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-------2025高考物理数学法突破
《圆锥曲线方程与性质（圆、椭圆、抛物线、双曲线）》
1．抛物线方程
【例1】（抛物线方程、积定和最小）如图所示，一个方向竖直向下的有界匀强电场，电场强度大小为E。匀强电场左右宽度和上下宽度均为L。一个带正电荷的粒子（不计重力）从电场的左上方O1点以某一速度水平向右进入电场，该粒子刚好从电场的右下方A点离开电场；另一个质量为m、带电荷量为―q（q＞0）的粒子（不计重力）从电场左下方O2点水平向右进入电场，进入电场时的初动能为Ek0。已知图中O1、O2、A在同一竖直面内，设O1点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立坐标系（图中未画出），不计粒子间的相互作用。
（1）求带正电荷的粒子的运动轨迹方程
（2）求带负电荷的粒子运动到“带正电荷粒子的运动轨迹”处的动能
（3）当带负电荷的粒子进入电场的初动能为多大时，它运动到“带正电荷粒子运动轨迹”处时的动能最小？动能的最小值为多少？
2．椭圆方程
焦点在x轴是的椭圆方程：
a：半长轴；b：半短轴；c：半焦距。
椭圆上的任意点到两焦点的距离之和为定值，和为
【例2】如图所示，在一个椭圆的两个焦点F1和F2上分别固定一个带电量为q0的正点电荷，在图示坐标系中，椭圆方向为（a＞b＞0），E、F、G、H为椭圆上关于原点O中心对称的四个点。已知点电荷Q所激发的电场中某点的电势公式为，其中Q是点电荷的电量，r是电场中该点
到点电荷的距离，k为静电力常量。则下列说法正确的有（ ）
A．E点和G点场强相同
B．一正的试探电荷沿ABC运动，电场力先做正功后做负功
C．从B沿直线运动到D，场强先减小后增大
D．椭圆上各点电势的最大值为
【例3】（2023年湖南卷）如图，质量为M的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，长轴水平，短轴竖直．质量为m的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系xOy，椭圆长轴位于x轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为g。
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；
（2）在平面直角坐标系xOy中，求出小球运动的轨迹方程；
（3）若，求小球下降高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用a、b及g表示）。
3．双曲线方程
平面上两列相同的波形成稳定的干涉图样，振动加强（振动减弱）的点呈现双曲线分布规律。
一对等量异性点电荷的电场中，一个平面上的等势线不为双曲线，也不为椭圆和圆。
《圆锥曲线方程与性质（圆、椭圆、抛物线、双曲线）》解析
1．抛物线方程
【例1】（抛物线方程、积定和最小）如图所示，一个方向竖直向下的有界匀强电场，电场强度大小为E。匀强电场左右宽度和上下宽度均为L。一个带正电荷的粒子（不计重力）从电场的左上方O1点以某一速度水平向右进入电场，该粒子刚好从电场的右下方A点离开电场；另一个质量为m、带电荷量为―q（q＞0）的粒子（不计重力）从电场左下方O2点水平向右进入电场，进入电场时的初动能为Ek0。已知图中O1、O2、A在同一竖直面内，设O1点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，建立坐标系（图中未画出），不计粒子间的相互作用。
（1）求带正电荷的粒子的运动轨迹方程
（2）求带负电荷的粒子运动到“带正电荷粒子的运动轨迹”处的动能
（3）当带负电荷的粒子进入电场的初动能为多大时，它运动到“带正电荷粒子运动轨迹”处时的动能最小？动能的最小值为多少？
【答案】（1）；
（2）；
（3）时，
【解析】
（1）待定系数法。
设正粒子运动轨迹方程为
粒子过A点，将x＝L、y＝L代入得
则所求的轨迹方程为
（2）设负粒子初速度为v0，则
经时间t：
将正、负粒子的轨迹方程联立成方程组并解得交点坐标为
，
由动能定理，得负粒子到达轨迹交点时的动能
（3）变形：
因为定值
则时Ek最小，最小值
2．椭圆方程
焦点在x轴是的椭圆方程：
a：半长轴；b：半短轴；c：半焦距。
椭圆上的任意点到两焦点的距离之和为定值，和为
【例2】如图所示，在一个椭圆的两个焦点F1和F2上分别固定一个带电量为q0的正点电荷，在图示坐标系中，椭圆方向为（a＞b＞0），E、F、G、H为椭圆上关于原点O中心对称的四个点。已知点电荷Q所激发的电场中某点的电势公式为，其中Q是点电荷的电量，r是电场中该点
到点电荷的距离，k为静电力常量。则下列说法正确的有（ ）
A．E点和G点场强相同
B．一正的试探电荷沿ABC运动，电场力先做正功后做负功
C．从B沿直线运动到D，场强先减小后增大
D．椭圆上各点电势的最大值为
【答案】BD
【解析】
A：E点和G点电场方向不同，A错；
B：设椭圆上某点P到F1、F2的距离分别为r1、r2，则P点的电势
由不等式性质知，r1+r2＝2a为定值，则r1＝r2＝a时r1r2积最大，电势φ最小
而A、C两点，r1与r2相差最大，r1r2积最小，电势φ最大
沿ABC运动，电势先减小后增大，正电荷的电势能先减小后增大
则电场力先做正功后做负功，B对；
C：若椭圆接近于圆，则两焦点靠近中心O场强最大的点P在椭圆内部，
从B到O，场强先增大（到P点时最大）后减小（到O点时为0），
从O到D，场强先增大后减小。所以C错；
D：由B的推导可知，椭圆上A、C两点电势最大。按图中A点计算
，
D对
【例3】（2023年湖南卷）如图，质量为M的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为a和b，长轴水平，短轴竖直．质量为m的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑。以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系xOy，椭圆长轴位于x轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为g。
（1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离；
（2）在平面直角坐标系xOy中，求出小球运动的轨迹方程；
（3）若，求小球下降高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用a、b及g表示）。
【答案】（1），；
（2）；（3）
【思维】
（1）人船模型→水平方向动量守恒→机械能守恒定律→凹槽速度大小→凹槽相对于初始时刻向右运动的距离
（2）椭圆标准方程→人船模型→小球运动的轨迹方程
（3）→小球运动的轨迹方程→小球轨迹为半径为b的圆→水平方向动量守恒→机械能守恒定律→小球相对于地面速度大小
【解析】
（1）小球第一次运动到轨道最低点的过程，水平方向由动量守恒定律，mv1＝Mv2，
由机械能守恒定律，mgb＝+
联立解得：v2＝
根据人船模型，mx1＝Mx2，x1+x2＝a
解得：凹槽相对于初始时刻向右运动的距离x2＝
（2）小球向左运动过程中凹槽向右运动，当小球的坐标为时，凹槽水平向右运动的位移为，根据上式有
则小球现在在凹槽所在的椭圆上，根据数学知识可知此时的椭圆方程为
整理得
（）
（3）将代入小球的轨迹方程化简可得
即此时小球的轨迹为以（a b，0）为圆心，b为半径的圆
则当小球下降的高度为时如图，此时可知速度和水平方向的的夹角为60°
小球下降的过程中，系统水平方向动量守恒
系统机械能守恒
联立得
3．双曲线方程
平面上两列相同的波形成稳定的干涉图样，振动加强（振动减弱）的点呈现双曲线分布规律。
一对等量异性点电荷的电场中，一个平面上的等势线不为双曲线，也不为椭圆和圆。
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