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-------2025高考物理数学法突破
《数列分析法（递推法、累加法、通项法、过程或对象整体法）》
等差数列前n项求和公式：Sn＝＝na1＋d（d为公差）
等比数列前n项求和公式：Sn＝（q为公比，q≠1）
无穷递缩等比数列所有项求和公式：S＝（q为公比，0＜|q|＜1）
1．递推法
技巧：从前往后依次推导，推导几项之后发现规律，依据规律得出最终结论。
经验：无论处理什么样的物理问题，尽量避免使用递推法。使用递推法主要有三大劣势：
①推导麻烦。用递推法，一般要推导三四项才能准确找到规律。
②很多问题不易找到正确的规律。根据少数的三四项，而且很多问题中推导出的前几项表达式复杂，往往难以发现规律。
③不能确保你所找到的规律是否正确。从理论上讲，用不完全归纳法找到的规律到底是否正确，应该用数学归纳法加以证明。但如果又增加一个数学归纳法的证明过程，问题的处理就更麻烦了。
【例1】如图所示，在足够大的光滑绝缘水平面上静止着两个质量均为m、相距为L的小球A和B，小球A带＋q的电荷量，小球B不带电。若沿水平向右的方向加一场强大小为E的匀强电场，A球将受力而运动，并与B球反复发生弹性碰撞（碰撞时间不计），碰后两球速度交换，若碰撞过程中无电荷转移，求：
（1）A与B第一次碰后瞬间B球的速率；
（2）从A开始运动到两球第二次相碰经历多长时间；
（3）两球从第n次碰撞到第n＋1次碰撞时间内A球所通过的路程。
【例2】（递推法或累加法）（注意：本问题不能用过程整体法，为什么？）如图所示，有很多块质量都为的木块互相紧靠着沿一直线排列于光滑水平面上，每相邻两块木块间均用长为L的柔软轻线连接着。现用一恒力F沿排列方向拉第一块木块，以后各木块依次被拉动。求第n块木块刚被拉动时的速度大小。
2．累加法
技巧：通项由正、负两部分组成，且两部分与前、后项存在一定的规律性，或构成等差等比数列，等等，往往可用累加法相抵消，或用求和公式处理
【例3】（1）将一条足够长的直线轨道依次分为长度均为s＝3m的各段。一质点从一端由静止出发沿该轨道运动，第一段的加速度a1＝2m/s2，以后每次经过等分点时加速度均突然变为前一段的，则质点的终极速度为 m/s；
（2）若以加速度a1＝2m/s2由静止出发做匀加速度直线运动，每经过t＝2s的时间后加速度变为前面过程的，则质点的终极速度为 m/s。
【例4】超市里用的购物车为顾客提供了购物方便，又便于收纳。收纳时一般采用完全非弹性碰撞的方式把购物车收到一起，如图甲所示。某兴趣小组在超市对同款购物车（以下简称“车”）的碰撞进行了研究，分析时将购物车简化为可视为质点的小物块，已知车的净质量m＝15kg，g＝10m/s2。
（1）首先测车与超市地面间的动摩擦因数：取一辆车停在水平地面上，现给它向前的水平初速度v0＝2m/s，测得该车能沿直线滑行x0＝2m，求车与超市地面间的动摩擦因数 ；
（2）取编号为A、B的车，B车装上m0＝15kg的货物后停在超市水平地面上，空车A的前端装上轻弹簧，将A车停在B车的正后方且相距x＝5.5m处。现给A车施加向前的水平推力F0＝75N，作用时间t0＝1s后撤除。设A车与B车间的碰撞为弹性正碰（忽略相互作用时间），两车所在直线上没有其他车，求在A车运动的全过程中A车与地面间产生的摩擦热；
（3）如图乙所示，某同学把n（n＞2）辆空车等间距摆在超市水平地面上的一条直线上，相邻两车间距d＝1m，用向前的水平恒力F＝300N一直作用在1车上，推着1车与正前方的车依次做完全非弹性正碰（碰撞时间极短），通过计算判断，他最多能推动多少辆车？
[数列求和公式：，]
3．通项法
技巧：直接选定通项求解
【例5】如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人序号都为n（n＝l、2、3、…）。每人只有一个沙袋。x＞0一侧的每个沙袋质量为m＝14kg；x＜0一侧的每个沙袋质量为m'＝10kg。一质量为M＝48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行。不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号数）。
（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？
（2）车上最终有大小沙袋共多少个？
4．过程整体法
技巧：取所有对象、对整个过程，根据物理原理及规律一起分析处理
【例6】如图所示，质量M＝10kg，上表面光滑的足够长木板在水平拉力F＝50N作用下，以v0＝5m/s的初速度沿水平地面向右匀速运动，现有足够多的小铁块，它们质量均为m＝1kg，将一铁块无初速度地放在木板最右端，当木板运动了L＝1m时，又无初速度地在木板最右端放上第二个铁块，只要木板运动了1m就在木板最右端无初速放一铁块。
（1）第一个铁块放上后，木板再运动1m时，木板的速度多大？
（2）最终有几个铁块留在木板上？
（3）最后一个铁块与木板右端距离多大？（g取10m/s2）
5．无穷递缩等比数列所有项求和
【例7】如图所示，物块A的质量mA＝3kg，足够长的平板小车B的质量mB＝1kg，B置于光滑的水平地面上，B的右端离右边的竖直墙壁P足够远，A与B之间的动摩擦因数μ＝0.2。A以v0＝4m/s的水平初速度向右滑上B的左端，B每一次都是在与A共速后再与墙壁发生碰撞，且每一次碰后B都是以原速率向左反弹。不计碰撞时间，求B与墙壁发生第一次碰撞后直至最终停止，小车B走过的总路程。
《数列分析法（递推法、累加法、通项法、过程或对象整体法）》解析
等差数列前n项求和公式：Sn＝＝na1＋d（d为公差）
等比数列前n项求和公式：Sn＝（q为公比，q≠1）
无穷递缩等比数列所有项求和公式：S＝（q为公比，0＜|q|＜1）
1．递推法
技巧：从前往后依次推导，推导几项之后发现规律，依据规律得出最终结论。
经验：无论处理什么样的物理问题，尽量避免使用递推法。使用递推法主要有三大劣势：
①推导麻烦。用递推法，一般要推导三四项才能准确找到规律。
②很多问题不易找到正确的规律。根据少数的三四项，而且很多问题中推导出的前几项表达式复杂，往往难以发现规律。
③不能确保你所找到的规律是否正确。从理论上讲，用不完全归纳法找到的规律到底是否正确，应该用数学归纳法加以证明。但如果又增加一个数学归纳法的证明过程，问题的处理就更麻烦了。
【例1】如图所示，在足够大的光滑绝缘水平面上静止着两个质量均为m、相距为L的小球A和B，小球A带＋q的电荷量，小球B不带电。若沿水平向右的方向加一场强大小为E的匀强电场，A球将受力而运动，并与B球反复发生弹性碰撞（碰撞时间不计），碰后两球速度交换，若碰撞过程中无电荷转移，求：
（1）A与B第一次碰后瞬间B球的速率；
（2）从A开始运动到两球第二次相碰经历多长时间；
（3）两球从第n次碰撞到第n＋1次碰撞时间内A球所通过的路程。
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】如图所示（略）
【例2】（递推法或累加法）（注意：本问题不能用过程整体法，为什么？）如图所示，有很多块质量都为的木块互相紧靠着沿一直线排列于光滑水平面上，每相邻两块木块间均用长为L的柔软轻线连接着。现用一恒力F沿排列方向拉第一块木块，以后各木块依次被拉动。求第n块木块刚被拉动时的速度大小。
【答案】
【解析】
方法1：递推法。
第1块木块与第2块木块碰前的速度设为v1′，由动能定理得
第1块木块与第2块木块碰后的共同速度设为v2，由动量守恒得
前2块木块与第3块木块碰前的速度设为v2′，由动能定理得
前2块木块与第3块木块碰后的共同速度设为v3，由动量守恒得
前3块木块与第4块木块碰前的速度设为v3′，由动能定理得
前3块木块与第4块木块碰后的共同速度设为v4，由动量守恒得
依此类推，前n 1块木块与第n块木块碰后的共同速度vn，即第n块木块刚被拉动时的速度为
方法2：累加法。
设前k 1块木块刚结合时的速度为，结合后拉过距离L时的速度为，由动能定理得
（1）
设前k 1块木块与第k块木块碰后的共同速度为，由动量守恒得
（2）
（2）代入（1）得
（3）
为了累加时相消方便，（3）式两边各乘以k 1，且把右边的k 1放入中括号中，得
（4）
（4）式中的k依次取2、3、4、…、n，依次列式进行累加
（其中v1＝0）
… …
左右两边分别累加，得
2．累加法
技巧：通项由正、负两部分组成，且两部分与前、后项存在一定的规律性，或构成等差等比数列，等等，往往可用累加法相抵消，或用求和公式处理
【例3】（1）将一条足够长的直线轨道依次分为长度均为s＝3m的各段。一质点从一端由静止出发沿该轨道运动，第一段的加速度a1＝2m/s2，以后每次经过等分点时加速度均突然变为前一段的，则质点的终极速度为 m/s；
（2）若以加速度a1＝2m/s2由静止出发做匀加速度直线运动，每经过t＝2s的时间后加速度变为前面过程的，则质点的终极速度为 m/s。
【答案】（1）6m/s；（2）12m/s
【解析】设各段的加速度依次为a1、a2、a3、…
（1）累加法。设到达各段末的速度依次为v1、v2、v3、…，则
各式两边分别累加，得：
取n为无穷大，即所有项求和，得终极速度：
（2）另类累加法。
终极速度
【例4】超市里用的购物车为顾客提供了购物方便，又便于收纳。收纳时一般采用完全非弹性碰撞的方式把购物车收到一起，如图甲所示。某兴趣小组在超市对同款购物车（以下简称“车”）的碰撞进行了研究，分析时将购物车简化为可视为质点的小物块，已知车的净质量m＝15kg，g＝10m/s2。
（1）首先测车与超市地面间的动摩擦因数：取一辆车停在水平地面上，现给它向前的水平初速度v0＝2m/s，测得该车能沿直线滑行x0＝2m，求车与超市地面间的动摩擦因数 ；
（2）取编号为A、B的车，B车装上m0＝15kg的货物后停在超市水平地面上，空车A的前端装上轻弹簧，将A车停在B车的正后方且相距x＝5.5m处。现给A车施加向前的水平推力F0＝75N，作用时间t0＝1s后撤除。设A车与B车间的碰撞为弹性正碰（忽略相互作用时间），两车所在直线上没有其他车，求在A车运动的全过程中A车与地面间产生的摩擦热；
（3）如图乙所示，某同学把n（n＞2）辆空车等间距摆在超市水平地面上的一条直线上，相邻两车间距d＝1m，用向前的水平恒力F＝300N一直作用在1车上，推着1车与正前方的车依次做完全非弹性正碰（碰撞时间极短），通过计算判断，他最多能推动多少辆车？
[数列求和公式：，]
【答案】（1）0.1；（2）90J；（3）30辆
【解析】
（1）由动能定理得
（2）A车质量mA＝15kg，在F0作用下的加速度
经t0＝1s获得的速度，t0＝1s内的位移
撤去F0后继续发生的位移
设A与B碰前A的速度为v2，又由动能定理得
B车总质量mB＝m+m0＝30kg，设A、B弹性碰撞后速度分别为v3、v4，由弹性碰撞规律得
代入数据并解得：，
碰后A车的动能在以后的过程中全部因摩擦而生热，则所求摩擦热
（3）先推导出一条规律：
设原来的k辆车整体速度为v，动能
再与一辆车发生完全非弹性碰撞结合成的整体（共k+1辆车）速度设为v'，
碰撞中动量守恒：
则碰后的总动能：
设每一次碰撞前，运动的车总动能依次为、、、、…、、
每一辆车运动时所受摩擦力，对各段推动过程依次用动能定理，得：
… … … …
+)
将右边各式累加，得：
当≤0时，就不能推动后面的车了，即：
≤0
≤≥
结论：最多能推动30辆车
3．通项法
技巧：直接选定通项求解
【例5】如图所示，一排人站在沿x轴的水平轨道旁，原点O两侧的人序号都为n（n＝l、2、3、…）。每人只有一个沙袋。x＞0一侧的每个沙袋质量为m＝14kg；x＜0一侧的每个沙袋质量为m'＝10kg。一质量为M＝48kg的小车以某初速度从原点出发向正x方向滑行。不计轨道阻力。当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度u朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号数）。
（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？
（2）车上最终有大小沙袋共多少个？
【答案】（1）3个；（2）11个
【解析】
（1）在小车沿正x方向滑行过程中：
设第（n－1）个沙袋扔到车上后的车速为vn－1，第n个沙袋扔到车上后的车速为vn，由动量守恒定律有
小车反向运动的条件是vn－1＞0，vn＜0，即：M－nm＞0，且M－（n+1）m＜0
代入数据，得：＜，＞
n应为整数，故n＝3，即车上堆积3个沙袋后车就反向滑行；
（2）车反向滑行直到x＜0一侧第1人所在位置，车速保持不变，而车的质量为M+3m
若车在朝负x方向滑行过程中，第（n－1）个沙袋扔到车上后车速为v′n-1，第n个沙袋扔到车上后车速为v′n
现取在图中向左的方向（负x方向）为速度v′n、v′n-1的正方向，则由动量守恒定律有
车不再向左滑行的条件是vn-1′＞0，vn′≤0，即：M+3m－nm′＞0，M+3m－(n+1)m′≤0
代入数据，得：＜，≥，8≤＜9
n＝8时，车停止滑行，即在x＜0一侧第8个沙袋扔到车上后车就停住。
故车上最终共有大小沙袋3+8＝11（个）。
4．过程整体法
技巧：取所有对象、对整个过程，根据物理原理及规律一起分析处理
【例6】如图所示，质量M＝10kg，上表面光滑的足够长木板在水平拉力F＝50N作用下，以v0＝5m/s的初速度沿水平地面向右匀速运动，现有足够多的小铁块，它们质量均为m＝1kg，将一铁块无初速度地放在木板最右端，当木板运动了L＝1m时，又无初速度地在木板最右端放上第二个铁块，只要木板运动了1m就在木板最右端无初速放一铁块。
（1）第一个铁块放上后，木板再运动1m时，木板的速度多大？
（2）最终有几个铁块留在木板上？
（3）最后一个铁块与木板右端距离多大？（g取10m/s2）
【答案】（1）m/s；（2）7个；（3）m
【解析】
（1）求动摩擦因数μ
长木板在拉力F作用下匀速运动，则
在以后的过程中，F总是与μMg平衡，不予考虑。
第一个铁块放上去且木板运动1m时设木板速度为v1，由动能定理得：
（2）设最终放了n个铁块，则木板克服摩擦力做的总功
代入数据解得n＞6.5。n取整数，最终有7个。
（3）设第7个铁块放上后木板继续运动距离d而停下，则
代入数据解得
5．无穷递缩等比数列所有项求和
【例7】如图所示，物块A的质量mA＝3kg，足够长的平板小车B的质量mB＝1kg，B置于光滑的水平地面上，B的右端离右边的竖直墙壁P足够远，A与B之间的动摩擦因数μ＝0.2。A以v0＝4m/s的水平初速度向右滑上B的左端，B每一次都是在与A共速后再与墙壁发生碰撞，且每一次碰后B都是以原速率向左反弹。不计碰撞时间，求B与墙壁发生第一次碰撞后直至最终停止，小车B走过的总路程。
【答案】2m
【解析】B与墙发生第一次碰撞后，两物体的v t图像如图所示（推算过程略）
第一次反弹后，B向左的位移设为x1，对B用动能定理
，则（面积比等于相似比的平方）
即各次反弹后，B向左的位移依次构成等比数列，公比
且每次碰撞后，B先向左运动再反向向右运动，
向左向右运动的路程相等，则B走过的总路程
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