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(共48张PPT)
第三节　单　摆
第二章　机械振动
1.理解单摆模型和单摆摆球做简谐运动的条件，知道单摆摆球运动时回复力的来源。
2.知道影响单摆周期的因素，能熟练运用单摆的周期公式解决相关问题。
学习目标
目 录
CONTENTS
知识点
01
随堂对点自测
02
课后巩固训练
03
知识点
1
知识点二　单摆的周期公式
知识点一　单摆及单摆摆球的回复力
知识点一　单摆及单摆摆球的回复力
　　　如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放。
(1)小球的往复运动属于机械振动，其平衡位置在哪里？
(2)将小球所受重力分解为切向的分力F和径向的分力F′，哪个分力充当回复力？
提示　(1)O点　(2)F
1.单摆
(1)组成：由细绳和物体组成。
(2)条件
①悬挂物体的绳子的伸缩和质量可以__________。
②绳长比物体的尺寸大很多，物体可以看作______。
(3)若单摆的摆角__________，单摆摆球的摆动可近似看成简谐运动。
忽略不计
质点
小于5°
2.摆球的回复力
如图所示，在摆角小的情况下，可认为分力mgsin θ近似指向平衡位置，即它提供摆球的回复力，即F＝mgsin θ。
3.摆球做简谐运动的推证
【思考】　小球通过平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？若不为零，其合外力沿什么方向？加速度呢？
提示　合外力不为0，其合外力提供向心力，指向圆心。加速度不为0，向心加速度指向圆心。
D
例1 如图中O点为单摆的固定旋点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　　)
A.摆球在A点和C点处，速度为零，位移也为零
B.摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C.摆球在B点处，重力势能最小，加速度也为零
D.摆球在B点处，动能最大，细线拉力也最大
解析　摆球在摆动过程中，最高点C处是摆球的最大位移位置，速度为零，回复力最大，故A、B错误；最低点B是摆球的平衡位置，速度最大，动能最大，重力势能最小，摆球做圆周运动，绳的拉力最大，加速度不为零，故C错误，D正确。
A
训练1 关于单摆，下列说法中正确的是(　　)
A.摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B.摆球受到的回复力是它的合力
C.摆球经过平衡位置时，所受的合力为零
D.摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比
解析　根据回复力的定义知，摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置，A正确；摆球的回复力除最高点外都不是摆球受力的合力，但不管在哪个位置均可认为是重力沿轨迹圆弧切线方向的分力，B错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因沿悬线方向上需要向心力，C、D错误。
回复力与合外力
回复力是使物体回到平衡位置的力，不一定是物体所受到的合外力。弹簧振子中小球的回复力是振动方向上的合外力，单摆摆球的回复力是摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球的合外力。　　　　
知识点二　单摆的周期公式
　　　(1)1582年伽利略发现摆动的吊灯往返一次所需要的时间似乎都一样。只改变物体质量，物体摆动周期不变，只改变绳子长度，物体摆动的周期将发生变化，据此我们可以判断摆动周期与什么相关，与什么无关？
(2)将走时准确的摆钟，由赤道拿到两极，走时就不准了，据此猜测摆动周期可能与什么相关？
提示　(1)与绳长相关，与物体的质量无关
(2)当地的重力加速度。
1.在摆角很小的情况下，单摆的周期与小球质量和摆角______，与单摆摆长______。故单摆的简谐运动周期也叫单摆的固有周期。
2.周期公式
(1)提出：周期公式是荷兰物理学家________首先提出的。
无关
有关
惠更斯
正比
反比
无关
(2)重力加速度g
①g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所处的空间位置决定。
②在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同。
D
角度1　单摆周期公式的理解
例2 (粤教版教材P50课后题4改编)摆长是1 m的单摆在某地区的周期是2 s，则在同一地区(　　)
A.摆长是0.5 m的单摆的周期是4 s
B.摆长是0.5 m的单摆的周期是1 s
C.周期是1 s的单摆的摆长为2 m
D.周期是4 s的单摆的摆长为4 m
BCD
角度2　单摆中的图像问题
例3 (多选)(2024·广东广州期末)如图甲，小明做摆角较小的单摆实验，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置，小明通过实验测出当地重力加速度g＝π2 m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙，设图中单摆向右振动为正方向，则下列选项正确的是(　　　)
A.此单摆的振动频率是2 Hz
B.单摆的摆长约为1.0 m
C.仅改变摆球质量，单摆周期不变
D.t＝0时刻，摆球位于B点
B
角度3　单摆模型拓展
例4 (2024·重庆西南大学附中高二月考)如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是(　　)
A.乙先到，然后甲到，丙最后到
B.丙先到，然后甲、乙同时到
C.丙先到，然后乙到，甲最后到
D.甲、乙、丙同时到
训练2 如图所示，三根长度均为l0的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球的直径为d(d l0)，绳l2、l3与天花板的夹角α＝30°。则：
(1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？
(2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？
(2)小球做垂直于纸面的小角度摆动，相当于以O为悬点做简谐运动，摆长为
随堂对点自测
2
BCD
1.(单摆及单摆的回复力)(多选)关于单摆的运动有下列说法，其中正确的是(　 　)
A.单摆摆球的回复力是摆线的拉力与重力的合力
B.单摆摆球的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力
C.单摆的周期与摆球质量无关，与振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关
D.摆球做简谐运动的条件是摆角很小，如小于5°
AB
2.(单摆的周期公式)(多选)(2024·浙江杭州高二月考)如图甲所示，O是摆球的平衡位置，B、C是摆球所能达到的最远位置，以向右摆动为正方向，此摆球的振动图像如图乙所示，则(　　)
A.摆球的振幅是8 cm
B.单摆的摆长约为1 m
C.P点时刻摆球正在OC间向正方向摆动
D.摆球经过O点时，速度最大，加速度为零
A
3.(单摆的周期公式)(2024·广东梅州高二期末)李华家有一带有钟摆(可视为单摆)的机械时钟，最近发现这个时钟每天要快5分钟。若要使其准确计时，可适当(　　)
A.加长钟摆长度 B.减小钟摆长度
C.增加摆球质量 D.减小摆球质量
课后巩固训练
3
ABC
基础对点练
题组一　单摆及单摆的回复力
1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　　　)
A.摆线质量不计
B.摆线不伸缩
C.摆球的直径比摆线长度小得多
D.摆角小于5°
解析　单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确，D错误。
A
2.在如图所示的装置中，可视为单摆的是(　　)
解析　单摆的悬线要求无弹性且粗细、质量可忽略，摆球的直径与悬线长度相比可忽略，悬点必须固定，故A正确。
CD
3.(多选)对单摆做简谐运动过程中所受到的力(不计各种阻力)，下列说法正确的是(　　)
A.受三个力，重力、线的拉力、回复力
B.受四个力，重力、线的拉力、回复力、向心力
C.只受两个力，重力、线的拉力
D.回复力是重力沿圆弧切线方向的分力
解析　单摆做简谐运动过程中只受重力和线的拉力作用，回复力和向心力都是效果力，回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，故C、D正确。
D
题组二　单摆的周期公式
4.(2024·广东广州高二期中)摆钟是一种较有年代的计时钟表。其基本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。图乙为摆钟内部的结构简图。设原先摆钟走时准确，则(　　)
A.摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力
B.该摆钟在太空实验室可正常使用
C.该摆钟从北京带到广州，为走时准确，需旋
转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向下移动
D.该摆钟在冬季走时准确，到夏季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动
D
5.如图所示，一小球在光滑槽内做简谐运动，下述方法中哪些可使小球的振动加快(　　)
A.减小小球的振幅 B.增大光滑圆槽的半径
C.增大小球的振幅 D.减小光滑圆槽的半径
D
D
7.把秋千看成单摆模型，图为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，则下列说法正确的是(　　)
A.小王荡此秋千时，其周期大于6.28 s
B.图中a点对应荡秋千时的最高点，此时回复力为零
C.小明荡到图中对应的b点时，动能最小
D.该秋千的绳子长度约为10 m
BD
综合提升练
8.(多选)如图为甲、乙两单摆的振动图像，则以下说法正确的是(　　)
A.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，
则甲、乙两单摆的摆长之比L甲∶L乙＝
2∶1
B.若甲、乙两单摆在同一地点摆动，
则甲、乙两单摆的摆长之比L甲∶L乙＝
1∶4
C.若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶2
D.若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1
AB
9.(多选)如图甲所示，一摆球做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是(　　)
A.单摆的摆长约为1.0 m
B.摆球的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin(πt) cm
C.从t＝0.5 s到t＝1.0 s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D.从t＝1.0 s到t＝1.5 s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小
BD
10.(多选)(2024·广东佛山高二期末)小明用同一实验器材(悬挂点高度、摆长、小球均相同)，进行了两次单摆实验(摆角均小于5°)，如图所示，第一次实验中，将小球从A处静止释放，第二次实验中，将小球从B处静止释放，对此下列说法正确的是(　　)
A.第一次实验中单摆的摆动周期比第二次长
B.若更换质量更大的小球，单摆周期不变
C.相比第二次实验，第一次实验中小球在最低点的重力势能更大
D.相比第二次实验，第一次实验中小球在最低点时，细绳对小球的拉力更大
C
11.图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N，已知摆球质量m＝100 g，重力加速度取9.8 m/s2，π2取9.8，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是(　　)
A.单摆周期为0.8 s
B.单摆摆长约为0.84 m
C.F的最小值Fmin＝0.96 N
D.若仅将摆球质量变为200 g，单摆周期变大
12.某实验小组设计实验研究碰撞及单摆特性，装置如图，在水平桌面边缘用长细绳悬挂着质量为m0的小球。质量为m1的滑块以速度v0滑上光滑的桌面，并在桌子边缘与小球发生正碰，碰后小球向外摆动起来(摆动的角度小于5°)，物块水平抛出桌面，当物块落地时小球恰好第一次摆回到桌子边缘。已知物块落点与桌子边缘的水平距离为x，桌子高度为h，重力加速度为g，物块和小球均可视作质点，求：
(1)物块从抛出到落地的时间t及悬挂小球的细绳长度L；
(2)碰撞后小球速度v2。
培优加强练第三节　单　摆
(分值：100分)
选择题1～11题，每小题8分，共88分。
基础对点练
题组一　单摆及单摆的回复力
1.(多选)单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型，其理想化条件是(　　)
摆线质量不计
摆线不伸缩
摆球的直径比摆线长度小得多
摆角小于5°
2.在如图所示的装置中，可视为单摆的是(　　)
A B C D
3.(多选)对单摆做简谐运动过程中所受到的力(不计各种阻力)，下列说法正确的是(　　)
受三个力，重力、线的拉力、回复力
受四个力，重力、线的拉力、回复力、向心力
只受两个力，重力、线的拉力
回复力是重力沿圆弧切线方向的分力
题组二　单摆的周期公式
4.(2024·广东广州高二期中)摆钟是一种较有年代的计时钟表。其基本原理是利用了单摆的周期性，结合巧妙的擒纵器设计，实现计时的功能。图乙为摆钟内部的结构简图。设原先摆钟走时准确，则(　　)
摆动过程中，金属圆盘所受合力为其回复力
该摆钟在太空实验室可正常使用
该摆钟从北京带到广州，为走时准确，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向下移动
该摆钟在冬季走时准确，到夏季为了准时，考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动
5.如图所示，一小球在光滑槽内做简谐运动，下述方法中哪些可使小球的振动加快(　　)
减小小球的振幅 增大光滑圆槽的半径
增大小球的振幅 减小光滑圆槽的半径
6.如图所示，在两根等长的细线下悬挂一个小球(体积可忽略)，组成了双线摆，若细线长均为L，两线与天花板的夹角均为α，重力加速度为g，当小球垂直纸面做简谐运动时，周期为(　　)
2π 2π
2π 2π
7.把秋千看成单摆模型，图为小明在荡秋千时的振动图像，已知小王的体重比小明的大，则下列说法正确的是(　　)
小王荡此秋千时，其周期大于6.28 s
图中a点对应荡秋千时的最高点，此时回复力为零
小明荡到图中对应的b点时，动能最小
该秋千的绳子长度约为10 m
综合提升练
8.(多选)如图为甲、乙两单摆的振动图像，则以下说法正确的是(　　)
若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比L甲∶L乙＝2∶1
若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比L甲∶L乙＝1∶4
若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比
g甲∶g乙＝1∶2
若甲、乙两单摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比
g甲∶g乙＝4∶1
9.(多选)如图甲所示，一摆球做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是(　　)
单摆的摆长约为1.0 m
摆球的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin(πt) cm
从t＝0.5 s到t＝1.0 s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
从t＝1.0 s到t＝1.5 s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小
10.(多选)(2024·广东佛山高二期末)小明用同一实验器材(悬挂点高度、摆长、小球均相同)，进行了两次单摆实验(摆角均小于5°)，如图所示，第一次实验中，将小球从A处静止释放，第二次实验中，将小球从B处静止释放，对此下列说法正确的是(　　)
第一次实验中单摆的摆动周期比第二次长
若更换质量更大的小球，单摆周期不变
相比第二次实验，第一次实验中小球在最低点的重力势能更大
相比第二次实验，第一次实验中小球在最低点时，细绳对小球的拉力更大
11.图甲是用力传感器对单摆做小角度摆动过程进行测量的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图像，其中F的最大值Fmax＝1.02 N，已知摆球质量m＝100 g，重力加速度取
9.8 m/s2，π2取9.8，不计摆线质量及空气阻力。下列说法正确的是(　　)
单摆周期为0.8 s
单摆摆长约为0.84 m
F的最小值Fmin＝0.96 N
若仅将摆球质量变为200 g，单摆周期变大
培优加强练
12.(12分)某实验小组设计实验研究碰撞及单摆特性，装置如图，在水平桌面边缘用长细绳悬挂着质量为m0的小球。质量为m1的滑块以速度v0滑上光滑的桌面，并在桌子边缘与小球发生正碰，碰后小球向外摆动起来(摆动的角度小于5°)，物块水平抛出桌面，当物块落地时小球恰好第一次摆回到桌子边缘。已知物块落点与桌子边缘的水平距离为x，桌子高度为h，重力加速度为g，物块和小球均可视作质点，求：
(1)(6分)物块从抛出到落地的时间t及悬挂小球的细绳长度L；
(2)(6分)碰撞后小球速度v2。
第三节　单　摆
1.ABC　[单摆由摆线和摆球组成，摆线只计长度不计质量，摆球只计质量不计大小，且摆线不伸缩，A、B、C正确，D错误。]
2.A　[单摆的悬线要求无弹性且粗细、质量可忽略，摆球的直径与悬线长度相比可忽略，悬点必须固定，故A正确。]
3.CD　[单摆做简谐运动过程中只受重力和线的拉力作用，回复力和向心力都是效果力，回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，故C、D正确。]
4.D　[回复力是指向平衡位置的力，摆动过程中，金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力提供回复力，金属圆盘所受合力还有一部分提供向心力，A错误；该摆钟在太空实验室内处于失重状态，因此不可正常使用，B错误；该摆钟从北京带到广州，重力加速度减小，由单摆的周期公式T＝2π，可知周期变大，摆钟变慢，为走时准确，需要摆钟的摆长变短，需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，C错误；该摆钟在冬季走时准确，到夏季温度升高，由于热胀冷缩，摆长变长，为了准时，需要摆长变短，因此考虑热胀冷缩需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动，D正确。]
5.D　[小球受重力和支持力，支持力与重力沿径向分力的合力提供圆周运动向心力，重力的切向分力提供做简谐运动的回复力，是类单摆模型，根据单摆的周期公式T＝2π，设光滑圆槽的半径为R，可知类单摆摆长L与原槽半径R相等，有T＝2π，周期与振幅无关，要加快振动，即减小周期，可以减小光滑圆槽的半径R，故D正确。]
6.D　[这是一个变形的单摆，可以用单摆的周期公式T＝2π计算，但注意此处的L与题中的细线长不同，公式中的L是指质点到悬点(等效悬点)的距离，此题中单摆的等效摆长为Lsin α，代入周期公式，可得T＝2π，故D正确。]
7.D　[小王荡秋千时，根据T＝2π可知做单摆运动的物体的周期与质量无关，其周期等于6.28 s，故A错误；图中a点对应荡秋千时的最高点，此时回复力最大，故B错误；小明荡到图中对应的b点时，b点为平衡位置，速度最大，动能最大，故C错误；根据T＝2π，计算得L≈10 m，故D正确。]
8.BD　[由图像可得到T甲∶T乙＝1∶2，由单摆周期公式T＝2π得到L＝g，因此甲、乙两单摆的摆长之比L甲∶L乙＝1∶4，A错误，B正确；由单摆的周期公式T＝2π得到g＝4π2，若摆长相同，则甲、乙两单摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1，C错误，D正确。]
9.AB　[由题图乙可知单摆的周期T＝2 s，振幅A＝8 cm，由单摆的周期公式T＝2π，代入数据可得L≈1 m，A正确；由ω＝，可得ω＝π rad/s，则摆球的位移x随时间t变化的关系式为x＝Asin ωt＝8sin(πt) cm，B正确；从t＝0.5 s到t＝1 s的过程中，摆球从最高点运动到最低点，重力势能减小，C错误；从t＝1 s到t＝1.5 s的过程中，摆球的位移增大，回复力增大，D错误。]
10.BD　[由单摆的周期公式T＝2π可知，单摆的周期与摆球的质量无关，两次实验中周期相同，故A错误，B正确；在最低点，两球的高度相同，所以重力势能相同，故C错误；由机械能守恒定律可得mgL(1－cos θ)＝mv2，由向心力公式可得F－mg＝，联立可得F＝3mg－2mgcos θ，第一次实验的摆角大于第二次实验，所以，第一次实验中小球在最低点时，细绳对小球的拉力更大，故D正确。]
11.C　[根据单摆振动的规律可知，在一个周期内摆球会两次经过最低点，即摆线会出现两次拉力最大的时刻，则由题图乙可知单摆周期为1.6 s，故A错误；根据单摆周期公式T＝2π，可得单摆摆长为L＝＝0.64 m，故B错误；设单摆的摆角为θ，当摆球摆到最高点时摆线拉力最小，为Fmin＝mgcos θ，设摆球运动至最低点时的速度大小为v，则根据机械能守恒定律有mv2＝mgL(1－cos θ)，在最低点时，根据牛顿第二定律有Fmax－mg＝m，联立解得Fmin＝0.96 N，故C正确；根据单摆周期公式可知周期与摆球质量无关，所以若仅将摆球质量变为200 g，单摆周期不变，故D错误。]
12.(1)　　(2)
解析　(1)由于物块做平抛运动，所以h＝gt2
所以t＝
对小球，有T＝2π，T＝2t
联立可得L＝。
(2)物块与小球碰撞过程动量守恒，有
m1v0＝m1v1＋m0v2，x＝v1t
所以v2＝。第三节　单　摆
学习目标　1.理解单摆模型和单摆摆球做简谐运动的条件，知道单摆摆球运动时回复力的来源。 2.知道影响单摆周期的因素，能熟练运用单摆的周期公式解决相关问题。
知识点一　单摆及单摆摆球的回复力
如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然后释放。
(1)小球的往复运动属于机械振动，其平衡位置在哪里？
(2)将小球所受重力分解为切向的分力F和径向的分力F′，哪个分力充当回复力？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.单摆
(1)组成：由细绳和物体组成。
(2)条件
①悬挂物体的绳子的伸缩和质量可以________。
②绳长比物体的尺寸大很多，物体可以看作________。
(3)若单摆的摆角____________，单摆摆球的摆动可近似看成简谐运动。
2.摆球的回复力
如图所示，在摆角小的情况下，可认为分力mgsin θ近似指向平衡位置，即它提供摆球的回复力，即F＝mgsin θ。
3.摆球做简谐运动的推证
在偏角较小时(θ<5°)，sin θ≈，可得单摆的回复力为F＝－mg(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移，L为摆长，负号表示回复力F与位移x的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，摆球做简谐运动。
【思考】　小球通过平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？若不为零，其合外力沿什么方向？加速度呢？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
例1 如图中O点为单摆的固定旋点，现将摆球(可视为质点)拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动，B点为运动中的最低位置，则在摆动过程中(　　)
A.摆球在A点和C点处，速度为零，位移也为零
B.摆球在A点和C点处，速度为零，回复力也为零
C.摆球在B点处，重力势能最小，加速度也为零
D.摆球在B点处，动能最大，细线拉力也最大
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练1 关于单摆，下列说法中正确的是(　　)
A.摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置
B.摆球受到的回复力是它的合力
C.摆球经过平衡位置时，所受的合力为零
D.摆角很小时，摆球受的合力的大小跟摆球对平衡位置的位移大小成正比
回复力与合外力
回复力是使物体回到平衡位置的力，不一定是物体所受到的合外力。弹簧振子中小球的回复力是振动方向上的合外力，单摆摆球的回复力是摆球所受重力沿圆弧切线方向的分力，不是摆球的合外力。　　　　
知识点二　单摆的周期公式
(1)1582年伽利略发现摆动的吊灯往返一次所需要的时间似乎都一样。只改变物体质量，物体摆动周期不变，只改变绳子长度，物体摆动的周期将发生变化，据此我们可以判断摆动周期与什么相关，与什么无关？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)将走时准确的摆钟，由赤道拿到两极，走时就不准了，据此猜测摆动周期可能与什么相关？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.在摆角很小的情况下，单摆的周期与小球质量和摆角________，与单摆摆长________。故单摆的简谐运动周期也叫单摆的固有周期。
2.周期公式
(1)提出：周期公式是荷兰物理学家________首先提出的。
(2)公式：T＝2π，即周期T跟摆长L的二次方根成________，跟重力加速度g的二次方根成________，而与振幅、摆球质量________。
3.对L、g的理解
(1)摆长L
①普通单摆摆长L＝L0＋，L0为摆线长，d为摆球直径。
②等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为Lsin α，这就是等效摆长。其周期T＝2π。图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。
(2)重力加速度g
①g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所处的空间位置决定。
②在不同星球上M和R也是变化的，所以g也不同。
角度1　单摆周期公式的理解
例2 (粤教版教材P50课后题4改编)摆长是1 m的单摆在某地区的周期是2 s，则在同一地区(　　)
A.摆长是0.5 m的单摆的周期是4 s
B.摆长是0.5 m的单摆的周期是1 s
C.周期是1 s的单摆的摆长为2 m
D.周期是4 s的单摆的摆长为4 m
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度2　单摆中的图像问题
例3 (多选)(2024·广东广州期末)如图甲，小明做摆角较小的单摆实验，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置，小明通过实验测出当地重力加速度g＝π2 m/s2，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙，设图中单摆向右振动为正方向，则下列选项正确的是(　　)
A.此单摆的振动频率是2 Hz
B.单摆的摆长约为1.0 m
C.仅改变摆球质量，单摆周期不变
D.t＝0时刻，摆球位于B点
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
角度3　单摆模型拓展
例4 (2024·重庆西南大学附中高二月考)如图所示，光滑圆槽的半径R远大于小球运动的弧长。甲、乙、丙三个小球(均可视为质点)同时由静止释放，开始时，甲球比乙球离槽最低点O远些，丙球在槽的圆心处。则以下关于它们第一次到达点O的先后顺序的说法正确的是(　　)
A.乙先到，然后甲到，丙最后到
B.丙先到，然后甲、乙同时到
C.丙先到，然后乙到，甲最后到
D.甲、乙、丙同时到
听课笔记　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
训练2 如图所示，三根长度均为l0的绳l1、l2、l3共同系住一密度均匀的小球m，球的直径为d(d l0)，绳l2、l3与天花板的夹角α＝30°。则：
(1)若小球在纸面内做小角度的左右摆动，周期T1为多少？
(2)若小球做垂直于纸面的小角度摆动，周期T2又为多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
随堂对点自测
1.(单摆及单摆的回复力)(多选)关于单摆的运动有下列说法，其中正确的是(　　)
A.单摆摆球的回复力是摆线的拉力与重力的合力
B.单摆摆球的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力
C.单摆的周期与摆球质量无关，与振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关
D.摆球做简谐运动的条件是摆角很小，如小于5°
2.(单摆的周期公式)(多选)(2024·浙江杭州高二月考)如图甲所示，O是摆球的平衡位置，B、C是摆球所能达到的最远位置，以向右摆动为正方向，此摆球的振动图像如图乙所示，则(　　)
A.摆球的振幅是8 cm
B.单摆的摆长约为1 m
C.P点时刻摆球正在OC间向正方向摆动
D.摆球经过O点时，速度最大，加速度为零
3.(单摆的周期公式)(2024·广东梅州高二期末)李华家有一带有钟摆(可视为单摆)的机械时钟，最近发现这个时钟每天要快5分钟。若要使其准确计时，可适当(　　)
A.加长钟摆长度 B.减小钟摆长度
C.增加摆球质量 D.减小摆球质量
第三节　单　摆
知识点一
导学　提示　(1)O点　(2)F
知识梳理
1.(2)①忽略不计　②质点　(3)小于5°
[思考] 提示　合外力不为0，其合外力提供向心力，指向圆心。加速度不为0，向心加速度指向圆心。
例1 D　[摆球在摆动过程中，最高点C处是摆球的最大位移位置，速度为零，回复力最大，故A、B错误；最低点B是摆球的平衡位置，速度最大，动能最大，重力势能最小，摆球做圆周运动，绳的拉力最大，加速度不为零，故C错误，D正确。]
训练1 A　[根据回复力的定义知，摆球受到的回复力方向总是指向平衡位置，A正确；摆球的回复力除最高点外都不是摆球受力的合力，但不管在哪个位置均可认为是重力沿轨迹圆弧切线方向的分力，B错误；摆球经过平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因沿悬线方向上需要向心力，C、D错误。]
知识点二
导学　提示　(1)与绳长相关，与物体的质量无关
(2)当地的重力加速度。
知识梳理
1.无关　有关　2.(1)惠更斯　(2)正比　反比　无关
例2 D　[摆长是1 m的单摆的周期是2 s，根据单摆的周期公式T＝2π可知，当地的重力加速度g＝＝π2 m/s2。摆长是0.5 m 的单摆的周期T1＝2π＝2π× s＝1.414 s，故A、B错误；周期是1 s的单摆的摆长L2＝＝ m＝0.25 m，周期是4 s的单摆的摆长L3＝＝ m＝4 m，故C错误，D正确。]
例3 BCD　[由图乙可知，此单摆的周期为T＝2.0 s，则此单摆的振动频率为f＝＝0.5 Hz，故A错误；根据单摆周期公式T＝2π，可得单摆的摆长为L＝＝1.0 m，仅改变摆球质量，单摆周期不变，故B、C正确；由图乙可知，t＝0时刻，摆球位于负向最大位移处，图中单摆向右振动为正方向，则摆球位于B点，故D正确。]
例4 B　[对于丙球，根据自由落体运动规律有R＝gt，解得t3＝，对于甲、乙两球，做简谐运动，其运动周期为T＝2π，甲、乙两球第一次到达点O时运动周期，则t1＝t2＝＝，故丙先到，然后甲、乙同时到，故B正确。]
训练2 (1)2π　(2)2π
解析　(1)小球在纸面内做小角度的左右摆动，相当于以O′为悬点做简谐运动，摆长为l＝l0＋
振动的周期为T1＝2π＝2π。
(2)小球做垂直于纸面的小角度摆动，相当于以O为悬点做简谐运动，摆长为
l′＝l0＋l0sin α＋＝l0＋
振动周期为T2＝2π＝2π。
随堂对点自测
1.BCD　[单摆摆球的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力，A错误，B正确；根据单摆的周期公式T＝2π可知，单摆的周期与摆球质量无关，与振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关，C正确；在摆角很小时，小于5°，摆球近似做简谐运动，D正确。]
2.AB　[由乙图可知，摆球的幅度为8 cm，故A正确；由乙图可知，此单摆的周期T＝2 s，根据单摆周期公式T＝2π，代入数据可得单摆的摆长L≈1 m，故B正确；P点时刻摆球是从右向左摆动的过程，且尚未到达最低点，因此摆球正在OC间向负方向摆动，故C错误；摆球经过O点时，此时位于最低点，所以动能最大，且摆球的切向加速度为零，但它的径向加速度不为零，故D错误。]
3.A　[由T＝2π，可知，摆钟周期与摆球质量无关，这个时钟每天要快5分钟，说明摆钟周期偏小，若要使其准确计时，应加长钟摆长度。故A正确。]

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