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第六章 圆
第27 讲 圆的基本性质
（思维导图+2考点+1命题点20种题型（含4种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 圆的相关概念
考点二 圆的基本性质
04题型精研·考向洞悉
命题点 圆的基本性质
题型01 圆的周长与面积问题
题型02 圆中的角度、线段长度的计算
题型03 利用垂径定理结合全等，相似综合求解
题型04 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标
题型05 垂径定理在格点中的应用
题型06 垂径定理的实际应用
题型07 利用垂径定理求取值范围
题型08 利用弧，弦，圆心角的关系求解
题型09 利用弧，弦，圆心角的关系比较大小
题型10 利用弧，弦，圆心角的关系求最值
题型11 利用弧，弦，圆心角的关系证明
题型12 利用圆周角定理求解
题型13 利用圆内接四边形性质求角度
题型14 利用圆的有关性质解决多结论问题
题型15 利用圆的有关性质解决翻折问题
题型16 与圆有关的新定义问题
题型17 利用圆的有关性质解决最值问题
题型18 圆的基本性质与函数综合
题型19 与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距
题型20 与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
垂径定理 ★★ 探索圆周角与圆心角及其所对孤的关系； 知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等; 了解并证明圆周角定理及其推论; 探索并证明垂径定理.
圆周角定理 ★★★
圆内接四边形的性质 ★★
【考情分析】本专题的内容有理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，探索圆周角与圆心角的关系等，试题形式多样，难度不等，理解运用圆周角定理、垂径定理，掌握圆内接四边形的性质等相关内容，是解决有关圆的问题的基础. 【命题预测】在中考数学中，圆的基本性质在小题中通常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在简答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上. 在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在3-13分左右，属于中考中的中档考题. 所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 圆的相关概念
1.圆的定义
圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”.
确定圆的两个条件：①圆心（确定圆的位置）；②半径（确定圆的大小），两者缺一不可.
2.弦与直径
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
3.弧、半圆、优弧、劣弧、等弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的.
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
4.同圆、等圆、同心圆
同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆.
等圆：能够完全重合的圆叫做等圆.
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆
5.圆心角与圆周角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
6.弓形和扇形
弓形: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB和组成两个不同的弓形.
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，和半径OA，OB组成的图形是一个扇形，读作“扇形AOB”.
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）

A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
2．（2023·甘肃兰州·中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）

A． B． C． D．
3．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
4．（2022·青海·中考真题）如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·甘肃武威·中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文 释义
甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，．

(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．
考点二 圆的基本性质
1.圆的对称性
内容
圆的轴对称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性.
2.垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
3.圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
4.圆周角定理及圆周角定理的推论
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径.
5.圆内接四边形及其性质定理
圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补.
如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°
2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
如图，∠1=∠2
1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
3．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸．
4．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．

5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．

04题型精研·考向洞悉
命题点一 圆的基本性质
题型01 圆的周长与面积问题
1．（2023·湖南·中考真题）毛主席在《七律二首 送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 万里．
2．（2022·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．
3．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
题型02 圆中的角度、线段长度的计算
1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
2．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·西藏·中考真题）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
题型03 利用垂径定理结合全等，相似综合求解
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．
(1)如图1，若，，求的半径；
(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）
2．（2024·重庆·中考真题）如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ．
3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
题型04 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标
1．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 ．
2．（2024·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆心在坐标原点、半径为4的圆被直线所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为（　　）
A． B． C． D．
题型05 垂径定理在格点中的应用
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹．
(1)在图中作出弧的中点D．
(2)连结，作出的角平分线．
(3)在上作出点P，使得．
2．（2024·湖北·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过格点A，B，点C为与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)画出该圆的圆心O，并画弦，使平分；
(2)先将弦绕点A顺时针旋转得到线段，再在圆上画点E，使．
3．（2024·山东潍坊·模拟预测）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，M，N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连结，则所有满足的中，求边的长的最大值．
题型06 垂径定理的实际应用
1．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·湖南·中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）

问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）
3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续完成长的计算．
参考数据：，，，，，．
题型07 利用垂径定理求取值范围
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在半径为5的⊙О中，弦、在圆心О的同侧，，，则关于的取值所在范围正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·广东佛山·二模）如图，的半径为，弦，是弦上的一个动点，则的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． 如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ．
题型08 利用弧，弦，圆心角的关系求解
遇到与圆周角，圆心角有关角度计算时，通过辅助线
1）作同弧所对的两个圆周角；
2）作同弧所对的一个圆心角，一个圆周角；
3）连接多个半径，构造等腰三角形.
题型09 利用弧，弦，圆心角的关系比较大小
1．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系无法比较
2．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A． B． C． D．a，b大小无法比较
3．（2024·湖北襄阳·一模）在中，弦．
(1)如图1，比较与的长度，并证明你的结论．
(2)如图2，为的直径，过点作的切线与的延长线交于点，若，，求阴影部分的面积．
4．（2022·河北秦皇岛·一模）如图，在扇形AOB中，，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点．
(1)求证：；
(2)若C、D是AB的三等分点，：
①求；
②请比较GE和BE的大小．
题型10 利用弧，弦，圆心角的关系求最值
1．（2024·吉林·二模）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点，连接，．若，则阴影部分图形周长的最小值为 （结果保留）．
2．（2022·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
A． B．6 C． D．
3．（2023·云南大理·一模）如图，在中，是的直径，，、为弧的三等分点，是上一动点，的最小值是 ．


4．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，D 为 上一点，且，连接，在绕点O旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ．
5．（2023·山西阳泉·二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，点M在⊙O上，，N是的中点，连接MN，P是直径AB上的动点，若弦，则PMN周长的最小值为 ．

题型11 利用弧，弦，圆心角的关系证明
1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
2．（2024·浙江·模拟预测）如图，是半径为的的直径，是的中点，连接交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图，作于点，交于点，射线交的延长线于点，若，求的长．
3．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
(3)求证：．
题型12 利用圆周角定理求解
1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ．
3．（2024·湖北·中考真题）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（ ）．
A．2 B． C． D．
题型13 利用圆内接四边形性质求角度
圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系.
1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．
(2)求证：①；②．
题型14 利用圆的有关性质解决多结论问题
1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论：①； ②； ③当，时，； ④当，时，的面积是． 上述结论中，正确结论的序号有 ．
2．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且．给出下面四个结论：①平分； ②； ③； ④为的切线．其中所有正确结论的序号是 ．
3．（2021·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．
4．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ．
题型15 利用圆的有关性质解决翻折问题
1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，将沿弦翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧上一点．已知， ，则的长为(　　)
A． B．6 C． D．
2．（2023·浙江金华·三模）在综合实践课上，小慧将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．
（1）若点E是弧的中点，则 ；
（2）若，则 ．（用关于n的代数式表示）
3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙中，点C为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点连接．若，，则（ ）
A． B． C． D．
题型16 与圆有关的新定义问题
1．（2020·山东临沂·中考真题）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为 ．
2．（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．
(1)如图，点，．
①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________；
②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________；
(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围．
题型17 利用圆的有关性质解决最值问题
1．（2021·四川达州·中考真题）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为 ．
2．（2020·河南·中考真题）如图，在扇形中，平分交弧于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为 ．
3．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为 ，最小值为 .
4．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在中，，垂足为．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
①______ ②______
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长．
题型18 圆的基本性质与函数综合
1．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ）

A．8 B．6 C．4 D．3
2．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由．
3．（2024·江西·中考真题）综合与实践
如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
4．（2021·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；
（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径．
题型19 与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距
有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE,弦长CD，拱高BE四个量知二推二.
1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于 cm．

2．（2022·上海·中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为 ．（结果保留）
3．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为 cm．
题型20 与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角
1．（2023·江苏·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ．
2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 ．

3．（2023·重庆·中考真题）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）

4．（2021·山东泰安·中考真题）若为直角三角形，，以为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 ．第六章 圆
第27 讲 圆的基本性质
（思维导图+2考点+1命题点20种题型（含4种解题技巧））
试卷第1页，共3页
01考情透视·目标导
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 圆的相关概念
考点二 圆的基本性质
04题型精研·考向洞悉
命题点 圆的基本性质
题型01 圆的周长与面积问题
题型02 圆中的角度、线段长度的计算
题型03 利用垂径定理结合全等，相似综合求解
题型04 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标
题型05 垂径定理在格点中的应用
题型06 垂径定理的实际应用
题型07 利用垂径定理求取值范围
题型08 利用弧，弦，圆心角的关系求解
题型09 利用弧，弦，圆心角的关系比较大小
题型10 利用弧，弦，圆心角的关系求最值
题型11 利用弧，弦，圆心角的关系证明
题型12 利用圆周角定理求解
题型13 利用圆内接四边形性质求角度
题型14 利用圆的有关性质解决多结论问题
题型15 利用圆的有关性质解决翻折问题
题型16 与圆有关的新定义问题
题型17 利用圆的有关性质解决最值问题
题型18 圆的基本性质与函数综合
题型19 与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距
题型20 与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角
01考情透视·目标导航
中考考点 考查频率 新课标要求
垂径定理 ★★ 探索圆周角与圆心角及其所对孤的关系； 知道同弧(或等弧)所对的圆周角相等; 了解并证明圆周角定理及其推论; 探索并证明垂径定理.
圆周角定理 ★★★
圆内接四边形的性质 ★★
【考情分析】本热点的内容有理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，探索圆周角与圆心角的关系等，试题形式多样，难度不等，理解运用圆周角定理、垂径定理，掌握圆内接四边形的性质等相关内容，是解决有关圆的问题的基础. 【命题预测】在中考数学中，圆的基本性质在小题中通常考察圆的基本概念、垂径定理、圆周角定理、圆内接四边形等基础考点，难度一般在中档及以下，而在简答题中，圆的基本性质还可以和相似、三角形函数、特殊四边形等结合出题，难度中等或偏上. 在整个中考中的占比也不是很大，通常都是一道小题一道大题，分值在3-13分左右，属于中考中的中档考题. 所以，考生在复习这块考点的时候，要充分掌握圆的基本性质的各个概念、性质以及推论，才能在后续的结合问题中更好的举一反三.
02知识导图·思维引航
03考点突破·考法探究
考点一 圆的相关概念
1.圆的定义
圆的定义[动态]:如图，在一个平面内线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆，其中，点O叫做圆心，线段OA叫做半径.
圆的定义[静态]:圆是到定点的距离等于定长的点的集合，其中，定点叫做圆心，定长叫做半径.
圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”.
确定圆的两个条件：①圆心（确定圆的位置）；②半径（确定圆的大小），两者缺一不可.
2.弦与直径
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.
直径：经过圆心的弦叫做直径.
3.弧、半圆、优弧、劣弧、等弧
弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，以为端点的弧记作，读作：“圆弧AB”或“弧AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个字母表示，如右图中的
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，如右图中的.
等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
4.同圆、等圆、同心圆
同圆：圆心相同且半径相等的圆叫做同圆.
等圆：能够完全重合的圆叫做等圆.
同心圆：圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆
5.圆心角与圆周角
圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
6.弓形和扇形
弓形: 由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形，如图，弦AB和组成两个不同的弓形.
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.如图所示，和半径OA，OB组成的图形是一个扇形，读作“扇形AOB”.
1．（2024·江苏连云港·中考真题）如图，将一根木棒的一端固定在O点，另一端绑一重物．将此重物拉到A点后放开，让此重物由A点摆动到B点．则此重物移动路径的形状为（ ）

A．倾斜直线 B．抛物线 C．圆弧 D．水平直线
【答案】C
【分析】本题考查动点的移动轨迹，根据题意，易得重物移动的路径为一段圆弧．
【详解】解：在移动的过程中木棒的长度始终不变，故点的运动轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，
故选：C．
2．（2023·甘肃兰州·中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】证明，可得，结合，C为的中点，可得．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，C为的中点，
∴，
故选A．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键．
3．（2023·江苏连云港·中考真题）如图，甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，下列叙述正确的是（ ）
A．只有甲是扇形 B．只有乙是扇形 C．只有丙是扇形 D．只有乙、丙是扇形
【答案】B
【分析】根据扇形的定义，即可求解．扇形，是圆的一部分，由两个半径和和一段弧围成．
【详解】解：甲是由一条直径、一条弦及一段圆弧所围成的图形：乙是由两条半径与一段圆弧所围成的图形；丙是由不过圆心O的两条线段与一段圆弧所围成的图形，
只有乙是扇形，
故选：B．
【点睛】本题考查了扇形的定义，熟练掌握扇形的定义是解题的关键．
4．（2022·青海·中考真题）如图所示，，，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求得OA的长，从而求出OC的长即可．
【详解】解：∵，
∴OA=，
∵，以点A为圆心，AB长为半径画弧交x轴负半轴于点C，
∴，
∴，
∵点C为x轴负半轴上的点，
∴C，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，勾股定理等知识，明确AB=AC是解题的关键．
5．（2022·甘肃武威·中考真题）中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编（图1），书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：
原文 释义
甲乙丙为定直角． 以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧； 以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己； 再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚； 乙与己及庚相连作线． 如图2，为直角． 以点为圆心，以任意长为半径画弧，交射线，分别于点，； 以点为圆心，以长为半径画弧与交于点； 再以点为圆心，仍以长为半径画弧与交于点； 作射线，．

(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据（1）完成的图，直接写出，，的大小关系．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）连接DF，EG，可得 和均为等边三角形，，进而可得．
【详解】（1）解：（1）如图：

（2）．
理由：连接DF，EG如图所示

则BD=BF=DF，BE=BG=EG
即和均为等边三角形
∴
∵
∴
【点睛】本题考查了尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．
考点二 圆的基本性质
1.圆的对称性
内容
圆的轴对称性 经过圆心任意画一条直线，并沿此直线将圆对折,直线两旁的部分能够完全重合，因此圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴.
圆的中心对称性 将圆绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心.将圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性.
2.垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
3.圆心角、弧、弦之间的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
4.圆周角定理及圆周角定理的推论
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=）
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径.
5.圆内接四边形及其性质定理
圆内接四边形：如果四边形的四个顶点均在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆.
圆内接四边形的性质：1）圆内接四边形对角互补.
如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180°
2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
如图，∠1=∠2
1．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：∵半径，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）下列叙述正确的是（ ）
A．顺次连接平行四边形各边中点一定能得到一个矩形
B．平分弦的直径垂直于弦
C．物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影
D．相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等
【答案】C
【分析】本题考查了矩形的判定，垂径定理，中心投影，弧、弦与圆心角的关系，根据相关定理逐项分析判断，即可求解．
【详解】A. 顺次连接平行四边形各边中点不一定能得到一个矩形，故该选项不正确，不符合题意；
B. 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故该选项不正确，不符合题意；
C. 物体在灯泡发出的光照射下形成的影子是中心投影，故该选项正确，符合题意；
D. 在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等，故该选项不正确，不符合题意；
故选：C．
3．（2023·山东东营·中考真题）《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之、深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用几何语言表达为：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，则直径长为 寸．
【答案】26
【分析】本题主要考查了垂径定理和勾股定理，设寸，则寸，由垂径定理得到寸，再由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：设寸，则寸，
，是直径，
寸，
在中，由勾股定理得，
，
，
寸，
故答案为：26．
4．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接，则的度数为 ．

【答案】
【分析】方法一∶如图：连接，由题意可得：，，然后再根据等腰三角形的性质求得、，最后根据角的和差即可解答．
方法二∶ 连接，由题意可得：，然后根据圆周角定理即可求解．
【详解】方法一∶ 解：如图：连接，
由题意可得：，，，
∴，，
∴．
故答案为．

方法二∶解∶ 连接，
由题意可得：，
根据圆周角定理，知．
故答案为．

【点睛】本题主要考查了角的度量、圆周角定理等知识点，掌握圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半是解答本题的关键．
5．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，是的内接正n边形的一边，点C在上，，则 ．

【答案】10
【分析】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，求出中心角的度数是解题的关键．由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得出结论．
【详解】解：，
，
，
故答案为：10．
04题型精研·考向洞悉
命题点一 圆的基本性质
题型01 圆的周长与面积问题
1．（2023·湖南·中考真题）毛主席在《七律二首 送瘟神》中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八万里”．对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想．从古代诗人屈原发出的《天问》，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步．2021年5月15日，我国成功实现火星着陆．科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为 万里．
【答案】4
【分析】先求出地球的半径，再根据火星的半径大约是地球半径的，即可求出答案．
【详解】解：设地球的半径为万里，
则，
解得，
∴火星的半径为万里，
∴经过火星球心的截面的圆的周长大约为 万里．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周长公式是关键．
2．（2022·山东潍坊·中考真题）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为 ．
【答案】
【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；
【详解】解：正方形ABCD的面积为4，
，
，
，
，
所求周长；
故答案为：．
【点睛】本题考查位似图形，涉及知识点：正方形的面积，正方形的对角线，圆的周长，解题关键求出正方形ABCD的边长．
3．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A．27倍 B．14倍 C．9倍 D．3倍
【答案】B
【分析】设OB=x，则OA=3x，BC=2x，根据圆的面积公式和正方形的面积公式，求出面积，进而即可求解．
【详解】解：由圆和正方形的对称性，可知：OA=OD，OB=OC，
∵圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，
∴设OB=x，则OA=3x，BC=2x，
∴圆的面积=π(3x)2=9πx2，正方形的面积==2x2，
∴9πx2÷2x2=，即：圆的面积约为正方形面积的14倍，
故选B．
【点睛】本题主要考查圆和正方形的面积以及对称性，根据题意画出图形，用未知数表示各个图形的面积，是解题的关键．
题型02 圆中的角度、线段长度的计算
1．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在中，弦的长为8，圆心O到的距离，则的半径长为（ ）
A．4 B． C．5 D．
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵在中，弦的长为8，圆心O到的距离，
∴，，
在中，，
故选：B．
2．（2024·海南·中考真题）如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可．
【详解】解：连接，，
∵是半圆O的直径，，
∴，
∴和都是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
3．（2024·云南·中考真题）如图，是的直径，点、在上．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了弧弦圆心角的关系，圆周角定理，连接，由可得，进而由圆周角定理即可求解，掌握圆的有关性质是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∴，
故选：．
4．（2024·西藏·中考真题）如图，为的直径，点B，D在上，，，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到，，根据得到，最后根据勾股定理求解即可得到答案
【详解】解：∵为的直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
题型03 利用垂径定理结合全等，相似综合求解
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，是的直径，是的两条弦，点与点在的两侧，是上一点（），连接，且．
(1)如图1，若，，求的半径；
(2)如图2，若，求证：．（请用两种证法解答）
【答案】(1)3
(2)见解析
【分析】（1）利用等边对等角、三角形内角和定理求出，结合，可得出，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）法一：过O作于F，利用垂径定理等可得出，然后利用定理证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证；
法二：连接，证明，得出，然后利用平行线的判定即可得证
【详解】（1）解∶∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
解得，
即的半径为3；
（2）证明：法一：过O作于F，
∴，
∵
∴，
又，，
∴，
∴，
∴；
法二：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，灵活运用所学知识解题是解题的关键．
2．（2024·重庆·中考真题）如图，以为直径的与相切于点，以为边作平行四边形，点D、E均在上，与交于点，连接，与交于点，连接．若，则 ． ．
【答案】 8 /
【分析】连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，根据四边形为平行四边形，得出，，证明，根据垂径定理得出，根据勾股定理得出，求出；证明，得出，求出，根据勾股定理得出，证明，得出，求出．
【详解】解：连接并延长，交于点H，连接，设、交于点M，如图所示：
∵以为直径的与相切于点A，
∴，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得：．
故答案为：8；．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
3．（2023·青海西宁·中考真题）如图，是⊙O的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，．

(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由垂径定理，得 ，由圆周角定理，得；
（2）可证得；中，勾股定理求得，于是.
【详解】（1）证明：∵ 是的半径
∴， （垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）
∴（同弧或等弧所对的圆周角相等）
（2）解：∵ 又∵
∴（两角分别相等的两个三角形相似）
∴（相似三角形对应边成比例）
∵
∴
在中
∴（勾股定理）
即
∴.
【点睛】本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键．
题型04 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标
1．（2021·广西河池·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，AB为直径的圆与x轴相切，与y轴交于A，C两点，则点B的坐标是 ．
【答案】
【分析】如图，连接，设圆与x轴相切于点，连接交与点，结合已知条件，则可得，勾股定理求解，进而即可求得的坐标．
【详解】如图，连接，设圆与x轴相切于点，连接交与点，
则轴，
为直径，则，
，
轴，
，
，，
， ，
，
轴，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，垂径定理，切线的性质，勾股定理，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．
2．（2024·山东·模拟预测）在平面直角坐标系中，圆心在坐标原点、半径为4的圆被直线所截得的弦长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意作出图形，设圆心为O，直线与圆O交于A，B两点，x轴，y轴交于点C，点D，过点O作直线，连接，求出，，进而证明是等腰直角三角形，得到，由，易证是等腰直角三角形，求出，再根据，利用勾股定理即可求，再根据垂径定理即可求出的长，即可得出结果．
【详解】解：如图，设圆心为O，直线与圆O交于A，B两点，x轴，y轴交于点C，点D，过点O作直线，连接，
在直线中，
令，则，令，则，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，点O为圆心，
，
，
半径为4的圆被直线所截得的弦长为，
故选：C．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，等腰直角三角形的判定与性质，坐标与图形，根据题意作出图形是解题的关键．
3．（2023·安徽淮北·三模）如图，在平面直角坐标系中，，点C在y轴正半轴上，点D在x轴正半轴上，且，以为直径在第一象限作半圆，交线段于E、F，则线段的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接，先求出，进而求出，再根据等面积法求出，由直角三角形斜边中线的性质得到，由垂径定理得到，由，可知当最小时，最大，即最大，再由，得到，则，即可得到．
【详解】解：过的中点G作的垂线与交于点M，过点O作于H，连接
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，G为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当最小时，最大，即最大，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】本题主要考查了垂径定理、勾股定理、坐标与图形、直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键．
题型05 垂径定理在格点中的应用
1．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹．
(1)在图中作出弧的中点D．
(2)连结，作出的角平分线．
(3)在上作出点P，使得．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）连与网格线交于一格点，以O为端点，作射线与圆弧交于点D，
（2）作射线，则即是的角平分线，
（3）连结并延长，交的延长线于点与交于点F，连结并延长交于点P，则．
本题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质定理，解题的关键是：熟练掌握无刻度直尺作图，与相关定理的结合．
【详解】（1）解：由格点可知为中点，根据垂径定理可得，点D为弧的中点，点D即为所求，
（2）解：∵点D为弧的中点，
根据圆周角定理，可得，即为所求，
（3）解：∵为直径，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，作图如下：
．
2．（2024·湖北·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．经过格点A，B，点C为与格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
(1)画出该圆的圆心O，并画弦，使平分；
(2)先将弦绕点A顺时针旋转得到线段，再在圆上画点E，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）为圆的直径，根据对称性知与格线的交点O为圆心；P为中点，根据垂径定理推论得，平分，根据圆周角定理得，平分；
（2），由可得所在的两个直角三角形全等，得到；根据与对称，得到．
【详解】（1）如图，取圆与格线交点N，
连接交格线于点O，O即为圆心；
连接，交格线于点P，
作射线交于点D，
连接，
即为作求作；
（2）如图，取与格线交点N，
连接交一条格线于点F，
线段即为所求作；
取与上方的一条格线交点E，
连接，
线段即为所求作．
【点睛】本题主经考查了网格作图．熟练掌握圆周角定理及其推论，垂径定理，旋转性质，全等三角形的判定和性质，圆的对称性，是解决问题的关键．
3．（2024·山东潍坊·模拟预测）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，M，N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连结，则所有满足的中，求边的长的最大值．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，得出边的长的最大值等于圆的直径是解题的关键．作线段中点，作的垂直平分线，并使 ，以为圆心，为半径作圆，通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心，此时最大，等于圆的直径，得出 ，则，即可求解．
【详解】解：作线段中点，作的垂直平分线，并使 ，以为圆心，为半径作圆，如图，
∵为垂直平分线且 ，
∴，
，
，
∴弦所对的圆的圆周角为，
∴点在圆上，为圆的弦，
通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心，
∴此时最大，等于圆的直径，
＝，＝，
，
，
，
．
即边的长的最大值为．
题型06 垂径定理的实际应用
1．（2024·四川凉山·中考真题）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，则圆形工件的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识．由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出得出轮子的半径，即可得出轮子的直径长．
【详解】解：∵是线段的垂直平分线，
∴直线经过圆心，设圆心为，连接．
中，，
根据勾股定理得：
，即：
，
解得：；
故轮子的半径为，
故选：C．
2．（2023·湖南·中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）

问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）
【答案】(1)；
(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米．
【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；
（2）作于点C，在中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得的长，在中，利用勾股定理求得的长，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒，
∴每秒旋转，
当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，，
∵，
∴；
（2）解：作于点C，设与水平面交于点D，则，

在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴(米)，
答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米．
【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
3．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是，高为．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径、以及、组成的轴对称图形，直线为对称轴，点、分别是、的中点，如图2，他又画出了所在的扇形并度量出扇形的圆心角，发现并证明了点在上．请你继续完成长的计算．
参考数据：，，，，，．
【答案】42cm
【分析】连接，交于点．设直线交于点，根据圆周角定理可得，解，得出，进而求得的长，即可求解．
【详解】解：连接，交于点．设直线交于点．
∵是的中点，点在上，
∴．
在中，∵，，
∴，．
∵直线是对称轴，
∴，，，
∴．
∴．
∴，．
在中，，
即，
则．
∵，
即，
则．
∴．
∵该图形为轴对称图形，张圆凳的上、下底面圆的直径都是，
,
∴．
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．
题型07 利用垂径定理求取值范围
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在半径为5的⊙О中，弦、在圆心О的同侧，，，则关于的取值所在范围正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定及性质，连接，过作交于，作交于，交于，由垂径定理得，，由得，由全等三角形的性质得，设，由勾股定理得可求出，由正切函数的定义，即可求解；掌握判定方法及性质，构建直角三角形用勾股定理求解及全等三角形是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，过作交于，作交于，交于，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
（），
，
设，
，
，
，
解得：，
，
故选：C．
2．（2023·广东佛山·二模）如图，的半径为，弦，是弦上的一个动点，则的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用垂径定理得到，再利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：如图，过O点作于C，
∵，
∴，
∴，
∵P点在上运动，
∴即
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，同时涉及到了垂线段最短等知识，解题关键是牢记相关概念或定理．
3．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”． 如图，点的坐标为，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，一次函数与几何综合，如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，先证明当点E与点D重合时，最大，即此时最小，再由，求出，可得，解得．
【详解】
如图所示，设直线l与交于B、C，与y轴交于D，过点M作于E，连接，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴当最大时，最小，即此时最小，
∵，
∴当点E与点D重合时，最大，即此时最小，
∵直线l关于的“圆截距”的最小值为，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故答案为：．
题型08 利用弧，弦，圆心角的关系求解
遇到与圆周角，圆心角有关角度计算时，通过辅助线
1）作同弧所对的两个圆周角；
2）作同弧所对的一个圆心角，一个圆周角；
3）连接多个半径，构造等腰三角形.
题型09 利用弧，弦，圆心角的关系比较大小
1．（2024·广东揭阳·三模）如图，在中，，那么（ ）
A． B．
C． D．与的大小关系无法比较
【答案】A
【分析】本题考查了垂径定理．可过作半径于，由垂径定理可知，因此只需比较和的大小即可；易知，在中，是斜边，是直角边，很显然，即，由此可判断出和的大小关系，即可得解．
【详解】解：如图，过作半径于，连接；
由垂径定理知：，；
；
在中，，则；
，即；
故选：A．
2．（2023·河北·中考真题）如图，点是的八等分点．若，四边形的周长分别为a，b，则下列正确的是( )

A． B． C． D．a，b大小无法比较
【答案】A
【分析】连接，依题意得，，的周长为，四边形的周长为，故，根据的三边关系即可得解．
【详解】连接，

∵点是的八等分点，即
∴，
∴
又∵的周长为，
四边形的周长为，
∴
在中有
∴
故选A．
【点睛】本题考查等弧所对的弦相等，三角形的三边关系等知识，利用作差比较法比较周长大小是解题的关键．
3．（2024·湖北襄阳·一模）在中，弦．
(1)如图1，比较与的长度，并证明你的结论．
(2)如图2，为的直径，过点作的切线与的延长线交于点，若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)，理由如下
(2)
【分析】（1）可求得，结合即可求得答案；
（2）可先求得，进而可知，，根据勾股定理可求得圆的半径长度，结合即可求得答案．
【详解】（1），理由如下：
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）如图所示，连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵为的切线，
∴．
∴．
∴．
∵为的直径，
∴．
∴．
∴．
∴，．
在和中
∴．
∴．
∴．
∴．
设，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定及性质，牢记圆的基本性质、勾股定理、平行线的性质、全等三角形的判定及性质是解题的关键．
4．（2022·河北秦皇岛·一模）如图，在扇形AOB中，，C、D是上两点，过点D作交OB于E点，在OD上取点F，使，连接CF并延长交OB于G点．
(1)求证：；
(2)若C、D是AB的三等分点，：
①求；
②请比较GE和BE的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE
【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；
（2）①先由C、D是的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；
②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得，OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得，，再比较即可得出结论；
【详解】（1）解：∵DEOC，
∴∠COD=∠ODE，
∵OC=OD，OF=DE，
∴△OCF≌△DOE(SAS)；
（2）解：①∵C、D是的三等分点，∠AOB=90°，
∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，
∵△OCF≌△DOE，
∴∠OCF=∠DOE=30°，
∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，
∴∠OGC=90°．
②∵，
∴，
又∵∠DOE=30°，
∴OF=2，
∵∠OCF=∠COF=30°，
∴CF=OF，
∵△OCF≌△DOE，
∴OE=CF=OF=2，
∴，，
∵，
∴BE＞GE．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，圆的性质，圆心角、弧之间的关系，直角三角形的性质，勾股定理，求出∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，进而求得∠OGC=90°是解题词的关键．
题型10 利用弧，弦，圆心角的关系求最值
1．（2024·吉林·二模）如图，在扇形中，平分交于点，点为半径上一动点，连接，．若，则阴影部分图形周长的最小值为 （结果保留）．
【答案】/
【分析】本题主要考查了轴对称的性质，轴对称的性质，求弧长，等边三角形的判定和性质，在上取，连接，，则与交于点F，连接，证明点与点E关于对称，得出，得出，求出，得出最小时，最小时，阴影部分周长最小，根据两点之间线段最短，得出当B、D、E三点共线时，最小，即阴影部分周长最小，求出最小值即可．
【详解】解：在上取，连接，，则与交于点F，连接，如图所示：
∵平分交于点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点与点E关于对称，
∴，
∴，
∵，
∴当最小时，阴影部分周长最小，
∵，
∴最小时，最小时，阴影部分周长最小，
∵两点之间线段最短，
∴当B、D、E三点共线时，最小，即阴影部分周长最小，
∴当点D在点F处时，最小，且最小值为，
∵，
又∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴阴影部分周长最小值为．
故答案为：．
2．（2022·浙江湖州·中考真题）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在6×6的正方形网格图形ABCD中，M，N分别是AB，BC上的格点，BM＝4，BN＝2．若点P是这个网格图形中的格点，连接PM，PN，则所有满足∠MPN＝45°的△PMN中，边PM的长的最大值是（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】根据同弧所对的圆周角等于所对圆心角的一半，过点M、N作以点O为圆心，∠MON=90°的圆，则点P在所作的圆上，观察圆O所经过的格点，找出到点M距离最大的点即可求出．
【详解】作线段MN中点Q，作MN的垂直平分线OQ，并使OQ=MN，以O为圆心，OM为半径作圆，如图，
因为OQ为MN垂直平分线且OQ=MN，所以OQ=MQ=NQ，
∴∠OMQ=∠ONQ=45°，
∴∠MON=90°，
所以弦MN所对的圆O的圆周角为45°，
所以点P在圆O上，PM为圆O的弦，
通过图像可知，当点P在位置时，恰好过格点且经过圆心O，
所以此时最大，等于圆O的直径，
∵BM＝4，BN＝2，
∴，
∴MQ=OQ=，
∴OM=，
∴，
故选 C．
【点睛】此题考查了圆的相关知识，熟练掌握同弧所对的圆周角相等、直径是圆上最大的弦，会灵活用已知圆心角和弦作圆是解题的关键．
3．（2023·云南大理·一模）如图，在中，是的直径，，、为弧的三等分点，是上一动点，的最小值是 ．

【答案】
【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆心角与弧的关系及垂径定理，作点关于的对称点，连接与相交于点，根据轴对称确定最短路线问题，点为的最小值时的位置，根据垂径定理可得，然后求出为直径，从而得解．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接与相交于点，

此时，点为的最小值时的位置，
由题意得，
则，
∴，
，为直径，
为直径．则．
故答案是：．
4．（2024·河南驻马店·三模）如图，在扇形中，，，C为的中点，D 为 上一点，且，连接，在绕点O旋转的过程中，当取最小值时，的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查线段最值问题，等边三角形的判定以及勾股定理等知识，判断出在的旋转过程中，三点共线时，最短，得出是等边三角形，由勾股定理求出，即可解决问题
【详解】解：∵，
∴
∵C为的中点，
∴，
在绕点O旋转的过程中，当三点共线时，的值最小，如图，
∵，
∴，
∴
又
∴是等边三角形，
∵C为的中点，
由勾股定理得，，
∴的周长，
故答案为：
5．（2023·山西阳泉·二模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝12，点M在⊙O上，，N是的中点，连接MN，P是直径AB上的动点，若弦，则PMN周长的最小值为 ．

【答案】8
【分析】如图所示，作点关于的对称点，连接交于，周长为，由对称性知周长为，根据两点之间线段最短可知周长的最小为，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可得到答案．
【详解】解：作点关于的对称点，则点在上，连接交于，

由对称性知，
周长为，
根据两点之间线段最短可知周长的最小为，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是正三角形，
∴，
∵，
∴周长的最小值为，
故答案为：8．
【点睛】本题考查动点最值问题，涉及圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称性质，掌握圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质是解决问题的关键．
题型11 利用弧，弦，圆心角的关系证明
1．（2024·内蒙古通辽·中考真题）【实际情境】
手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞．
【模型建立】
（1）如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：．
【模型应用】
（2）如图2，中，的平分线交于点．请你从以下两个条件：
①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答）
【拓展提升】
（3）如图3，为的直径，，的平分线交于点，交于点，连接．求证：．
【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析；（3）见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等：
（1）利用证明，即可；
（2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；
（3）连接，取的中点F，连接，根据圆周角定理可得，从而得到，再由为的直径，可得，从而得到，然后根据，可得，可证明，从而得到，即可．
【详解】解：（1）在和中，
∵，，，
∴，
∴；
（2）解：选择②为条件，①为结论
如图，在取点N，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
选择①为条件，②为结论
如图，在取点N，使，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，连接，取的中点F，连接，
∵的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
2．（2024·浙江·模拟预测）如图，是半径为的的直径，是的中点，连接交于点，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
(3)如图，作于点，交于点，射线交的延长线于点，若，求的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（）根据题意得出，即可证明，得到垂直平分，即可证明结论．
（）延长交于点，连结，证明，根据相似三角形的性质得到比例关系计算即可；
（）由勾股定理得，再证明和，可得，即得，设，利用勾股定理求出即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的中点
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴；
（2）解：如图，延长交于点，连接，
∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴在中，；
（3）解：∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵ ，
∴，
∴，
∴，
即，
设，则，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了弧弦圆心角之间的关系，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定理，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，余角性质，正确作出辅助线是解题的关键．
3．（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图所示，圆内接四边形中，点B平分，平分．
(1)求证：．
(2)若，求证：．
(3)求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）由点B平分，可知，由平分，可知，即可证明结论；
（2）结合题意可知，，，设，，则，，结合，求得，再求得，即可证明结论；
（3）如图， 过点作， 在上取点，使，连接， 则，可知，得，可证，得，可知，根据即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵点B平分，
∴，则，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵点B平分，
∴，则，
∴．
∵平分，
∴，则，
设，，则，，
∴
∴，则，
∴．
∵ ，
∴．
（3）如图， 过点作， 在上取点，使，连接， 则．
∴．
∵点平分，
∴，则，
∴．
∴，
在和中，
∴．
∴．
∴，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，锐角三角函数，弦与弧之间的关系，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等知识点，添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
题型12 利用圆周角定理求解
1．（2024·山东青岛·中考真题）如图，是上的点，半径，，，连接，则扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定义，扇形的面积，连接，由圆周角定理可得，进而得，再根据扇形的面积计算公式计算即可求解，掌握圆周角定理及扇形的面积计算公式是解题的关键．
【详解】解：连接，则，
∵，
∴，
∴，
故选：．
2．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）如图，内接于，是直径，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接，根据直径所对的圆周角是直角得出，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵内接于，是直径，
∴，
∵,，
∴
∴，
故答案为：．
3．（2024·湖北·中考真题）如图，是半圆O的直径，C为半圆O上一点，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点D，画射线，连接．若，则的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查尺规作图，圆周角定理，熟练掌握角平分线的作图步骤以及圆周角定理是解答本题的关键．由圆周角定理得到，由直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义即可求得答案．
【详解】解：是半圆的直径，
，
，
，
由题意得，为的平分线，
．
故选：．
4．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，矩形中，．点P是边上一动点，点M为线段上一动点．，则的最小值为（ ）．
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】设的中点为，连接，证明，得出，点在点为圆心，4为半径的圆上，利用勾股定理求出从而计算出答案．
【详解】解：设的中点为，连接，
∵四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，
，
∴点在点为圆心，4为半径的圆上．
，
，
∵的最小值为2．
故选：A．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，二次根式的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题．
题型13 利用圆内接四边形性质求角度
圆内接四边形的性质定理为证明两角相等或互补提供了依据.在求角的度数时往往综合运用圆内接四边形的性质、圆周角定理及其推论等知识建立所求角与已知条件的联系.
1．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形的两组对边，延长线相交于点E，F．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得，．根据三角形外角定理可得，，由此可得，又由，可得，即可得解．
本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【详解】∵四边形是的内接四边形
∴，
，，
，
，，，
，
解得，
，
．
故选：C
2．（2024·四川广元·中考真题）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍可求得的度数，再根据圆内接四边形对角互补，可推出，即可得到答案．
【详解】解：是圆周角，与圆心角对相同的弧，且，
，
又四边形是的内接四边形，
，
又，
，
故选：A．
3．（2024·浙江·中考真题）如图，在圆内接四边形中，，延长至点E，使，延长至点F，连结，使．
(1)若，为直径，求的度数．
(2)求证：①；②．
【答案】(1)
(2)①见详解；②见详解
【分析】（1）根据圆周角定理即可求解，由为直径，得到，故，由，得到；
（2）①由四点共圆得，而，等量代换得到，故；
②过点D作平行线交于点G，可证明，，因此得到，由，得到．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明①：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②过点D作平行线交于点G，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵由（1）知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
题型14 利用圆的有关性质解决多结论问题
1．（2024·吉林长春·中考真题）如图，是半圆的直径，是一条弦，是的中点，于点，交于点，交于点，连结．给出下面四个结论：
①；
②；
③当，时，；
④当，时，的面积是．
上述结论中，正确结论的序号有 ．
【答案】①②③
【分析】如图：连接，由圆周角定理可判定①；先说明、可得、，即可判定②；先证明可得,即,代入数据可得，然后运用勾股定理可得，再结合即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接，易得，从而证明是等边三角形，即是菱形，然后得到，再解直角三角形可得，根据三角形面积公式可得，最后根据三角形的中线将三角形平分即可判定④．
【详解】解：如图：连接，
∵是的中点，
∴,
∴，即①正确；
∵是直径，
∴，
∴，
∵
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,即②正确；
在和,
，
∴，
∴,即,
∴，即,
∴,
∵，
∴，即③正确；
如图：假设半圆的圆心为O，连接，
∵，，是的中点，
∴
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，即是菱形，
∴，
∵，
∴，即，解得：,
∴，
∵
∴，即④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
2．（2022·湖北武汉·中考真题）如图，点P是上一点，是一条弦，点C是上一点，与点D关于对称，交于点E，与交于点F，且．给出下面四个结论：①平分； ②； ③； ④为的切线．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】根据点AB为CD的垂直平分线，得出BD=BC，AD=AC，根据等边对等角得出∠BDC=∠BCD，利用平行线性质可判断①正确；利用△ADB≌△ACB（SSS）得出∠EAB=∠CAB，利用圆周角弧与弦关系可判断②正确；根据等弧所对的圆周角相等可得∠AEF≠∠ABE，从而可得△AEF与△ABE不相似，即可判断③；连结OB，利用垂径定理得出OB⊥CE，利用平行线性质得出OB⊥BD，即可判断④正确．
【详解】解：∵点C是上一点，与点D关于对称，
∴AB为CD的垂直平分线，
∴BD=BC，AD=AC，
∴∠BDC=∠BCD，
∵，
∴∠ECD=∠CDB，
∴∠ECD=∠BCD，
∴CD平分∠BCE，故①正确；
在△ADB和△ACB中，
∵AD=AC，BD=BC，AB=AB，
∴△ADB≌△ACB（SSS），
∴∠EAB=∠CAB，
∴，
∴BE=BC=BD，故②正确；
∵AC≠AE，
∴≠，
∴∠AEF≠∠ABE，
∴△AEF与△ABE不相似，故③错误；
连结OB，
∵，CE为弦，
∴OB⊥CE，
∵，
∴OB⊥BD，
∴BD为的切线．故④正确，
∴其中所有正确结论的序号是①②④．
故答案为①②④．
．
【点睛】本题考查轴对称性质，线段垂直平分线性质，角平分线判定，三角形全等判断于性质，垂径定理，切线判断，掌握轴对称性质，线段垂直平分线性质，角平分线判定，三角形全等判断于性质，垂径定理，切线判断是解题关键．
3．（2021·湖南岳阳·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，，为的外接圆，过点作的切线交于点，则下列结论正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①；②；③若，则的长为；④；⑤若，则．
【答案】②④⑤
【分析】①根据线段垂直平分线定理，为的直径，为的弦，即可得出结论；
②根据段垂直平分线得出∠A+∠AED=90°，再证∠A+∠ABC=90°，等量代换即可；
③根据已知条件先得出∠EBC的度数，再利用圆周角定理得∠EOC=2∠EBC，根据弧长公式计算即可；
④根据角角相似证明△EFD∽△BFE即可得出结论；
⑤先根据勾股定理得出BF的长，再根据等面积法得出ED，根据角角相似证明Rt△ADE∽Rt△ACB，得出，即可计算出结果．
【详解】解:①∵DE是的垂直平分线
∴
为的直径，为的弦
．
故①不正确．
②∵DE是的垂直平分线
∴DE⊥AB
∴∠A+∠AED=90°
∵
∴∠A+∠ABC=90°
∴
故②正确．
③连接OD
的长为．
故③错误．
④∵DE⊥AB，F是的切线
∴∠FEB=∠EDF=90°
又∠EFD=∠EFD
∴△EFD∽△BFE
∴．
故④正确．
⑤∵，
∴BF=
∵
∴
在Rt△EDB中，
，
∵DE是的垂直平分线，
∴，AE=BE=8，
∵在Rt△ADE和Rt△ACB中，
∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°
∴Rt△ADE∽Rt△ACB
∴
∴
∴AC=10.24
又AE=BE=8
∴CE=AC-AE=10.24-8=2.24．
故⑤正确．
综上所述：正确的有②④⑤．
故答案为：②④⑤．
【点睛】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质及定理、勾股定理、切线的性质、等面积法是常用的计算边长的方法、灵活进行角的转换是关键
4．（2024·江西·中考真题）如图，是的直径，，点C在线段上运动，过点C的弦，将沿翻折交直线于点F，当的长为正整数时，线段的长为 ．
【答案】或或2
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，折叠的性质，根据，可得或2，利用勾股定理进行解答即可，进行分类讨论是解题的关键．
【详解】解：为直径，为弦，
，
当的长为正整数时，或2，
当时，即为直径，
将沿翻折交直线于点F，此时与点重合，
故；
当时，且在点在线段之间，
如图，连接，
此时，
，
，
，
，
；
当时，且点在线段之间，连接，
同理可得，
，
综上，可得线段的长为或或2，
故答案为：或或2．
题型15 利用圆的有关性质解决翻折问题
1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，将沿弦翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧上一点．已知， ，则的长为(　　)
A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，勾股定理，垂径定理，折叠的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
连接并延长交于点H，连接，过点O作于F，延长交于点G，连接，根据圆周角定理求出，解直角三角形求出A ，根据勾股定理求出 ，根据垂径定理求出，根据折叠的性质得，，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：连接并延长交于点H，连接，过点O作于F，延长交于点G，连接，
∵是的直径，
∴，
∴ ，
∵， ，
∴ ，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴的半径为，
∴ ，
∵于F，
∴，
根据折叠的性质得，，
∴= ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
2．（2023·浙江金华·三模）在综合实践课上，小慧将图①中圆形纸片沿直径向上对折得到图②，再沿弦向下翻折得到图③，最后沿弦向上翻折得到图④．
（1）若点E是弧的中点，则 ；
（2）若，则 ．（用关于n的代数式表示）
【答案】 /
【分析】本题考查弧、弦、圆心角之间的关系，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
（1）利用弧、弦、圆心角之间的关系得到，进而求出，然后根据圆周角定理即可得到答案；
（2）连接，，，，作，交于点F，根据平行线分线段成比例得到，然后根据得到，然后利用正弦的定义解题即可．
【详解】解：（1）如图：
连接，，，，，，，可得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）如图：
连接，，，，作，交于点F，
由题意，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在⊙中，点C为的中点，将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．点D为优弧上一点连接．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定、解直角三角形等知识，熟练运用圆周角定理、折叠的性质、等边三角形的性质与判定并作出合理的辅助线构建三角形是解题的关键．连接，交于点N，过点B作，先证明是等边三角形，再求得及的长即可．
【详解】如图，连接，交于点N，过点B作，
将弦下方的部分沿弦翻折，使点C与圆心O重合．
，垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
故选：A
题型16 与圆有关的新定义问题
1．（2020·山东临沂·中考真题）我们知道，两点之间线段最短，因此，连接两点间线段的长度叫做两点间的距离；同理，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，因此，直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．类似地，连接曲线外一点与曲线上各点的所有线段中，最短线段的长度，叫做点到曲线的距离．依此定义，如图，在平面直角坐标系中，点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为 ．
【答案】
【分析】连接OA，与圆O交于点B，根据题干中的概念得到点到圆的距离即为OB，再求出OA，结合圆O半径可得结果.
【详解】解：根据题意可得：
点到圆的距离为：该点与圆上各点的连线中，最短的线段长度，
连接OA，与圆O交于点B，
可知：点A和圆O上点B之间的连线最短，
∵A（2，1），
∴OA==，
∵圆O的半径为1，
∴AB=OA-OB=，
∴点到以原点为圆心，以1为半径的圆的距离为，
故答案为：.
【点睛】本题考查了圆的新定义问题，坐标系中两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是理解题意，利用类比思想解决问题.
2．（2022·上海·中考真题）定义：有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”，现在有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当等弦圆最大时，这个圆的半径为 ．
【答案】/
【分析】如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，再证明经过圆心，，分别求解AC，BC，CF， 设的半径为 再分别表示 再利用勾股定理求解半径r即可．
【详解】解：如图，当等弦圆O最大时，则经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO交AB于F，连接OE，DK，
过圆心O，，
设的半径为
∴
整理得：
解得：
不符合题意，舍去，
∴当等弦圆最大时，这个圆的半径为
故答案为：
【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，弦，弧，圆心角之间的关系，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解本题的关键．
3．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，的半径为1，对于的弦和不在直线上的点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”．
(1)如图，点，．
①在点，，中，点___________是弦的“可及点”，其中____________；
②若点是弦的“可及点”，则点的横坐标的最大值为__________；
(2)已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的“可及点”．记点的横坐标为，直接写出的取值范围．
【答案】(1)①，45；②
(2)或
【分析】（1）由相对运动理解，作出关于的对称圆，若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，则点C应在的圆内或圆上，先求得，根据点与圆的位置关系的判断方法分别判断即可得出在上，故符合题意，根据圆周角定理即可求解；
②取中点为H，连接，可确定点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），当轴时，点D横坐标最大，可求，故点的横坐标的最大值为；
（2）反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，故点P需要在的圆内或圆上，作出的外接圆，连接，则点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N），可求，随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，，由，故当最大，时，此时为等边三角形，此时，故当，的最大值为2，设，则，解得：，可求直线与交于点，，故t的取值范围是或．
【详解】（1）解：①：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，
∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，
∴点C应在的圆内或圆上，
∵点，，
∴，
而，
∴,
由对称得：，
∴为等腰直角三角形，
∴,
设半径为，
则,故在外，不符合题意；
，故在上，符合题意；
，故在外，不符合题意，
∴点是弦的“可及点”，
可知三点共线，
∵，
∴，
故答案为：，45；
②取中点为H，连接，
∵，
∴，
∴点D在以H为圆心，为半径的上方半圆上运动（不包括端点A、B），
∴当点轴时，点D横坐标最大，
∵，，
∴，
∴，
∵点，，
∴，
∴此时，
∴点的横坐标的最大值为，
故答案为：；
（2）解：反过来思考，由相对运动理解，作出关于的对称圆，
∵若点关于直线的对称点在上或其内部，且，则称点是弦的“可及点”，
∴点C应在的圆内或圆上，
故点P需要在的圆内或圆上，
作出的外接圆，连接，
∴点P在以为圆心，为半径的上运动（不包括端点M、N），
∴，
∴，
由对称得点在的垂直平分线上，
∵的外接圆为，
∴点也在的垂直平分线上，记与交于点Q，
∴，
∴，
随着的增大，会越来越靠近，当点与点重合时，点P在上，即为临界状态，此时最大，，
连接，
∵，
∴当最大,时，此时为等边三角形，
由上述过程知
∴，
∴当，的最大值为2，
设，则，
解得：，
而记直线与交于，与y轴交于点K，过点S作轴，
当，当时，，
解得，
∴与x轴交于点，
∴，而
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴t的取值范围是或．
【点睛】本题考查了新定义，轴对称变换，点与圆的位置关系，圆周角定理，解直角三角形，一次函数与坐标轴的交点问题，已知两点求距离等知识点，正确添加辅助线，找到临界状态情况是解题的关键．
题型17 利用圆的有关性质解决最值问题
1．（2021·四川达州·中考真题）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为 ．
【答案】．
【分析】首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧．连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值．
【详解】如图所示，∵边长为6的等边，
∴，
又∵
∴
∴
∴
∴
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧
此时
连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值
∵，，
∴
∴，
∴
又∵
∴，
∴
即
故答案为：
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强．
2．（2020·河南·中考真题）如图，在扇形中，平分交弧于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，先作扇形关于对称的扇形 连接交于，再分别求解的长即可得到答案．
【详解】解：
最短，则最短，
如图，作扇形关于对称的扇形 连接交于，
则
此时点满足最短，
平分
而的长为：
最短为
故答案为：
【点睛】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
3．（2024·河南·中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为 ，最小值为 .
【答案】 / /
【分析】根据题意得出点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，点E在以为直径的圆上，根据，得出当最大时，最大，最小时，最小，根据当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵线段绕点C在平面内旋转，，
∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上，
∵，
∴，
∴点E在以为直径的圆上，
在中，，
∵为定值，
∴当最大时，最大，最小时，最小，
∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最大值为；
当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示：
则，
∴，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
即的最小值为；
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质，找出取最大值和最小值时，点D的位置．
4．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．
（一）拓展探究
如图1，在中，，垂足为．
（1）兴趣小组的同学得出．理由如下：
①______ ②______
请完成填空：①______；②______；
（2）如图2，为线段上一点，连接并延长至点，连接，当时，请判断的形状，并说明理由．
（二）学以致用
（3）如图3，是直角三角形，，平面内一点，满足，连接并延长至点，且，当线段的长度取得最小值时，求线段的长．
【答案】（1）①；②；（2）是直角三角形，证明见解析；（3）
【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；
（2）证明，得出，证明，得出，即可得出答案；
（3）证明，得出，求出，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，证明，得出，说明点在过点且与垂直的直线上运动，过点作，垂足为，连接，根据垂线段最短，得出当点E在点处时，最小，根据勾股定理求出结果即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）是直角三角形；理由如下：
，
，
，
由（1）得，
，
，
，
，
，
是直角三角形．
（3），
，
，
，
如图，以点为圆心，2为半径作，则都在上，延长到，使，交于，连接，
则，
∵为的直径，
∴，
，
∴，
，
，
，
点在过点且与垂直的直线上运动，
过点作，垂足为，连接，
∵垂线段最短，
∴当点E在点处时，最小，
即的最小值为的长，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
在中根据勾股定理得：，
即当线段的长度取得最小值时，线段的长为．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
题型18 圆的基本性质与函数综合
1．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（ ）

A．8 B．6 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵的底边为定值，
∴使得底边上的高最大时，面积最大，
点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，

∵，的半径为1，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．
2．（2024·海南·中考真题）如图1，抛物线经过点、，交y轴于点，点P是抛物线上一动点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)当点P的坐标为时，求四边形的面积；
(3)当时，求点P的坐标；
(4)过点A、O、C的圆交抛物线于点E、F，如图2．连接，判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)
(2)16
(3)或
(4)是等边三角形，理由见解析
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）过点P作于T，根据列式求解即可；
（3）取，连接，易证明，则线段与抛物线的交点即为所求；求出直线的解析式为，联立，解得或（舍去），则；如图所示，取，连接，同理可得，则直线与抛物线的交点即为所求；同理可得；则符合题意的点P的坐标为或；
（4）由90度的圆周角所对的弦是直径得到为过三点的圆的直径，如图所示，取中点R，连接，则，；设与抛物线交于，联立得，解得，则， 由勾股定理可得，则是等边三角形．
【详解】（1）解：将点代入，
得
解得
∴抛物线解析式为；
（2）解:如图所示，过点P作于T，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴
；
（3）解：如图所示，取，连接，
∵、，，
∴，
∴，
∴线段与抛物线的交点即为所求；
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
如图所示，取，连接，
同理可得，
∴直线与抛物线的交点即为所求；
同理可知直线的解析式为，
联立，解得或（舍去），
∴；
综上所述，符合题意的点P的坐标为或；
（4）解：是等边三角形，理由如下：
∵三点共圆，且，
∴为过三点的圆的直径，
如图所示，取中点R，连接，
∵，
∴，
∴；
设与抛物线交于，
联立得，
∴，
解得，
在中，当时，
当时，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是等边三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，勾股定理，圆的相关知识，解题的关键在于正确作出辅助线并利用数形结合的思想求解．
3．（2024·江西·中考真题）综合与实践
如图，在中，点D是斜边上的动点（点D与点A不重合），连接，以为直角边在的右侧构造，，连接，．
特例感知
（1）如图1，当时，与之间的位置关系是______，数量关系是______；
类比迁移
（2）如图2，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想．
拓展应用
（3）在（1）的条件下，点F与点C关于对称，连接，，，如图3．已知，设，四边形的面积为y．
①求y与x的函数表达式，并求出y的最小值；
②当时，请直接写出的长度．
【答案】（1），（2）与之间的位置关系是，数量关系是；（3）①y与x的函数表达式，当时，的最小值为；②当时，为或.
【分析】（1）先证明，，，可得；再结合全等三角形的性质可得结论；
（2）先证明，，结合，可得；再结合相似三角形的性质可得结论；
（3）①先证明四边形为正方形，如图，过作于，可得，，再分情况结合勾股定理可得函数解析式，结合函数性质可得最小值；②如图，连接，，，证明，可得在上，且为直径，则，过作于，过作于，求解正方形面积为,结合，再解方程可得答案.
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（2）与之间的位置关系是，数量关系是；理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴；
∴，，
∴，
∴，
∴与之间的位置关系是，数量关系是；
（3）由（1）得：，，，
∴，都为等腰直角三角形；
∵点F与点C关于对称，
∴为等腰直角三角形；，
∴四边形为正方形，
如图，过作于，
∵，，
∴，，
当时，
∴，
∴，
如图，当时，
此时，
同理可得：，
∴y与x的函数表达式为，
当时，的最小值为；
②如图，∵，正方形，记正方形的中心为，
∴，
连接，，，
∴，
∴在上，且为直径，
∴，
过作于，过作于，
∴，，
∴，
∴，
∴正方形面积为,
∴，
解得：，，经检验都符合题意，
如图，
综上：当时，为或.
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，二次函数的性质，圆的确定及圆周角定理的应用，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键.
4．（2021·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A、B两点，点为直线在第二象限的点
（1）求A、B两点的坐标；
（2）设的面积为S，求S关于x的函数解析式：并写出x的取值范围；
（3）作的外接圆，延长PC交于点Q，当的面积最小时，求的半径．
【答案】（1）A（-8，0），B（0，4）；（2），-8＜＜0；（3）4．
【分析】（1）根据一次函数的图像与性质即可求出A、B两点的坐标；
（2）利用三角形面积公式及点的坐标特点即可求出结果；
（3）根据圆周角性质可得，．由等角的三角函数关系可推出，再根据三角形面积公式得，由此得结论当最小时，的面积最小，最后利用圆的性质可得有最小值，且为的直径，进而求得结果．
【详解】解：（1）当时，，解得，
∴A（-8，0）．
当时，，
∴B（0，4）．
（2）∵A（-8,0），
∴．
点P在直线上，
∴，
∴．
∵点P在第二象限，
∴＞0，且＜0．
解得-8＜＜0；
（3）∵B（0，4），
∴．
∵为的外接圆，
∴，．
∴．
设，则．
∴．
∴当最小时，的面积最小．
∴当时，有最小值，且为的直径．
∴．
即的半径为4．
【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质等知识，熟练掌握一次函数的图像与性质、三角形面积计算及圆的相关性质是解题的关键．
题型19 与圆有关的常见辅助线-遇到弦时，常添加弦心距
有弦无垂径时，可过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；
【补充】在构造Rt△ODE中，半径OD，弦心距OE,弦长CD，拱高BE四个量知二推二.
1．（2023·浙江衢州·中考真题）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽是矩形．当餐盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与边相切，则此餐盘的半径等于 cm．

【答案】10
【分析】连接，过点作，交于点，交于点，则点为餐盘与边的切点，由矩形的性质得，，，则四边形是矩形，，得，，，设餐盘的半径为 ，则，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．
【详解】由题意得：，，
如图，连接，过点作，交于点，交于点，
则，
餐盘与边相切，
点为切点，
四边形是矩形，
，，，
四边形是矩形，，
，，，
设餐盘的半径为，
则，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
餐盘的半径为，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．（2022·上海·中考真题）如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为 ．（结果保留）
【答案】400π
【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图，
∵AC=11，BC=21，
∴AB=AC+BC=32，
∵OD⊥AB于D，
∴AD=BD=AB=16，
∴CD=AD-AC=5，
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
OD==12,
在Rt△OBD中，由勾股定理，得
OB==20，
∴这个花坛的面积=202π=400π，
故答案为：400π．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键．
3．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在中，AB是的弦，的半径为3cm，C为上一点，，则AB的长为 cm．
【答案】
【分析】连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，由垂径定理和圆周角定理可得，，再根据等腰三角形的性质可得，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】解：连接OA、OB，过点O作OD⊥AB于点D，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质和勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
题型20 与圆有关的常见辅助线-遇到直径时，常添加直径所对的圆周角
1．（2023·江苏·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数是 ．
【答案】120
【分析】解：如图，连接，由是的直径，可得，由，可得，，根据，计算求解即可．
【详解】解：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故答案为：120．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角为直角，含的直角三角形，圆内接四边形的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．
2．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为 ．

【答案】/
【分析】连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，，，

∵为直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴弧的长为，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，熟练掌握三线合一性质，弧长公式，圆周角定理是解题的关键．
3．（2023·重庆·中考真题）如图，是矩形的外接圆，若，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留）

【答案】
【分析】根据直径所对的圆周角是直角及勾股定理得到，再根据圆的面积及矩形的性质即可解答．
【详解】解：连接，
∵四边形是矩形，
∴是的直径，
∵，
∴，
∴的半径为，
∴的面积为，矩形的面积为，
∴阴影部分的面积为；
故答案为；

【点睛】本题考查了矩形的性质，圆的面积，矩形的面积，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．
4．（2021·山东泰安·中考真题）若为直角三角形，，以为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 ．
【答案】4
【分析】设AB与半圆的交点为D,连接DC,根据题意,得到阴影部分的面积等于，计算即可
【详解】解：如图，设AB与半圆的交点为D，连接DC，
∵BC是直径，
∴∠BDC=90°，
∵∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴∠DBC=∠DCB=45°，AD=BD，
过点D作DE⊥BC，垂足为E，
则∠CDE=∠BDE=45°，
∴CE=EB=ED=2，
∴半圆关于直线DE对称，
∴阴影部分的面积等于，
∴===4
故答案为：4．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，直径所对的圆周角是直角，圆的对称性，
利用圆的对称性化阴影的面积为三角形的面积加以计算是解题的关键．

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