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10.5用二元一次方程组解决问题
一、单选题
1．算法统宗里有这样一道题：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多七客，一房九客一房空．”李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？如果设李三公家的店有x间客房，来了y个房客，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．C． D．
2．2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时，共收割小麦3.6公顷；4台大收割机和3台小收割机同时工作5小时，共收割小麦11公顷．问1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷．设1台大收割机每小时收割小麦x公顷，1台小收割机每小时收割小麦y公顷，则下列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．甲乙两地相距480千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用20小时，逆水行船用26小时，若设船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时，则下列方程组中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个大长方形，设长方形墙砖的长和宽分别为和，则依题意列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．中国古代的数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每辆车坐3个人，那么就有2辆车空出来；如果每辆车坐2个人，那么就有9个人没车可坐，需步行．假设有x个人，有y辆车，可以获得的方程组为（ ）
A． B． C． D．
6．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中有这样一题：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何．题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．问家数、牛价各是多少．下列说法正确的是（ ）
A．设有x家，则牛价为钱
B．设有x家，则可列方程为
C．设有x家，则牛价为y钱，则可列方程组为
D．设有x家，牛价为y钱，则可列方程组为
8．某货运公司临时接到一个任务，从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆．货运公司调派甲货车运送A种货物，乙货车运送B种货物，A种货物每箱，B种货物每箱．因为两种货物包装箱完全一样，装运工人一时疏忽，使得两车虽然所装货物数量正确，但部分货物却装混了．运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，则甲车有（ ）箱货物装错．
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题
9．平泽唯搭乘电车外出游玩，电车正要经过一条长的桥，电车从车头上桥到车尾离桥共用时，整列电车完全在桥上的时间为，则电车的行驶速度为 ．
10．陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位．已知第一、二束气球的价格如图所示（图示：第一束气球价格14元，第二束18元），则第三束气球的价格为 ．
11．中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算，《九章算术》第八章算为“方程”，其中有一例为：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x，y的系数与相应的常数项，即可表示方程，则表示的方程是 ．
12．在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分的面积是 ．
13．有一个三位数，将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小，又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小，则原来的数是 ．
14．李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需，则李师傅加工8个甲种零件和16个乙种零件共需 ．
三、解答题
15．某企业为了在复杂多变的市场环境中实现跨越式发展，争取通过增收减支使得今年企业的利润是去年的2倍，该企业的具体目标如下：保证今年总产值比去年增加，总支出比去年减少．已知该企业去年的利润（利润＝总产值-总支出）为200万元，求去年的总产值和总支出．
16．甲、乙两个工程队先后接力为某村庄修建一条长的公路，甲队每天修建公路，乙队每天修建公路，一共用24天完成．
(1)小明根据题意，列出了一个尚不完整的方程组，小明所列方程组中，x表示_______，y表示_______；该方程组中△处的数应是_______，□处的数应是_______．
(2)小方的思路是设甲工程队一共修建了公路，乙工程队一共修建了公路，请你按照小方的思路列出方程组（不用求解）．
17．算盘起源于中国，算盘是我国的优秀文化遗产．以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把上珠分为上、下两部分，每个上珠代表5，每个下珠代表1，每串算珠从右至左依次代表十进位值制的个位、十位、百位、千位、万位数可以任意选定某档为个位，不拨出空档表示0．小华在百位拨了一颗上珠和一颗下珠，对小明说：我拨的三位数中，个位数字与十位数字的和等于百位上的数，个位数字减2等于十位数字加2，请求出这个三位数．
18．某纸品加工厂制作甲（需要材料为1个正方形和4个长方形）、乙（需要材料为2个正方形和3个长方形）两种无盖的长方体小盒，利用边角料裁出正方形、长方形两种硬纸片，长方形的宽与正方形边长相等，现将160张正方形硬纸片和340张长方形硬纸片全部用于制作这两种无盖长方体小盒，分别可以做多少个？
19．某厂要制作一些玻璃窗，如图，一扇窗户由甲、乙、丙型玻璃片组成，厂家购置了一批相同的长方形大玻璃（如长方形），并按如图所示的两种方案进行无废料切割，同种型号玻璃片大小、形状都一样．
(1)若大玻璃的长为2米，则乙玻璃的边______米，________米．
(2)若厂家已有足够多的甲玻璃片，再购入26块大玻璃片，并按以上两种方案进行切割成乙、丙两种玻璃片．设其中有x块大玻璃片按方案一切割，y块按方案二进行切割．若所购大玻璃片无剩余，且恰好可以与甲玻璃搭成若干扇窗户，请求出x与y的值．
20．佰洋电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是2025年3月前两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售总额
A种型号 B种型号
第一周 3台 5台 18000元
第二周 4台 10台 31000元
(1)求A，B两种型号的净水器的销售单价？
(2)由于前两周两种净水器都销售一空，电器公司第三周采购这两种型号的净水器共30台，恰好花费54000元，求A种型号的净水器采购了多少台？
(3)在（2）的条件下，电器公司第三周开始销售部分刚购进的A型号和B型号净水器，但发现市场将要被新款智能净水器所取代，为扩大销售量，将剩余B种型号净水器按售价的七折进行销售，A种型号净水器原售价不变，当第三周采购的30台净水器都销售一空后统计这30台净水器的利润为6700元，求电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为多少个？
参考答案
一、参考答案
1．A
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确列出方程是解题的关键．设该店有客房x间，房客y人，根据题意，列出方程组，即可得解．
【详解】解：设该店有客房x间，房客y人，
根据题意得，
故选：．
2．A
【分析】此题考查了列二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键．根据“ 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，4台大收割机和3台小收割机同时工作5小时共收割小麦11公顷”列方程组即可．
【详解】解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，
根据2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，得
根据4台大收割机和3台小收割机同时工作5小时共收割小麦11公顷，得，
可列，
故选：A．
3．A
【分析】考查用二元一次方程组解决行程问题；得到顺水路程及逆水路程的等量关系是解决本题的关键；用到的知识点为：顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度．两个等量关系为：顺水时间顺水速度；逆水时间逆水速度，把相关数值代入即可求解．
【详解】解：根据题意可得，顺水速度，逆水速度，
根据所走的路程可列方程组为，
故选：．
4．B
【分析】根据图示可得：矩形的宽可以表示为，宽又是75厘米，故，矩形的长可以表示为，或，故，整理得，联立两个方程即可．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是看懂图示，分别表示出长方形的长和宽．
【详解】解：根据图示可得，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，确定相等关系列方程是解题的关键．
设有x个人，有y辆车，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得，由每2人坐一辆车，有9人需要步行，可得： 从而可得答案．
【详解】解：设有x个人，有y辆车，根据题意得：
则
故选：D．
6．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据已知方程组，结合图可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10；根据图2中第一个方程求出x，y的值代入第二个代数式求值是解题关键．
【详解】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
又∵，
解得：，，
把，代入得，，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．根据题意正确的列方程组是解题的关键．设有x家，牛价为y钱，由每7家共出钱，会差钱，每9家共出钱，又多了钱，列方程即可．
【详解】解：设有x家，牛价为y钱，
根据题意可列方程为，故A选项，B选项错误；
则可列方程组为，故C选项错误，D选项正确；
故选：D．
8．D
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，根据从工厂同时运送A，B两种货物各20箱到展馆，运送途中安检时，两车过地秤，发现甲车比乙车的货物重，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设甲车装A种货物x箱，B种货物y箱，则乙车装A种货物箱，B种货物箱，根据题意得：
，
解得：，
∴甲车装了18箱A和2箱B，乙车装了2箱A和18箱B，
所以，甲车有2箱货物装错．
故选：D．
二、填空题
9．
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设电车的行驶速度为，电车的长为，根据过桥总路程为桥长加车长，整列车在桥上，总路程等于桥长减去车长，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：设电车的行驶速度为，电车的长为，由题意，得：
，解得：；
则电车的行驶速度为．
故答案为：．
10．16
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、代数式求值等知识点，审清题意、列二元一次方程组是解题的关键，
设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个，然后根据第一、二束列出方程组求得x、y的值，最后根据第三束气球状况列代数式并求值即可．
【详解】解：设笑脸形的气球x元一个，爱心形的气球y元一个，
由题意得：，解得：，
∴第三束气球的价格为（元）．
故答案为16．
11．
【分析】本题主要考查了列二元一次方程，弄清图的意义是解题的关键．
根据题意可知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中左边的未知数x，y的系数以及等式右边相应的常数项，一个竖线表示一个，一条横线表示一十，据此列出方程即可．
【详解】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中左边的未知数x，y的系数以及等式右边相应的常数项，一个竖线表示一个，一条横线表示一十，
所以该图表示的方程是：．
故答案为：．
12．44
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长、宽分别为，，根据图形找出等量关系列方程组求解即可．
【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，，
依题意得，
解之得，
小长方形的长、宽分别为，，
，
．
故答案为：44．
13．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键．
设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，根据“将最左边的数字移到最右边，则它比原来的数小；又知原来的三位数的百位上的数的倍比十位上的数与个位上的数组成的两位数小”，可列出关于、的二元一次方程，解之即可求出结论．
【详解】解：设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，
根据题意得：，
解得：，
原来的数为，
故答案为：．
14．240
【分析】本题主要考查二元一次方程组解实际应用，准确理解等量关系是解题的关键．根据题意列出二元一次方程组进行计算即可得到答案．
【详解】解：设李师傅加工个甲零件需要，加工个乙零件需要，
，
①②得：．
将代入①，得到，
故，
故加工8个甲种零件和16个乙种零件共需．
故答案为：．
三、解答题
15．解：设去年的总产值为万元，总支出为万元，则今年的总产值为万元，总支出为万元，
根据题意得
解得
答：去年的总产值为600万元，总支出为400万元．
16．（1）解：根据题意得：小明所列方程组中，x表示甲队修建的天数，y表示乙队修建的天数；该方程组中△处的数应是24，□处的数应是6000；
故答案为：甲队修建的天数，乙队修建的天数，
（2）解：设甲工程队一共修建了公路，乙工程队一共修建了公路，根据题意得：
17．解：设个位数字为，十位数字为，由题意，得：
，解得：，
∴这个三位数为：．
18．解：设可以做成无盖长方体小盒各x个，y个，
由题意得，，
解得，
答：可以做成甲种小盒40个，乙种小盒60个．
19．（1）（米），
（米）；
（2）由图可知：丙种玻璃片是乙种玻璃片的2倍，
可得：，
解得：．
20．（1）解：设A种型号的净水器的销售单价为x元，B种型号的净水器的销售单价为y元，
依题意，得，
解得： ，
答：A种型号的净水器的销售单价为2500元，B种型号的净水器的销售单价为2100元．
（2）解：设A种型号的净水器m台，则B种型号的净水器台，
依题意，得：，
解得，
答：A种型号的净水器采购了10台．
（3）解：设电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为n台，则不打折销售的B种型号净水器为台，
依题意，得：，
解得：，
答：电器公司第三周采购的30台净水器中，用于打折销售的B种型号净水器为10台．

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