后由代数求出或，然后利用勾股定理求出或，即可判断③．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解 ：原式=x ( x 2 )
【分析】多项式各项都有公因式x，利用提公因式法直接提出公因式，再将各项剩下的商式写在一起作为一个因式。
12．【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：该正六边形的内角和为．
故答案为：．
【分析】根据正多边形内角和即可求出答案.
13．【答案】27
【知识点】等腰三角形的性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴m-5=0且n-11=0，
解之：m=5，n=11，
∵2m=10＜11，
∴m不能为腰，
∴腰长为11，底边长为5，
∴这个等腰三角形的周长为11×2+5=27.
故答案为：27.
【分析】利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，再利用三角形的三边关系定理，可得到m不能为腰，则腰长为11，底边长为5，然后求出等腰三角形的周长.
14．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵直线与反比例函数的图象交于点，，
∴，
∴，解得：，
∴，
联立反比例函数得，
，解得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】将点A坐标代入反比例函数解析式可得m=4，再根据待定系数法将点A坐标代入直线解析式可得，联立反比例函数解析式，解方程即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；扇形面积的计算；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】根据矩形性质可得，，再根据线段之间的关系可得，根据正方形判定定理可得矩形是正方形，则，再根据，结合三角形及扇形面积即可求出答案.
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据0指数幂，特殊角的三角形函数值及绝对值的性质化简计算即可求出答案.
（2）先通分计算括号里的，再因式分解约分，约到最简代入求解即可得到答案；
17．【答案】（1）解：以D为圆心画圆弧分别交，交于一点，再分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接点与交于一点即为N点，如图，即为所求，
；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
平分，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以D为圆心画圆弧分别交，交于一点，再分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接点与即可得到答案；
（2）根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
18．【答案】解：如图，延长交于点，如图所示：
，
由题意，得，，，
，，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
答：文阁塔的高度是．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长交于点，根据三角形外角性质可得，则，即，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）解：该簪花每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，
设y与x之间的函数关系式为，
当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件，
，解得，
设y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题知：
，
，
时，随的增大而增大，
又，
当时，有最大值为（元），
当销售单价为50元时，该商店获得的利润最大，最大利润为1200元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，根据待定系数法将点(35，90)，(45，70)代入关系式即可求出答案.
（2）根据利润（售价成本）销售量，可用x表达利润w，再利用二次函数的最值问题求解即可．
20．【答案】（1）
（2）证明：如图，连接．
由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，．
是等边三角形，
，，
，
，
即．
在和中，
，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）通过观察，测量，猜想等方式即可得到.
（2）连接，根据旋转性质可得，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，再根据等边三角形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
21．【答案】（1）100，
组人数为（人）
补全条形统计图如下：
（2）320
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能情况，其中被选中的两人恰好是一男一女的情况有8种，
被选中的两人恰好是一男一女的概率为．

【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人）
（2）（人）
∴估计“非常了解”的学生共有320人；
【分析】（1）首先根据C组的人数和所占的百分比求出总人数，然后求出B组人数，进而补全统计图即可；
（2）用1600乘以“非常了解”所占的比例即可；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出被选中的两人恰好是一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：，，，
；
（2）解：由（1），得
在和中
；
（3）解：
，
，
是的直径
与所对的圆心角的度数之比为
与的长度之比为
的长为2
的长为3．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，即，即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（3）根据全等三角形性质可得，，再根据三角形内角和定理可得，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，即与所对的圆心角的度数之比为，再根据圆心角，弧，弦之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）
（2）解：∵抛物线平移到顶点是坐标原点O，得到抛物线，
∴可设抛物线的解析式为：
∵点有抛物线上，
∴
解得：．
∴抛物线的解析式为：．
∵点B在抛物线上，且在点A的左侧，
∴设点B的坐标为且，
如图，过点分别作x轴的垂线，垂足为点．
∵
又
∴
解得：
∴（不合题意，舍去），则
∴．

（3）解：设，联立方程组
整理得：，
∴
设过点M的直线解析式为，联立得方程组
整理得．①
∵过点M的直线与抛物线只有一个公共点，
∴
∴．
∴由①式可得：
解得：．
∴．
∴过M点的直线的解析式为．
用以上同样的方法可以求得：过N点的直线的解析式为
联立上两式可得方程组
解得
∵
∴
∴点P在定直线上．（如图）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：．
故答案为：．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可求出答案.
（2）根据函数平移性质设抛物线的解析式为：，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得抛物线的解析式为：，设点B的坐标为，过点分别作x轴的垂线，垂足为点，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设，联立直线与抛物线解析式，根据二次方程根与系数的关系可得，设过点M的直线解析式为，联立抛物线解析式，根据只有一个交点，可得方程只有一个解，则判别式，解方程可得过M点的直线的解析式为，同理可得过N点的直线的解析式为，联立两直线方程，解方程即可求出答案.
1 / 12024年广东省湛江市廉江市中考一模数学试题
1．（2024九下·廉江模拟）下列四个数中，负整数是（　　）
A．2024 B． C．0 D．
【答案】D
【知识点】有理数的分类
【解析】【解答】解：A、2024是正整数，故A不符合题意；
B、-3.14是负分数，故B不符合题意；
C、0既不是正数也不是负数，故C不符合题意；
D、-3是负整数，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用正整数、负整数和0统称为整数，观察各选项中的数字，可得答案.
2．（2024九下·廉江模拟）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会项目图标中，轴对称图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
3．（2024九下·廉江模拟）九（2）班大部分学生的年龄都是15周岁，这里的15周岁指的是九（2）班全体学生年龄的（　　）
A．方差 B．众数 C．中位数 D．平均数
【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：∵九（2）班大部分学生的年龄都是15周岁，
∴这里的15周岁指的是九（2）班全体学生年龄的众数.
故答案为：B.
【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此可得答案.
4．（2024九下·廉江模拟）如图，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
5．（2024九下·廉江模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、a5-a3不能合并，故A不符合题意；
B、a4·a3=a7，故B符合题意；
C、a6÷a2=a4，故C不符合题意；
D、（a2）3=a6，故D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对C作出判断；利用幂的乘方法则，可对D作出判断.
6．（2024九下·廉江模拟）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：、根据数轴可知，此选项判断错误，不符合题意；
、根据数轴可知，，则，此选项判断错误，不符合题意；
、根据数轴可知，，则，此选项判断错误，不符合题意；
、根据数轴可知，，则，此选项判断正确，符合题意；
故答案为：．
【分析】根据数轴分别判断各选项的正负，然后比较即可求出答案.
7．（2024九下·廉江模拟）一元一次不等式组的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
由①得：2x＜4，
解之：x＜2；
由②得：x≥-1，
∴不等式组的解集为-1≤x＜2.
故答案为：C.
【分析】分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集.
8．（2024九下·廉江模拟）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于的一元二次方程有实数根，
∴
解之：，
∴k的取值范围为k≥-1且k≯0.
故答案为：D.
【分析】利用一元二次方程的定义可得到k≠0，再根据此方程有两个实数根，可得到b2-4ac≥0，可得到关于k的不等式组，然后求出k的取值范围.
9．（2024九下·廉江模拟）如图，四边形是菱形，过点作交对角线于点．若，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理求得的长，然后利用等面积法可求得的长，再根据勾股定理可得OC，再根据边之间的关系即可求出答案.
10．（2024九下·廉江模拟）如图，在正方形中，．则下列结论：①；②；③连接，若的面积为，则的长为5．其中正确的结论是（　　）
A．①② B．①②③ C．①③ D．②③
【答案】A
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
．
，即，
，
，
，故①正确；
在与中，
，
，故②正确；
设，则，
，
，解得或，
或．
，
或，故③错误．
故答案为：A．
【分析】根据正方形的性质得到，，即可证明，进而判断①；证明出，即可判断②；设，则，然后由代数求出或，然后利用勾股定理求出或，即可判断③．
11．（2024九下·廉江模拟）因式分解： =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解 ：原式=x ( x 2 )
【分析】多项式各项都有公因式x，利用提公因式法直接提出公因式，再将各项剩下的商式写在一起作为一个因式。
12．（2024九下·廉江模拟）如图1，这是某公园里采用的六角形空窗，其轮廓是一个正六边形，图2是该六角形空窗的示意图，则它的内角和为　 　．
【答案】
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由题意得：该正六边形的内角和为．
故答案为：．
【分析】根据正多边形内角和即可求出答案.
13．（2024九下·廉江模拟）若，则以为边长的等腰三角形的周长为　 　．
【答案】27
【知识点】等腰三角形的性质；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）
【解析】【解答】解：∵，
∴m-5=0且n-11=0，
解之：m=5，n=11，
∵2m=10＜11，
∴m不能为腰，
∴腰长为11，底边长为5，
∴这个等腰三角形的周长为11×2+5=27.
故答案为：27.
【分析】利用几个非负数之和为0，则每一个数都为0，可得到关于m，n的方程组，解方程组求出m，n的值，再利用三角形的三边关系定理，可得到m不能为腰，则腰长为11，底边长为5，然后求出等腰三角形的周长.
14．（2024九下·廉江模拟）如图，直线与反比例函数的图象交于点，，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵直线与反比例函数的图象交于点，，
∴，
∴，解得：，
∴，
联立反比例函数得，
，解得：，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】将点A坐标代入反比例函数解析式可得m=4，再根据待定系数法将点A坐标代入直线解析式可得，联立反比例函数解析式，解方程即可求出答案.
15．（2024九下·廉江模拟）如图，是的直径，，是外的一点，是线段的中点，连接交于点，且满足四边形是矩形，则阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；扇形面积的计算；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴矩形是正方形，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】根据矩形性质可得，，再根据线段之间的关系可得，根据正方形判定定理可得矩形是正方形，则，再根据，结合三角形及扇形面积即可求出答案.
16．（2024九下·廉江模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据0指数幂，特殊角的三角形函数值及绝对值的性质化简计算即可求出答案.
（2）先通分计算括号里的，再因式分解约分，约到最简代入求解即可得到答案；
17．（2024九下·廉江模拟）如图，在中，，．
（1）用尺规作图法作的平分线，交于点，交的延长线于点．（标明字母，保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，求的长．
【答案】（1）解：以D为圆心画圆弧分别交，交于一点，再分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接点与交于一点即为N点，如图，即为所求，
；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
，
平分，
，
，
，
．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以D为圆心画圆弧分别交，交于一点，再分别以两点为圆心画圆弧交于一点，连接点与即可得到答案；
（2）根据平行四边形性质可得，则，再根据角平分线定义可得，则，再根据等角对等边即可求出答案.
18．（2024九下·廉江模拟）安铺镇是广东四大古镇之一，它始建于明代1444年，迄今为止已有500多年的历史．九（1）班的小明要测量安铺镇文阁塔的高度，如图，小明在文阁塔前的平地上选择一点A，在点A和文阁塔之间选择一点，测得，用测角仪在处测得文阁塔顶部的仰角为，在处测得仰角为，已知测角仪的高．请你帮小明计算出文阁塔的高度．（结果保留根号）
【答案】解：如图，延长交于点，如图所示：
，
由题意，得，，，
，，
是的一个外角，
，
，
，
在中，，
，
答：文阁塔的高度是．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长交于点，根据三角形外角性质可得，则，即，再根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．（2024九下·廉江模拟）在美丽的泉州，流行一种簪花，色彩绚丽美观，展现了人们的朴素美与对生活的热爱，簪花文化的传播，也带动了簪花的销售．某商店购进一批成本为每件30元的簪花，销售时单价不低于成本价，且不高于50元，据市场调查分析发现，该簪花每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，且当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件．
（1）求出y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价定为多少时，才能使销售该种簪花每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：该簪花每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，
设y与x之间的函数关系式为，
当销售单价为35元时，可销售90件；当销售单价为45元时，可销售70件，
，解得，
设y与x之间的函数关系式为；
（2）解：由题知：
，
，
时，随的增大而增大，
又，
当时，有最大值为（元），
当销售单价为50元时，该商店获得的利润最大，最大利润为1200元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，根据待定系数法将点(35，90)，(45，70)代入关系式即可求出答案.
（2）根据利润（售价成本）销售量，可用x表达利润w，再利用二次函数的最值问题求解即可．
20．（2024九下·廉江模拟）综合与实践
主题：研究旋转的奥妙．
素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍．
步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端A与等边三角形的顶点重合，点在上（不与点重合），将木棍绕点顺时针方向旋转，得到线段，点A的对应点为，连接．
猜想与证明：
（1）直接写出线段与线段的数量关系．
（2）证明（1）中你发现的结论．
【答案】（1）
（2）证明：如图，连接．
由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，．
是等边三角形，
，，
，
，
即．
在和中，
，
，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）通过观察，测量，猜想等方式即可得到.
（2）连接，根据旋转性质可得，，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，再根据等边三角形性质可得，，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
21．（2024九下·廉江模拟）环保是当今社会人们最关注的话题之一，某校为了解碳中和、食品安全等知识的普及情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：A．不了解；B．了解较少；C．了解；D．非常了解．并将调查结果绘制成了以下两幅不完整的统计图．
请根据统计图，回答下列问题．
（1）本次共抽取了______名学生，并根据调查信息补全条形统计图．
（2）若该校共有1600名学生，估计“非常了解”的学生共有______名．
（3）在被调查的“非常了解”的学生中，有四名学生（2名男生和2名女生）来自九（1）班，班主任想从这四名学生中任选两名去参加环保知识竞赛．请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）100，
组人数为（人）
补全条形统计图如下：
（2）320
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能情况，其中被选中的两人恰好是一男一女的情况有8种，
被选中的两人恰好是一男一女的概率为．

【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（人）
（2）（人）
∴估计“非常了解”的学生共有320人；
【分析】（1）首先根据C组的人数和所占的百分比求出总人数，然后求出B组人数，进而补全统计图即可；
（2）用1600乘以“非常了解”所占的比例即可；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出被选中的两人恰好是一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
22．（2024九下·廉江模拟）综合探究
如图1，是的内接三角形，是上的一点，连接交于点，点在上，满足，交于点，，连接．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图2，为的直径，设，当的长为2时，求的长．
【答案】（1）证明：，，，
；
（2）解：由（1），得
在和中
；
（3）解：
，
，
是的直径
与所对的圆心角的度数之比为
与的长度之比为
的长为2
的长为3．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，即，即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（3）根据全等三角形性质可得，，再根据三角形内角和定理可得，根据圆周角定理可得，再根据角之间的关系可得，即与所对的圆心角的度数之比为，再根据圆心角，弧，弦之间的关系即可求出答案.
23．（2024九下·廉江模拟）已知抛物线．
（1）写出抛物线的对称轴：______．
（2）将抛物线平移，使其顶点是坐标原点，得到抛物线，且抛物线经过点和点（点在点的左侧），若的面积为4，求点的坐标．
（3）在（2）的条件下，直线与抛物线交于点，，分別过点，的两条直线，交于点，且，与轴不平行，当直线，与抛物线均只有一个公共点时，请说明点在一条定直线上．
【答案】（1）
（2）解：∵抛物线平移到顶点是坐标原点O，得到抛物线，
∴可设抛物线的解析式为：
∵点有抛物线上，
∴
解得：．
∴抛物线的解析式为：．
∵点B在抛物线上，且在点A的左侧，
∴设点B的坐标为且，
如图，过点分别作x轴的垂线，垂足为点．
∵
又
∴
解得：
∴（不合题意，舍去），则
∴．

（3）解：设，联立方程组
整理得：，
∴
设过点M的直线解析式为，联立得方程组
整理得．①
∵过点M的直线与抛物线只有一个公共点，
∴
∴．
∴由①式可得：
解得：．
∴．
∴过M点的直线的解析式为．
用以上同样的方法可以求得：过N点的直线的解析式为
联立上两式可得方程组
解得
∵
∴
∴点P在定直线上．（如图）
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：．
故答案为：．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可求出答案.
（2）根据函数平移性质设抛物线的解析式为：，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得抛物线的解析式为：，设点B的坐标为，过点分别作x轴的垂线，垂足为点，根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设，联立直线与抛物线解析式，根据二次方程根与系数的关系可得，设过点M的直线解析式为，联立抛物线解析式，根据只有一个交点，可得方程只有一个解，则判别式，解方程可得过M点的直线的解析式为，同理可得过N点的直线的解析式为，联立两直线方程，解方程即可求出答案.
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