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-------2025高考物理数学法突破
《三角函数分析法》
▲三角函数常用变换公式、三角函数变化规律及其他基本性质（略）
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
【例1】某同学在操场练习掷铅球，第一次以速度v0水平掷出铅球，第二次以与水平方向成α角斜向上掷出铅球，结果铅球都落到了P点。已知铅球两次出手时的高度和速度大小均相同，两次铅球的
水平射程均为x，重力加速度大小为g，则铅球出手时的高度为（ ）
A． B． C． D．
1．与类三角函数（两角和与差的三角函数）
两角和与差的三角函数：
和差化积：（口诀从左往右看）
（正弦加正弦，正弦在前面）
（正弦减正弦，正弦在后面）
（余弦加余弦，余弦肩并肩）
（余弦减余弦，余弦全不见）
积化和差：（口诀从右往左看）
（正弦加正弦，正弦在前面）
（正弦减正弦，正弦在后面）
（余弦加余弦，余弦肩并肩）
（余弦减余弦，余弦全不见）
【例2】如图所示，大炮在山脚直接对着倾角为α＝30°的斜坡发射炮弹，重力加速度为g，炮弹初速度为v0，要使炮弹打到斜坡上尽可能远的地方，则炮弹初速度方向与斜坡的夹角为多少？打到斜坡上的最远距离为多少？
(
α
O
v
0
)
2．倍角与半角类三角函数（典型：sinθcosθ类型）
倍角公式：
；
半角公式：
，；，；
，
降幂公式：
，
万能公式：
；；
【例3】做如图所示的单摆实验，将摆长为L的单摆上端固定在O1点处，下端连接一小球
（视为质点），在O1点正下方3L/4的O2处有一固定细钉。将小球向左拉开，使细绳与竖直方
向成一小角度（约为5°）后由静止释放，当小球摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡（无
机械能损失）。不计空气阻力，设小球在运动过程中受到的回复力为F，则下列图像中，能描述
小球在开始的一个周期内的F－t关系的是（ ）
3．类三角函数
辅助角公式：，其中辅助角φ满足。
(
θ
β
P
F
)当α＋φ＝90°时，有极大值。
【例4】如图，倾斜角θ＝30°的传送带沿逆时针方向匀速转动，一质量为m的物块P
用细线拉着在传送带上保持对地静止。物块与传送带间的动摩擦因数，调整细线
的方向，当细线拉力最小时，细线与水平方向的夹角β等于（ ）
A．0° B．30° C．60° D．90°
【例5】如图，倾角为37°的斜面足够长，从斜面上b点正上方2.5m处的a点，
以2m/s的速率抛出一个小球，方向不定，且小球的轨迹与abO在同一竖直平面内，
取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，则小球落回斜面的最长时间为（ ）
A．0.5s B．1s C．1.5s D．2s
4．类三角函数
（1）均值不等式法
(
L
m
O
)（2）求导法
【例6】如图所示，用一长为L细线连接一质量为m的小球悬挂于O点，将小球
拉至细线水平，由静止释放小球，求小球在摆至最低点过程中其重力做功的最大功率。
【例7】如图所示，正方形ABCD的对角线长为2a，在A、C两点分别放置电荷量为＋q的点电荷，P为正方形ABCD外接圆上任意一点，O为外接圆的圆心，静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A．B、D两点的电场强度相同
B．将负电荷沿直线由B移到D的过程中，电场力先做正功后做负功
C．对角线BD连线上电场强度E的最大值为
D．若两点电荷在P点的电场强度大小分别是E1、E2，则为定值
5．正弦定理（拉密定理）的应用
（秒杀技法：“对角垂直力最大”！记住该结论，动态分析5s得解）
（1）数学知识：
①正弦定理：如图所示的△ABC中，
②
③正弦函数在0°～180°范围内的图象及增减性如右图所示
（2）拉密定理：一物体受三个共点力作用而平衡，则各
力与对角的正弦之比相等，即：
（3）重要结论：在存在“恒力对恒角”的情况下，对于两个变力，记住口诀“对角垂直力最大”
①一个力的对角能够在变化过程中（不是起、止时刻）垂直，则这个力一定是先变大后变小
②对角趋近垂直时力增大，远离垂直时力变小
规律来由：存在一对“恒力对恒角”时（如前面的表达式中，假设F3与θ3恒定），则每个力与对角的正弦之比为定值。由此可知，某个对角为90°时分母的正弦最大，所以分子中的力也最大。
▲“恒力对恒角”，如果所对的“恒角”为直角，则直接用矢量作图法也比较简单
【例8】如图所示，将两块光滑平板OA、OB固定连接，构成顶角为60°的楔形槽，
楔形槽内放置一质量为m的光滑小球，整个装置保持静止，初始时OA板在水平地面上，
现使楔形槽绕O点顺时针缓慢转动至OA板竖直，则转动过程中（ ）
A．初始时OA板对小球的作用力最大 B．转过30°时OA板对小球的作用力最大
C．转过60°时OB板对小球的作用力最大 D．转过90°时OB板对小球的作用力最大
【例9】我国已在空间站中实施了多次“天宫课堂”面向全国公众直播，
大家对其中的水球光学实验印象深刻。如图所示，在完全失重环境下，从水袋
中挤出一个大水球漂浮在空中，然后用针管将气体注入水球中，最终形成一个
外半径为R内半径为r的均匀水球壳。用两条离中心轴线远近不同的平行光线
1和2在水球的轴截面内照射水球，若光线1刚好在水球内表面发生全反射，
且光线2投射到内表面上，则下列说法正确的有（ ）
A．光线2在水球内表面一定发生全反射
B．光线1进入水球前到中心轴线的距离一定等于r
C．光线1进入水球前到中心轴线的距离与R和r的具体大小有关
D．若换用同样形状和大小的玻璃球壳，只是折射率发生了变化，其他方面都不变，光线1仍然刚好发生全反射
▲重要的二级结论：
光线从空心球壳之外沿内表面的切线方向射入，则刚好在内表面上
发生全反射，而与内外半径的大小及介质折射率无关。
证明：由正弦定理得
由此可见，光线折射进球壳后投射到内表面上的入射角θ正好等于临界角C，刚好发生全反射，而与R、r及n无关。离轴线距离小于r的光线能够进入空腔，大于r的光线不能进入空腔。
6．余弦定理的应用
《三角函数分析法》解析
▲三角函数常用变换公式、三角函数变化规律及其他基本性质（略）
诱导公式：奇变偶不变，符号看象限
【例1】某同学在操场练习掷铅球，第一次以速度v0水平掷出铅球，第二次以与水平方向成α角斜向上掷出铅球，结果铅球都落到了P点。已知铅球两次出手时的高度和速度大小均相同，两次铅球的
水平射程均为x，重力加速度大小为g，则铅球出手时的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】AB：平抛，水平方向得下落时间，则下落高度
（1）
所以A、B错；
CD：斜抛，水平方向得运动时间，则下落高度
（2）
由（1）、（2）两式得：
，所以D对
1．与类三角函数（两角和与差的三角函数）
两角和与差的三角函数：
和差化积：（口诀从左往右看）
（正弦加正弦，正弦在前面）
（正弦减正弦，正弦在后面）
（余弦加余弦，余弦肩并肩）
（余弦减余弦，余弦全不见）
积化和差：（口诀从右往左看）
（正弦加正弦，正弦在前面）
（正弦减正弦，正弦在后面）
（余弦加余弦，余弦肩并肩）
（余弦减余弦，余弦全不见）
【例2】如图所示，大炮在山脚直接对着倾角为α＝30°的斜坡发射炮弹，重力加速度为g，炮弹初速度为v0，要使炮弹打到斜坡上尽可能远的地方，则炮弹初速度方向与斜坡的夹角为多少？打到斜坡上的最远距离为多少？
(
α
O
v
0
)【答案】30°，
【解析】
(
α
O
v
0
g
x
y
s
β
α
)方法1：平行 垂直分解法。如图所示
y方向类似于竖直上抛运动，飞行时间
x方向匀减速运动，位移（即抛射距离）
当时s最大，最大值
(
α
O
v
0
β
x
y
x
y
)方法2：水平 竖直分解法。如图所示
α＝30°为定值，当α+2β＝90°即β＝30°时s最小，s的最小值
(
α
O
v
0
v
0
t
β
α
+90
°
90
°-
α
-
β
s
)
方法3：斜交分解法。如右图，将斜抛运动视作以v0的匀速运动和自由落体运动。
对位移矢量三角形用正弦定理得：
当β＝30°时s最小，
2．倍角与半角类三角函数（典型：sinθcosθ类型）
倍角公式：
；
半角公式：
，；，；
，
降幂公式：
，
万能公式：
；；
【例3】做如图所示的单摆实验，将摆长为L的单摆上端固定在O1点处，下端连接一小球
（视为质点），在O1点正下方L的O2处有一固定细钉。将小球向左拉开，使细绳与竖直方
向成一小角度（约为5°）后由静止释放，当小球摆至最低位置时，细绳会受到铁钉的阻挡（无
机械能损失）。不计空气阻力，设小球在运动过程中受到的回复力为F，则下列图像中，能描述
小球在开始的一个周期内的F－t关系的是（ ）
【答案】B
【解析】先分析在左右两边摆动的周期关系：左边摆长为，右边摆长为，，
则左右两边的周期之比为2∶1，D错；
再分析在左右两边的最大回复力F的大小关系：
由数学知识可知，当角度θ（弧度数）很小时，sinθ≈θ
设左右两边的最大摆角分别为α、β
因摆动中机械能守恒，则在左右两边的最高处时高度相同，则
左边的最大回复力，右边的最大回复力，则，A错C错。
3．类三角函数
辅助角公式：，其中辅助角φ满足。
(
θ
β
P
F
)当α＋φ＝90°时，有极大值。
【例4】如图，倾斜角θ＝30°的传送带沿逆时针方向匀速转动，一质量为m的物块P
用细线拉着在传送带上保持对地静止。物块与传送带间的动摩擦因数，调整细线
的方向，当细线拉力最小时，细线与水平方向的夹角β等于（ ）
A．0° B．30° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】设细线拉力为T，物块受到的滑动摩擦力为f
将物块受力按如图所示正交分解，有：
，
又因为
可得
利用辅助角公式，有
其中
当时，T有最小值，此时
即，C正确，ABD错误。
【例5】如图，倾角为37°的斜面足够长，从斜面上b点正上方2.5m处的a点，
以2m/s的速率抛出一个小球，方向不定，且小球的轨迹与abO在同一竖直平面内，
取g＝10m/s2，sin37°＝0.6，则小球落回斜面的最长时间为（ ）
A．0.5s B．1s C．1.5s D．2s
【答案】B
【解析】
方法1：水平—竖直分解法（辅助角公式法）
设小球从B点抛出时的速度方向与水平方向成角
则有：，
两式联立得：
解得：
舍去负的时间，则时间为：
根据数学知识可知：
当时最大，即t最大，最大值为：，B对
方法2：平行—垂直分解法
将小球的运动如图分解
因g的垂直分量gy＝8m/s2恒定，垂直位移d＝2m恒定，抛出速度大小v0＝2m/s恒定
则v0垂直于斜面时时间t最长，有：
(
v
0
t
37
°
h
h
)
代入数据解得t＝1s
方法3：斜交分解法
将小球的运动看成以初速度v0的匀速直线运动，和自由落体运动
以a点为圆心，以位移v0t为半径作圆
为使时间最长，就应使自由落体位移最大
作斜面的平行线与圆上方相切，切点到斜面最远，自由落体位移最大
由几何关系得：，代入数据解得t＝1s
4．类三角函数
（1）均值不等式法
(
L
m
O
)（2）求导法
【例6】如图所示，用一长为L细线连接一质量为m的小球悬挂于O点，将小球
拉至细线水平，由静止释放小球，求小球在摆至最低点过程中其重力做功的最大功率。
(
L
m
O
mg
θ
θ
v
)【答案】
【解析】当细线摆过角度θ时小球速度大小设为v，由动能定理得
此时重力的功率
方法1：和定积最大
由不等式性质得：时P最大
最大值
【例7】如图所示，正方形ABCD的对角线长为2a，在A、C两点分别放置电荷量为＋q的点电荷，P为正方形ABCD外接圆上任意一点，O为外接圆的圆心，静电力常量为k，下列说法正确的是（ ）
A．B、D两点的电场强度相同
B．将负电荷沿直线由B移到D的过程中，电场力先做正功后做负功
C．对角线BD连线上电场强度E的最大值为
D．若两点电荷在P点的电场强度大小分别是E1、E2，则为定值
【答案】BCD
【解析】
A：B、D两点的电场强度方向相反，A错；
B：负电荷在BD上受力方向如图所示，B对；
C：如图所示，角度为θ时电场强度
方法1：和定积最大。
因为定值
则时E最大，最大值
方法2：求导法。
当其导数等于0时E最大，即：
（后面略）
D：勾股定理。
为定值，D对。
5．正弦定理（拉密定理）的应用
（秒杀技法：“对角垂直力最大”！记住该结论，动态分析5s得解）
（1）数学知识：
①正弦定理：如图所示的△ABC中，
②
③正弦函数在0°～180°范围内的图象及增减性如右图所示
（2）拉密定理：一物体受三个共点力作用而平衡，则各
力与对角的正弦之比相等，即：
（3）重要结论：在存在“恒力对恒角”的情况下，对于两个变力，记住口诀“对角垂直力最大”
①一个力的对角能够在变化过程中（不是起、止时刻）垂直，则这个力一定是先变大后变小
②对角趋近垂直时力增大，远离垂直时力变小
规律来由：存在一对“恒力对恒角”时（如前面的表达式中，假设F3与θ3恒定），则每个力与对角的正弦之比为定值。由此可知，某个对角为90°时分母的正弦最大，所以分子中的力也最大。
▲“恒力对恒角”，如果所对的“恒角”为直角，则直接用矢量作图法也比较简单
【例8】如图所示，将两块光滑平板OA、OB固定连接，构成顶角为60°的楔形槽，
楔形槽内放置一质量为m的光滑小球，整个装置保持静止，初始时OA板在水平地面上，
现使楔形槽绕O点顺时针缓慢转动至OA板竖直，则转动过程中（ ）
A．初始时OA板对小球的作用力最大 B．转过30°时OA板对小球的作用力最大
C．转过60°时OB板对小球的作用力最大 D．转过90°时OB板对小球的作用力最大
【答案】BD
【解析】
恒力G对恒角θ＝120°；
FA所对的角α从60°变到150°，所以先变大后变小；
FB所对的角β从180°变到90°，所以一直变大。
【例9】我国已在空间站中实施了多次“天宫课堂”面向全国公众直播，
大家对其中的水球光学实验印象深刻。如图所示，在完全失重环境下，从水袋
中挤出一个大水球漂浮在空中，然后用针管将气体注入水球中，最终形成一个
外半径为R内半径为r的均匀水球壳。用两条离中心轴线远近不同的平行光线
1和2在水球的轴截面内照射水球，若光线1刚好在水球内表面发生全反射，
且光线2投射到内表面上，则下列说法正确的有（ ）
A．光线2在水球内表面一定发生全反射
B．光线1进入水球前到中心轴线的距离一定等于r
C．光线1进入水球前到中心轴线的距离与R和r的具体大小有关
D．若换用同样形状和大小的玻璃球壳，只是折射率发生了变化，其他方面都不变，光线1仍然刚好发生全反射
【答案】ABD
▲重要的二级结论：
光线从空心球壳之外沿内表面的切线方向射入，则刚好在内表面上
发生全反射，而与内外半径的大小及介质折射率无关。
证明：由正弦定理得
由此可见，光线折射进球壳后投射到内表面上的入射角θ正好等于临界角C，刚好发生全反射，而与R、r及n无关。离轴线距离小于r的光线能够进入空腔，大于r的光线不能进入空腔。
6．余弦定理的应用
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