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-------2025高考物理数学法突破
《二次式分析法（二次函数、二次方程、二次不等式）》
1．二次函数
（1）函数图象：
①a＞0时：开口向上的抛物线，有最小值
②a＜0时：开口向下的抛物线，有最大值
（2）对称轴方程：x＝－
（3）顶点坐标：（－，）
①a＞0时：有最小值
②a＜0时：有最大值
【例1】人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实。设某次打夯符合以下模型：如图所示，两人同时通过绳子对重物各施加一个恒力，力的大小均为F＝500N，方向都与竖直方向成θ＝37°角，重物离开地面H后人停止施力，最后重物自由下落把地面夯实h深度。设重物的质量为m，打夯时重物对地面的平均冲击力为f＝1.05×104N，g取10m/s2。
（1）若H＝50cm，m＝50kg，求重物落到地面时的速度v；
（2）若H＝（50kg≤m≤60kg，k＝25kg·m），求重物把地面夯实的最大深度hm。
2．二次方程
（1）求根公式：（熟练掌握和应用）
（2）根的判别式：
① ＞0：有两个不等的实数解（物理问题的多解状态，如往返运动经同一位置的状态）
② ＝0：有一个实数解（重根状态，往往为物理问题的极值状态）
③ ＜0：无实数解（如物理运动学问题，无实数解，一般表示不相遇、不相碰）
▲重要技巧：用根的判别式求极值
（3）韦达定理：两根之积；两根之和
（4）物理问题中，注意两根的物理意义
特别要注意负根在表示矢量或标量方面的物理意义，两个正根也不一定都有意义
在刹车类问题中，如果时间有大小两个正根，往往大的无意义
【例2】某学生投实心球训练，以探究水平射程跟抛射角的关系，扔球速度为12m/s，出手高度为1.25m，重力加速度g＝10m/s2，则他扔球后球的落点到出手点的水平距离可能为（ ）
A．12m B．12.5m C．15m D．18m
(
v
0
v
1
37°
甲
x/m
10
8
0
1.0
t
0
t/s
乙
)【例3】如图甲所示，倾角为37°、足够长的传送带以恒定速率v1沿顺时针方向转动。一小煤块以初速度v0＝12m/s从传送带的底部冲上传送带，规定沿传送带斜向上为煤块运动的正方向，该煤块运动的位移x随时间t的变化关系如图乙所示。已知图线在前1.0s内和在1.0s～t0内为两段不同的
二次函数，t0时刻图线所对应的切线正好水平，重力加速
度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（ ）
A．传送带转动速率v1为8m/s
B．图乙中t0的数值为2.0
C．0～t0内煤块在传送带上的划痕长度为6m
D．煤块与传送带之间的动摩擦因数为0.25
3．二次不等式
《二次式分析法（二次函数、二次方程、二次不等式）》解析
1．二次函数
（1）函数图象：
①a＞0时：开口向上的抛物线，有最小值
②a＜0时：开口向下的抛物线，有最大值
（2）对称轴方程：x＝－
（3）顶点坐标：（－，）
①a＞0时：有最小值
②a＜0时：有最大值
【例1】人们有时用“打夯”的方式把松散的地面夯实。设某次打夯符合以下模型：如图所示，两人同时通过绳子对重物各施加一个恒力，力的大小均为F＝500N，方向都与竖直方向成θ＝37°角，重物离开地面H后人停止施力，最后重物自由下落把地面夯实h深度。设重物的质量为m，打夯时重物对地面的平均冲击力为f＝1.05×104N，g取10m/s2。
（1）若H＝50cm，m＝50kg，求重物落到地面时的速度v；
（2）若H＝（50kg≤m≤60kg，k＝25kg·m），求重物把地面夯实的最大深度hm。
【答案】（1）4m/s，方向竖直向下；（2）4cm
【解析】
（1）由动能定理得
（2）由动能定理得
将代入后推导得
（50kg≤m≤60kg）
分母y＝ m2+1050m函数图像为开口向下的抛物线，对称轴方程为m＝525（kg）
由此可知，当m＝50kg时y最小，h最大，h的最大值
2．二次方程
（1）求根公式：（熟练掌握和应用）
（2）根的判别式：
① ＞0：有两个不等的实数解（物理问题的多解状态，如往返运动经同一位置的状态）
② ＝0：有一个实数解（重根状态，往往为物理问题的极值状态）
③ ＜0：无实数解（如物理运动学问题，无实数解，一般表示不相遇、不相碰）
▲重要技巧：用根的判别式求极值
（3）韦达定理：两根之积；两根之和
（4）物理问题中，注意两根的物理意义
特别要注意负根在表示矢量或标量方面的物理意义，两个正根也不一定都有意义
在刹车类问题中，如果时间有大小两个正根，往往大的无意义
【例2】某学生投实心球训练，以探究水平射程跟抛射角的关系，扔球速度为12m/s，出手高度为1.25m，重力加速度g＝10m/s2，则他扔球后球的落点到出手点的水平距离可能为（ ）
(
x
y
O
v
0
θ
重根情况
抛射最远
双根情况
)A．12m B．12.5m C．15m D．18m
【答案】ABC
【解析】
方法1：二次方程根的判别式法
如图建立坐标系对铅球的运动进行水平—竖直分解
初速度v0＝12m/s，竖直位移－h＝1.45m，设抛射角为θ，则
水平位移 （1）
竖直位移 （2）
由（1）得，代入（2）得
分析斜抛运动规律可知，关于tanθ的一元二次方程，重根时x最大，即方程根的判别式 ＝0时x最大，所以
水平距离最大值为15.6m，ABC正确。
(
v
0
v

v
v
x
θ
θ
)方法2：二级结论法。
▲二级结论：若初、末速度大小确定，当它们的方向垂直时水平射程最大。
（说明：如右图，水平射程。而v0、v大小都确定，
则它们的夹角为90°三角形面积最大。）
抛出速度v0＝12m/s，下落高度h＝1.45m，设落地速度为v，由动能定理得
当初、末速度垂直时水平距离最大，最大值
，ABC正确
(
v
0
v
1
37°
甲
x/m
10
8
0
1.0
t
0
t/s
乙
)【例3】如图甲所示，倾角为37°、足够长的传送带以恒定速率v1沿顺时针方向转动。一小煤块以初速度v0＝12m/s从传送带的底部冲上传送带，规定沿传送带斜向上为煤块运动的正方向，该煤块运动的位移x随时间t的变化关系如图乙所示。已知图线在前1.0s内和在1.0s～t0内为两段不同的
二次函数，t0时刻图线所对应的切线正好水平，重力加速
度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，则（ ）
A．传送带转动速率v1为8m/s
B．图乙中t0的数值为2.0
C．0～t0内煤块在传送带上的划痕长度为6m
D．煤块与传送带之间的动摩擦因数为0.25
【答案】BD
【解析】分析可知，1.0s以前煤块速度大于传送带速度，煤块受传送带的摩擦力平行于传送带向下；
1.0s时刻达到共速；
(
v
1
37°
Gx
f
Gx
f
)此后煤块受传送带的摩擦力平行于斜面向上，但煤块加速度平行于传送带向下。
0～1.0s内：t1＝1s，x1＝8m，设加速大小为a1，则
设动摩擦因数为μ，则由牛顿第二定律得
，D对；
t1＝1s时煤块与传送带的速度
，A错；
1.0s～t0煤块的加速度大小
t0时刻煤块速度减到0，则
，B对；
如右所示v－t图，0～1.0s，煤块相对于传送带上滑，x相1＝4m；
1.0s～t0煤块相对于传送带下滑，x相2＝－2m，划痕与前一段过程重叠。
所以，划痕长度为4m，C错。
3．二次不等式
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